第一篇：上海高中数学第二次教研专题讲座：高一上学期：集合和不等式易错题归纳总结(最新)2018.09.26
高一上学期：集合和不等式易错题归纳总结
教研组： 2018.09.26 集合与命题
第1部分：集合的概念
（一）例题分析：
例
1、（上海实验周测）已知集合Ayyx2,xR，Byyx4x1,xR则AB 例
2、（2015秋•静安区校级期中）已知集合M={1，2，3，4，5}，对于它的非空子集A，将A中每个元素kkk都乘以（﹣1）后再求和，称为A的“元素特征和”．比如：A={4}的“元素特征和”为（﹣1）×4=4，125A={1，2，5}的“元素特征和”为（﹣1）×1+（﹣1）×2+（﹣1）×5=﹣4，那么集合M的所有非空子集的“元素特征和”的总和等于 ．
（二）巩固练习：
1、（2017秋•浦东新区校级期中）若集合A={（x，y）|x+2y=4，x∈N*，y∈N*}，则列举法表示：A= ．
22、（2017秋•高淳区校级期中）若集合A={x|ax﹣2x+1=0}至多有一个元素，则实数a的取值集合是 ．
3、（2016秋•青浦区校级期中）已知集合A={x|
4、（2014秋•闸北区校级期中）若x∈A，则
∈N，x∈Z}，用列举法表示为 ．，就称A是伙伴关系集合，集合M={0，，1，2，*
223}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ．
5、（2015秋•闵行区校级期中）已知集合A={x|x=m﹣n，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．
6、（2007秋•闵行区期中）设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
第2部分：集合的运算
（一）例题分析：
*例1．（2015秋•上海校级期中）设集合M={x|5﹣|2x﹣3|∈N}，则M的所有真子集的个数是 ． 例2．（2014秋•浦东新区校级期中）若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆．请回答集合A={1，2，3，}的不同分拆有 种．
（二）巩固练习：
2IAB1．（2016秋•颍泉区校级期中）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁US D．（M∩P）∪∁US 2．（2013秋•宝山区校级期中）定义：一个数集的和就是这个集合中所有元素的和．设S是由一些不大于15的正整数组成的集合，假设S中的任意两个没有相同元素的子集有不同的和，则具有这种性质的集合S的和的最大值为（）A．76 B．71 C．66 D．61 3．（2016秋•浦东新区校级期中）设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*（N*M）=（）A．M B．N C．M∩∁UN
D．N∩∁UM 4．（2016秋•闸北区校级期中）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有 个．
5．（2016秋•镇原县校级期中）设集合A={x|x+x﹣6=0}，B={x|mx+1=0}，则满足B⊆A的实数m的值所成集合为 ．
6．（2015秋•上海校级期中）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数．给出下列命题： ①对于任意集合A，都有A∈P（A）； ②存在集合A，使得n[P（A）]=3； ③若A∩B=∅，则P（A）∩P（B）=∅； ④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；
⑤若n（A）﹣n（B）=1，则n[P（A）]=2×n[P（B）]． 其中所有正确命题的序号为 ．
7．（2016秋•虹口区校级期中）若集合M={x|y=2x+1}，N={（x，y）|y=﹣x}，则M∩N= ． 8．（2016秋•杨浦区校级期中）我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是 ．
9．（2015秋•上海校级期中）请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁uB∪∁uC）
210．（2015秋•杨浦区校级期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X∈M，Φ∈M；
（2）对于X的任意子集A，B，当A∈M，B∈M时，A∪B∈M，A∩B∈M．则称M是集合X的一个“M﹣集合类”．
例如：M={Φ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M﹣集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M﹣集合类”的个数为 ．
11．（2014秋•烟台期中）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．
12．（2009秋•黄浦区校级期中）设集合S⊊N，S≠∅，且满足（1）1∉S；（2）若x∈S，则（1）S能否为单元集，为什么？（2）求出只含两个元素的集合S．
（3）满足题设条件的集合S共有几个？为什么？能否列举出来．
第3部分：简易逻辑与条件
（一）例题分析：
例1．（2016秋•普陀区校级期中）“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：（1）M的元素都不是P的元素；（2）M中有不属于P元素；（3）M中有P的元素；（4）M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．请选择正确的选项
若a1、b1、a2、b2、∈R，且都不为零，则“
*
．
a1b1”是“关于x的方程a1x+b1=0与a2x+b2=0的解集相同”a2b2的（）
若a1、b1、a2、b2、∈R，且都不为零，则“相同”的（）
a1b1”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集a2b2
若a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R，且都不为零，则“的解集相同”的（）
若a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R，且都不为零，则“＞0的解集相同”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件
（二）巩固练习：
1．（2017秋•浦东新区期中）若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有两个实数根，分别是x1、x2，则“”是“两根均大于1”的（）
D．既不充分也不必要．
2”是“关于x的方程a1x+b1x+c1=0与a2x+b2x+c2=0
2”是“关于x的不等式a1x+b1x+c1＞0与a2x+b2x+c2
D．既非充分又非必要条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件
2．（2015秋•杨浦区校级期中）牛大叔常说“价贵货不假”，他这句话的意思是：“不贵”是“假货”的（）
A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
3．（2015秋•黄浦区校级期中）“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件
4．（2012秋•松江区校级期中）（A组）已知α：x＜a，β：1＜x＜2，满足￢α是β的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
