计算方法感想-龙贝格求积法的认识

第一篇：计算方法感想-龙贝格求积法的认识

对龙贝格求积法的认识以及对教学的建议

通过查找相关资料我了解到,龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

龙贝格积分法,是在计算梯形和序列的基础上应用了线性外推的加速方法,由此构成的一种具有超线性收敛的自动积分法。采用龙贝格求积公式,逐次对分积分区间的方法,可以把前面计算的结果作为一个整体代入对分后的计算公式中,只需增加新的分点的函数值。

龙贝格算法是在区间逐次分半过程中,对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法,它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点。因此,在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时,常用高斯型求积公式计算,它在节点数目相同情况下,准确程度较高,稳定性好。

对于计算方法（又称“数值分析”)的发展情况,我了解到随着科学技术的飞速发展和计算机的广泛应用,现代科学已呈现出理论科学、实验科学和计算科学三足鼎立的局面。作为计算科学的重要手段和工具,计算方法已成为当代理工科学生必备的基础和技能。但是,我们学生在学习“计算方法”课程时,存在明显的问题:一是在学习这门课时,学过的数学知识大多已淡忘,翻开《高等数学》和《线性代数》课本,也不知从何看起;二是许多我们对计算方法中的算法,只知其然不知其所以然.其中较为明显的是插值部分中的龙贝格积分法。

教材中介绍的关于龙贝格积分法枯涩又不容易理解,很难进行正常学习和计算。所以我希望老师可以深入浅出、由易到难、由具体到抽象,循序渐进的原则,注意系统性、科学性,兼顾与专业课程的衔接。

对老师教学的几点建议: 一是明确教学要求, 培养学生能力要到位。在确定教学内容后,教学过程中,要对教学效果和要达到的目标做出明确的规定,将教学要求分为三个层次:“了解”即初步知道知识的含义及其简单应用;“理解”即懂得知识的要领和规律以及与其它相关知识的联系;“掌握”即能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。重点培养我们学生六个方面能力即基本运算能力、基本计算工具使用能力、空间想象能力、数形结合能力、简单实际应用能力和思维能力。二是要抓好“衔接点”的教学,老师要按“由浅入深,由易到难,由简到繁”的教学原则,深入领会教材的系统性,抓住重点,分散难点。因此，要对学生进行必要的学法指导。

我们学生在学习上习惯单向思维,喜欢套用例题、模仿作业,而学生的学习要求是在老师的指导下,课前预习后能大略明白所学内容,且能举一反三,这个学习过程的重大转折,对我们来说非常不适应。因此,当我们学生在学习这门课程时,希望老师在放慢教学进度的同时,进一步指导我们学生掌握其中的学习方法和独立思考的良好习惯,使学生在教学衔接中充分发挥主体作用。同时,要加强师生间的了解,掌握学生的思维动态和存在问题,是教学中的一个重要环节。通过师生之间在心理上互相了解对方,而老师能以此了解学生的学习背景,透析学生的学习动机,知其所想,摸清学生的思想、知识、能力和爱好等情况。针对学生的特点进行区别教学,提高课堂效率,使教学顺利进行。

最后，感谢老师这一学期的指导教学！

第二篇：贝龙小学五年级秋游感想

秋游感想

贝龙小学五年级 温丙奎

金秋时节，秋高气爽，正是秋游的好时候。今天我们

五年级要去牛头山秋游了。

一路上，我们有说有笑，就像刚出笼的小鸟。太阳也好

像挣脱了云妈妈的怀抱，跟着我们去秋游了。欢声笑语充满

了整辆车子„„

到了牛头山，我抬头向远处看，“牛头山水库”这五个苍

劲有力的大字在阳光下闪闪发光。我们走在路上，过了一会

儿，我们便到了牛头山水库，站在大坝上，湛蓝湛蓝的湖水，就像是一块蓝宝石。远处的大山在云雾里若隐若现。再看看

坝下，一座座房子都变成了模型了。站在大坝上，我静静地

思索：人们都在用这种没有脏东西的水，这水一定很清。

看完了雄伟的大坝，我们来到了牛头山度假村。

走进牛头山度假村，首先映入眼帘的是两头大牛和两只

小牛犊，这几头牛好像在吃草，中间还有一面五星红旗呢！

跟着组长，走进了游乐园，游乐园里的项目可多啦！滑滑梯、秋千、铁索桥„„我坐上滑滑梯，只听“吱溜”一声，就滑

了下去。我和其他几位同学又坐上了转圈圈，一位男同学来

推，只听见耳边的风呼呼地响，还没转圈呢，我就感觉头昏

眼花了。

一转眼，一个上午就过去了。我们坐上公交车，一一不

舍地离开了牛头山，牛头山的景色真让我留恋忘返啊！

第三篇：复化梯形复化辛普森龙贝格自适应辛普森课程设计论文

XX大

学

综

合设

计

报

告

综合设计五

多方法求解数值积分

学生姓名：

学

号：

年级专业：

指导老师：

学

院：

评阅成绩：

评阅意见：

成绩评定教师签名：

时间：

提交日期：2014年X月

多方法求解数值积分

具体题目要求：用不同数值方法计算积分

(1)

