高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两条异面直线所成的角和讲解[范文大全]

第一篇：高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两条异面直线所成的角和讲解

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两条异面直线所成的角和距离教案

教学目标

1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；

2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题． 教学重点和难点

这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念．

教学设计过程

一、引入有关概念的必要性

师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念．

（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）

例如a∥b，c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？

生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同．

师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念．

（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）

师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？

生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同．

师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念．

（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）

师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同．

（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）

师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同．

师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义．

二、异面直线所成的角的定义

（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？

生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角．

师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义． 定义 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．（如图3）

师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1∥a，b1∥b，那么这时a1和b1所成的锐角与a′和b′所成的锐角是否相等呢？

生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等”．因为a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推论．

师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小与O点的选择无关，所以为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的．

师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？

生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直． 师：设两条异面直线所成的角为θ，问θ角的取值范围？ 生：θ∈（0°，90°]，半开、半闭区间． 师：θ角能否等于0°．

生：不能，因为当θ=0°时，异面直线就转化为平行直线．

师：对，θ≠0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了．至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的．

三、练习

例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求：

（1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B 垂直的棱有几条？（如图4）

师：请你们依次回答上述的四个问题．

生：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，CC1∥BB1，所以A1B与CC1所成的角为∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B与CC1所成的角为45°．

师：请回答第（2）问．

生：因为CC1∥BB1，所以A1B1与CC1所成的角为∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1与CC1所成的角为90°．

师：请回答第（3）问．

生：因为BC∥B1C1，所以A1C1与BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1与BC所成的角为45°．

师：请回答第（4）问． 生：与棱B1B垂直的棱有8条．

师：有哪几条是与B1B相交垂直？有哪几条是与B1B异面垂直？

生：与B1B相交垂直的棱有4条，为AB，A1B1，BC，B1C1；与B1B异面垂直的棱也有4条，为AD，A1D1，CD，C1D1．

师：对．这里我们需要指出，在立体几何中．“垂直”、“相交垂直”、“异面垂直”这三个不同概念的联系和区别．以后我们讲两直线垂直，则是指这两直线可能是相交垂直，也可能是两直线异面垂直．这里我们要破除在平面几何中形成的思维定式，就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”．

四、异面直线的距离的定义 师：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？（同时拿出两根小棍做为异面直线a，b，再拿出一根小棍c摆出与a、b都垂直状，而小棍c在保持与a、b都垂直的情况下可平行移动，用这样的模型让学生观察，再让学生回答）

生：有无数条．

师：对．现在再问与这两条异面直线都相交垂直的直线有几条？ 生：只有一条．

师：对，由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且只有一条，现在可以给出下面两个定义．

定义

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

定义

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． 要注意这两个定义之间的联系与区别，公垂线是一条直线，这直线在这两条异面直线间（两垂足间）的线段的长度是这两条异面直线的距离．

五、练习

例

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）异面直线A1A与BC的距离；（2）异面直线A1A与C1D1的距离；

（3）异面直线A1B1与BC的距离．（如图5）

师：在第（1）问中A1A与BC的距离等于多少？为什么？

生：因为ABCD－A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A与BC的距离为4cm．

师：在第（2）间中，A1A与C1D1的距离等于多少？为什么？

生：因为A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A与C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A与C1D1的距离为3cm．

师：在第（3）问中，A1B1与BC的距离等于多少？为什么． 生：因为B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的长度就是异面直线A1B1与BC的距离，因为B1B=2cm，所以A1B1与BC的距离等于2cm．

师：现在你们自己看课本第15页到第16页的例，看完后你们自己来讲．可根据课本来回答． 例 设图6中的正方体的棱长为a．

（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；（3）求异面直线BC和AA′的距离．

（可根据课堂情况灵活掌握让学生看3～5分钟后，叫学生回答）师：现在你们先回答第（1）问．

生：因为A′平面B′BCC′，而点B、直线CC′都在平面B′BCC′内，且B CC′．所以直线BA′与CC′是异面直线．

同理，直线C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直线BA′成异面直线． 师：刚才回答是正确的，但它们的理论根据是什么呢？

