讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系.

第一篇：讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系.

第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报 Vol.23,No.22007 第2期

NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY 讨论二元函数连续性、偏导存在性 及可微性间的关系 张 鸿

(哈尔滨师范大学阿城学院

门艳红

(青岛飞洋职业技术学院

【摘要】 通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行

讨论.关键词:连续性;偏导存在性;可微性 收稿日期:2006-11-08 0 引言

多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异

主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个增加到多个而产生的.对于多元函数我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系.1 二元函数连续性与偏导存在性间 的关系

1.1 函数f(x,y 在点P 0(x 0,y 0连续,但偏 导不一定存在.例1 证明函数f(x,y =x 2 +y 2 在点(0, 0连续偏导存在.证明 因为 li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0 x 2 +y 2

=0=f(0,0 故函数f(x,y =x 2+y 2 在点(0,0连续.由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx = li m Δx →x Δx 2

Δx = 1,Δx >0,-1,Δx <0.故f x(0,0不存在.同理可证f y(0,0也不存在.1.2 函数f(x,y 在点P 0(x 0,y 0偏导存在,但不 一定连续 例2 函数f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在点

(0,0处f x(0,0,f y(0,0存在,但不连续.证明 由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx

=li m Δx →x Δx =0，同理可求得f y(0,0=0.因为li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0(x 2+y 2 =0≠f(0,0=1 故函数f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在点(0,0处 不连续.综上可见,二元的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 2.1 可微与偏导存在

定理1(可微的必要条件 若二元函数f(x, y在其定义域内一点P0(x0,y0处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导都存在,且d f|(x0,y0 = f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.注1:定理1的逆命题不成立,即二元函数f(x,y在点P0(x0,y0处的偏导即使存在,也不一定可微.例

3f(x,y= xy x2+y2 ,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0 在原点两个偏导存在,但不可微.证明 由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx =li m Δx→x 0-0 Δx= 0, 同理可求得f y(0,0=0.下面利用可微的定义来证明其不可微,用反证法.若函数f在原点可微,则Δf-d f=[f(0+ Δx,0+Δy-f(0,0]-[f x(0,0d x+f y(0, 0d y]= ΔxΔy

Δx2+Δy2 ,应是较ρ=Δx2+Δy2的 高阶无穷小量,为此考察极限 li m ρ→0Δf-d f ρ= li m ρ→0 ΔxΔy Δx2+Δy2

当动点(x,y沿直线y=m x趋于(0,0时,则 li m(x,y→(0,0 xy x2+y2 =li m(x,y→(0,0 y=m x m 1+m2 = m

1+m2 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.2.2 偏导连续与可微

定理2(可微的充分条件 若二元函数z=f(x,y的偏导在点P0(x0,y0的某邻域内存在, 且f x 与f y 在点P(x ,y0处连续,则函数f(x,y 在点P(x ,y0可微.注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例4 证明函数 f(x,y=

(x2+y2sin 1 x2+y2 ,x2+y2≠0

0, x2+y2=0 在点(0,0处可微,但f x(x,y,f y(x,y在(0,0点却间断.证明 Π(x,y:x2+y2≠0,有 f x(x,y=2x sin 1 x2+y22y x2+y2 cos 1 x2+y2(1当y=x时,极限li m x→0 f x(x,x=li m x→0(2x sin 1 2x2-1 x

cos 1 2x2 不存在,则f x(x,y在(0,0点间 断.同理可证f y(x,y在(0,0点间断.(2因f x(0,0=li m x→0 f(x,0-f(0,0 x =li m x→0 x sin 1 x2 =0, f y(0,0=li m x→0

f(0,y-f(0,0 y =li m y→0 y sin 1 y2 =0 则d f=f x(0,0d x+f y(0,0d y=0, Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1 x2+y2 =ρ2sin 1 ρ2

(Π(x,y:x2+y2≠0 从而

li m ρ→0 Δf-d f ρ= li m ρ→0 ρ2sin1 ρ2 ρ= li m ρ→0 ρsin1 ρ2

=0,即函数f(x,y在点(0,0可微.3 二元函数的连续性与可微性间的 关系

类似于一元函数的连续性与可导性间的关 系,即二元函数f(x,y在点P(x ,y0可微,则必 连续.反之不然.例5 证明函数f(x,y=|xy|在点(0, 0连续,但它在点(0,0不可微.33 第2期

讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系

证明(1因为li m x →0y →0 f(x,y =li m x →0y →0 |xy |= 0=f(0,0,故函数f(x,y =|xy |在点(0,0 连续;(2因为Δf =f(0+Δx,0+Δy-f(0,0=|Δx ||Δy | d f =f ′x(0,0d x +f ′ y(0,0d y =0 所以 li m ρ→0Δf-d f ρ=li m Δx →0Δy →0

|Δx ||Δy |(Δx 2 +(Δy 2 =li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2 当动点(x,y 沿着直线y =x 趋于(0,时,有 li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2= 1 2 ≠0即li m ρ→0Δf-d f ρ≠0,故f(x,y 在原点(0,0不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图1所示.参 考 文 献 华东师范大学数学系.数学分析(三版.高等教育出版社，2004.5.2 吴良森,等.数学分析学习指导书.高等教育出版社,2004.9.3 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(三版.高等教育出版社, 2001.2.4 刘玉琏,等.数学分析讲义学习辅导书(二版.高等教育出版 社,2004.7.D I SCUSS TH E RE LATI ONS O F THE CONTI NUI T Y,THE EXI STENCE OF PARTI AL DERI VATI ON AN D THE D I FFERENTI ABI L I T Y OF THE DUAL FUNCTI ON Zhang Hong(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University

Men Yanhong(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College ABSTRACT I n this paper,we discuss the relati ons of the continuity,the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les.Keywords:Continuity;The existence of partial derivati on;D ifferentiability(责任编辑:李双臻 3哈尔滨师范大学自然科学学报

2007年

第二篇：函数的可导性与连续性的关系教案

函数的可导性与连续性的关系教案

教学目的

1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．

2．使学生了解左导数和右导数的概念．

教学重点和难点

掌握函数的可导性与连续性的关系．

教学过程

一、复习提问

1．导数的定义是什么？

2．函数在点x0处连续的定义是什么？

在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以

∴f(x)在点x0处连续．

综合(1)(2)原命题得证．

在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．

二、新课

1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．

∴f(x)在点x0处连续．

提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．

如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．

例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．

证明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函数y=|x|在点x0处是连续的．

2．左导数与右导数的概念．

(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．

(3)函数在一个闭区间上可导的定义．

如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．

三、小结

1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．

2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．

3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．

四、布置作业

作业解答的提示：

=f(1)．

∴ f(x)在点x＝1处连续．

∴ f(x)在x=1处不可导．

第三篇：二元函数连续可微偏导之间的关系解读

一、引言

对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系 1.可微与连续的关系

若函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则在该点连续,但反之不成立(同一元函数。证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0，所以lim(△x,△y→(0,0

f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在 点(x0,y0处连续。反之不成立。例1.f(x,y= x2y x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $

在点(0,0处连续, 但在该点不可微。2.偏导数存在与可微的关系

由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。

3.偏导数连续与可微的关系

由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,则f(x,y在点(x0,y0处可微;但反之不成立, 例2.f(x,y=(x2+y2sin1 x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= % ’ ’ ’ & ’ ’

’(0 在点(0,0处

可微,但偏导数在点(0,0不连续。4.连续与偏导数存在之间的关系

二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。

例4.f(x,y xy x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $ 在点(0,0不连续,但 f y(0,0=lim △y→∞ 0-0

△y =0,f y(0,0=lim △y→∞ 0-0 △y =0。这是因为偏导数只是刻画了函数沿x轴或y轴方向的变化特征,所以这个例子只能说明f(x,y在原点分别对x和对y连续,但由此并不能保证f(x,y作为二元函数在原点连续。

5.连续与偏导数连续之间的关系。

由例4可知二元函数在某点连续时,偏导数不一定存在,当然更谈不上偏导数连续了;反之若偏导数连续一定可微,从而可推出函数在该点一定连续。

三、可微性判别步骤

1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2 其中ε→0(当△x→0△y→0时

(3△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε1△x+ε2△y 其中ε1→0,ε2→0(当△x→0,△y→0时

四、结束语

从以上讨论可以看出,二元函数连续、可微、偏导数之间的关系比一元函数连续、导数存在、可微之间的关系要复杂得多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更为复杂。如对lim x→x f(x只要求

