高等数学易错问题总结[5篇范例]

第一篇：高等数学易错问题总结

关于大学数学遇到的一些疑难问题解析

1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？

答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？

答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。

考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0，F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？

答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。

从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题

答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例 答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导? 答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0，所以导数为0。当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。所以函数在0处可导。当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线？

答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数t与m, t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)} 然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为

B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m的值，这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别

分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p>1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。当p>=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。

证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时，结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到

Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。隐函数求导的三大法则 一 等式两边对x求导 二 利用隐函数求导公式 三 等式两边取全微分 关于二重积分的保向性的理解

分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0？

答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律? 答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗? 答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。

注意div rot grad 的对象与结果

分析：div是指散度，是把一个场A的分量P Q R分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量（P Q R）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div的对象是一个三维向量，divA的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。

Rot表示旋度，对象是一个三维向量，把场A的向量（P Q R），rotA为向量（R对y求偏导-Q对z求偏导，P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭），用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量（P Q R）绕底部空间曲线（一定是封闭的）的曲线积分，注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则，如不满足，在结果前加一个负号，结果是一个数，表示环流量。

要注意用高斯公式和斯托克斯公式，前者在封闭曲面，后者在封闭曲面内向量（P Q R）必须有连续一阶偏导数，即P Q R在积分区域内连续，且处处可偏导，无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球，要求曲面外侧，则结果为球面内侧通量，要求曲面内侧，则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式，逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。

Grad表示梯度，对象为二元函数或三元函数。f(x,y)分别对x,y求偏导，f(x,y，z)分别对x,y,z求偏导。Grad的结果是一个三维向量。主要用于画等值线，等高线。正梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度方向是函数值下降最快的方向，垂直于梯度的方向，即等值线和等高线的切线方向，函数值保持不变。

第二篇：高等数学易错问题总结

关于大学数学遇到的一些疑难问题解析

1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？

答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？

答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数

在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。

考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0，F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？

答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。

从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题

答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例

答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导?

答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0，所以导数为0。当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。所以函数在0处可导。当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线？

答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数t与m, t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)}

然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终

点为

B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m的值，这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别

分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p>1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。当p>=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。

证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时，结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到

Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。隐函数求导的三大法则

一 等式两边对x求导

二 利用隐函数求导公式

三 等式两边取全微分关于二重积分的保向性的理解

分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0？

答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?

答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?

答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二

是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。16注意divrotgrad的对象与结果

分析：div是指散度，是把一个场A的分量PQR分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量（PQR）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div的对象是一个三维向量，divA的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。

Rot表示旋度，对象是一个三维向量，把场A的向量（PQR），rotA为向量（R对y求偏导-Q对z求偏导，P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭），用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量（PQR）绕底部空间曲线（一定是封闭的）的曲线积分，注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则，如不满足，在结果前加一个负号，结果是一个数，表示环流量。

要注意用高斯公式和斯托克斯公式，前者在封闭曲面，后者在封闭曲面内向量（PQR）必须有连续一阶偏导数，即PQR在积分区域内连续，且处处可偏导，无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球，要求曲面外侧，则结果为球面内侧通量，要求曲面内侧，则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式，逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。

Grad表示梯度，对象为二元函数或三元函数。f(x,y)分别对x,y求偏导，f(x,y，z)分别对x,y,z求偏导。Grad的结果是一个三维向量。主要用于画等值线，等高线。正梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度方向是函数值下降最快的方向，垂直于梯度的方向，即等值线和等高线的切线方向，函数值保持不变。

第三篇：城建税教育费附加易错问题总结

城建税教育费附加易错问题总结

1．实际交纳的三税为计说依据。凡是涉及到三税的，除了两个特殊情况外，即（1）机关服务取得的收入免征（2）进口不征以外，其他全部要征收。征收中涉及到一个减半征收，即生产卷烟的单位交纳教育费附加减半征收。

2．进口不征，出口不退问题。进口涉及到三税的，不用交纳城建，内销环节涉及到三税的，其中增值税不考虑进口环节增值税抵扣，即用内销实际应纳增值税额来计算城建。（尚在讨论）

3．三个税率的问题。城建市区为7%，县城镇为5%，其他为1%。其中教育费附加只有一个税率3%

4．税率确定问题。以交纳或代收代缴三税的纳税人的地区确认税率。委托加工时，除受托人为个体经营者外，代收代缴消费税，则消费税的城建按照受托人所在地确定税率。这里注意，凡是涉及到代缴三税情形的，就要以代缴人的地区确定税率了，很容易忽视的一个地方！

