第一篇：全国第八届青年数学教师优质课教学设计：三函数角的诱导公式 Word版含答案
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课题：1.3三角函数的诱导公式(第1课时)授课教师：敦化市实验中学 张丽梅
教材：人教A版高中数学必修4 Ⅰ．教学内容解析
本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。
Ⅱ．教学目标设置
1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与,,的三角函数值之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。
Ⅲ．学生学情分析
授课班级学生敦化市实验中学实验班学生．
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1.学生已有认知基础
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，这一点对于实验班的学生来说是可以独立完成的，学生数学基础与思维能力较好，具有一定的分析问题和解决问题的能力，初步养成了独立思考、合作交流的学习习惯．
2.难点及突破策略
难点：
1、如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。
2、怎样帮助学生理解公式中角的任意性。
3、怎样记忆公式二至公式四 突破策略：
1.教师通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有效工具的注意，从总体上认识研究的目标与手段．
2.教师利用几何画板的演示帮助学生直观感受的任意性。
3.通过小组内交流，组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。
Ⅳ．教学策略设计
根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用自主学习方式．通过教师引领学生经历诱导公式二至四的推导过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中逐渐完善研究的方法与手段。
本节课学生需探究的问题如下： 给定一个角:(1)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？(2)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？(3)角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？(4)诱导公式一至四的共同特征是什么，怎样记忆更容易？
Ⅴ．教学过程设计
（一）.创设问题情境
师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师板书问题的结果。
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问题1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的？
（2）终边相同角的各三角函数之间有什么关系？
问题2: sin390°=？ 那sin570°=？
教师引导：由公式一可将sin570°化为sin210°，210°虽然在0°～360°之间可是也不能直接获得其三角函数值，能否再把0°～360°间的角的三角函数值化为我们熟悉的
0°～90°间的角的三角函数问题呢？如果能，那么任意角三角函数求值问题都可以化归成锐角三角函数求值，特殊的锐角有特殊值，而非特殊锐角的三角函数值可以通过查表最终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法.【设计意图】通过复习旧知，提出的新问题，引导学生进一步思考，为新知识的学习打下基础，激起学生们的兴趣.(二).探索新知，汇报交流
问题3： 你能用我们刚刚复习的方法求出sin210°吗？
师生活动1：教师提出具体问题，学生独立思考并回答老师的提问。
师生活动2：教师追问：390°的终边与锐角30°角的终边重合，那210°角的终边与那个锐角的终边有关系呢？它们的三角函数间又有怎样的关系呢？
【设计意图】教师通过问题引导，从课前提出的具体问题入手，用定义求解学生是可以想到并完成的，但借助学生熟悉的特殊角去建立30°角的终边与210°角的终边的位置关系，再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导，从这个过程中让学生体会研究此类问题的思路和方法，为下一步研究任意角和个三角函数之间的关系做好铺垫。
探究一：给定一个角: 角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 师生活动：学生进行组内探究，教师走进小组，观察学生探究的进展，指导组内生生互助，共同完成任务。然后学生代表为全体学生讲解研究过程．
经过探索，归纳成公式
------公式 二
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【设计意图】有了30°和210°角各三角函数关系的推导，学生们对问题3的研究思路和解决问题的方法有一定的认识，在此基础上引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.问题4：公式中的角仅是锐角吗？
引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式【设计意图】课前提问的问题是以的角，有些同学肯定会有这样的疑问，这也是本节课的一个教学难点，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更直观的理解了这个公式． 问题5：你知道探究二：任意角与(-与(-)终边有怎样的对称性吗？它们的三角函数之间有什么关系呢？)三角函数的关系，及
与(－)的三角函数值的关系．
经过探索，归纳成公式
-------------公式 三
【设计意图】类比公式二的推导方法，大多数学生应该能够完成公式三的推导及证明了，仍然设计以学生分组讨论，合作学习的方式来完成探究任务的目的是在活动中借助生生互助，相互交流来培养学生的合作意识，让学生感受数学中的对称美，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.探究三：如果两角的终边关于y轴对称，那么这两个角之间有什么关系？
它们的三角函数之间又有什么关系？
----------公式 四
师生活动：教师展示学生的研究成果，学生叙述其研究过程，教师板书公式四。