二元函数连续可微偏导之间的关系 □李聚玲河北保定华北电力大学数理系

[摘要]本文给出了二元函数在某点处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系, 并进一步给出了可微的判别步骤。[关键词]二元函数连续可微偏导数 下转2页 名教讲坛 3 一种学习对另一种学习的影响不总是积极的,有时侯两种知识之间会产生干扰,学生不能很好的辨别二者的本质区别,使得原有知识的学习阻碍了对新知识的正确

理解,形成负迁移。教师在教学是可以适时抓住学生的错例,通过对比,制造认知冲突,再加以巧妙点拨,让学生在明了二者区别的同时把握住函数的本质属性。

案例:反函数是函数知识领域的一个难点,许多同学在理解反函数概念时容易产生困惑。老师可以这样举例:请大家分别作出f(x=2x+3和它的反函数的图象。那么大

多数学生会把它等价于作y=2x+3和x=y-3 2 的图象,而且

他们会认为这两个式子并没有本质的区别,因为他们把函数的反解与方程中的解未知数等同起来了,认为横坐标上的值就代表x的值,而纵坐标的值就代表y值,于是作出的图象是相同的。那么教师就要抓住函数与方程的本质区别,让学生知道我们这里考虑的对象是函数,它反映的是自变量与函数值的对应关系,在作反函数x=f-1(y的图象时应该按照自变量的值作横坐标、函数的值作纵坐标, 而与字母无关,因此在x=y-3 2 中的自变量是y而不是x, 那么它所反映的函数关系也就不一样了,这样画出的图象与原函数y=f(x的图象是关于直线y=x对称的。学生这时恍然大悟,困惑解开了,对函数概念也理解的更加透彻了。

学生出现问题的关键就在于把函数的反解与方程中的解未知数等同起来了,这是由于学习方程之后产生思维定势,直接迁移到函数的学习中来。教师善于把握住学生的认识心理和理解问题的薄弱环节,通过让学生自己发现问题的矛盾揭示出方

程与函数的本质区别,增强了知识的稳定性和清晰性,实现了新知识的重组与优化,有效的抑制了负迁移的发生。

三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移

所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问

题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处: 原问题:要使关于x的方程kx2+(2k+1x+(k-1=0有实根,求k的取值范围? 变式一:已知二次函数y=kx2+(2k+1x+(k-1的图象与x 轴有两个交点分别为(-1 3 ,0、(-2,0,求实数k的值? 变式二:已知二次不等式kx2+(2k+1x+(k-1>0对任意实数x都成立,求实数k的取值范围? 变式三:已知关于x的方程kx2+(2k+1x+(k-1=0的两实根介于-2和4之间,求实数k的取值范围? 由原问题引出的三个问题围绕同一个二次多项式,从函数、方程、不等式之间的内在联系出发,构造出不同的变式。问题一表面上是一个函数问题,实际上通过函

数值为0转化成了方程的问题;问题二表面上是一个不等式问题,实际上利用了二次函数的图象找到了数量关系;问题三则把函数、方程、不等式都包含了进来,达到了三者相互依赖的完美结合。教师通过设计这样的变式训练,由三个问题表面的相似度延伸出不同的知识内涵,学生通过一一对比,对三者的有机融合和迁移渗透有了深刻的认识。

知识与技能的迁移并不是简单地将已有的知识、经验“移位”或机械地模仿,而是需要在面临新的问题情境时能发现新旧知识之间的必然联系和本质区别。变式训练不仅可以帮助学生缩小函数与其它知识之间的距离,而且其灵活的变化形式很好的揭示了问题的本质,正所谓“以不变应万变”。学生在感受教师示范迁移应用的具体实例中,逐渐形成自己运用迁移的调控技能,从而促进了灵活迁移。[参考文献] [1]朱水根等:《中学数学教学导论》,教育科学出版社, 2001年6月;[2]曾国光:《中学生函数概念认知发展研究》,《数学教育学报》,2002年5月(11 [3]王尚志:《高中数学课程中的函数》,《中学数学教学参考》,2007(10 在x从x 0的左、右两侧趋向于x 时,f(x趋于同一值。而对 lim(x,yx→(x 0,y f(x,y要求点(x,y以任何方式趋向于时(x ,y , f(x,y都趋向于同一极限,任何方式包含了x与y的不同关系以及趋向时的不同途径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系得复杂性。[参考文献] [1]华东师范大学数学系。数学分析[M]。高等教育出版社, 2001 [2]B.吉米多维奇。数学分析习题集[M]。人民教育出版社, 1958 上接3页 名教讲坛2