4.4 .2角平分线——教学设计

第一篇：4.4 .2角平分线——教学设计

4.4.2 角平分线的应用教学设计

四川师大附中数学组 赵顺蓉

教材分析——

本章教材分析：本章所研究的是最为基本的平面图形，以后几何对象的研究大多都建立在这一基础之上。本章能容围绕了解最基本几何元素展开，大致遵循这样的线索：基本几何元素——表示——度量——多边形和圆的初步认识。力求呈现有关的概念背景，突出学生与生活经验的一致性和对经验的抽象；关注线段与角的度量在方法上的一致性。

本节教材分析：本节课是学生学习了角平分线的定义之后的习题课，为了从数学思维角度提升学生分析几何问题的能力，设置了由基本图形演变成较复杂图形的基本过程，旨在培养学生学会分析和解决数学几何问题的方法。

学情分析：本节课是教材第四章《基本平面图形》的第四节的第二课时，是学生学习写几何问题推理过程的重要基础。针对学生几何起步难的问题，这一节将进一步运用角平分线定义的三种表示方法进行推理计算。所以从一个基本的几何图形出发，慢慢演变成较复杂几何图形的过程，知识策略的获得完全是符合学生的生活经验和理解水平，是一个循序渐进的过程，也是能够调动学生积极性的。这节课的内容对学生几何书写的起步、基本分析方法的培养、乃至后期几何图形的学习都具有重要的作用。教学目标——

知识与能力目标：

1．进一步运用角平分线定义的三种表示方法进行推理计算； 2．掌握数学几何问题的思维分析方法． 过程与方法目标：

从基本的几何图形出发，一题多变，引导学生学会分析几何问题的思维方法。情感态度与价值观：

在解决问题的过程中体验动手操作、合作交流、探究解决的学习过程，激发学生解决问题的积极性和主动性，使学生获得成就感。教学重难点——

重点：运用角平分线的三种表示方法进行推理计算． 难点：掌握数学几何问题的思维分析方法． 课时安排——

本课共用2课时，此设计为第二课时 教与学流程——

一、复习引入 激发兴趣

回顾角平分线的定义及其数学表示方法，并抢答下题（快、静、准）： 如右图，已知：OC平分∠AOB，1①∠BOC=，∠AOC=，∠AOB=2 =2，② 若∠AOB=60°，则∠AOC =，③ 若∠AOC=27°，则∠AOB =，④ 若∠BOC=21°，则∠AOC =.设计意图：利用抢答的方式让学生回顾角平分线的定义及其数学表示方法，既回顾旧知，又活跃课堂气氛，激发学生的学习热情。二、一题多变 提升思维

引例：如图，OC平分∠AOB，∠AOC=27°，求∠AOB的度数.ACBO设计意图：利用这个简单的几何图形进入今天探究之旅。变式一：

在引例中，反向延长射线OA，点D是OA反向延长线上一点，其余条件不变，求∠BOD的度数.变式二：

在变式一的基础上，作∠BOD的角平分线OE,其余条件不变，求∠COE的度数.2

三、合作探究 提炼知识 变式三：

在变式二的基础上，若OC平分∠AOB，∠AOC=40°，OE平分∠BOD，求∠COE的度数.小组探究：

若任意改变∠AOC的度数，其余条件不变，试探究∠COE的度数？由此你能得出什么结论？

变式四：

如图，∠AOD=140°, OC平分∠AOB，OE平分∠BOD，求∠COE的度数.四、随堂检测 过手训练

如图，已知OM平分∠AOB, ON平分∠COD,若∠MON=70°∠BOC=20°，求∠AOD的度数.五、反思总结 能力提升

通过这节课的学习，你收获了什么？

教师赠言：

伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下了一个公式：A=X+Y+Z.他解释道：A代表成功，X代表汗水，Y代表正确的方法，Z代表少说空话。

第二篇：角平分线(一)教学设计

第一章 三角形的证明 ４．角平分线

（一）一、学生知识状况分析

本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。

二、教学任务分析

学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学难点：

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境

温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业

1：情境引入

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗?