【设计意图】借助终边关于y轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x轴对称难度找两角的关系大一点，前面已经有了两次探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能找出终边关于y轴对称的两角的最简表示形式即与，公式四的推导就会水到渠成。数学学习资料
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在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.师生活动：教师提问，学生思考并回答问题。
问题6：除了再次利用单位圆的对称性推导公式三公式四外，你还有其他方法吗？ 【教学预设】在类比公式二的推导方法完成公式三和公式四的推导及证明（图形中点的对称——几何角度）后继续拓展学生的思维，利用角的任意性结合角的整体代换的思想（代数角度）由公式二，三可以得到公式四，这也是对刚刚获取的新公式的一次应用，作为实验班的学生应该有这样的想法。另外借助三角函数线也可以完成这几组公式的推导，教师作适当点拨，引导有兴趣的学生课下继续研究。
(三)总结概括新结论
师生活动：教师利用PPT将公式一至公式四一起展示在屏幕上，为总结概括公式的特征和记忆的方法做好准备。
三角函数的诱导公式 公式一：公式二：公式三：公式四：说明：公式中的指使公式两边有意义的任意一个角．
探究四：诱导公式一至四的共同特征，归纳记忆方法 问题7：你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征吗？
师生活动：教师提醒学生从三角函数名称和式子的符号两方面总结概括公式一、二、三、四的特征。的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”
【设计意图】训练学生的概括能力，但是学生未必能总结出十字口诀，教师要适时引导和提醒。
(四)巩固应用 例1 求下列三角函数值：
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师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：先将不是0～范围内角的三角函数，转化为0～范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到～值.范围内角的三角函数的解：（1）．
（2）．
（3）（4）
．
=．
【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础.问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论后师生共同归纳结论）
(五)课堂小结
问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面
（由学生完成）
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【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识体系；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，培养学生的抽象概括能力．
（六）作业布置：
1．27页练习1、2、3（其中1题直接在书上填空）
2、已知cos(75）1，求cos(105)的值3（选做）
3．思考题(预习作业)给定一个角，终边与角的终边关于直线
对称的角与角
有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？
【设计意图】通过分层次布置作业，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力也让学有余力的同学“吃得饱”，思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.数学学习资料
第二篇：全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数3 Word版含答案
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“任意角的三角函数”第一课时教学设计
江西省临川第二中学
蔡磊
一、教学内容解析
1、本节课是人教A版《数学4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导学生注意到在单位圆中，锐角和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系（函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）.之后，通过例题闯关，应用了概念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材.二、教学目标设置
1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.三、教学重点
1、对任意角的三角函数定义的理解；
2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；
3、三角函数的周期性特点（公式一）.四、教学难点
任意角的三角函数概念的建构过程.五、学生学情分析
学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.六、教学策略分析
本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法.课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困数学学习资料
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惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
（问题1到问题2是温故知新化过程）
问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？
设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R，那么对于任意角，比如当为钝角时，角 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？
设计意图：利用角的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知
（问题3到问题5是定义坐标化过程）问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？
