振动的测量
8.1
前言
有的时候，一些微小的、不显著的振动，会与结构，或者结构的某一部分产生共振，从而将振动放大。共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz，因此次声（<20Hz）会对人体造成伤害。
所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数。想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量，这些仪器就是我们这章要了解的。
首先来看一下一些概念。在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等。
用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种：
加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。
位移计：测量位移时程（地震仪）。
速度计：测量速度。
8.2
理论
8.2.1
运动方程的建立
D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记Fi、fIi、Si分别为质点mi所受的主动力、惯性力和约束反力，则D’Alembert原理可表示为
Fi+fIi+Si=0
通常主动力Fi包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。
上图质量块m所受的主动力为
F(t)=P(t)-cut-kut
惯性力为
fI=-mut
由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力，此时的约束反力是没有的。
将上面两式代入D’Alembert原理表达式，有
mut+cut+kut=P(t)
当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。
8.2.2
Fourier变化法（频域分析法）
最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧-质点-阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示
单自由度体系运动方程为：
mut+cut+kut=-mugt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)
其中：
c=2mωnζ
km=ωn
则（1）式可以写为：
ut+2ωnζut+ωn2ut=-ugt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)
使用傅里叶变换法（之后补上介绍），正变换，把问题从时间域（自变量为t）转变到频域（自变量为ω），可得：
-ω2Uω+i2ζωnωUω+ωn2Uω=ω2Gω
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)
Uω=Gωω2ωn21-ω2ωn2+i2ζωωn=HωGω
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)
UωGω=ω2ωn21-ω2ωn22+2ζωωn212
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5)
ϕω=arctan2ζωωn1-ω2ωn2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6)
下面给出了UωGω与ϕω关于频率比的图像：
H(ω)为复频反应函数，也叫传递函数。相角ϕω的含义，在动力荷载作用下，有阻尼体系的动力反应（位移、速度、加速度）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。相角ϕ实际是反映结构体系位移相对于动力荷载的反应滞后时间，从下图可以发现，频率比越大，即外荷载作用的越快，动力反应的滞后时间越长。
补充：傅立叶变换
Fourier变换的定义为
Uω=-∞∞ute-iωtdt
-正变换ut=12π-∞∞Uωe-iωtdω
-逆变换
其中，Uω称为位移ut的Fourier谱。
根据Fourier变换的性质，速度和加速度的Fourier变换为
-∞∞ute-iωtdt=iωU(ω)-∞∞ute-iωtdt=-ω2U(ω)
8.3
振动测量仪器
8.3.1
加速度计（强震仪）
加速度计测量的是加速度，在基底加速度作用下仪器质点的运动方程为式（1）：
mut+cut+kut=-mug(t)
实际要测量的加速度运动时程是任意变化的，包含在一定的频段分布的一系列简谐分量，我们可以先分析仪器对一个简谐分量的测量。
仪器基底加速度时程：
ugt=ug0sinωt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7)
为简谐运动，其中ug0为地面运动加速度的振幅。带入上式，可得仪器质点的相对位移ut为
ut=-mug0k11-(ωωn)22+2ζ(ωωn)2sinωt-ϕ
=-mkRdug0sin(ωt-ϕ)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8)
下面仅讨论ut的振幅u0
u0=mkRdug0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)
