本学期离散数学的学习心得

第一篇：本学期离散数学的学习心得

本学期离散数学的学习也过一般的课程，说要颇有成就、深有体会的话那简直就是让我感到惭愧；要说一点体会都没有的话也是不可能的。只是在这半个学期对离散数学的学习中有一些个人会想想与大家分享哈。接下来先说说我现在的学习情况。

谈到学习情况，我都有点不好意思说出口了，这个学期我做的让自己感到很惭愧啊。不但上课没有好好听老师讲课，多数是自己看书。有事还逃一两节课玩玩。可以说没有一个好的学习态度啊。不过事业至此，我就直说了，希望自己接下来有所改进。我们都听老师说过学习不就是一个过程么，来到大学要想跟高中时那样拼命的学习真还有点做不到啊，不过最基本的知识我们得必须学习，这是毫无疑问的。目前的离散学习啊，真还有点不懂了。追其原因，可能是因为自己没有听课太多了吧，一开始的时候都好学，到了后面就越来越难了，老师托在后面，今天老师讲的是第二章。我就是才看到第一章，老是托在老师的后面，可是呐，到了后面的课程越难了。自己就看不懂了，老是还是加速向前。自己就面临学习上的最带问题了。不过到了今天这个地步，还是自己的错啊，我就不说风凉话了。下面最重要的是想出一切办法去弄懂才是。为此，我找到了离散学习的一些方法。也可以供大家分享。

离散数学是一门计算机专业的基础课程，也是比较难学的一门课程。这门课程里有太多的概念需要记忆。那么是不是要把所有的概念和定义都要完完整整的背下来呢？我个人认为大可不必。要想在一学期中的那么一点有限的时间里。背完所有的概念和定义是不太现实的，况且也没有那个必要！当然这里我个人观念强点了，你全背得也不是件坏事。不过我觉得学理工科的靠的就是理解。只有真正的理解了概念的内在涵义，才能真正的掌握这个概念。理解了概念的内涵，就为学好这门课程打下了坚实的基础。

在理解概念的基础上，再形成适合于离散数学本身的思维模式。例如，学习物理，要用物理思维模式；学习高等数学，要用高数的思维模式；学习线性代数，也要用线性代数的思维模式。所以呐学习任何一门课程都要适合与该课程的思维模式。当然离散数学也不例外，它也有自己独特的思考问题的思维方式。只有找到了，并理解了这种思维方式，才能为以后的后继学习做好铺垫。

最后最重要的就是要找到合适自己解决问题的方法。学习任何课程，都是为了解决实际问题。离散数学也是如此，有了对概念的理解。有了正确的思考问题的方式，解决问题的时候欧普就不会走弯路了，也就说基本的解决问题的方 法就自然而然地掌握了。

学习这门课程的目的，我认为并不是说要学的如何的精通，因为这是不可能的。课时有限嘛，真正的目的就是让你打好基础，为以后更深、更广的方向发展垫定基础，最后我想说，有了这三方面的认识，这个学期离散数学学习的目的就达到了。

第二篇：离散数学学习心得

离散数学学习心得

姓名：周燕

班级：12计本（2）班

学号：1204012032

当老师说这门课快要结束的时候，我才发现这门课的学习以经接近尾声了。通过这一学期的学习，我觉得离散数学是一们很有意思的课程，不同于以往学习数学类知识的大量的运算，离散数学更多的是培养逻辑推理方面的，掌握基本的方法并加以运用就能很好地掌握。下面我来整理一下我这个学期的学习思路。

第一章学习的是命题逻辑的基本概念，介绍了命题的定义，连接词以及命题公式的赋值。然后学习了命题逻辑的等值演算，等值式即两个命题公式为重言式。判断等值式的方法通常有列真值表，等值演算等。本章还给出了命题公式的两种规范的表示方法。析取范式和合取范式，本章还介绍了连结词的完备集。第三章介绍的是命题逻辑的推理理论，在自然推理系统中，命题的推理证明。第四章是对前面推理证明的补充与完备，前三章中，命题逻辑具有一定的局限性，有时候无法判断一些常见的简单推理，于是我们引进了一阶逻辑命题。第五章便是一阶逻辑等值演算的推理。第二部分学习集合论，介绍了集合论的基本概念，集合的运算集合恒等式，第七章关于二元关系，关系的性质，着重介绍了自反性，对称性，传递性。第三部分学习图论，图的基本概念，通路与回路，以及图的连通性，然后学习了树，树的性质树的生成。最后是代数系统。