设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？ 设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题5 对于任意角都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角可以方便研究？在锐角的终边上任取一点P(a,b)，它与原点O的距离为r，你能用点P的坐标及r来表示锐角的三角函数吗？
设计意图：把锐角放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.（问题6到问题7是表达式形式优化过程）
问题6 当锐角确定，如果改变的终边上的P点位置，角的正弦值会发生改变吗？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值.这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P的位置无关，那么当P点选在何处时，sin和cos的形式最简单？ 设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sin和cos的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P点数学学习资料
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有对应关系.（问题8到问题10是函数化过程）
问题8 当锐角发生变化时，P点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角确定了，P点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示）（教师板书：任意锐角（实数）→唯一实数b；任意锐角（实数）→唯一实数a.）
设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.问题9 你能给这个函数（任意锐角（实数）→唯一实数b）命名吗？
设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题10 既然是函数，你能说出锐角正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？ 设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.（问题11到问题12是特殊到一般化过程）
问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？ 设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x轴非负半轴上，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）
设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸.（三）分析思考，加深理解
（下列问题是概念理解强化过程）
问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？ 设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题14 当为锐角时，sin,cos,tan的值都是正数，当的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？
设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基 第一关 求5的正弦、余弦和正切的值.3设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运用概念，巩固对概念的理解.数学学习资料
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问题15（追问）求11的正弦、余弦和正切的值.3设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.第二关
确定下列三角函数值的符号：（1）cos260；（2）sin(4)；
（3）tan(700)；
（4）tan3.第三关
求下列三角函数值：
911).(1)sin(1050)；
(2)cos；
(3)tan(46设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.第四关
已知角的终边经过点P0(3,4),求角的正弦，余弦和正切值.P0(3a,4a)(a0),情况又如何？
设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角终边上任一点Q(x,y)，求角的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想.（五）课堂小结,升华提高
知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：
1、课本15页练习2、3、5.2、假设角的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，已知角终边上任一点Q(x,y)，求角的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展.教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.数学学习资料
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第三篇：全国第八届青年数学教师优质课教学设计：函数的单调性与导数 Word版含答案
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普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1
（人教A版）
函数的单调性与导数
（第一课时）
张丽园
安阳市实验中学 2016年10月15日
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《函数的单调性与导数》教学设计
安阳市实验中学（第39中学）张丽园
课题:函数的单调性与导数 教材:人教A版《数学》选修1-1 课时:1课时
教材分析: 函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.在前几节课中，学生学习了平均变化率，瞬时变化率，导数的定义和几何意义等内容，在本节课中，学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性，掌握研究函数单调性的更一般方法，进而为后面学习函数的极值，最值等作出知识铺垫，打下能力基础，进行方法指导，因此，本节课可以起到承上启下，完善建构，拓展提升的作用.学生学情分析: 课堂学生为高二年级的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.教学目标: 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数学学习资料