（B组）已知α：1＜x＜2，β：x＜a，满足α是β的充分条件，则实数a的取值范围是 ． 5．（2008秋•徐汇区校级期中）设a，b∈R，则“a=b”的一个充分非必要条件是 ． 6．（2017秋•徐汇区校级月考）已知
仅有两个子集，则a= ．
27．（2015秋•上海校级月考）记[x]为小于或等于x的最大整数，则集合M={x|[x]=x﹣1}的子集有
个．
8．（2014秋•金山区校级月考）x≠1或y≠2是x+y≠3的 条件．
9．（2015秋•黄浦区校级期中）设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．
10．（2009秋•黄浦区校级期中）已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C满足：（1）若将C中的元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；
（2）若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集；（3）C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根． 试根据以上条件求集合C．
11．（2016秋•浦东新区校级月考）已知△ABC的三边为a，b，c，求证：二次方程与x+2ax+b=0与x+2cx﹣b=0有一个公共根的充要条件是∠A=90°． 不等式
第1部分：不等式的性质及不等式的证明
（一）例题分析
例
1、（2014秋•卢湾区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＞2．（1）若xy＞1，试问：x＞1且y＞1是否一定成立？为什么？（2）试用反证法证明：
或
．
222
例
2、已知错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的取值范围
（二）巩固练习
1．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是 ．
2．（2015秋•闵行区校级期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的是 ．
3．（2008秋•浦东新区校级期中）设两种浓度分别为的，请从这个实事中提炼出一个不等式组
*溶液各m、n（m＞0，n＞0）克，把它们混合后，所得到的溶液的浓度介于混合前两溶液浓度之间．请从这个事实提炼出一个不等式为 ．
4．（2015秋•上海校级月考）已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是 ．
5、已知错误！未找到引用源。枝玫瑰与错误！未找到引用源。枝康乃馨的价格之和大于错误！未找到引用源。元，而4只玫瑰与5只康乃馨的价格之和小于22，则错误！未找到引用源。枝玫瑰的价格和错误！未找到引用源。枝康乃馨的价格比较结果是（）．
（A）错误！未找到引用源。枝玫瑰价格高（B）错误！未找到引用源。枝康乃馨价格高（C）价格相同
（D）不确定 6．（2014秋•宝山区期末）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位
序对”．
（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N，总存在k∈N，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．
7、（2014秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x，高分别为x，y；2C，D的底面积均为y，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 第2部分：一元二次不等式的解法及应用
（一）例题分析
例
1、（2017秋•浦东新区期中）若不等式x﹣x﹣2＞0的解集为A，不等式2x+（5+2a）x+5a＜0的解集为B，（1）求集合A、B（2）若A∩B∩Z={﹣2}，求实数a的取值范围．
2例
2、（2018春•龙泉驿区期末）不等式（a﹣2）x+2（a﹣2）x﹣3＜0对于一切x∈R都成立，那么a的取值范围是 ．
2例
3、（2014秋•浦东新区期末）已知关于x不等式ax+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为 ．
例
4、（2016秋•黄浦区校级期中）对于函数f（x）=ax+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．
（二）巩固练习
1．（2017春•孝义市期末）若0＜a＜1，则不等式（x﹣a）（x﹣）＞0的解集是（）A．{x|a＜x＜} B．{x|＜x＜a} C．{x|x＜a或x＞} D．{x|x＜或x＞a} 2．（2015秋•上海校级期中）若关于x的不等式x+ax﹣a﹣2＞0和2x+2（2a+1）x+4a+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（）
A．可以是R中任何一个数B．有有限个C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足 D．不存在 3．（2016秋•盐都区校级期末）已知ax+x+b＞0的解集为（1，2），则a+b= ．
+
+
之间的大小
4．（2015秋•金山区校级期末）若关于x的不等式ax+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
5．（2015秋•杨浦区校级期末）关于x的二次不等式ax+2ax﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 ．
6．（2012秋•浦东新区期末）关于x的不等式ax+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），对于系数a、b、c，有如下结论：①a＞0 ②b＞0 ③c＞0 ④a+b+c＞0 ⑤a﹣b+c＞0 其中正确的结论的序号是 ．
7．（2010秋•浦东新区校级期末）对于实数x，设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式4[x]﹣20[x]+21＜0的解集是 ．
8．（2010春•儋州校级期末）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围 ．
9．（2017秋•浦东新区校级期中）若不等式0＜ax+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是 ． 10．（2015秋•普陀区校级期中）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为 ．
2211．（2015秋•闵行区校级期中）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）＞（ax）的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是 ．
12．（2010秋•杨浦区校级期中）已知实数abc＞0，那么关于x的不等式ax+bx+c＜0的解集可能为 ．（写出所有正确命题的序号）①（﹣2，﹣1）②（﹣2，1）③（1，2）④（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
13．（2014秋•浦东新区期末）已知关于x的不等式（x+a）x﹣2＜0的解集为（﹣1，b）．求实数a、b的值．