取不同的步长，分别用复合梯形及复合辛普森公式计算积分，给出误差中关于的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的，使得精度不能再被改善？

(2)

用龙贝格求积计算完成问题(1);

(3)

用自适应辛普森积分，使其精度达到。

1设计目的、要求

由积分学基本理论，定积分可由公式计算，但是对于一些无法找到原函数的函数（如等）不能通过牛顿—莱布尼兹公式计算，就必须得另寻它法。因此需要我们能够熟练地应用常用的数值积分计算方法（如机械求积、公式等）并掌握结合数值计算软件（、等）及计算机高级语言进行对应算法实现的技能。

熟练数学软件求解数学问题，掌握各种数学问题的求解方法。本设计主要是通过多种复合求积公式求解积分，主要包括复化梯度法、复化辛普森法、龙贝格以及自适应辛普森法等求解方法，利用软件编写相对应的算法进行求解，大大地提高了解题的速度。

2设计原理

由积分中值定理我们可以知道在积分区间内存在一点，使得式子

成立。这个式子在于对于点的具体位置一般是不知道的，因此难以准确算出的值。也就是不同算法求得平均高度，对应的就是一种不同的数值求积方法。更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用的加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：

称为机械求积公式。

复合梯形公式、复合辛普森公式、龙贝格求积公式以及自适应辛普森公式都以此公式的基础，对积分区间进行变步长的划分求得近似的平均高度值，得到积分函数的近似值。也由于牛顿—柯特斯公式在时不具有稳定性，所以不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了我提高精度通常可把积分区间等分成为若干个子区间，再在每个子区间上用低价求积公式，这就是复合求积方法。但是这样的积分求解方法也是存在不容忽视的误差。因此需要在设计算法时考虑到算法存在的误差（舍入误差、截断误差等），并对误差作出分析。

3采用软件、设备

软件

4设计内容

第一步：复合梯形公式、复合辛普森公式算法

（一）、复合梯形公式计算积分

复化梯形公式的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了计算机计算存储的思想。下面，我们在探讨复化梯形公式的计算规律:

设将求积区间分成等份，则一共有个分点，按梯形公式

计算积分值，需要提供个函数值。

这里代表步长，分点为，其中

（二）、复合辛普森公式计算积分

算法的基本思想是：把积分区间等分成若干个子区间，而在每一个子区间上用辛普森

求积公式：

得到复合辛普森求积公式：

并且用软件来求解。

第二步：龙贝格算法

考虑积分，欲求其近似值，通常有复化的梯形公式、公式和公式。但是给定一个精度，这些公式达到要求的速度很缓慢。如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记，为将区间进行等分的复化的梯形公式计算结果，记，为将区间进行等分的复化的公式计算结果，记,为将区间进行等分的复化的公式计算结果。根据外推加速方法，可以得到收敛速度较快的积分法。其具体的计算公式为：

1、准备初值，计算

2、按梯形公式的递推关系，计算

3、按Romberg积分公式计算加速值，4、精度控制。对给定的精度，若

则终止计算，并取为所求结果；否则返回2重复计算，直至满足要求的精度为止。

第三步：自适应辛普森算法

复合求积方法通常适用于被积函数变化不太大的积分，如果在积分区间被积函数变化很大有的部分函数值变化剧烈而有的部分则是变化平缓，如果此时还是将积分区间等分后用复合求积公式的话计算量很大。而采用针对被积函数在区间上的不同情形而采用不同的步长，使得在满足精度的前提下积分计算量减少，这就是自适应积分方法，能自动地在被积函数变化剧烈的区域增多节点，而在被积函数变化平缓的地方减少节点。因此它是一种不均匀区间的积分方法。题目要求使相邻两个区间的误差达到一定的要求，即用自适应辛普森公式来求积分，先算出积分区间的左右端点函数值，求出区间中点函数值与左右端点的函数差值，再与所要求的精度比较，不满足的对所在区间二等分，接着算出每个子区间端点的函数值判断时否符合精度要求，直到积分每个子区间内都满足精度要求，最后所得各个区间端点的函数值之和即为积分的近似值。