5．退城建问题。出口城建不退，但涉及到减免退税的，城建可以相应退回。这里要注意，减免部分的三税来计算减免退回的城建。

6．罚城建问题。这是本章的重难点，涉及到税务部门要求查补三税的，城建应相应查补，由于查补而交纳的罚款，滞纳金应将城建计算进去，而税务部门追收的罚款和滞纳金不得计算城建。这里注意查补和追收的区别，另外是容易出客观计算题的地方。千万要注意计算哪些该计算城建，那些不该计算。而且要注意计算滞纳金天数，题目一般不会告诉滞纳金的比例，一般为每日0.05%。

例：税务部门2004年3月1日查获某县城A企业上月尚未交纳增值税100万，消费税50万。税务机关要求企业补缴税款并征收滞纳金和2倍罚款（滞纳金按天数计算），计算企业应补交税款合计。（假设税务部门将教育费附加也要求计入）

解答：上月3月10日为交纳税款最后期限，按11日算起，企业滞纳天数为22天。应补交税款（100×3+50×3）×[1+（5%+3%）]

第四篇：初中化学易错知识点总结

初中化学易错知识点总结

一、中考化学：初中化学各阶段易错知识点

1.明明冰和水混合了，偏说它是纯净物。

这是关于混合物与纯净物的概念。纯净物：由一种物质组成是纯净物；混合物：由多种物质组成的是混合物。冰和水的混合物，虽然看上去是两种物质，但是水——冰之间的变化是物理变化，不是化学变化。因此在化学上，冰水混合物还是纯净物。

2.明明只含是一种元素，偏说它是混合物。

与第一题相反，有时候由同一种元素沟成的物质，反而是混合物，例如：还有石墨和金刚石（均由碳元素构成）、红磷和白磷，等等。

3.明明讲的是原子核由质子和中子构成，非说氢原子核不含中子。

原子由原子核构成，原子核由质子和中子构成，这是正确的。

但是有例外，元素周期表中的第1号元素、也是最轻的元素——氢原子的三种同位素中，有一种不含有中子。

4.明明一瓶水是无色透明的，还说它不一定是纯净物。

是否是纯净物，判断的依据是看其中是含有一种物质、还是多种物质。生活中的水中含有大量金属离子例如镁盐、钙盐、钠离子、钾离子等等，当然属于混合物。有色无色，是否透明，不作为判断纯净物的标志。

5.明明说燃烧是可燃物跟氧发生的反应，又说没有氧气也行。

燃烧，通常情况下是可燃物与空气或氧气发生的反应。后来扩充了定义为：燃烧是发光、光热的剧烈的化学反应，所以有些可燃物也可以在氯气、氮气中燃烧，没有氧气也行。

6.明明说爆炸是在有限空间内急速燃烧造成的，却说锅炉爆炸不是化学变化。

锅炉爆炸，包括物理变化和化学变化。锅炉中的可燃物质爆炸，属于化学变化；锅炉本身的金属破碎，是物理变化。

7.明明合金“合”的是金属，却说铁和碳也能形成合金。

合金，是一种金属与其他物质熔化在一起形成的混合物。铜和金属锡能形成合金（青铜），铁和非金属也能形成合金（钢）。

8.明明说二氧化碳可以灭火，又说镁着火不能用它来灭。

我们知道二氧化碳的化学性质：不能燃烧，也不支持燃烧。这是一般情形，一些活泼金属可以在二氧化碳、氮气这样的惰性气体中燃烧，比如Mg就可以在CO2中燃烧，生成氧化镁和单质碳。

9.明明写的是“铅笔”，非说它不是用铅做的。

铅笔是习惯用的名字，中文名字，与金属铅不搭界。

10.明明催化剂的“催”字是加快的意思，却说减慢也算。

催化剂，开始的时候指的是“加快反应速率的物质”，但是后来科学进步了，发现减慢反应速率也是一门很深的学问，就把前者叫做正“催化剂”，后者叫做负“催化剂”，通称还是催化剂。例如核反应的时候就需要减慢反应速率，需要负催化剂（重水）。类似地，经济上也不说减慢增速，而叫做负增长；管理上也不叫惩罚，叫做负激励。