以上就是本学期离散数学学习的所有内容，很开心能有华老师带我们学习离散数学。华老师可以说是我上大学以来遇到的最负责任的老师了，教书很认真，每次上课声音都很洪亮，可以照顾到后座的同学。最喜欢老师的幽默了，大学的学生并不再是高中时候埋头苦干的书呆子了，很需要在课堂上调动学生的学习兴趣。所以我很支持老师能够将刻板的知识讲解的精彩生动，偶尔的幽默是很好的方法。

我对于老师的教学并没有太多的建议，因为老师已经做得很好了。希望老师继续保持这种良好的状态，最后希望老师越来越可爱！

第三篇：离散数学

离散数学课件作业

第一部分 集合论

第一章集合的基本概念和运算

1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]

A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2}  A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]

A．C；B．A；C．B；D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立 ？

（1）N  Q，Q ∈S，则 N  S［不成立］

（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］

1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示 ？

答：A = E；B = C；D = F

1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且 x2 ≤ 9 }

（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }

答：（1）A = { 0，1，2，3 }；

（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；

第二章二元关系

2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：

R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x≤ y }

求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。

答：R = {<2，3>，<1,2>，<1,3>}；

DomR={R中所有有序对的x}={2,1,1}={2,1};

RanR={R中所有有序对的y}={3,2,3}={3,2}；

R 的性质:反自反,反对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即

R = {〈x，y〉│x，y∈Z+ 且 x + 3y= 12}，试求：

（1）R 的列元表达式；（2）给出 dom（R。R）。

答：根据方程式有：y=4-x/3，x 只能取 3，6,9。

（1）R = {〈3，3〉,〈6，2〉,〈9，1〉}；

至于(2),望大家认真完成合成运算 R。R={<3,3>}.然后,给出 R。R 的定义域,即

（2）dom（R。R）= {3}。

2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；并对其中的 f：A→B 指出他的性质，即

是否单射、满射和双射，并说明为什么。

（1）A = {1，2，3}，B = {4，5}，f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。

（2）A = {1，2，3} = B，f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。

（3）A = B = R，f=x。

（4）A = B = N，f=x2。

（5）A = B = N，f = x + 1。

答：（1）是 A 到 B 的函数，是满射而不是单射；

（2）是双射；

（3）是双射；

（4）是单射，而不是满射；

（5）是单射而不是满射。

2-4 设 A ={1，2，3，4}，A 上的二元关系

R ={〈x，y〉︱（x-y）能被3整除}，则自然映射 g：A→A/R使 g(1)=[C]

A．｛1,2｝；B．｛1,3｝；C．｛1,4｝；D．｛1｝。

2-5 设 A ={1，2，3}，则商集A/IA =[D]

A．｛3｝；B．｛2｝；C．｛1｝；D．｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。

2-6．设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。ｇ＝[C]

A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。

第三章 结构代数(群论初步)

3-1 给出集合及二元运算，阐述是否代数系统，何种代数系统 ？

（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 *是普通乘法。

（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；

二元运算。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai。aj = ai。

（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。

答：（1）二元运算*在S1上不封闭．所以，＂S1，*＂不能构成代数系统。

（2）由二元运算的定义不难知道。在 S2 内是封闭的，所以，〈S2。〉构成代数

系统；然后看该代数系统的类型：该代数系统只是半群。

（3）很明显，〈{0，1}，*〉构成代数系统；满足结合律，为半群；1是幺元，为独异

点；而 0 为零元；结论：仅为独异点，而不是群。

3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［A］

A．x*y = max(x,y)；B．x*y = 2x+y ；

C．x*y = x2+y2 ；D．x*y =︱x-y︱..3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。，对于所有 x，y ∈Z都有

x。y=x + y，试问〈Z。〉能否构成群，为什麽 ？

答：由题已知，集合Z满足封闭性；二元运算满足结合律，依此集合Z为半群；有幺元为 －5，为独异点.假设代数系统的幺元是集合中的元素 e,则一个方程来自于二元运算定义, 即e。x= e + x，一个方程来自该特殊元素的定义的性质,即e。x = x.由此而来的两个方程联立结果就有: e+x=x 成立.削去 x,e=0 的结果不是就有了吗!；每个元素都有逆.求每个元素的逆元素,也要解联方程,如同求幺元一样的道理；结论是：代数系统〈 Z。〉构成群。