第四步：误差余项以及精度分析：

由插值型的求积公式我们得到求积公式误差余项的表达式：

其中表示求积公式的代数精度，为不依赖于的待定系数，这个结果表明当是次数小于等于的多项式时由于，故此时，即前面的求积公式精确成立。而当时，故可求得：

因为梯形公式的代数精度为1，可以得到的值为

于是得到梯形公式的余项为：

又因为复合梯形公式要满足

综上所述，就得到了复合梯形公式的余项表达式：

同理可得复合辛普森公式的余项表达式：

结果分析：从以上余项的表达式可以看出复合辛普森公式的代数精度为3，而复合梯形公式的代数精度为1，所以复合辛普森比复合梯形精确度更高。对于算法的精度，是通过对设计所得值与准确值之间的误差值来评判。将变步长的复合求积方法每次求得计算结果与准确值进行比较求出误差值，通过画出误差值的变化趋势图比较复合梯形公式与复合辛普森公式这两种算法的精度。经过实验中验证，也表明自己的初步推理是正确的，无论是复合梯形公式还是复合辛普森公式它们最终结果都会随着步长

值的减小而更加精确。复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较，发现复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。

5原始程序、数据

文件：f.m

function

y=f(x);

y=sqrt(x)*log(x);

1、复合梯形公式求解算法：

文件：trapezoid.m

clc

a=0;

%积分下限

b=1;

%积分上限

T=[];

%用来装不同n值所计算出的结果

R=[];

G=[];

m=120;

%等分数

true=-(4/9);

for

n=2:m;

h=(b-a)/n;

%步长

x=zeros(1,n+1);

%给节点定初值

y=zeros(1,n+1);

for

i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

end

x(1,1)=0.000000001;

for

i=1:n+1

y(i)=x(i).^(1/2)*log(x(i))

%

g=(-(b-a)/12*h^

2)*(-log(x(i))/(4*x(i)*x(i)^(1/2)))

%准确的积分余项（计算误差）

end

%

G=[G,g];

t=0;

r=0;

for

i=1:n

format

long

t=t+h/2*(y(i)+y(i+1))

;

%利用复化梯形公式求值

err=t-floor(t);

digits(7);

%

此处为需要的小数位+1

t=floor(t)+vpa(err,6)

;

%

此处控制显示的小数点位数,更改显示的小数位数

r=t-true;

%计算的值与真实值之差（实际误差）

end

T=[T,t]

;

%把不同n值所计算出的结果装入

T中

R=[R,r];

end

x=linspace(0,1,m-1);

plot(x,R,＇*＇)

%将计算误差与实际误差用图像画出来

2、复合辛普森积分求解算法：

simpon.m

clc

clear

a=0;

%积分下限

b=1;

%积分上限

T=[];

%用来装不同n值所计算出的结果

R=[];

true=-(4/9);

m=20;

%等分数

for

n=2:m

h=(b-a)/(2*n);

%步长

x=zeros(1,2*n+1);

%给节点定初值

y=zeros(1,2*n+1);

for

i=1:2*n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

%给节点赋值

end

x(1,1)=0.000000001;

for

i=1:2*n+1

y(i)=x(i).^(1/2)*log(x(i));

%给相应节点处的函数值赋值

end

t=0;

r=0;

for

i=1:n

format

long

t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1));

%利用复化simpson公式求值

err=t-floor(t)

digits(7);

%

此处为需要的小数位+1

t=floor(t)+vpa(err,6);

r=t-true;

end

T=[T,t]

%把不同n值所计算出的结果装入

T中

R=[T,r];

end

%

R=(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24)

%积分余项（计算误差）

%

true=quad(@fx1,0,1);

%积分的真实值

x=linspace(0,1,2*m-1);

plot(x,R,＇*＇)

3、龙贝格算法

rebeg.m

%%龙贝格

clear

clc

a=0;

b=1;

%确定积分上下限

eps=10^(-4);

err=1;

k=1;

a=0.0000001;

T(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b));

while(err>eps)

h=(b-a)/2^(k-1);

S=0;

for

x=a:h:b-h

S=S+f(x+h/2);

end

T(k+1,1)=1/2*T(k,1)+h/2*S;

k=k+1;

for

i=2:k

T(k,i)=(4^(k-1)*T(k,i-1)+T(k-1,i-1))/(4^(k-1)-1);

end

err=abs(T(i,i)+4/9);

end

fprintf(＇龙贝格求积算法积分值为%.10f＼n＇,T(k,k));

disp(T)