11.明明说是水银，可是偏偏说水银不是银。

水银是汞元素（Hg）的中文习惯称呼，水一样的银，与银不搭界。

12.明明铁生锈不发热，非说它产生了热。

铁生锈，是反应速率非常慢的化学反应，它发热了你也不会感觉到。

13.明明一种溶液能使石蕊试液变蓝，非说它不一定是碱溶液。

根据酸碱性的定义：能够使石蕊溶液变蓝的是碱性溶液，而不一定是碱溶液。最有代表性的是一些钠盐、钾盐、铵盐等，例如醋酸钠、碳酸氢铵等等。

14.明明是同种溶质的饱和溶液和不饱和溶液，还说不饱和溶液可能更浓。

溶液的溶解度，与温度有密切关系，见教材上的溶解度曲线。以硝酸钾为例，20°时候的饱和溶液中，溶质的溶解度大约30克，溶液的质量分数大约

23%。而在更高温度、例如50°时候的饱和溶液中，溶质的溶解度可以达到90克，溶液的质量分数可以达到

41%。即便不饱和，50°的硝酸钾溶液也可能比20°时候的溶液更浓一些。

15.明明是50毫升水与50毫升酒精倒在一起，非说不到100毫升。

两种液体混合，分子之间会互相“填空”，大小搭配，因此体积可以减小。

16.明明白金更宝贵，还说白金丝毫不含金。

白金，是铂元素（Pt）的俗称，中文意思是“白色的金子”，像金子，当然不含金。

17.明明大家都叫“银粉”，非说它不是银做的。

银粉，是形象的说法，银子一样的粉，是铅粉和铝粉的混合物，与银不搭界。金粉也是如此，是研细的铜粉，同样不含金。

18.明明纯碱就是碱不应怀疑了，偏说纯碱它是盐。

纯碱，是碳酸钠的俗名，是生活中的习惯用法。说它是盐，是从化学结构上讲，由金属离子和酸根组成的是盐，碳酸钠是盐。

19.明明说分子由原子构成，又说分子不一定比原子大。

分子由原子构成，这是正确的。但是世界上有

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种元素、几百种原子，最大的原子是钫原子（Fr，半径1.53A），最小的分子是氢分子（H2，半径1.15A）。二者的比较示意图如下。

20.明明KClO3中含氧元素，却说它不是氧化物。

这是源自于“氧化物”的定义：由两种元素组成、其中一种是氧的化合物叫做氧化物。KClO3由三种元素组成，当然不属于氧化物了。

21.明明书上写着盐是由金属离子和酸根离子组成的，又说硝酸铵也是盐。

盐是由金属离子和酸根离子组成的，正确。但是，铵根离子和钠离子有很多相似之处。结构上，铵根离子和钠离子都是一价的阳离子，都含有11个质子、10个电子；化学性质上，钠离子和铵根离子的很多盐都具有良好的可溶性。因此，常常把铵根离子看成是金属离子。铵盐例如硝酸铵、硫酸铵、碳酸氢铵、氯化铵等等都算作是盐。

22.明明饱和食盐水已经饱和了，却说它还能溶解硝酸钾。

溶液是否饱和，指的是在特定温度下、针对特定的溶质，不可再溶解了为饱和溶液。因此，食盐水饱和了，还可以溶解硝酸钾，即使食盐和硝酸钾都饱和了，还可以溶解碳酸钠……等等。

23.明明瓶内只含一种元素，还说它不一定是纯净物

还是纯净物的概念，只含同一种物质是纯净物。例如氧气和臭氧的混合物，虽然都只含同一种元素，但是含有两种物质，因此不符合纯净物的定义。

24.明明说含碳的化合物是有机物，可是CO、SiC、碳酸盐等等还算是无机物。

有机物的定义：含碳的化合物。有机物的性质：有机物一般熔点较低，受热易分解、容易燃烧，反应比较缓慢，并常伴有副反应发生。

含碳的简单分子（CO、CO2、SiC、碳酸盐等等），或者受热不分解，或者不容易燃烧，参加化学反应都很快，副反应很少，所以不像有机物，就算无机物了。

25.明明5克溶质在95克水中全溶解了，还说溶质质量分数不一定是5%。

质量分数的定义：是溶质占溶液的百分比。

如果5克溶质A

在95克水中溶解了，而水中原来还有其他溶质，A溶质的质量分数就小于5%。

只有在只有

A溶质和水存在、溶解后没有气体生成并放出的时候，A的质量分数就是5%。

二、易错点练习

(下面的说法都有错，一定要注意，红色部分就是错误的)

