吉林省实验中学2019--2020年高三年级下学期
第三次月考数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合A.B．
C．
D．
2．已知复数,且，则的值为
A．0
B．±1
C．2
D．±2
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为（）
A．
B．
C．0
D．
5．下列命题正确的是
A．命题，的否定是：，B．命题中，若，则的否命题是真命题
C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题
D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件
6．函数y=2ln(cosx+2)的图像大致是
A．
B．
C．
D．
7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
第8题
A．
B．
C.D．
8.程序框图如图（右上），当输入为2019时，输出的值为
A．
B．1
C．2
D．4
9．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
233
由此可以估计事件发生的概率为（）
A．
B．
C．
D．
10.圆心在圆上，与直线相切，且面积最大的圆的方程为
A
.B.C.D.11．已知函数，图象的一部分如图所示．若，是此函数的图象与轴三个相邻的交点，是图象上、之间的最高点，点的坐标是，则数量积
A.B．
C．
D．
12．已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
13．已知变量，满足，则的最大值为
．
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_________.15．已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的体积为_______．
16．已知函数
则数列的通项公式为__________．
三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）
17．的内角，所对的边分别为，，已知，成等差数列．
（1）求角；
（2）若，为中点，求的长．
18．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量（单位：的数据，其频率分布直方图如图．
（Ⅰ）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过的概率；
（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：
套餐名称
月套餐费（单位：元）
月套餐流量（单位：
700
1000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．
该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
19．如图所示，三棱锥P-ABC放置在以AC为直径的半圆面O上，O为圆心，B为圆弧AC上的一点，D为线段PC上的一点，且AB=BC=PA=3，PB=32，PA⊥BC.（Ⅰ）求证：平面BOD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当时，求三棱锥C-BOD的体积.20．已知函数，且曲线在点M1,f1处的切线与直线平行.（1）求函数fx的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数m的取值范围.21．已知椭圆，点在的长轴上运动，过点且斜率大0的直线与交于两点，与轴交于点,.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，.（1）求椭圆的方程；
（2）当均不重合时，记若，求证：直线的斜率为定值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.22．（10分）选修4-45：参数方程极坐标选讲
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），把曲线C横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C1，直线l的普通方程是
3x+y-2=0，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）求直线l的极坐标方程和曲线C1的普通方程；
（2）记射线与C1交于点A，与l交于点B，求|AB|的值.23.（10分）选修4-5：不等式选讲
（1）求不等式x+2+x-1≥5的解集；
（2）已知两个正数a、b满足a+b=2，证明：.吉林省实验中学2020年高三年级
第三次月考数学（文科）试题答案
1.B
2.D
3.D
4.C
由题意可得：sinα=45,cosα=35，sinβ=35,cosβ=-45，则sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=-725
5.D
解：在中，命题，的否定是：，故错误；
在中，命题中，若，则的否命题是假命题，故错误；
在中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命
题，故错误；在中，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．
是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故正确
6.C
因为y=2ln(cosx+2)的定义域为R，又2lncos-x+2=2ln(cosx+2)，故函数y=2ln(cosx+2)为偶函数，关于y轴对称，排除AB选项；
又当x=π时，y=2lncosπ+2=0，排除D.7.C
根据三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．
∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．
8.A