第二部分图论方法

第四章 图

4-1 10 个顶点的简单图 G 中有 4 个奇度顶点，问 G 的补图中有几个偶数度顶点 ？ 答：因为10阶完全图的每个顶点的度数都是n-1=9――为奇数。这样一来，一个无向简单图 G 的某顶点的度数是奇数，其补图的相应顶点必偶数，因为一个偶数与一个奇数之和才是奇数．所以，Ｇ的补图中应有 10-4＝6 个奇数度顶点。

4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点.[是]

4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为[2]

第五章树

5-1握手定理的应用（指无向树）

（1）在一棵树中有 7 片树叶，3 个 3 度顶点，其余都是 4 度顶点，问有(有1个4度顶点)个？

（2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有(9个1度顶点)片？

5-2 一棵树中有 i 个顶点的度数为 i（i=2，…k），其余顶点都是树叶(即一度顶点)，问树叶多少片？设有x片,则 x=

答：假设有 x 片树叶，根据握手定理和树的顶点与边数的关系，有关于树叶的方程，解方程得到树叶数 x = Σi（i—2）i + 2，（i = 2，3，……k）。

5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。试问：（1）T 的权 W（T）？（2）树高几层 ？

答：用 Huffman 算法，以 1，2，3，5，7，8 为权，最优 2 元树 T ；然后，计算并回答所求问题：（1）T 的权 W（T）= 61；（2）树高几层：4 层树高。

5-4以下给出的符号串集合中，那些是前缀码？将结果填入[]内.B1 = {0，10，110，1111}[是]B2 = {1，01，001，000}[是]B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc}[非]B4 = {1，11，101，001，0011}[非]

5-5(是非判断题)11阶无向连通图G中17条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [非]

5-6(是非判断题)二元正则树有奇数个顶点。[是]

5-7 在某次通信中 a，b，c，d，e 出现的频率分别为 5%;10%;20%;30%;35%.求传输他们的最佳前缀码。

1、最优二元树 T；2.每个字母的码字；

答：每个字母出现频率分别为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可以不归一,某符号

出现次数即为权，如右下图).。100（近似）7.。563..4。282..2..2。..1..14141414111

1所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。

第三部分逻辑推理理论

第六章 命题逻辑

6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。

（1）2月 17 号新学期开始。[真命题]

（2）离散数学很重要。[真命题]

（3）离散数学难学吗 ？[真命题]

（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性。[复合命题]

（5）x + 5 大于 2。[真命题]

（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。[复合命题]

6-2 将下列命题符号化.（1）2 是偶素数。

（2）小李不是不聪明，而是不好学。

（3）明天考试英语或考数学。（兼容或）

（4）你明天不去上海，就去北京。（排斥或）

答：（1）符号化为： p ∧ q。

（2）符号化为：p ∧ ﹃q。

（3）符号化为：p ∨ q。

（4）符号化为：（﹃p ∧ q）∨（p ∧ ﹃q）。

6-3分别用等值演算法,真值表法,主析取范式法,判断下列命题公式的类型.（1）﹃（p→q）∧ q；（2）（（p→q）∧ p）→q；（3）（p→q）∧ q。答：（1）0；

（2）Σ（0，1，2，3）；

（3）Σ（1，3）。

以下两题(6-4;6-5)为选择题,将正确者填入[]内.6-4 令 p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[B]