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数的单调区间.难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系.借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学发展的一般规律.教学策略分析: 根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.本节课的教学设计也是围绕这些目标，让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问题的一节课，如何激发学生的兴趣，使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键，利用手边胡工具，更好的分析这个过程，运用信息技术确认加深理解.充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性与导数正负之间的关系，本着由形到数，由数到形，数形结合的思想.（一）创设情境，引发冲突.师：在北方，进入十月，就能感觉到阵阵寒意，今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时到5C 与时间tC(t)t4lnt1时的气温 可近似的用函数拟合，问：这Ct 随时间 的变化趋势如何？ 段气温回答这个问题，我们需要了解这个函数的什么性质？ 生：函数的单调性.师：如何判断这个函数的单调性呢？ 生：画图象，用定义.师：有的同学说画图象，有的说用单调性的定义，我们动手来做一下吧
生：动手操作.师：选择画图的同学们，可以画出图象么？ 生：不可以.师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.生：在区间2到5上，任意选取 t1，t2且 t1t2，我们需要判断 C(t1)C(t2)的符号，师：可以判断么？ 生：不可以.数学学习资料
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师：好，请坐，也就是我们已有的方法都遇到了困难，如何解决这个单调性问题呢？ 设计意图：
通过学生熟悉的生活情景，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望，尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，思考如何将未知化为已知，激发了学生主动学习新知识的热情.（二）回归定义，寻求方法.师：追本溯源，我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.(a,b)内，满足对于任意的 x1,x2(a,b)生:在函数f(x)的定义域内的某区
f(x1)f(x2)，是增函数.且 x1x2，都有
师：很好，也就是我们要需要判断 f(x 我们把这个形1)f(x2)的符号，式变形，判断生：大于0.师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生：大于0 师：函数f(x)在区间(a,b)内是减函数，满足对于任意的 x1,x2(a,b)且 x1x2，都有 f(x1)f(x2)，也就是 f(x2)f(x1)x2x1生：小于0.即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生：小于0.师：我们发现，函数的单调性与这样一个比值的符号相关，在本章的学习中，我们知道这叫做----生：函数的平均变化率.师：我们运用无限趋近于的方式，可以由平均变化率得到瞬时变化率，反过来，瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况，我们知道瞬时变化率，即----生：导数.师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.板书：3.3.1函数的单调性与导数.设计意图：
注意到知识的联系，尝试在学生原有认知的基础上建立新知，通过回顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限趋近于的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，这个过程由浅入深，层层深入，合乎学生的逻辑思维.（三）观察发现，探索规律.师：要研究函数的单调性与导数的关系，我们来观察，函数单调递增时，平均变化率大于0，函数单调递减时，平均变化率小于0，那么，数学学习资料 f(x2)f(x1)x2x1的符号，结果为:
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导数的符号是否与函数的单调性有关呢？
师：我们从最熟悉的函数开始研究，我们都学过哪些基本初等函数呢？
生：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.师：对于这些函数，我们都是通过函数的形，也就画出图像的方式来研究，同样的，导数的形，也就是导数的几何意义是什么呢？ 生：函数的图像在该点处切线的斜率.师：根据导数的几何意义，我们一起来看研究的方法.师：给出函数的图像，指出其单调区间，用牙签靠近图像，使其作为该点处的切线，移动牙签，观察斜率即导数的正负情况.师：拿出坐标纸，作出你研究的函数图像，利用牙签，得出结论，并填写下面的表格.师：可以进行讨论，到前面展示你的结果.师：我们一起来看同学们的展示，可以得到什么结论呢？ 生：导数为负数时函数单调递减，导数为正数时单调递增.师：熟悉的初等函数，得到这样的结论，数学来源于生活，我们再来看生活中的例子:
t变化的函数，来研究运动员运动给出高台跳水运动员的高 h随时间
状态的变化情况.生：可以画出这个二次函数的图像，得到高度的变化情况，从(0,a)时刻，高度上升，(a,b)时刻高度下降.师：也就是高度函数先单调递增，而后单调递减，运动状态除了高度，还有速度，我们进一步研究.师：给出导函数即速度函数的图像，有什么结论？
生：导函数即速度图像在x轴的上方时高度函数单调递增，导函数图像在x轴下方时函数单调递减.设计意图：