生：是根据课本第10页例，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．

师；对，过去我们已经讲过，课本第10页上的例，应该明确把它“升格”为定理．这定理有的书上叫它为异面直线存在定理，有的书上把它叫做异面直线判定定理．以后，我们叫这定理为异面直线判定定理．过去我们还小结过，证明两条直线是异面直线的方法有两个，是哪两个方法．

生：一是用反证法，二是用异面直线的判定定理． 师：现在回答第（2）问．

生：因为C′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．因为∠A′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°． 师：现在回答第（3）问．

生：因为AB⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂线段，因为AB=a，所以BC和AA′的距离是a．

师：今天我们讲了两个很重要的概念，两条异面直线所成的角和距离，我们一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题．

作业

课本第17页，第9，10两题． 补充题

1．正方体12条棱中，组成异面直线的对数是多少？[24] 2．空间四边形的对角线互相垂直，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的四边形是矩形，试证明．[提示：证有一个角是直角的平行四边形是矩形] 3．空间四边形ABCD，AB，BC，CD的中点分别是P，Q和R，[90°] 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和CC1的中点，求异面直线EF和GH所成的角是多少度？[60°] 课堂教学设计说明

1．为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要，一定要运用类比推理的思想，从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念，为了区别不同的相交直线要有角的概念．这样为了区别不同的异面直线要引入异面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了． 一定要使学生观察模型，使他们理解两异面直线所成角的概念的定义合理性．并且要求自己给出这个定义．

一定要使学生理解垂直、相交垂直、异面垂直这三个相互联系又相互区别的三个概念，使学生理解与两异面直线都相交垂直的直线有且只有一条，从而给异面直线的距离下定义做准备． 这节课引入两个新概念要用较多的时间，所以应用这两个概念的练习要很简单、很基本，使学生一看就会，目的是加深对概念的理解．

2．在立体几何第一章的教学中要有四个“高潮”（也可借用音乐中的一个术语，就是要有四个华彩乐段）．第一个“高潮”是在讲了异面直线所成的角和距离以后；第二个“高潮”是在讲了三垂线定理及其逆定理以后；第三个“高潮”是在讲了二面角及其平面角以后；第四个“高潮”是在讲了两平面垂直的定义．判定和性质以后． 所谓“高潮”是指在这一阶段教学中，要选较多、较全的题型，要多讲几次练习课，学生要多做些题，使学生能通过这一阶段的教学在解题的能力上有较大的提高，也就是说在逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等跃上一个新的台阶或者说达到一个新的层面．所以在讲了异面直线所成的角和距离这节课后，还应安排两次练习题．为了节省篇幅，我们把第一节练习课的提纲写在下面．

3．第一节练习课提纲

例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与B1B所成的角是多少度？（45°）

（2）问与AD1异面，且所成的角是45°的正方体的棱有哪几条？（4条即为B1B，C1C，B1C1，BC）（3）问AD1与B1C所成的角是多少度？（90°）

（4）如果M，N分别是B1C1，C1C的中点，问MN与AD1所成的角是多少度？（90°）

由第（4）问这个特殊的题，用一般化的方法得出定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条．

例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与A1C1所成的角的度数？（△D1AC为等边三角形，∠D1AC=60°）