A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p

6-5 p：天气好；q：我去游玩．命题 ”如果天气好，则我去游玩” 符号化为［B］

A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p

6-6证明题:用不同方法(必须有构造证明法)判断推理结果是否正确。

如果今天下雨，则明天不上体育课。今天下雨了。所以，明天没有上体育课。答：将公式分成前提及结论。

前提：（p→﹃q），p；

结论：﹃q；

证明：（1）（p→﹃q）前提引入

（2）p前提引入

（3）（p→﹃q）∧p（1）（2）假言推理

（4）﹃q

要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。

第七章谓词逻辑

7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化

（1）这台机器不能用。

（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。

答：（1）﹃F（a）。

（2）L（a，b）→ H（a，z）。

7-2 填空补缺题：设域为整数集合Ｚ，命题xy彐z（x-y=z）的真值为（0）

7-3在谓词逻辑中将下列命题符号化

（1）有的马比所有的牛跑得慢。

（2）人固有一死。

答：（1）符号化为：彐x（F（x）∧ 彐y（G（y）∧ H（x，y）））。

（2）与（1）相仿，要注意量词、联结词间的搭配：

x（F（x）→y（G（y）→ H（x，y）））。

《附录》习题符号集

Ø 空集, ∪ 并, ∩ 交,⊕ 对称差,～ 绝对补,∑ 累加或主析取范式表达式缩写 , － 普通减法, ÷ 普通除法, ㏑ 自然对数, ㏒ 对数，﹃ 非，量词 ”所有”，”每个”，∨ 析取联结词，∧ 合取联结词，彐 量词”存在”，”有的”。

2010年8月12号。

第四篇：浅谈离散数学专题

浅谈离散数学

【摘要】离散数学是一门理论性强,知识点多,概念抽象的基础课程,学生学习起来普遍感到难度很高。本文从离散数学内容、学生学习兴趣的激发、教学内容的安排、教学方式方法的使用等方面,探讨了如何上好、学好离散数学课。

【关键词】离散数学教学方法教师 学生

离散数学研究的是离散量，是计算机科学与技术系各专业的核心课程。课程内容具有知识点多、散、抽象等特点,加之学生不能认识到该课程的重要性,缺乏学习兴趣和学习主动性,不仅忽视该课程的学习,甚至害怕这门课程。因此,创新教学方法,提高学生自主学习的积极性,对提高学生的能力、提升教学质量和水平具有重要的意义。通过一学期的学习和专研,我积累了少许经验,总结了一些关于离散数学的教学方法，仅供大家参考。

一、离散数学的特点

本课程介绍计算机科学与技术系各专业所需要的离散数学基础知识,主要有以下两点特点：

1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。

2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、缜密概括能力以及分析和解决实际问题能力的主干课程,对学习其他诸多课程,具有重要的指导作用。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法，同一个题也可能有几种方法，具有很强的方法性。

二、教学困难所在1、离散数学是一门理论性强,知识点多,概念抽象的基础课程, 内容具有知

识点多、散、抽象等特点，学生学者困难；

2、学生不能认识到该课程的重要性,缺乏学习兴趣和学习主动性,不仅忽视该课程的学习,甚至害怕这门课程。

3、离散数学课程在课堂教学难度、教学时间等方面的原因,很多学校都出现师生、学生之间的交流较少，从而使学生学习困难。

三、离散数学的教学方法引导学生提高对离散数学课程应用性的认识,激发学生学习的兴趣和爱好,增强汲取知识的自主性

离散数学课程是一门基础性课程,学习离散数学课程对学生今后的学习和工作,具有重要的作用,例如培养学生的抽象思维能力和缜密的逻辑推理能力,为学生今后处理离散信息,提高专业理论水平,从事计算机的实际工作提供必备的数学工具;通过学习,可以掌握数理逻辑,集合论,代数结构和图论的基本概念和原理,并会运用离散数学的方法,分析和解决计算机理论和应用中的一些问题等。学习主动性是学生的力量之源,因此,引导学生充分认识学习离散数学课程的作用,能够激发学生学习的爱好和热情,提升学生学习的积极性和主动性,从而使学生学有成效。认真备课,合理准备教学内容和安排教学环节,优化教学方式方法

备好课是教学取得预期效果的前提和基础,针对学生学习具体情况,合理准备教学内容和安排教学环节,使用恰当的教学方法,在教学中可以起到事半功倍的效果。

(1)合理地准备教学内容。根据课程教学大纲和离散数学课程定理定义比较多、知识比较抽象的特点以及学生的实际情况,准备深度和广度适合学生特点的教学内容。

(2)合理地讲解课程内容,重难点突出讲解,注意轻重缓急。对于离散数学中比较重要、比较抽象的概念和定理,如逻辑的推理理论、关系的性质、群、图等,认真分析,用多种方式和方法深入