从基本初等函数入手，让学生动手操作，通过观察、归纳，提炼，激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证，降低了学生的思维难度，又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用，把抽象的概念与物理背景结合，能迅速的突破难点，高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论.（四）结论总结，揭示本质.师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系.一般地，函数yf(x)在某个区间(a,b)内
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1)如果恒有 f(x)>0，那么yf(x)在这个区间(a,b)内单调递增； 2)如果恒有 f(x)<0，那么 yf(x)在这个区间(a,b)内单调递减.导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系，这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析.若恒有f(x)=0呢？思考一下 板书：结论内容 师：有结果了么？ 生：常函数.设计意图：
由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会知识的发现的过程，使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程，使自主探究成为学生的一种学习习惯.（五）自主分析，多维验证.师：这里我们分析了我们熟悉的函数，其他的函数呢？我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数f(x).师：运用我们探究出的结论，求出函数f(x)的单调区间，如何运用导数知识来解决呢？
生：先给出定义域，求出导函数，导函数大于0的部分为增区间，小于0的部分为减区间.师：非常好！我们把完整的过程展示出来，发现利用导数这个工具，可以便捷的解决这个单调性问题.借助于作图工具，我们来看.师：做出函数的图像，在图像上任意选取一点，移动该点，我们可以观察到什么？
生：函数单调递减然后单调递增.师：这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么？利用导数的几何意义，做出该点处的切线，显示其斜率即导数值，让点运动起来.师：有什么发现？
生：导数值为正数时函数单调递增，函数值为负数时函数单调递减.师：我们可以做出导数点，动态生成导函数图像，再次印证了我们的结论
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作出该点出的切线，观察斜率即导数值得变化.作出导数点，观察导函数的形成过程.数学学习资料
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对比函数和导函数的图像，得出函数的单调性和导数正负的关系.设计意图：
让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力，感受数学来源于生活又服务于生活.教师使用GGB来动态演示，引导学生从“形”的角度验证，实现多维验证，降低学生思维的难度，体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性.（六）数学应用，体会价值.32例：求函数f(x)x3x 的单调区间，并画出函数的大致图像.师：一起解决，并进行板书.展示学生的绘图.生:共同回答.32练习：求函数f(x)()x()x()x 的单调区间.师：用GGB展示结果.设计意图：
开放函数系数，激发学生自我挑战的学习欲望，为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台，感受到书法的通用性和优越性，充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用，同时高效重温二次不等式的解法，避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习，起到一题多用的效果.（七）方法小结，课堂提升.师：通过本节课的学习，思考下面的问题
生：学习了函数的单调性与导数的关系，能够用利用导数求函数的单调区间，研究中体现了数形结合的思想.师：我们从一个无法解决的实际问题出发，回归定义寻求方法，从熟数学学习资料
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悉的函数到实际生活，得出结论，并能运用到陌生的函数中，探究过程中体现了数形结合的思想.设计意图：
作为本节课的总结，从知识、方法、思想三个角度进行总结，对整节课探究过程进行回顾，体会数学研究问题的方式和其中的数学思想.尝试学生回顾本节的学习，培养“学习-总结-反思”的良好习惯.（八）回归生活，感悟数学.师：最后我们放松一下，一起来坐过山车
生：过山车时视线向上时高度上升，视线向下时高度下降.师：这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系.师：人生犹如过山车，站在人生的每个瞬间的点上，我们都能向上看，人生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负面情绪萦绕，我们就会走下坡路.只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前途会一片光明！设计意图：
体会数学可以回归生活.再次加深对本节课的感性认识，体会数学的人文精神.（九）分层作业，因材施教.必做题：教材98页，习题3.3A组 1、2 题.选做题：结合所学知识，举几个函数实例，比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.设计意图：
学生巩固所学知识，为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间.数学学习资料
第四篇：2013年第八届“卡西欧”杯全国初中数学 优质课大赛 有理数的减法教学设计
有理数的减法教学设计
一、教学内容解析：
《有理数的减法》是义务教育课程标准实验教科书七年级上册第一章第三节的内容。
“有理数及其运算”是“数与代数”学习领域的重要内容。而本节课讨论的有理数的减法是其中基本的运算之一。“数的运算”的学习一直是数学教学的重要而传统的内容，在《新课程标准》中对有理数及其运算的要求作了相应的调整——不再片面追求运算技能的训练而更重视在现实背景中对运算意义的理解及对运算法则的探索过程。学生在小学阶段学习了关于整数、分数（包括小数）的减法运算，并且刚刚学习了正负数、相反数、有理数的加法运算，通过对有理数的减法运算的学习，使学生对减法运算有进一步的认识和理解，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，解决实际问题、八年级学习实数减法运算的学习都有十分重要的作用。