14．（2012秋•浦东新区期末）已知全集U=R，A={x|ax+bx﹣6＞0}，B={x|ax+b+c＞0}，若A={x|2＜x＜3}，且A⊊B，求实数c的取值范围．
15．（2017秋•浦东新区校级期中）已知关于x的不等式（kx﹣k﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．
16．（2014秋•浦东新区校级期中）已知关于x的不等式kx﹣2x+6k＜0，（k＞0）（1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值；
2（2）若不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围． 第3部分：其他不等式的解法
（一）例题分析
例
1、（2016秋•虹口区校级期中）不等式的解集是 ．
例
2、（2015秋•普陀区校级期中）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是 ．
例
3、（2015秋•上海校级期中）设关于x的不等式范围为（）A．
（二）巩固练习
1．（2017秋•徐汇区校级期中）不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}
2的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值
B． C． D．不能确定
2．（2017春•大观区校级期中）不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3] D．（1，3）3．（2015秋•浦东新区校级期中）若x∈R，则（1﹣|x|）（1+x）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|x＜0且x≠﹣1}
C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|x＜1且x≠﹣1} 4．（2015秋•黄浦区校级期中）已知a∈R，不等式A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4
C．a≥4或a≤﹣3 的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）D．a≥4或a＜﹣3 5．（2014秋•长宁区校级期中）下列各组不等式中解集相同的是（）
A．与 B．和x+1≥0 C．和（x﹣3）（x+1）＞0 D．x﹣2x＜8和
26．（2016秋•浦东新区校级期末）已知关于 x 的不等式围为 ．
在[2，5]有实数解，则实数 a的取值范7．（2016秋•杭州期末）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式集为 ．
8．（2016秋•徐汇区期末）关于x的不等式
＞1+
（其中k∈R，k≠0）． 的解（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值． 9．（2014春•纳雍县校级期末）已知关于x的不等式（1）当a=4时，求集合M；
（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围． 10．（2014秋•闵行区校级期中）已知三个不等式： ①|2x﹣4|＜5﹣x； ②2的解集为M．
≥1；
③2x+mx﹣1＜0．
（1）若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围；（2）若满足③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围． 11．（2014秋•河西区校级期中）关于x的不等式组（1）当k=3时，求集合A；
（2）若集合 A={﹣2}，求实数k的取值范围；
（3）若集合A中有2013个元素，求实数k的取值范围．
第4部分：基本不等式及其应用
（一）例题分析
例
1、（2015秋•徐汇区校级期中）下面几个不等式的证明过程： ①若a、b∈R，则+≥2②x∈R且x≠0，则|x+|=|x|+
=2； ≥
2；）≤﹣2
=﹣2． 的整数解的集合为A．
③若a、b∈R，ab＜0，则+=﹣（﹣+其中正确的序号是 ．
例
2、（2009秋•普陀区校级期末）设x，y，a∈R，且当x+2y=1 时，+
的最小值为．则当
时，3x+ay 的最小值是 ．
例
3、已知正实数x,y满足xy2xy4，则xy的最小值为 ．
（二）巩固练习一．选择题（共3小题）
1．（2017春•金牛区校级期末）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b＞2ab 22B． C．≥2 D．
2．（2016秋•杨浦区期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c B．如果a＞b＞0，那么a＞b
C．对任意实数a和b，有a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc 3．（2015秋•普陀区校级期中）下列各式中，最小值为2的是（）A． B． C．
D．
22224．（2017秋•浦东新区期末）已知x＞1，则y=x+的最小值为 ．
5．（2016秋•徐汇区期末）若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为 ． 6．（2016秋•浦东新区期末）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为 ．
27．（2015秋•浦东新区校级期末）若实数x，y满足xy=1，则x+3y的最小值为 ．
8．（2015秋•滨江区校级期末）已知x＞0，y＞0，且满足x+++=10，则2x+y的最大值为 ． 9．（2015秋•浦东新区期末）已知0≤x≤2，的最大值是 ． 10．（2017秋•浦东新区校级期中）已知a，b，c∈R，则
+
++的最小值为 ．
11．（2017秋•徐汇区校级期中）不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ．
12．（2017秋•徐汇区校级期中）设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为 ． 13．（2016秋•浦东新区校级期中）设，则
+的最小值为 ． 的最小值是 ． 14．（2015秋•虹口区校级期中）若x，y是正数，则15．（2016秋•虹口区校级期末）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（2）求博物馆支付总费用的最小值．
16．（2016秋•青浦区期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=
（υ＞0）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
17．（2015秋•浦东新区期末）如图，设计一副矩形宣传画，要求画面面积为96cm，画面上下边还要留3cm空白，左右要留2cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？
18．（2016秋•浦东新区校级期中）（1）已知a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较的大小，并指出两式相等的条件．（2）用（1）所得结论，求函数y=+，x∈（0，）的最小值．
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