1.氧气可以燃烧，具有可燃性。

2.物质跟氧气发生的化学反应叫氧化反应。

3.氮气占空气78%，故100g空气中氮气的质量为78g。

4.我们吸入的气体是氧气，呼出的气体是二氧化碳。

5.蜡烛燃烧的实验现象是有水和二氧化碳的生成。

6.红磷或白磷燃烧时生成大量白雾。

7.催化剂都能加快其他物质的化学反应。

8.灭火的方法之一是降低物质的着火点。

9.在双氧水分解反应中只有二氧化锰才能作为反应的催化剂。

10.冰水共存物是混合物，因为冰和水是两种不同的物质。

11.含一种元素的物质一定是单质。

12.原子构成分子，所以分子一定比原子大。

13.物质的膨胀现象说明，分子的体积可以变大。

14.任何原子核都含有质子和中子。

15.n个氧原子可表示为On。

16.水是由氢氧两种元素组成的，也是由氢氧两种原子构成。

17.水是取之不尽，用之不竭的。

18.所谓硬水就是硬度大的水。

19.矿泉水是纯净物，长期饮用对人体有益。

20.某元素在同一种化合物中，只显一种化合价。

21.反应前物质的质量总和等于反应后生成物的质量总和，这个规律叫质量守恒定律。

22.agA物质跟bgB物质充分反应，生成物的总质量为(a+b)g。

23.根据质量守恒定律，8g酒精和8g水互溶之后总质量为16g。

24.镁在空气中燃烧产生明显的白色烟雾。

25.二氧化碳能使紫色石蕊试液变红色。

26.燃着的木条伸入集气瓶，火焰熄灭，可推知瓶中的气体是二氧化碳。

27.可用硫酸溶液清洗附有碳酸钙的玻璃仪器。

28.Na2CO3、NaHCO3、NH4HCO3等物质都含有碳元素，属于有机化合物。

29.任何化学式的书写，正价部分(元素或原子团)一定写前面，负价则放在后头。

30.在化合物中氧元素一般显－2价，故在H2O2中氧元素也显－2价。

31.涂改液中含有有毒成分二氯甲烷(CH2Cl2)，它是由多种原子构成的。

32.合金一定由两种或两种以上的金属熔合而成的。

33.溶液都是无色透明的液体。

34.任何无色透明的液体一定是纯净物。

35.A溶液的体积为V1L，B溶液的体积为V2L，互溶后体积为（V1+V2）L。

36.降温之后，任何饱和溶液都会析出晶体。

37.浓溶液一定是饱和溶液，稀溶液都是不饱和溶液。

38.ag某物质溶于(100－a)g水中，得到的溶液的质量分数为a%。

39.某物质的饱和溶液一定比其不饱和溶液浓。

40.中性溶液的pH=0。

41.紫色石蕊试液遇碱(如氢氧化铜)一定变蓝色，无色酚酞试液遇碱一定变红色。

42.复合肥就是多种肥料混和而成的，一定是混合物。

43.碘酒中溶质是碘，溶剂是酒。

44.最外层的电子数为8个电子的微粒一定处于稳定结构，且该微粒一定是稀有气体元素的原子。

45.铁跟盐反应生成铁盐和另外一种金属；它跟酸(盐酸、稀硫酸)起置换反应时也是生成铁盐，同时生成氢气。

如：2Fe+6HCl=2FeCl3+3H2↑。

46.由于锌的活动性比银强，故Zn+2AgCl

=

ZnCl2+2Ag。

47.二氧化碳通入氯化钙溶液，能观察到白色沉淀生成。

48.盐一定含金属离子和酸根离子。

49.酸(碱)液就是酸(碱)性溶液。

50.复分解反应，就是两种化合物互相交换成分生成另外两种化合物的反应，如：CuSO4

+

H2O

=

CuO↓+H2SO4

51.干燥氧气可以选择浓的氢氧化钠溶液。

52.纯碱即碳酸钠，其化学式为NaCO3。

第五篇：2008~2009易错点总结（最终版）

附件一

2008~2009易错点总结

一、关于价格取定

1.改性沥青卷材的厚度，3厚时选SBS I PY PE3 GB 18242，4厚时选SBS I PY PE4 GB 18242。2.聚苯乙烯泡沫塑料板自熄性与挤塑聚苯板，两种材料注意“挤塑”两字，调价格时注意板厚，套用定额时注意安装部位（屋面、楼地面还是天棚）。