解：输入x=2019，得x=2016，第1次判断为是，得x=2013；第2次判断为是，得x=2010；……一直循环下去，每次判断为是，得x都减3，直到x=-3，判断结果为否，得到输出值y=2-3=18
9.C
事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为P=518，故选C
10.D
过圆心做直线的垂线，垂线与已知圆的交点为A（1,1）,B（-1，-1）,易证当圆心在点B时，圆的半径最大，圆的面积也最大，圆心为B，半径为，所以面积最大的圆的方程为。
11.D
解：设，由图象可知，且，故，．
再根据五点法作图可得，，、，、，．，，12.C
若函数fx=ex-ex+a与gx=lnx+1x的图象上存在关于x轴对称的点，则方程ex-ex+a=-(lnx+1x)在(0,+∞)上有解，即a=ex-ex-lnx-1x在(0,+∞)上有解，令h(x)=ex-ex-lnx-1x，则h＇(x)=e-ex-1x+1x2=e-ex+1-xx2，所以当0
14.916
设图（3）中最小黑色三角形面积为S，由图可知图（3）中最大三角形面积为16S，图（3）中，阴影部分的面积为9S，根据几何概型概率公式可得，图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为916,故答案为916.15.16．
【解析】由，函数为奇函数，由为奇函数，，∵，①
则，②
①+②得
则数列的通项公式为.17.解：（1），成等差数列，则，由正弦定理得：，，即，，又，．
（2）在中，，即，或（舍去），故，在中，在中，可得：．
18.解：（1）由题意知．
所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过的概率为，（2）若该企业选择套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，每月使用流量的平均费用为，若该企业选择套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用为，所以该企业选择套餐更经济．
19.（Ⅰ）证明：由AB=PA=3，PB=32，∴PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB，又PA⊥BC且AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC.∵BO⊂平面ABC，∴PA⊥BO，由BA=BC，O为圆心，所以BO⊥AC.因AC∩PA=A，故BO⊥平面PAC，又BO⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面PAC.（Ⅱ）由PC=2PD，知D为PC的中点，而O为圆心，所以PA//DO，所以DO⊥平面ABC，因为PA=3，所以DO=32，由题意知∠ABC=90°，所以SΔABC=12×3×3=92，由等体积法知VC-BOD=VD-BOC=13×SΔBOC×DO
=13×12×92×32=98
20.（1）函数fx的定义域为x|x>0，f＇x=ax-1x2+2，又曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x平行
所以f＇1=a-1+2=2，即a=1
∴fx=lnx+1x+2x，f＇x=x+12x-1x2x>0
由f＇x<0且x>0，得0 由f＇x>0得x>12，即fx的单调递增区间是12,+∞.（2）由（1）知不等式fx≥2x+mx恒成立可化为lnx+1x+2x≥2x+mx恒成立 即m≤x⋅lnx+1恒成立 令gx=x⋅lnx+1g＇x=lnx+1 当x∈0,1e时，g＇x<0，gx在0,1e上单调递减.当x∈1e,+∞时，g＇x>0，gx在1e,+∞上单调递增.所以x=1e时，函数gx有最小值 由m≤x⋅lnx+1恒成立 得m≤1-1e，即实数m的取值范围是-∞,1-1e.21.解：（1）因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为π6时，N，P重合，|PM|=2，所以a=|PM|=2故bc=tanπ6=33，因为a2=b2+c2，因此c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.（2）设l:x=ty+m(m≠0)，所以M(m,0)，N0,-mt，所以kl=1t.因为斜率大于0，所以t>0，设Px1,y1，Qx2,y2，则NP=x1,y1+mt，NQ=x2,y2+mt，由NP=λNQ得，x1=λx2，① 同理可得y1=μy2，② ①②两式相乘得，x1y1=λμx2y2，又λμ=1，所以x1y1=x2y2，所以ty1+my1=ty2+my2，即ty12-y22=my2-y1，即y2-y1m+ty1+y2=0由题意kl>0，知y1-y2≠0，所以m+ty1+y2=0.联立方程组x=ty+mx24+y2=1，得t2+4y2+2tmy+m2-4=0，依题意，y1+y2=-2tmt2+4 所以m-2t2mt2+4=0，又m≠0，所以t2=4，因为t>0，故得t=2，所以kl=1t=12，即直线l的斜率为12.22.（1）将x=ρcosθy=ρsinθ代人直线l的方程3x+y-2=0，得：3ρcosθ+ρsinθ-2=0，化简得直线l的极坐标方程：ρ=1sin(θ+π3) 由曲线C的参数方程消去参数α得曲线C的普通方程为：，经过伸缩变换x＇=22xy＇=12y得x=2x＇y=2y＇代入 得：，故曲线C1的普通方程为： （2）由（1）将曲线C1的普通方程化为极坐标方程：，将θ=π6(ρ⩾0)代人得,将θ=π6(ρ⩾0)代入ρ=1sin(θ+π3)得：ρB=1，故 23.（1）方法一：根据几何意义“x+2+x-1”表示数轴上x到-2和1的距离之和，所以不等式的解集为x|x≤-3或x≥2.方法二：零点分区间讨论如下： ①当x≤-2时，-x-2-x+1≥5，即x≤-3，∴x≤-3.②当-2 ③当x≥1时，x+2+x-1≥5即x≥2，∴x≥2.综上所述，不等式的解集为x|x≤-3或x≥2.（2）因为a+(b+1)=3，所以1a+1b+1=131a+1b+1a+(b+1) =132+b+1a+ab+1 ≥43，当且仅当b+1a=ab+1a+b=2即a=32b=12时取“=”.
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