圆柱体积公式的推导（5篇）

第一篇：圆柱体积公式的推导

圆柱体积公式的推导（教学设计）三亚市第三小学

王明程 教学目标

1、引导学生通过观察、猜想、验证等数学活动理解圆柱体积计算公式的形成过程并能运用其解决简单的问题。

2、感受转化的数学思想对解决数学问题的策略。

3、培养学生的语言表达能力及归纳、总结的习惯与能力。教学重点

掌握圆柱体积的计算公式，并能运用它解决简单的相关问题。教学难点

能利用转化的数学思想验证经过观察作出的圆柱体积计算公式的猜想。教学过程

活动1：温旧导入，初步感知转化思想。

出示装满沙子的圆柱体并提问：谁能计算出这些沙子的体积吗？如果老师把圆柱体中的沙子倒入旁边的这个长方体容器中，可以计算出沙子的体积了吗？为什么呢？从而导出：长方体体积=长X宽X高=底面积X高。如果这是一堆很大很高的圆柱体沙子，我们还能这么做吗？有什么方法可以直接计算出它的体积吗？我们这节课就一起来探讨这个问题。（板书课题：圆柱体积的计算）

活动2：观察、对比、发现归纳。

课件出示一组（4个）等高不等底的圆柱体。

要求：认真观察并说出您的发现（根据学生的实际表现情况可提示：什么是一样的？什么是不一样的？说明了什么呢？）期待值：高相等的情况下，圆柱的底面积越大，它的体积就越大。说明了：圆柱的体积与它的底面积的大小有关。

课件再显示一组（4个）等底不等高的圆柱体。要求：认真观察并说出您的发现

期待值：底面积相等的情况下，圆柱的高越大，它的体积就越大。说明了：圆柱的体积与它的高有关。

课中小结

圆柱的体积与它的底面积有关，也与它的高有关；圆柱体积的大小是由它的底面积与高共同决定的。

活动3：猜想、验证

1、猜想圆柱体积计算方法的可能形式，并说说为什么这么去猜想。

2、同桌之间或前后左右的同学之间相互讨论用什么方法来验证自己的猜想是否正确。

3、动手操作与验证演示

提供学生验证方法所需的学具，让学生动手操作，并就正确操作进行演示与评价。

4、归纳总结

归纳总结圆柱体积的计算公式并板书 活动4 实践巩固

1、课件出示有关圆柱体积公式计算的判断题。

2、课件显示已知底面积与高、已知半径与高和已知直径与高的3类习题 学生独立完成、展示与评价 活动5 全课总结与作业布置

作业内容类型要求：基础应用型与拓展型习题相结合

第二篇：圆柱的体积公式推导

圆柱的体积公式推导

教学内容：

西师版六年级下册数学教科书第27、28页的内容。

教学目标：

一．知识与技能

1、让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，渗透数学思想，体验数学研究的方法。

2、能够运用公式正确地计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。

3、初步体验转换的数学思想和方法，并进一步发展其空间观念。

4、通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。二．过程与方法

教学时，充分利用教具、学具，引导学生观察、操作和交流探索新知。三．情感、态度与价值观

体会类比、转化等思想，初步发展推理能力和极限思想。

教学重点：掌握圆柱体积计算公式的推导及熟练运用公式解决实际问题。教学难点：圆柱体积计算公式的推导过程。教学准备： 教具：圆柱教具。

学具：圆柱学具，数学课本。

教学过程：

一、复习引入，质疑问难 1．复习

教师出示圆柱教具（学生拿出自制的圆柱），让同学们回忆圆柱面的组成（两个底面一个侧面），在上一节我们把圆柱的侧面展开得出一个长方形（特殊时正方形），利用长方形的面积推出了圆柱的侧面积公式，请同学说一下其内容。（圆柱的高的含义，圆的面积，圆的周长，圆柱的表面积）

我们学习圆柱，除了学习这些之外，还需要学习另外一个重要的量——圆柱的体积。能用你自己的话说说，什么是圆柱的体积？（圆柱的体积就是圆柱所占空间的大小）

在我们生活中随处可以看到圆柱形的物体，有的大，有的小。课件出示圆柱形物体图片，引导学生注意圆柱形物体所占空间的大小(即体积)，为了说明圆柱形物体体积的大小，我们就需要计算圆柱体体积是多少，这就是我们这一节所要探讨的内容。