作为一种测量仪器，其测量的对象的单位可以不同，但一定要成比例。
由上式可知，仪器记录值u0与被测量的地面加速度值之间的关系变化由动力放大系数Rd决定，而动力放大系数Rd是由ω的函数，观察不同阻尼比时动力放大系数曲线图（下图）可以发现，当ζ=0.7时，在频段0≤ω≤0.5范围内，Rd≈1为常数。
即在以上的频段范围内，仪器反应的振幅u0，或者说是对于不同的简谐运动，仪器的记录与仪器要测量的加速的振幅成线性关系。这时可以用仪器反应u来度量要测量的加速的。为了保证加速的不同简谐分量的频率ω都满足0≤ω≤0.5，可以采用提高ωn的方法来实现，因为ωn=k/m，一般情况下，质量m不变，可以采用提高加速度计中的弹簧刚度k的方法来实现提高ωn的目的。因此，加速度计或强震仪中的弹簧刚度比较大，仪器是比较刚性的。
8.3.2
位移计（地震仪）
位移计是用来测量仪器基底的位移量，设任意一个简谐位移为
ug=ug0sinωt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10)
其中ug0为地面运动位移振幅，将ugt=-ω2ug0sinωt代入运动方程式（1），解得仪器的相对位移反应为：
ut=mω2kRdug0sinωt-ϕ=ωωn2Rdug0sinωt-ϕ
⋯⋯(11)
相对位移反应的振幅为：
u0=ωωn2Rdug0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12)
与加速度计的原理相同，我们希望在所测量的振动频率范围内，对于不同的频率分量均有u0和ug0之间的比例系数ωωn2Rd接近常量。下图给出了ωωn2Rd随频率ωωn变化的曲线。
由图可以看出，当阻尼比ζ=0.5时，在频率范围ωωn>1时，ωωn2Rd接近于常数，因此可以用位移计来测量频率范围在ω>ωn频段范围内的位移量。为了保证被测位移的频率满足ω>ωn，可通过降低仪器自振频率ωn的方法来实现。实际中采取降低弹簧刚度k或者增大质量m的方法来实现。因此，位移计一般都是比较柔的。
第十章
反应谱
10.1
前言
地震动引起地面的运动，并通过地面的运动，是结构也产生振动。因此，在地震中，结构上所受的荷载是由于其支座的运动而产生的。地面的运动有三个平动分量和三个转动分量，但是由于测量水平的限制，转动分量很难测得，而平动的分量可以由加速度计测得。相对于平动分量来说，转动分量很小，因此在对结构进行抗震分析的时候，转动分量忽略不计。对一个结构来说，在弹性范围内，它的响应是由于地面的一个平动分量产生的，对于一个结构体系来说，就是这些分量的和。由于结构的自振频率是未知的，在设计的时候需要多次迭代才能求出来。所以，结构设计者就需要反应谱的帮助了。
10.2
傅立叶谱
将振动的信号（或任意变化的函数）分解为简谐振动（三角函数）的过程称为傅里叶分解。得到振幅和相位随频率变化的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱，统称为频谱，完成分解的运算称为傅立叶变化。
傅里叶谱全面描述了地震动过程的频谱特征，包括了各频率分量的相位及幅值信息。因此，从两个傅里叶谱可以反推出地震动的时程，而功率谱和反应谱则不行。
傅立叶谱是复数，由实部和虚部组成，他的模称为幅值谱，幅角为相位谱。
Xω=-∞∞xte-iωtdt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(13)
假设地面运动的加速度在tϵ(0,td]，则上式可以变为
Xω=0tdxtcosωtdt-i0tdxtsin(ωt)dt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14)
则强震下傅立叶振幅谱和相位谱可以用下式定义
Xω=0tdxtcosωtdt2+0tdxtsinωtdt2
⋯⋯⋯⋯(15)
ϕω=-tan-10tdxtcosωtdt0tdxtsinωtdt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(16)
10.3
反应谱
单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
10.3.1
Duhamel积分
（1）单位脉冲反应函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载，实际上就是数学中的特殊函数—δ函数。δ函数的定义为
δt-τ=∞,t=τ0,其他
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(17)
和
0∞δt-τdt=1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(18)
在t=τ时刻一个单位脉冲Pt=δt作用在单自由度体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度，即
muτ+ε=ττ+εPtdt=ττ+εδtdt=1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(19)
当ε→0时，uτ=1m
由于脉冲作用时间很短，当ε→0时，由单位脉冲引起质点的位移为零，即
uτ=0
求体系在单位脉冲下的反应，即是求解单位脉冲作用后的自由振动问题。将初始条件uτ=1m
和uτ=0代入单自由度体系自由振动（低阻尼体系）一般解式
ut=e-ζωntu0cosωDt+u0+ζωnu(0)ωDsinωDt