3.商品砼，把粒径号去掉（如“商品泵送混凝土 C20（20）”→“商品泵送混凝土 C20”（现浇现拌砼不去，非泵送商品砼软件中的工料机窗口中的材料名称“非”字加上）。4.泵送砼选择注意泵送高度（3-28换有梁式带形基础^泵送砼C25_20M以下→有梁式带形基础^泵送砼C25_0M以下）。

5.一般情况下，乳胶漆、外墙涂料调成品（注意调成品后单位是m2，看清油漆遍数）。6.铝合金门窗等调成品（门窗市场信息价含五金配件、玻璃及制作、运输安装）。7.综合毛砂，选择低价砂（图纸所示垫层及回填处用粗砂是有误的）。

8.综合人工按定额价判断是几类人工再按人工类别选择价格（见定额总说明及文件规定）。9.一般情况下，水泥选散装。10.水泥425#为水泥32.5级，（参见http://www.xiexiebang.com/news/ShowIt.aspx?TreeID=1325&ID=951）。11.94定额有些材料不调价差（见允许按实调整差价的材料品种）。12.信息价中油毡宽1米。13.轻钢龙骨以平米计。14.镀锌白铁皮即镀锌钢板。15.预算时同一时期信息价注意一致。16.水（椒江、黄岩、路桥三区不同）。17.副刊上的信息价需打折计入。

18.94市政，汽油(机具用)、柴油(机具用)、电(机具用)，不调价内差。

二、关于取费

1.新颁布的各项规定的执行。2.检验试验费，装饰为0。

3.同一个工程项目在计取了缩短工期增加费后，不得再计取夜间施工增加费。4.建筑类别划分94与03不同。

三、关于套用定额

1.周长几米内的判断一下（如面砖300*300套周长1200内）。

2.水泥砂浆配合比及厚度不同需换算，砌筑砂浆注意是水泥砂浆还是混合砂浆（03定额，参见http://www.nbzj.net/homepage/about.php?category=100，94定额见定额（天棚不作换算））。3.砼强度等级换算。

4.综合土方定额、9-100混凝土台阶、9-92砼墙脚护坡等定额，综合了哪些内容（注意已经综合了的内容不要重算）。

5.注意定额计算单位是以m2还是以m3计（2-71人工铺装碎石底层厚5cm工程量以m2计；11-56混凝土檐沟抹水泥砂浆以m计）。

6.17-3建筑物垂直运输 檐高20m内，P264八（软件自动换算有误，需手动调整）。7.入岩增加费（岩石层的定义P26，二）。

8.未计价主材（2-92 桩木，见94定额P39，11-28）。9.16-1综合脚手架 檐高7m内~层高6m内→16-3（注意檐高）。

10.板材换算，有些板需注明厚度（红榉夹板，核对一下是否为橡木夹板；6-105彩钢夹心屋面板 厚75mm→6-104（图示为50mm））。

11.18-B25花岗岩磨边，人工、机械*1.30，见94定额P64注。12.沉降观测P104，13，不需另计。13.地面垫层不需模板。14.贴瓷砖处抹灰→11B-1。

15.构件运输需判断为几类构件，见P230。

16.除锈，见P238，工作内容，除锈刷防锈漆一遍及成品堆放。17.防锈漆注意刷几遍，构件制作中已含一遍，定额上P230，7。18.7-5→10-1（屋面处是找平层非保护层）。19.16-37→16-37*0.6（P248，10）。20.2-618铜芯电力电缆敷设，换算。21.挖桩承台土方系数。

22.2-137凿钻孔灌注桩桩头φ800mm以内，凿人工挖孔桩桩头时注意换算，见P64 注5。23.安装，需另计的主材：荧光灯管、灯泡、雨水斗。24.安装，刚套管套用定额见培训教材P122 二 6。25.参03定额时，人工定额单价改成16.5。