讲解,可以使用解析法、图示法、矩阵法举实例等多种方法讲解。对于比较容易理解和掌握的内容,可以一笔带过。这样,学生对所学内容就会有重点地学习,主次分明,学生不仅可以对所学内容掌握透彻,更能熟练把握离散数学中分析问题和解决问题的思路、方式和方法。

(3)启发式教学和教师讲授相结合。很多人认为,大学教学课时紧,内容多,关键靠学生自主学习,我却认为并不完全是这样的。如果教师不顾学生的理解情况,只顾在讲台上讲授知识,课堂氛围会很沉闷,很多同学不能专注于该门课程的学习,经常走神,教学很难达到预期的效果。因此,有针对性地提问和展开讨论,不仅能够培养学生的思考能力,更能调动学生学习的兴趣和积极性,从而使教学达到最佳效果。也可以引进有趣生动的例子说明概念，既活跃课堂，又巩固了学生的记忆。3 合理布置作业,认真批改作业,有针对性地安排习题课和课后答疑

学数学就要做数学，《离散数学》的学习也不例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学思维方法。为了强化学生能力的训练,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际问题的解决能力等,在保证作业数量的同时,更要提高布置作业的质量,增加典型简答题、讨论题、推理题、实际应用题等习题在作业中的分量,使学生在掌握各种基本知识和基本技能的同时,提高自身的综合能力。

认真检查和批改作业,是督促学生学习的主要途径,也是教师了解学生理解和掌握所学课程情况的主渠道。必要时,教师可以批改一部分作业,其他作业让同学们之间互相检查和批改,不仅可以督促学生学习,更能让学生在批改其他同学作业时逐步认识到自身的缺陷和不足,以备今后更有针对性地学习。

教师在作业检查和批改过程中发现的主要问题和疑难以及学生提出的有代表性的问题,有必要安排习题课进行讲解,帮助学生对解决疑难,加深对所知识的理解。对于学生比较争论的问题,可以展开讨论,鼓励学生大胆发言,培养学生探索未知的精神和创造性解决实际问题的能力。

四、总结

从此上看，上好离散数学课,关键是根据学生具体实际,有针

对性地安排教学内容,合理使用教学方式方法,最大限度地激发学生的学习兴趣,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,达到教与学和谐。

参考文献

[1] 屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社.2008.[2] 黄巍,金国祥.”离散数学”课程教学改革的探讨[J].中国电力教育,2009(8):82-83.[3] 周小燕,胡丰华.对提高离散数学教学质量的探讨[J].浙江科技学院学报,2007,19(2):156-158.[4] 龙浩,张佳佳.怎样教好《离散数学》课[J].贵阳学院学报,2007,2(1):53-57.[5] 廖仲春.离散数学的教学探讨[J].湖南工业职业技术学院学报,2008,8(5)http://

第五篇：离散数学

离散数学试题（A卷答案）

一、（10分）

（1）证明(PQ)∧(QR)(PR)（2）求(P∨Q)R的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。解：（1）因为((PQ)∧(QR))(PR)((P∨Q)∧(Q∨R))∨(P∨R)(P∧Q)∨(Q∧R)∨P∨R (P∧Q)∨((Q∨P∨R)∧(R∨P∨R))(P∧Q)∨(Q∨P∨R)(P∨Q∨P∨R)∧(Q∨Q∨P∨R)T 所以，(PQ)∧(QR)(PR)。

（2）(P∨Q)R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R (P∨(Q∧Q)∨R)∧((P∧P)∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M2∧M4∧M6 m0∨m1∨m3∨m5

所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。

二、（10分）分别找出使公式x(P(x)y(Q(y)∧R(x，y)))为真的解释和为假的解释。

解：设论域为{1，2}。

若P(1)＝P(2)＝T，Q(1)＝Q(2)＝F，R(1，1)＝R(1，2)＝R(2，1)＝R(2，2)＝F，则 x(P(x)y(Q(y)∧R(x，y)))x(P(x)((Q(1)∧R(x，1))∨(Q(2)∧R(x，2))))(P(1)((Q(1)∧R(1，1))∨(Q(2)∧R(1，2))))∧(P(2)((Q(1)∧R(2，1))∨(Q(2)∧R(2，2))))(T((F∧F)∨(F∧F)))∧(T((F∧F)∨(F∧F)))(TF)∧(TF)F 若P(1)＝P(2)＝T，Q(1)＝Q(2)＝T，R(1，1)＝R(1，2)＝R(2，1)＝R(2，2)＝T，则 x(P(x)y(Q(y)∧R(x，y)))x(P(x)((Q(1)∧R(x，1))∨(Q(2)∧R(x，2))))(P(1)((Q(1)∧R(1，1))∨(Q(2)∧R(1，2))))∧(P(2)((Q(1)∧R(2，1))∨(Q(2)∧R(2，2))))(T((T∧T)∨(T∧T)))∧(T((T∧T)∨(T∧T)))(TT)∧(TT)T