⋯⋯⋯⋯(20)
所以有阻尼体系单位脉冲反应函数为
ht-τ=ut=1mωDe-ζωnt-τsinωD(t-τ)
t≥τ
⋯⋯⋯(21)
（2）对任意荷载的反应
我们可以把荷载分解为一系列脉冲，获得每一个脉冲下结构的反应，最后叠加得到结构的总反应。
如果已经将作用于结构体系的外荷载Pτ离散成一系列脉冲，首先计算其中任一脉冲Pτdτ的动力反应。则该脉冲下结构的反应为
dut=Pτdτht-τ,t>τ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(22)
在任意时间t结构的反应，就是在t之前所有脉冲作用下的反应之和为
ut=0tdu=0tPτht-τdτ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(23)
将（21）式代入上式，可以求解阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式
ut=1mωD0τPτe-ζωnt-τsinωD(t-τ)dτ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(24)
其中ωD=ωn1-ζ2为阻尼体系的自振频率。
10.3.2
反应谱法
前面介绍了一些结构动力反应分析的方法，可以对结构地震反应问题展开分析计算。当地震动较小时，结构处于线弹性范围，可以采用时域的Duhamel积分法，或频域的Fourier变换方法获得地震下结构的反应，并根据得到的结构最大变形最大内力进行抗震设计。当地震动较强时，结构反应可能进入塑性，需要用到时域逐步积分法进行弹塑性反应分析。我们仅讨论结构线弹性地震反应问题，采用Duhamel积分法介绍地震反应谱。
地震作用的特点是地震动过程非常复杂，随时间不规则、快速变化。设地震加速度时程为ugt，其特点为：第一阶段，振幅快速增长；第二阶段，相对稳定；第三阶段，震荡衰减。
地震作用下结构的运动方程为
mut+cut+kut=-mug(t)
地震等效荷载为Peqt=-mug(t)，应用Duhamel积分，结构地震的位移反应为
ut=-1ωD0tugτe-ζωnt-τsinωD(t-τ)dτ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(25)
观察上式可以发现，对于给定的地震动ug，结构的地震反应仅与结构的阻尼比ζ和自振频率ωn有关。换句话说，对于大小尺寸不同的结构，当结构阻尼比和自振频率相同时，对同一个地震的反应完全相同。
当阻尼比较小时，ωD≈ωn，则结构地震反应式可以简化为
ut=-1ωn0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(26)
则最大位移反应为：
Sd=utmax=1ωn0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτmax
⋯⋯(27)
质点相对于地面的速度为：
ut=dudt=-0tugτe-ζωnt-τcosωdt-τdτ
+ζωnωD0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯⋯⋯⋯(28)
则质点相对于地面的最大速度反应为：
Sv=utmax=0tugτe-ζωnt-τsinωnt-τdτmax
+ζωnωD0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯⋯⋯⋯(29)
在实际工程中，我们比较看重的是结构的绝对加速度ut+ug(t)，从单指点体系的在地震作用下的运动方程可以知道：
ut+ugt=-2ωnζut-ωn2ut
+ζωnωD0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯(30)
将上面求得的ut、ut代入上式：
ut+ugt=2ωnζ0tugτe-ζωnt-τcosωdt-τdτ-2ζ2ωn2ωD0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
+ωn2ωD0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯⋯⋯(31)
由于低阻尼体系，ωD≈ωn，则上式可以简化为
ut+ugt=ωn0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτ
⋯⋯(32)
则点相对于地面的最大加速度反应为：
Sa=ut+ugtmax=ωn0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτmax⋯⋯(33)
以上，我们求得了Sd、Sv、Sa，他们具有如下关系
Sa=ωnSv=ωn2Sd
当阻尼比给定时，结构对任一地震的最大相对位移反应、最大相对速度和最大绝对加速度反应仅由ωn决定。工程中，一般习惯采用结构的自振周期Tn=2π/ωn代替圆频率，因而工程谱中使用的反应谱一般以自振周期为自变量。
ELC波
绝对加速度谱
相对速度反谱
位移反应谱
10.3.3
影响地震反应谱的因素
影响地震反应谱的因素有两点，一是体系阻尼比，二是地震动。
（1）体系阻尼比
体系阻尼比越大，地震反应谱加速度反应越小，地震反应谱值也越小。
（2）地震动
不同的地震动将会有不同的地震反应谱，大家都知道地震动特性的三要素：振幅、频谱、持时。
振幅越大，地震反应谱值越大，但是地震动振幅仅对地震反应谱值有影响，且呈线性比例关系。
地面运动的各种频率与加速度幅值的对应关系