2：探究新知

（1）引导学生证明性质定理

请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

ADO12EBPC证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题．

(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)证明如下：

已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。3.巩固练习

综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范

例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.（4）课本例题学习

4：随堂练习

课本第29页1、2题。

5：课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。

6：课后作业

习题1．9第1，2，3,4题．

四、教学反思

教学时，采用„„实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。

第三篇：角平分线性质教学设计

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

教学设计思想

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。

教学目标

知识目标

总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；

经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。

能力目标

经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。

情感目标

在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；

在各种活动中获得猜想。

教学重点和难点

重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；

难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。

教学方法

启发引导、合作探究

课时安排

１课时

教具学具准备

投影仪或电脑、三角板

教学过程设计

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

（一）线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

下面我们就来证明这个定理。

如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。

在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

（二）做一做

1、写出上面定理的逆命题。

2、填写下面命题证明过程的理由。

已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。

求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则

∠POA＝∠POB＝90°()。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB()，PO＝PO()，∴Rt△PAO≌Rt△PBO()。

∴AO＝BO()。

∴EF是线段AB的垂直平分线()。

∴点P在线段AB的垂直平分线上。

加深学生对逆命题和逆定理含义的理解，让学生独立正确地说出线段垂直平分线的性质定理的逆命题和证明过程的依据。

1、略

2、垂直的定义，已知，公共边，HL，全等三角形的对应边相等，线段垂直平分线的定义。

由此，我们得到：

线段垂直平分线性质定理的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（三）观察与思考

观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤(图24-25)，思考这种作法的依据。

步骤一：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧分别交于点E，F。

步骤二：过点E，F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。

使学生明白尺规作线段垂直平分线的依据。依据是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。

（四）练习

1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。

求△ABE的周长。

2、已知：如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等。怎样才能找到这个位置呢?画出示意图，并说明理由。

1、8

2、分别作AB，BC的垂直平分线，两线相交于点O(如图)，则点O即为所求。可根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明。

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点，及解题时分析的思路。

（六）板书设计

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线性质定理的逆定理

观察与思考

练习

第四篇：《13.5.3角平分线》教学设计

《13.5.3角平分线》教学设计

一、教学目的

角平分线定理及逆命题的应用

二、重点难点

角平分线定理及逆命题的应用

三、教学过程

回 忆

我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？

如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE． 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．

于是就有定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．

已知： 如图13.5.5，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

求证： 点Q在∠AOB的平分线上． 分析： 为了证明点Q在∠AOB的平分线上，图13.5.4 图13.5.5

可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ． 证明：过点O、Q作射线OQ.∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°.在Rt△QDO和Rt△QEO中，∵OQ=OQ，QD=QE，∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ

∴点Q在∠AOB的平分线上． 于是就有定理：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点．

从图13.5.6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．

请你完成证明．

图13.5.6

四、课堂练习

1．如图，在直线L上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

（第1题）（第2题）

2． 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在∠DAE的平分线上．

五、课堂小结

总结一下你所学过的知识

第五篇：1.3角的平分线教学设计

单县实验中学初二数学学案

课题：1.3

角的平分线

主备

秦玉香

审核

初二数学组 【学习目标】

1、经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；

2、会用尺规作出已知角的平分线，能规范的写出已知、求作和作法。

3、运用作图和实验的方法，探索并掌握角的平分线的性质。

【学习准备】

尺规作图用具 【学习过程】

活动一：探索角的轴对称性 探索交流

画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？AOB

小结：角是轴对称图形，对称轴是。

活动二：用尺规画角的平分线

自学课本作图，完成以下问题，小组交流 已知：∠BAC，求作：∠BAC的平分线AP BAC

作法：

1、以 为圆心，以 为半径画弧，分别交这个角的两边于D、E两点，2、分别以D、E为，以 为半径画弧，两弧交于点P，3、作射线AP，结论：

自己动手操作：用折叠的方法验证尺规作图的正确性。

活动三：角平分线的性质

学习课本第11页实验与探究，自主完成，交流结果。

结论：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

注意：在上面结论中，有两个条件（1）OC是∠AOB的平分线；（2）点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，才能得出PD＝PE，两者缺一不可.下图中PD＝PE吗？各缺少了什么条件？

（1）已知：OC是∠AOB的平分线（2）已知：点P在OC上，PD⊥OA，能否得出PD＝PE？ PE⊥OB，能否得出PD＝PE？

AA DD O OPCPC

EEBB1

练习：课本12页练习

拓展延伸：课本12页挑战自我

【课堂小结】

谈谈你本节课的收获

【当堂检测】

1、射线OC平分AOB，点P在OC上，且PMOA于M，PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN＝__________cm.2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F．(1)OD与OF相等吗？为什么？(2)OE与OF相等吗？为什么？

(3)OD与OE相等吗？为什么？

课后作业：

A层：习题1.3A组

B层：习题1.3A组、B组

拓展性作业

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.理由：