T

龙贝格求积算法积分值为-0.44438207534、自适应辛普森算法：

%自适应辛普森算法

Self_Adaptive_integral.m

function

s=Self_Adaptive_integral(a,b,tol)

k=0;

w=0;

x=a;

y=b;

t=0;

h=(b-a)/2;

s=0;

i=0;

to=abs(simpson_integral(x,y,2)-simpson_integral(x,y,1));

while

to>=tol

i=i+1;

while

to>=tol

t=x;

if

k==0

x=t;

y=t+h;

to=(abs(simpson_integral(x,y,2)-simpson_integral(x,y,1)))*2^i;

k=1;

w=0;

end

if

w==0

x=t+h;

y=t+2*h;

to=(abs(simpson_integral(x,y,2)-simpson_integral(x,y,1)))*2^i;

k=0;

w=1;

end

end

s=s+simpson_integral(x,y,2);

if

k==0

x=t;

y=t+h;

h=h/2;

to=(abs(simpson_integral(x,y,2)-simpson_integral(x,y,1)))*2^i;

end

if

w==0

x=t+h;

y=t+2*h;

h=h/2;

to=(abs(simpson_integral(x,y,2)-simpson_integral(x,y,1)))*2^i;

end

if

to

s=s+simpson_integral(x,y,2);

to=tol-10;

end

end

%自适应辛普森算法

simpson_integral.m

function

s=simpson_integral(a,b,m)

h=(b-a)/(2*m);

s1=0;

s2=0;

s=0;

if

m>1

for

i=1:(m-1)

x=a+2*i*h;

s1=s1+f(x);

end

for

i=1:m

x=a+(2*i-1)*h;

s2=s2+f(x);

end

s=h/3*(f(a)+f(b)+2*s1+4*s2);

else

s=s+h/3*(f(a)+f(b)++4*f((a+b)/2));

end

6结果分析与设计总结

结果分析：

初步分析：通过对步长h的值的改变，只要h值越小（等分数n的值越大），即等分的区间越小，结果应该更加精确，精确度越高。实验结果分析：

1、复合梯度算法:

通过算法的运行结果可得：当等分数n从2开始变化到50时实验计算结果以及与准确值之间的误差可以达到-0.4410968和0.003347665；

当等分数更改为80时实验计算结果以及与准确值之间的误差可以达到-0.4426581和0.001786344；

结果分析：复合梯形求积公式随着区间数不断增加，积分的误差不断减小。运算所得结果如下图所示：

2、复合辛普森算法：

当等分区间数目达到50时，实验计算出来的结果以及与准确值（-4/9）之间的误差值分别为：-0.443796和0.0006484617；

而当n为80时实验结果分别为-0.4441055和0.0003389765；

结果分析：复合辛普森求积公式也是随着等分数不断增加，积分的误差不断减小。算法计算结果如图所示：

将这两种插值形的积分算法所得结果与准确值比较，得出两种方法产生的误差趋势图如下：

经过算法设计验证，也表明自己的初步推理是正确的，无论是复合梯形公式还是复合辛普森公式计算的最终结果都会随着步长值的减小而更加精确，更加趋近于准确值。复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较，发现复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。

3、龙贝格算法：

通过龙贝格算法，当要求积分计算结果达到精度为时：实验所得结果为-0.***，而当要求的计算精度达到时，计算所得结果为-0.***。

计算结果为：

k

h

……

0

……

0

0

……

……

0

……

……

-0.444***4

0

……

……

-0.***

-0.***

0

-0.***

-0.***

-0.***

4、自适应辛普森算法：

输入s1=Self_Adaptive_integral(0.0000001,1,0.01)时

运算所得结果为-0.***；

输入s2=Self_Adaptive_integral(0.0000001,1,0.0001)时，运算结果也是-0.***；

设计总结：

虽然此次课程设计时间不是很长，但是还是让我学会了不少。不仅是运筹学知识的应用还是对于数值分析中多种数值计算方法的回顾，都让我对于专业知识得到进一步地加深理解。本课程设计也让我更加熟练地掌握了应用MATLAB编写相应的算法求解相应的数学问题，将理论知识与实际应用想结合，提高了自身的算法设计能力以及编程程序的技能。这一过程也得利于到老师、同学以及组员的帮助，才能如期完成自己的任务。这一次的课程设计更让学会对问题的分析以及思考，以及查找算法中的不足并作出改进。

参考文献

［1］

李庆扬,王能超,易大义.数值分析第四版[M].北京：清华大学出版社.2001.［2］

董霖.MATLAB使用详解第一版[M].科学出版社.2008

［3］

龚纯,王正林.MATLAB语言常用算法程序集[M].电子工业出版社.2008

［4］

李庆杨.科学计算方法基础[M].北京：清华大学出版社，2006

［5］

白峰杉.数值计算引论[M].北京:高等教育出版社,2004