（2）如果M，N分别为A1B1，B1C1的中点，求MN与BC1所成的角的度数？（60°）

（3）如果P，Q分别是A1A，A1D1的中点，求PQ与MN所成的角的度数？（60°）

例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB与A1C1所成的角的正切？

（2）A1A与BC1所成的角的正弦？

（3）A1C1与AD1所成的角的余弦？

这叫余弦定理，我们补充的定理．详见代数课本第239页二 解斜三角形中的3．5余弦定理． 在讲完这三个例题后，可做如下总结． 小结

（1）以概念为指导作出异面直线所成的角；

（2）找出这个角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解这个三角形，求出所要求的角．

在求异面直线所成的角的三个步骤中，关键是第（1）步，即把空间角（异面直线所成的角）转化为平面角，把解立体几何中的问题化归为解平面几何中的问题．

这节课可留如下作业．（1）重做课堂练习中的例3．

（2）看代数课本第239～242页．余弦定理只要求记住定理和用法，定理证明过程可略．（3）做代数课本中第243页练习1（1）（2）（3）（4）．

以上就是讲完异面直线所成的角和距离后第一节练习课的讲课提纲．在这节课中我们补充了余弦定理．在讲立体几何第一章中要不要提前补充余弦定理．在什么时候补充余弦定理，下面就谈一下自己在教学实践中的想法． 4．对补充余弦定理想法

余弦定理本来是初中的教材，在立体几何第一章的教学中不存在补充的问题．现在的教材把余弦定理放在高一的下半学期才讲，这就出现了在立体几何第一章的教学中要不要补充余弦定理的问题．

从理论上来说，求异面直线所成角的问题都要归结到解三角形的问题．而解直角三角形的问题一般来说都比较简单，达不到提高学生解题能力的目的．而要解斜三角形，一般来说就要用到余弦定理，所以余弦定理是我们在解立体几何有关问题时思维链条中不可缺少的一个环节，所以一定要补上这一环，否则学生的解题能力很难提高．

第二篇：高中立体几何教案第一章直线和平面第一章复习(四)教案

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 第一章复习

（四）教案

北京师大二附中 金宝铮

教学目标

结合第一章的内容，渗透数学思想方法．（数形结合思想；方程的思想；转化的思想；分类讨论的思想）

教学重点和难点 数学思想的渗透与培养． 教学设计过程

师：今天是复习课的最后一节．今天以复习题目中体现的数学思想为主线，研究几种常用数学思想在本章的体现．

分类讨论的思想是同学们比较熟悉的．使用较多的是在代数课上y=ax2+bx+c的图象，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．

几何中，分类讨论思想的应用，主要是依据图形中元素位置关系的不同而展开的．

请看以下一组题目：

例1 已知：a∥b，直线a平面α，直线b平面α，直线c

平面α，c∥a．若直线a与直线b的距离为6cm，直线b与直线c的距离5cm，直线c与平面α的距离为4cm．

求：直线a与直线c的距离．（教师画图）

生A：在直线c上任取一点A，作AB⊥α于B，过B作BC⊥a于C，反向延长交b于D，因为a∥b，所以BC⊥b．分别连结AC、AD，根据三垂线定理，a⊥AC，b⊥AD．

据题意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．

师：哪位同学对“生A”的解答有补充？

师：生A的解答基础是依据我画的图．而原题中并没有给图，也没有“如图”这样的说明，因此我们先要研究图应该怎么画！

生B：老师，我对“生A”的发言有补充． 这个题目的图形还有以下两种可能：

师：好．这道题目体现了分类讨论的思想．它是根据直线c在平面α内射影的不同位置来

进行讨论的．

生C：老师，我认为还有两种情况：

情形1：直线c在平面α内射影与直线a重合． 情形2：直线c在平面α内射影与直线b重合．

师：“生C”同学的补充很好．例1应该分为5种情况来讨论．但是其中会有一些情况无解，请同学们现在实践一下．

图一的位置．其余三种位置关系均无解．

师：还有一点提醒同学们注意：对于不同的位置关系，解题时都要给予论述，对于无解的情形要讲清无解的原因。有些同学认为无解就不用写了，这种认识是错误的．再看例2．

例2平面α外两点A，B，它们到平面α的距离分别为a，b，求：点P到平面α的距离．

生A：我认为有两种情况：一种是点A、点B在平面α同侧；另一种是点A、点B在平面α异侧．

生B：我有不同看法，已知条件中没有给出a，b的大小关系，“生A”解决图5情形时，默认为b＞a是不对的，应该再分两种情形：

师：“生B”的补充很好，例2不仅在图形的位置关系上分类讨论，还要根据数据a，b的大小关系来分类讨论．如果简化题目，已知条件上补一个条件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？ 生C：当A，B两点在两侧时，在图6中，点P不一定在A1B1上方．当b＞2a时，点P位于A1B1上方；当b=2a时，点P在A1B1上；

