选修2-2：变化率问题》的教学设计(浙江省衢州高级中学 舒燕芳)[5篇材料]

第一篇：选修2-2：变化率问题》的教学设计(浙江省衢州高级中学 舒燕芳)

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《变化率问题》的教学设计

浙江省衢州高级中学

舒燕芳

一.内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》

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想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五.教学过程设计

1.章引言

师生共同学习本章的章引言。

设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。

2.形成概念

问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》

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后的时间 t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0t0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？

（2）在1t2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在 0t65这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 49(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）。

思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少? 设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。

定义：一般地,函数yf(x)中，式子

f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x1到x2x2x1f(x2)f(x1)y。

x2x1x的平均变化率。其中令xx2x1，yf(x2)f(x1)，则《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》

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设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）x,y的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。思考：观察函数f(x)的图象平均变化率

f(x2)f(x1)y表示什么?（图略）x2x1x设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3.应用举例

课堂练习一：求下列函数的平均变化率：（1）y1（2）yx1

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。例：求函数yx21的平均变化率。

解：yf(xx)f(x)(xx)21(x21)2xxx2

y2xxx22xx xx课堂练习二：设圆的面积为S，半径为r，求面积S关于半径r的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差（2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。

4.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

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（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。六.目标检测设计

（1）课本第10页习题1.1A组:1（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》（3）备选作业：已知函数f(x)x(1x)，求

f(0x)f(0)的值：

x设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。

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第二篇：《变化率问题》参考教学设计

§1.1.1

变化率问题

一.内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析

新课标对―导数及其应用‖内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种―规则‖来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用―逼近‖的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五.教学过程设计 1.问题情景

从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。2.数学建构

问题1：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。

问题2：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=－4.9t2+6.5t+10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在0≤t≤

65这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 49(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想——对教材的一个处理）。

思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少? 设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性。定义：一般地,函数y=f(x)中，式子

f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平

x2x1均变化率。其中令xx2x1，yf(x2)f(x1)，则:

f(x2)f(x1)y。x2x1x设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）x,y的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。思考：观察函数f(x)的图象平均变化率

f(x2)f(x1)y表示什么?（图略）x2x1x

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3.数学应用

例题

(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

练习（1）已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=（）A.3 B.3Δx-(Δx)2

C.3-(Δx)2

D.3-Δx

（2）求y=x2在x=x0附近的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差

（2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。4.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。六.知识巩固

（1）课本第10页习题1.1A组:1（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》

（3）备选作业：已知函数f(x)|x|(1x)，求

f(0x)f(0)的值：

x设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。

第三篇：“平均变化率”一课问题情境的教学设计

“平均变化率”一课是高中新课程苏教版选修1-1中导数一章的第一课，为了能更好的完成教学任务，听了很多老师的课，吸取了很多经验，并结合弗赖登塔尔的数学教育思想，通过自己的教学实践，有了自己的一点心得，与教学同仁分享。

新教材与以前的教材相比，导数这一章在传统内容上有所删减。不再系统的讲述极限的概念，而且在要求和侧重点上有所调整，本章就着重理解微分的基本思想及其应用。本节是导数这章的第一节，主要通过一些现实生活中的实例来引出平均变化率的概念。从而为过渡到瞬时变化率，理解导数的概念做好准备，让学生能体会导数的基本思想。因此本节的问题情境的创建是需要重点考虑的。

本节教材中通过引言中的一则案例，提出问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢?这样的数学模型有哪些应用?意图是在此基础上提出平均变化率的概念，教学中如何使得平均变化率概念的引入显得流畅自然?是抛开教材中的案例另辟蹊径。来构建概念，还是在教材基础上着力创设“最近发展区”。让学生知识迁移，主动构建平均变化率的概念呢?

在教学实践中发现。虽然教材中气温曲线的引例贴切学生生活，图像直观，有利于构建数学模型，但同样它也存在着一些缺点：

1、不能反映确定的数量关系。无法用确定的函数关系来描述图像，这为以后进一步研究导数带来了困难。

2、例子过于单一，无法符合所有学生的“数学现实”。曼弗赖登塔尔“数学现实”中的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少?学生的“数学水平”有多高?学生的“日常生活常识”有多广?这些都是教师面对的“现实”，如果我们只是简单的运用教材中的这一个事例，就未免太狭隘了。

根据以上的实际情况，在问题情境的教学设计中主要做了两点改变：

1、让学生根据自己的实际情况来定函数画草图，例如有的同学就用函数图像来表示自己上学途中的情况，有的举出商品价格和卖出数量关系的图像等等。一方面调动了学生，另一方面更重要的是使得客观现实与学生的数学知识的现实彼此融为一体。

2、根据学生不同的知识水平。在教材原实例的基础上增加了和物理学有关系的路程与时间、速度与时间图像以及数学中的函数图像。

在教学实践巾。通过采用上述的问题情境教学，收到了良好的效果，主要体现在以下方面：

1、为学生的“再创造”提供了舞台。弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”。每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。通过上述的问题情境，学生就能结合自己的实际，在教师的适当指导下，用自己的思维方式，发现图形“陡峭”，变化“快慢”背后的实质。通过自己“创造性”的活动来重现历史当时概念形成的过程。当然，每个人有不同的“数学现实”，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解法，甚至不着边际的想法在教学过程中我都没有加以阻挠，而是让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，让学生走自己的道路。自然从教师的角度，在适当的时机应引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。

2、为“数学化”铺平了道路。人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。而在“数学化”过程中学生通过反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，做更为抽象与形式的加工。只有这样的数学教育――以反思为核心――才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。通过上述的问题情境，学生们找到自己的“数学现实”以后，在老师有意义的指导下，比较顺利地开始了“数学化”的过程。并且通过小组合作的形式，使学生在反思过程中的思想相互碰撞，相互影响，产生了良好的效果。例如，有的学生发现自己到校过程中路程和时间的图形和另外一位学生的图形相似，但事实上他到校要更快，仔细研究才发现两者采取的单位长度不同，在老师的指导下，学生就开始反思，用什么能比图形更好的来刻画变化的“快慢”。这样的例子在整个教学过程中经常出现，学生在老师的有意义的指导下，根据自己的水平不同，都能进行“数学化”的过程，虽然水平有高低，但都能了解掌握“平均变化率”。提高了学生的知识水平。掌握了一定的数学知识和技能。

3、为例题的讲解提供了有利的素材。上述的问题情境在实施过程中肯定要花费很多的时间，如果在按照教材巾的例题进行讲解的话，是无法在一堂课上完成的。但学生在整个的学习过程中研究得自己的“数学现实”已经提供了大量的实例，老师只要依据教材，从中选取几个恰当的进行分析讲解就能达到教学目的。

弗赖登塔尔的数学教育理论的主要论点都是从实际的数学教育出发，而不是从一般教育出发，因而得到了世界各国特别是数学教育界的广泛重视和研究。回顾我国情况，对数学教育的系统理论还没有很好研究，也很少借鉴国外的现代数学教育学说，处于一种比较盲目的状态。而新教材更符合弗赖登塔尔的数学教育理论，本文通过结合这一理论，在新教材的基础上所作的修改，在教学实践中充分体现了这一理论所带来的良好的教学效果。希望通过本文，对读者有所启发。使根多的教师把弗赖登塔尔的数学教育理论和中国的数学教育实践相结合使我们的数学教育事业更进一步。