二：教学目标设置：
鉴于以上对教学内容在教材体系中的位置及地位的认识和理解，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标：
经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算。
2、能力目标：
通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想；通过有理数减法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力；通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力。
3、情感目标：
在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习。使学生了解加与减两种运算对立统一的关系，培养探究分析数学知识方法的兴趣。
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：理解有理数的减法法则，熟练地进行有理数的减法运算;教学难点是：有理数的减法法则的推导。
三、学生学情分析：
在小学阶段学生学习了作为“数的运算”的减法运算，但这种减法运算的学习很大程度上的是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在。因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生更进一步体会减法的意义，再则七年级学生学习积极性高，探索欲望较强烈，但在教学活动中参与数学活动的经验较少，探索效率较低，合作交流能力有待加强。因此作为教师，要善于在教学过程中做好调控。
四、教学策略分析：
在本节课的教学设计中，按照学生的认知规律，采用“引导——发现法”组织教学。教学中精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，激发学生探索知识的欲望来达到对知识的发现，并自我探索找出规律，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。同时让学生在教师创设的问题情境中，通过教师的启发点拨，学生积极思考努力，自主参与知识的发生、发展、发现的过程，使学生掌握知识。
本节课应鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生亲历从列举特例到归纳出一般的减法法则的全过程，体验知识产生和发展的全过程。
五、教学过程分析：
（一）复习：
1、计算（口答）：(1)；
(2)－3＋（－7）；
(3)－10＋（＋3）；
(4)＋10＋（－3）。
第一题既复习巩固有理数加法法则，同时为进行有理数减法运算作铺垫。
2、填空：
①10+（）=7 ②（）+（-2）=8 第二题设计的目的是为了学生后面利用减法与加法是互逆的运算进行计算作铺垫。
（二）创设情境，引入新课，板书课题：
0出示课本引言中的问题：北京冬季里某一天的温度为-3—3C,它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？
这是一个具体实例，教师创设问题情境，激发学生的认知兴趣，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课的课题—有理数的减法。
（三）探索新知，讲授新课：
1、出示问题：利用减法与加法是互逆的运算计算下列各式，①7-10= ②8-（-2）=
2、学生分小组交流讨论：
①与7+（-10）、②与8+（+2）之间有什么关系?你能从中得到什么启示？
3、教师指名回答并进行讲解。
教师指名说说上面式子之间的关系，其他同学针对回答情况进行互相纠正补充或更正，最后进行总结，得出结论，出示有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
教师强调法则：(1)减法转化为加法（两变一不变：①被减数不变②减号变为加号③减数变为它的相反数）。(2)法则适用于任何两有理数相减。(3)用字母表示一般形式为：。
由于学生刚刚接触有理数减法运算难度较大，为面向全体，通过这两个小题给予学生观察比较的机会，学生自己总结、归纳、思考，此时学生的思维活跃，易于充分发挥学生的学习主动性，同时也培养了学生分析问题的能力，达到能力培养的目标。
有了有理数的减法法则，回顾引入新课中的实例，进一步验证了有理数的减法法则的合理性，同时向学生指出了有理数减法的实际意义。从而使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活。
4、例题讲解：
例1 计算(1)（－3）－（－5）；
(2)0－7；
例2 计算(1)7.2－（－4.8）；
(2)（）－．
例1是由学生口述解题过程，教师板书，强调解题的规范性，然后师生共同总结解题步骤：(1)转化，(2)进行加法运算。
例2两题由两个学生板演，其他学生做在练习本上，然后师生讲评．
学生口述解题过程，教师板书做示范，从中培养学生严谨的学风和良好的学习习惯。例1(2)题是0减去一个数，学生在开始学时很容易出错，这里作为例题是为引起学生的重视。例2两题是简单的变式题目，意在说明有理数减法法则不但适用于整数，也适用于分数、小数，即有理数。
（四）尝试反馈，巩固练习：
1、计算（口答）
(1)6－9；
(2)（＋4）－（－7）；
(3)（－5）－（－8）；(4)（－4）－9(5)0－（－5）；
(6)0－5．
2、计算
(1)（－2.5）－5.9；
(2)1.9－（－0.6）；
(3)（）－；
(4)－（）．
学生活动：第一题找学生口答，第二题找四个学生板演，其他同学做在练习本上。学生对有理数减法法则已经熟悉，学生在做练习时，要引导学生注意归纳有理数减法规律，而不要只是简单机械地将减法化成加法，为以后逐步省略化成加法的中间步骤做准备。
3、（用实物投影显示画面）世界最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度是8848米，陆上最低处是位于亚洲西部的死海湖，湖面海拔高度是－392米，两处高度相差多少？
此题是实际问题，与新课引入中的实际问题前后呼应，贯彻《数学课程标准》中规定的“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成用数学意识”的要求，把实际问题转化为有理数减法，说明数学来源于生活，又用于生活。
（五）课堂总结：
多媒体出示总结性问题：
通过这一节课的学习，你有哪些收获？请与你的同伴交流一下。鼓励学生积极发言，增进师生、生生之间的交流、互动。
（六）布置作业：
P54-55习题2.6 第1、2、3、4题
利用课堂作业及时反馈本课重、难点，检查学生对本节课的掌握情况。
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