考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题[五篇范文]

第一篇：考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题

2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。

下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。

例1：求极限lim 解：limtanxsinxx3

0x0tanxsinxx3x0limxxx3

x0利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．

若~',~',则~''.考察这个命题，limlimlim11，当lim1时,这个命题是真命题；当lim1时,命题是假命题．

对于例1，因为，sinx,tanx,''x，lim所以，证明的结论是错误的．

正确解答: tanxsinxx3x0limsinxtanxx01

limx0limtanx(1cosx)x3xlimx0x2x021.3x2

sin(xsin21例2：求limx0x2x 1)xsin2)xlimxsin10

x0x0x0xxx错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换： sin(xsin1错误解答: limxlim1122sinxsinxsin,x0

xx而根据无穷小的比较的定义，当x取所以不能用等价无穷小的代换．

正确解答：当x0时，1x1x1n(nZ)时，sin(xsin21x)和xsin21x均为0，sin(xsin2x，21x)xsinx21xx0(x0)sin(xsin2)xsin2x所以，由夹逼准则知原函数极限为0．

例3：求极限limxsinxx

解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．

sinxsin应该为：lim0.xx注意：

①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．

②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．

巩固相应知识点

① 无穷小量阶的定义,设lim(x)0,lim(x)0.(1)若lim(x)(x)0,则称(x)是比（x)高阶的无穷小量.(2)若lim(x)(x),则(x)是比（x)低阶的无穷小量.(3)若lim(x)(x)(x)(x)c(c0),则称(x)与（x)是同阶无穷小量.(4)若lim1,则称(x)与（x)是等价的无穷小量,记为(x)(x).(5)若lim(x)(x)kc(c0),k0,则称(x)是（x)的k阶无穷小量

② 常用的等价无穷小量

(命题重点,历年必考)当x0时, sinxarcsinx12tanx1coxs~x~x,2arctanx(1x)1~x是实常数ln(1x)xe1