三、（10分）

在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个喜欢步行的人都不喜欢做汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。

解

论域：所有人的集合。A(x)：x喜欢步行；B(x)：x喜欢坐汽车；C(x)：x喜欢骑自行车；则推理化形式为：

x(A(x)B(x))，x(B(x)∨C(x))，xC(x)xA(x)下面给出证明：(1)xC(x)

P(2)xC(x)

T(1)，E(3)C(c)

T(2)，ES(4)x(B(x)∨C(x))

P(5)B(c)∨C(c)

T(4)，US(6)B(c)

T(3)(5)，I(7)x(A(x)B(x))

P(8)A(c)B(c)

T(7)，US(9)A(c)

T(6)(8)，I(10)xA(x)

T(9)，EG

四、（10分）

下列论断是否正确？为什么？(1)若A∪B＝A∪C，则B＝C。(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C。(3)若AB＝AC，则B＝C。

解(1)不一定。例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{2}，则A∪B＝A∪C，但B＝C不成立。(2)不一定。例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，3}，则A∩B＝A∩C，但B＝C不成立。(3)成立。因为若AB＝AC，对任意的x∈B，当x∈A时，有x∈A∩BxABxAC＝(A∪C)－(A∩C)x∈A∩Cx∈C，所以BC；当xA时，有xA∩B，而x∈Bx∈A∪B，所以x∈A∪B－A∩B＝ABx∈AC，但x A，于是x∈C，所以BC。

同理可证，C B。

因此，当AB＝AC时，必有B＝C。

五、（10分）若R是集合A上的自反和传递关系，则对任意的正整数n，R＝R。

证明 当n＝1时，结论显然成立。设n＝k时，Rk＝R。当n＝k＋1时，Rk+1＝Rk*R＝R*R。下面由R是自反和传递的推导出R*R＝R即可。

由传递性得R*RR。另一方面，对任意的∈R，由R自反得∈R，再由关系的复合得∈R*R，从而RR*R。因此，R＝R*R。

由数学归纳法知，对任意的正整数n，Rn＝R。

n

六、（15分）设函数f：R×RR×R，f定义为：f()＝。

(1)证明f是单射。(2)证明f是满射。(3)求逆函数f。

(4)求复合函数f－1f和ff。

证明(1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f()＝f()，则＝，x＋y＝x1＋y1，x－y＝x1－y1，从而x＝x1，y＝y1，故f是单射。

(2)对任意的∈R×R，令x＝uw2uw2－

1，y＝

uw2，则f()＝<

uw2＋

uw2，uw2－>＝，所以f是满射。

uw2－1(3)f()＝<－1，uw2>。

xyxy2xy(xy)2(4)ff()＝f(f())＝f()＝<－1－1，>＝ ff()＝f(f())＝f()＝＝<2x，2y>。

七、（15分）设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R的关系图。(2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。解(1)R的关系图如图所示：(2)R的关系矩阵为：

10M(R)111011101100 00(3)对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的；由于对角线上存在非0元，R不是反自反的；由于矩阵不对称，R不是对称的；

经过计算可得 102M(R)111011101100M(R)，所以R是传递的。00

八、（10分）若是群，H是G的非空子集，则是的子群对任意的a、b∈H有a*b－1∈H。证明 必要性：对任意的a、b∈H，由是的子群，必有b－1∈H，从而a*b－1∈H。充分性：由H非空，必存在a∈H。于是e＝a*a∈H。任取a∈H，由e、a∈H得a－1＝e*a－1∈H。