26.94定额，预制构件增值税，项目编号19-6，工程量为预制构件合价。27.市政2-193路面构造筋，分圆钢、螺纹钢套定额。

四、易漏项

1.雨篷、预制构件、楼梯的模板。

2.各种外加剂（掺10%UEA，掺5%防水剂，加10%建筑胶等）。

3.机械台班单独计算费用、脚手架等各种技术措施项目（3027转盘式钻孔桩机场外运输费P318，看清P310说明）。

4.散水处沥青砂浆嵌缝，屋面分仓缝、成品排气槽、上人孔。5.钢丝网、纤维布、刷界面剂，纯水泥浆一道，箱后防火隔板。6.花岗岩水簸箕。7.墙面分隔线。

8.雨篷处排水管（03定额，94定额不另计）。9.地面塘渣回填。10.闭水试验。11.地面防水涂料。12.外露铁件油漆。

13.市政道路中，模板、钢筋、路床整形。14.市政给排水中，松木桩。15.基础防潮层。

16.试桩等图纸角落里的文字描述项目。17.厨房、卫生间素砼带。18.窗台等压顶。

19.预制构件安装及其中的钢筋、03定额化粪池钢筋。20.盖板。

五、关于清单

1.项目特征（节点详图引用图集的可在项目特征中写上引用的图集；梁、板、柱的项目特征中注明层高（圈、过梁、GZ除外）；雨篷见计价培训教材P83；010702003001屋面刚性防水“内配双向直径为4钢筋，中距150”，删除，细石砼土内的钢筋，按砼及钢筋砼工程另行计算，不出现在此项目特征中；挖土方清单中写上“运土及堆置处理”；门窗以樘计时要写明洞口尺寸）。

2.出现多个计算单位的，如“个;套”，选择一下单位；暂定价输入时不要忘记输入单位。3.项目编号有无重复（右击－清单重新编号）。

4.现浇构件、预制构件、桩钢筋笼钢筋分别分圆钢、螺纹钢列清单。5.注意定额计量单位与清单不同时。

六、关于软件

1.03定额工程“分解机械台班”前的“∨”去掉（软件默认“∨”已去掉）。2.修改了取费表后，需打印预览查看格式是否正确。3.是主要材料的设为主要材料。4.优惠费率优惠了否（加负号否）。

5.94品茗钢筋量差、价差设置（右击-钢筋量差|价差设置-输入量-确定）。6.结算工程，软件中工程预算书→工程结算书。7.工程量是0的检查一下是否属实，确为0，删除。

8.管理费率、利润率的设置（广达软件使用说明书P41设置综合单价公式）。9.注意工程量保留小数位数：t，三位，m2、m3、kg，两位。

10.2-103*2+2-101，这种多条定额进行合并做法有误，详见品茗帮助-索引-

四、多条定额进行合并。

11.超高施工增加费，工程量设置。

七、审核易忽略处

1.6-374非定型井砌筑及粉刷砖砌井矩型，实际可能没有安装铁梯，见94定额P347。2.11-49砖砌窨井，扣井盖否，实际深度不同，套用“每增减20cm”定额按比例进行调整，见94定额。3.取费程序按投标时。4.次要材料和机械费下浮。

5.点工的综合单价含义，一般情况下是设置成计税不计费的，但有例外(已含税金、规费)，需查看合同专用条款等。

6.一般情况下，天棚有吊顶处无粉刷。7.材料是否甲供（扣除水、电）。8.土方运输运距，构件运输运距。

9.土方类别的判断，人工挖土还是机械挖土的判断。10.合同有无下浮。

11.批灰含在涂料中，不得重复计价。12.招标代理费设置成不计税不计费。

13.挖道路、化粪池等土方不能套用综合土方定额。14.砼，注意泵送OR非泵送，及合同等的规定。

15.法兰阀门安装，注意各种短管甲、乙，是否已另计了。16.机械以台班计与以小时计单价或不同。17.石碴二次利用（挖出多于回填时用负数计）。18.签证中的计算过程或源数据可能有误，需核。

八、关于工程量计算

1.GZ的马牙槎P101，5。

2.03定额钢筋工程量计算不需*1.02。3.油漆工程量计算见P168（注意系数）。

4.砼构筑物脚手架计算P249九（注意是基础顶面以上部分）。5.回填土计算应扣除各种井所占的体积。6.螺栓，工程量计算见P231 一、十。7.土方工程量计算规则定额与清单不同。