师：经过“生C”的补充，题目解答就全面了．

下面谈一下方程的思想．在初中阶段，同学们重点研究了列方程解应用题，这就是最基本的方程的思想．通过设未知数，寻求已知量与未知量之间的关系，从而获得问题的解决．下面请看例3．

例3 如图7，二面角α-l-β，点B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．

求：二面角α-l-β的大小．

师：首先我们可以根据二面角的平面角的定义构造二面角的平面角．具体作法是：在l上选点D，经过点D分别在α，β平面内作l的垂线交BA，BC于E，F．

设AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．

∠EDF=90°．

本例特点在于题目中没有给出任何线段的长度，而是通过设未知量，进而知道已知与未知的关系．

例4 二面角α-EF-β为120°，点A∈α，点B∈β，∠ACB为二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一点D．

问：D点在何处时，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？

为了确定点D的位置，可设与D点有关的某一条线段长为x，依据题设建立等量关系．再求出x的值，同学们实践一下．

生A：在EF上取点D，设AD=x． 因为 AC=BC=a，∠ACB=120°，因为 ∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以 ∠ADC=180°-θ．

△ABD中由余弦定理可得： AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我认为解答不全面，刚才“生A”的解答中，运用了图8中各点之间位置关系．

应该给予讨论，当点D位于CF之间时，∠ADC=180°而不是等于180°-θ． 师：“生B”的问题提的好，在“生A”的解答中，距点C的距离

例5 如图9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由

求：△ABC的周长．

师：这道题目的难度在于如何建立一座沟通已知与未知的桥梁． 生：观察图形，我发现图中有三对全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．设∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．

师：上面列举了3个题目，从不同的侧面，以不同的形式反映出方程的思想在立体几何解题中的作用．

下面再谈一下转化的思想，转化的内涵十分丰富．有条件的转化；结论的转化；图形的转化；解题策略的转化„„

事实上，许多题目的解答过程都不同程度在使用转化的思想． 例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1． 求：异面直线A1C1与B1C的距离．

生A：可以证明：B1C∥A1D1，进而可证B1C∥面A1DC1，问题转化为求直线B1C与平面A1C1D的距离„„

生B：还可以证明AC∥A1C1，不难证明：平面A1C1D∥平面ACD1．问题转化为求平面A1C1D与平面ACB1的距离„„

生C：在A1C1上取一点P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，连结PQ．可以证明PQ⊥B1C．

师：“生C”的思想是：依据异面直线的概念，特别是公垂线段的长是两条异面直线上各取一点后所连线段的最小值．

布置作业：（略）课堂教学设计说明

本节是复习题的第四节．首先介绍一下上节课的设计思路． 在第三节复习课上，重点研究了证明问题．

对于证明题的思路分析，总体构想认为它应该是初中平面几何论证的延续，像由因导果，执果索因等一些经典论述让学生刻骨铭心．

通过证明问题的复习，使学生对线面各种位置关系及性质、判定定理运用自如．

反证法是高中首次出现，学生不易掌握，是一个难点．教师要结合题目引导学生去思考，什么样的题目用反证法．

同一法不属教材，一般不要引入课堂．对确有余力的班级，教师也可适当渗透．

本节复习课是最后一节复习课，力图通过复习，使学生能够站在数学方法这个高度来解题．从认识水平上也上一个新的台阶．教师必须认识到：数学思想与数学方法决不是通过一节课就能完全教会学生．它是需要有长期的教学积累而成，确实有水到渠成的感觉．