场地越软，地震震中距越大，地震反应谱峰值对应的周期也越长。所以说，地震动频谱对地震反应谱的形状有影响。
持时对地震反应谱影响不大。
10.3.4
地震反应谱的特点
（1）阻尼比对反应谱影响很大，不仅能降低结构反应的幅值，而且可以削平不少峰值，使反应谱曲线变得平缓。
（2）对于加速度反应谱，当结构的周期小于某个值时，幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降，当T≥3s时，加速度反应谱值下降缓慢。
（3）对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。
（4）对于位移反应谱，幅值随周期增大。
（5）土质条件对反应谱形状有很大的影响，土质越松软，地震反应谱峰值对应的周期也越长。
小结：结构的最大地震反应，对于高频结构来说，主要取决于地面运动的加速度；对于中频结构来说，主要取决于地面运动的最大速度；对于低频结构来说，只要取决于地面运动的最大位移。
10.3.5
设计反应谱
地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，所以需要有专门的可供结构抗震设计用的反应谱，我们称之为设计反应谱。
F=mSaT=mgugmaxg∙SaTugmax=GkβT
⋯⋯⋯(33)
（1）地震系数k=ugmaxg，可以将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。
烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。
（2）体系最大加速度的放大系数βT=SaTugmax
βt=2πT∙1ugmax∙0tugτe-ζ2πTt-τsin2πTt-τdτmax
⋯⋯⋯(33)
那么，对于给定的加速度记录ug，和结构的阻尼比ζ，那么可以用上式计算出对应不同的结构自振周期T的动力系数β值。
Sa=ut+ugtmax=ωn0tugτe-ζωnt-τsinωn(t-τ)dτmax⋯⋯⋯(34)
对比两个公式，可以看出，地面最大加速度ut对于给定的地震是一个常数，所以β-T的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，只是纵坐标的数值不同。β-T曲线的纵坐标为Saugmax，而拟加速度反应谱的纵坐标是Sa。
回顾一下，地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为等效侧向力。
对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。
F=F(t)max=mSa=mgugmaxg∙SaTugmax=Gkβ=αG
⋯⋯⋯(35)
α=kβ为水平地震影响系数。
上面讲过，β-T的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，只是纵坐标的数值不同，由于对于给定的地震（或者设防烈度），地震系数k为常数，所以呢，α-T的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，其纵坐标为k∙Saugmax。
但是，由于地震的随机性，同一地点、相同地震烈度的前后两次地震记录的地面运动加速度曲线时程ug(t)也有很大不同。因此在进行工程设计时，仅用某一次的ug(t)所得到的反应谱曲线SaT或者αT作为设计标准计算地震作用并不恰当，为了使动力系数能用于结构抗震设计，采取了以下的措施：
①取确定的阻尼比ζ=0.05，因为大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右，即考虑阻尼比对地震反应谱的影响。
②按场地、震中距将地震动记录分类，即考虑地震动频谱的影响因素。
③计算每一类地震动记录动力系数的平均值，即考虑类别相同的不同地震记录的地震反应谱的变异性。
βT=i=1nβiTζ=0.05n
⋯⋯⋯(36)
综合考虑上述因素后，根据统一场地所得到的强震地面运动加速度记录ug(t)分别计算出它的反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计，求出最具代表性的平均反应谱曲线作为设计依据，这条曲线就被称之为“抗震设计反应谱”。
工程设计采用的动力系数谱曲线
其中：
βmax=2.25
β0=1=0.45βmaxη2
Tg—场地特征周期，与场地条件和设计地震分组有关
T—结构自振周期
γ—衰减指数，取0.9
η1—直线下降段斜率调整系数，取0.02
η2—阻尼调整系数，取1.0
上面我们推导过，α(T)=kβ(T)
地震影响系数谱曲线
易知αmax=k∙βmax。我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的αmax值为：
括号中的数值分别用于设计基本地震加速度取0.15g和0.30g的地区。
抗震设计反应谱见下图
之前我们讲过，我们取得是确定的阻尼比（0.05）来做计算的，有
γ—衰减指数，取0.9
η1—直线下降段斜率调整系数，取0.02
η2—阻尼调整系数，取1.0
但是，在结构阻尼比不等于0.05时，其形状参数做如下调整
γ=0.9+0.05-ζ0.5+5ζ
η1=0.02+0.05-ζ8
η2=1+0.05-ζ0.06+1.7ζ
（当η2<0.55，取η2=0.55）
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