对于任意的a、b∈H，有a*b＝a*(b)∈H，即a*b∈H。又因为H是G非空子集，所以*在H上满足结合律。综上可知，是的子群。

九、（10分）给定二部图G＝，且|V1∪V2|＝m，|E|＝n，证明n≤m/4。

证明 设|V1|＝m1，则|V2|＝m－m1，于是n≤m1(m－m1)＝m1m－m22

2－

1－1

－1

m12。因为(m2m1)20，即4mm1m1，所以n≤m2/4。离散数学试题（B卷答案）

一、（20分）用公式法判断下列公式的类型：(1)(P∨Q)(PQ)(2)(PQ)(P∧(Q∨R))解：（1）因为(P∨Q)(PQ)(P∨Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)m1∨m2∨m3 M0

所以，公式(P∨Q)(PQ)为可满足式。

（2）因为(PQ)(P∧(Q∨R))((P∨Q))∨(P∧Q∧R))

(P∨Q)∨(P∧Q∧R))

(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M0∧M1

m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7

所以，公式(PQ)(P∧(Q∨R))为可满足式。

二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

Q(x)：x是勤奋的；x是科学家；C(x)：解：论域：所有人的集合。H(x)：x是身体健康的；S(x)：x是事业获得成功的人；F(x)：x是事业半途而废的人；则推理化形式为：

x(S(x)Q(x))，x(Q(x)∧H(x)C(x))，x(S(x)∧H(x))

x(C(x)∨F(x))下面给出证明：

(1)x(S(x)∧H(x))

P(2)S(a)∧H(a)

T(1)，ES(3)x(S(x)Q(x))

P(4)S(a)Q(a)

T(1)，US(5)S(a)

T(2)，I(6)Q(a)

T(4)(5)，I(7)H(a)

T(2)，I(8)Q(a)∧H(a)

T(6)(7)，I(9)x(Q(x)∧H(x)C(x))

P(10)Q(a)∧H(a)C(a)

T(9)，Us(11)C(a)

T(8)(10)，I(12)xC(x)

T(11)，EG(13)x(C(x)∨F(x))

T(12)，I

三、（10分）设A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。解

P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}}

四、（15分）设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立？(1)若R和S是自反的，则R*S也是自反的。(2)若R和S是反自反的，则R*S也是反自反的。(3)若R和S是对称的，则R*S也是对称的。(4)若R和S是传递的，则R*S也是传递的。(5)若R和S是自反的，则R∩S是自反的。(6)若R和S是传递的，则R∪S是传递的。

解

(1)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R*S，故R*S也是自反的。

(2)不成立。例如，令A＝{1，2}，R＝{<1，2>}，S＝{<2，1>}，则R和S是反自反的，但R*S＝{<1，1>}不是反自反的。

(3)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S＝{<2，3>，<3，2>}，则R和S是对称的，但R*S＝{<1，3>，<3，2>}不是对称的。

(4)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S＝{<2，3>，<3，1>，<2，1>}，则R和S是传递的，但R*S＝{<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是传递的。

(5)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R∩S，所以R∩S是自反的。

五、（15分）令X＝{x1，x2，…，xm}，Y＝{y1，y2，…，yn}。问(1)有多少个不同的由X到Y的函数？

(2)当n、m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？(3)当n、m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？

解

(1)由于对X中每个元素可以取Y中任一元素与其对应，每个元素有n种取法，所以不同的函数共n个。

(2)显然当|m|≤|n|时，存在单射。由于在Y中任选m个元素的任一全排列都形成X到Y的不同的单射，故不同的单射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)个。

(3)显然当|m|＝|n|时，才存在双射。此时Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的双射，mm故不同的双射有m!个。

六、（5分）集合X上有m个元素，集合Y上有n个元素，问X到Y的二元关系总共有多少个？ 解

X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个2mn，所以X到Y的二元关系总共有2mn个。

七、（10分）若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

证明 设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a*a)*x＝a*(a*x)＝a*b＝x。所以，x＝a*b是a*x

－

1－1

－1

－1＝b的惟一解。

八、（10分）给定连通简单平面图G＝，且|V|＝6，|E|＝12。证明：对任意f∈F，d(f)＝3。证明

由偶拉公式得|V|－|E|＋|F|＝2，所以|F|＝2－|V|＋|E|＝8，于是d(f)＝2|E|＝24。若存在f∈

fFF，使得d(f)＞3，则3|F|＜2|E|＝24，于是|F|＜8，与|F|＝8矛盾。故对任意f∈F，d(f)＝3。