目前高中数学提出的四个数学思想：分类讨论、函数方程、数形结合、转化．本节重点研究了其中三个．

分类讨论是容易接受也是容易忽略的．许多同学往往是出了考场就想起来应该分类讨论．

出现这种情况体现两点：一是学生能力尚不强，检东忘西、丢三落四；另一方面是分类讨论的意识还不够强，这种意识的培养需要一个过程．教师在平时教学中要注意渗透．对于一些问题，教师事先不去提醒他们注意，当他们走入误区，教师再予以指导，效果会好一些．

方程的思想贯穿于整个中学教材．立体几何也不例外，如何通过设置未知量，也有时是“参数”，用其来沟通已知与未知．本节课通过不同的例子来展示． 转化更是无处不在．几乎每一道题的解答都渗透有转化的思想．这里只选了一例，转化求证方向，用以解决问题．

复习课有其独特之处，例题选配最好结合所教班级实际情况，在此，仅以两个教案的粗浅之见，望能起到抛砖引玉之功效．

第三篇：相交直线所成的角(教学比武教案)

相交直线所成的角

澧县永丰中学：尹笑

教学目标：

1.理解对顶角，并能在图形中找出对顶角。

2.会运用已学知识证明对顶角的性质并学会运用。3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念。

4.会在两直线被第三条直线所截的图中，找出所有的同位角，内错角，同旁内角。

5.用对顶角相等、等量代换、等式的性质理解P77的一个结论。教学重点：

在图中辨认对顶角、同位角、内错角、同旁内角，掌握一个性质、理解一个结论。

教学难点：辨认和寻找同位角、内错角、同旁内角。教学方法：目标教学，合作探究 教学过程：

一、创设情境，引入新课

用多媒体呈现一些大千世界中的美丽图片，让学生通过观察回答看到了什么，从而引入新课内容。今天，我们就一起来学习相交直线所成的角。

二、自主探索，合作交流

（一）自主导学，交流成果

根据教师给出的本堂课的学习目标，安排学生预习课本P75、P76、P77的内容，然后在课堂上分组讨论学案上的第二部分“小试牛刀”的习题，然后请学习小组派代表回答相关问题。

（二）教师引导，巩固新知

在学生回答问题的过程中，教师用课件对于本节课的重难点部分进行详细讲解：（主要围绕以下四部分进行）1.对顶角的概念和性质。

2.“三线八角”的组成，强调三线相交的语言描述，并教会学生找出截线与被截线。

3.引导学生总结并归纳“同位角、内错角、同旁内角”在图形中所体现的与截线和被截线的相对位置关系。

（同位角：截线同侧，被截线同方；内错角：截线两侧，被截线内部；同旁内角：截线同侧被截线内部）

4.教会学生在相关习题中找到同位角、内错角和同旁内角。

三、“三线八角”的认知创新

1.“字母化”创新

同位角可以看做字母“F”，内错角可以看做字母“Z”，同旁内角可以看做字母“U”

2.“变手游戏”的创新

全班以手为道具，以手指构造模型

（先给学生进行讲解说明，然后通过小游戏进行体验）

四、分级检测，巩固提升

整个练习题分为A、B、C三等级，从易到难，让学生以小组为单位，学生根据自己的能力自选等级，分工合作完成，以比赛的形式评选出优胜小组。（习题在学案和课件上均呈现出来）

五、课堂小结，记好数学笔记 要求：

1.仔细思考通过本节课的学习，你学到了那些知识？在学案中记下来。

2.把学案上的各目标掌握的情况用五角星做好标记。（掌握很好：5颗星，较好：4颗星，不够好：3颗星）3.把学案上的相关题目过程整理好，待完成课后作业后一并交上来。

六、布置作业

请学生在课后完成学案上的作业

第四篇：【湘教版】七年级数学下册：4.1.2《相交直线所成的角》教案

百度文库

相交直线所成的角

知识与技能：

1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。2．理解对顶角相等的性质。

3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。过程与方法：

通过认识图形的组合（由简到繁），培养学生识别图形基本结构的能力。情感态度与价值观：

经历知识发生的过程，通过动手操作，体验数学概念的发展是现实生活的需要，感受数学学习的价值，积极参与探索过程。

教学重点：

三条直线构成的角的关系，对顶角相等的性质。教学难点：

准确地找出三条直线构成的8个角之间的关系，用对顶角相交及等量代换得到它们之间的等量关系。教学过程：

一、预学：

1、在同一平面内的两条直线有几种位置关系？

2、经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c。

二、探究： 如图4-7，剪刀的两个交叉腿构成四个角，将其简单地表示为图4-8.1 4 3 2 图4-7

图4-8

1、做一做：1与∠3有什么关系？

2、对顶角的概念

如图∠1与∠3有共同的顶点O，其中一个角的两边分别 是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

3、学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到：

对顶角相等。

∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。

4、说一说：生活中的对顶角

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5、画直线AB、CD与MN相交，找出它们中的对顶角。

三、精导：

1、讲解同位角、内错角、同旁内角的概念。直线AB，CD都与第三条直线MN相交(有时也说直线AB和CD被第三条直线MN所截)，可以构成8个角，如图所示.2、假设直线AB，CD被MN所截，有一对同位角相等 比如说∠1＝∠5，找出图形中相等的角或互补的角。

3、应用“对顶角相等”及“等量代换”及等式的性质，可以得出相应的一些结论：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么其他几对内错角也相等，并且同位角也相等，同旁内角互补。（3）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位角相等，内错角也相等。

例1 如图，直线EF与AB，CD相交，构成8个角.指出图中所有的对几对对顶角、同位角、内错角和同旁内角.解：略

例2 如图，直线AB，CD被直线MN所截，同位角∠1 与∠2相等，那么内错角∠2与∠3相等吗？

四、提升：

如图，直线a，b被直线c所截，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.若∠1=∠5=108°，求其他角的度数.教学反思：

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第五篇：用向量运算证明两条直线垂直或求两直线所成的角

高二数学理（B）学案

用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

编号：10编制：王井雷审核：刘红英时间：2012.2.18

【学习目标】

1、掌握两条直线垂直的充要条件，知道直线夹角和其方向向量夹角的关系。

2、会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。【重点难点】

教学重点：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。教学难点：直线的方向向量。【知识梳理】



1、两条直线l1与l2所成的角，两条直线l1、l2的方向向量v1,v2所成的

角v1,v2的范围，与v1,v2的关系是。

变式训练1：.已知正方体ABCD-ABCD 中，点E,F分别是棱BB与面对角线B'D'的中点。求证：直线EF直线A'D

例2.已知三棱锥O-ABC，OA＝4,OB＝5,OC＝3,∠AOB＝ ∠BOC＝60o, ∠COA＝90o,M、N分别是棱OA、BC的中点。求直线MN与AC所成的角（用反三角函数表示）。

变式训练2：已知四棱锥SABCD的高SO3，底面是边长为2，ABC60的棱形，O为

2、l1l2，cos【课前达标】



1、若异面直线l1、l2的方向向量分别是a0,2,1，b2,0,4，则异面直线l1与l2的夹

角的余弦值等于（）A、

5B、2

5C、

5D、52、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别CC1,AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于（）A

5B

5C、4

5D、2

3底面的中心，E,F分别为SA和SC的中点，求异面直线BF与DE所成的角

【典型例题】

例1.已知正方体ABCD-ABCD 中，点M、N分别是棱BB与对角线CA的中点。求证：MNBB；MN AC。

高二数学理（B）学案

【巩固练习】

1．在正三棱柱A1B1C1-ABC中，若1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）

6.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

7.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求BN的长（2）求cos

1>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.A．60 B．90 C．105 D．75

2．A1B1C1-ABC是直三棱柱， BCA=90，点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点，若

BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）

A．

3010

B．

2C．

301

5D．

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，F是B1D1的中点，则BE与DF所成角的余弦值为__________.4.已知F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，则异面直线A1C1与DF所成的角的余弦值为__________.5.在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG

＝CD/4，H为C1G的中点，⑴求证：EF⊥B1C；⑵求EF与C1G所成角的余弦值；⑶求FH的长。