板书课题：圆柱的体积。2.复习长方体、正方体的体积

物体所占空间的大小就是物体的体积，我们学习了哪些立体图形的体积？（长方体和正方体。）它们的体积是怎么求的呢？

学生：长方体=长×宽×高，正方体=棱长×棱长×棱长。（出示课件长方体、正方体，让学生回顾它们的体积公式。总结长方体、正方体的体积都可以用底面积乘高去计算。）

如果用V表示体积，s表示底面积，h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 议一议

我们学习了长方体、正方体体积，那圆柱的体积该怎样计算呢？

请同学们分组讨论，你们有什么方法计算圆柱的体积。

（用水或沙子转化计算，用橡皮泥转化计算，用圆形纸片叠加计算……）能不能把圆柱转化为我们学过的立体图形来计算体积呢？ 圆柱的体积是不是也可以用底面积乘高去计算呢？（留下悬念）

二、图形转化，猜想推理

1、同学们，我们已经知道圆的面积公式，请大家回忆圆的面积计算公式是怎样推导出来的？（生回答）

出示课件演示圆的面积公式推导过程。

2、既然我们运用转化的数学方法求出了圆的面积，那对于圆柱的体积，能不能也利用这种转化的思想？你们想到什么？

引导学生体会：我们虽然不会计算圆柱的体积，但我们会计算长方体的体积，如果能将圆柱转化成长方体就好办了。

3、思考：怎样才能把圆柱转化成长方体呢？

引导学生思考：我们可以沿着圆柱的底面直径把圆柱的底面平均分成若干个扇形，再沿圆柱的高切开，然后拼成一个近似的长方体。

活动：学生操作学具(如有)，进行拼组。

4、课件演示拼组的过程。（提醒学生认真观察）

上面近似的长方体是把圆柱平分成若干份拼成的，如果将圆柱等分成更多的份数，你会有什么发现？（引导学生体会圆柱底面等分的份数越多，拼组成的立体图形就越接近于长方体，体会无限逼近的数学极限思想。）

5、学生根据以下问题进行讨论。

（1）圆柱拼成近似的长方体后，两者形状变了吗?体积发生变化了吗？（2）圆柱拼成近似的长方体后，两者底面积与高发生变化了吗？

讨论后学生汇报：

（拼成的近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高就是圆柱的高，因此要求圆柱的体积就只要求切拼后的近似长方体的体积就可以了。）

6、课件演示

长方体的体积=底面积×高，圆柱的高等于拼好的长方体的高，圆柱的底面积等于拼好的长方体的底面积。由此推导出圆柱的体积=底面积×高。

如果用S表示底面积，h表示高，那么圆柱体积公式怎样表示？

板书：V=Sh

7、课件出示，以填空的方式巩固回忆圆柱体积公式推导过程。

三、运用新知，解决问题

课件出示练习题

四、全课小结

老师根据学生发言，对本节课的知识进行总结，学生说得不够全面教师补充：

五、作业布置

课本29页练习八。板书设计：

圆柱的体积公式推导 长/正方体体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高

第三篇：圆锥体积公式的推导

圆锥体积公式的推导

（定积分）

圆锥体积公式在小学的推导法是实验法，现在在这里介绍高等几何的定积分法。

首先，设圆锥的底面半径为r，高为h。如图1：

图1 定义空间直角坐标系，以圆锥底面圆心为坐标原点，线段r（半径）在x轴上，线段h（高）在z轴上。

把圆锥分割成小圆台，切面平行于平面xOy。可据此列出体积V的公式：

因此可得一个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，与实验法吻合。

dawny 2010-01-07

第四篇：圆柱的体积计算公式的推导教案

圆柱的体积计算公式的推导教案

晏金明

教学内容：教科书第19页的圆柱体积公式的推导和例6，完成第20页“做一做”的第1题和练习三的第1—2题。

教学目的：通过用切割拼合的方法借助长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，使学生理解圆柱的体积公式的推导过程，能够运用公式正确地计算圆柱的体积。

教具准备：圆柱的体积公式演示教具(把圆柱底面平均分成16个扇形，然后把它分成两部分，两部分分别用不同颜色区别开)。

教学过程：

一、复习

1．圆柱的侧面积怎么求?

(圆柱的侧面积＝底面周长×高。)

2．长方体的体积怎样计算?

学生可能会答出“长方体的体积＝长×宽×高”，教师继续引导学生想到长方体和正方体体积的统一公式“底面积×高”。

板书：长方体的体积＝底面积×高

3．拿出一个圆柱形物体，指名学生指出圆拄的底面、高、侧面、表面各是什么?圆柱有几个底面?有多少条高?

二、导入新课

教师：请大家想一想，在学习圆的面积时，我们是怎样把因变成已学过的图形再计算面积的?

先让学生回忆，同桌的相互说说。

然后指名学生说一说圆面积计算公式的推导过程：把圆等分切割，拼成一个近似的长方形，找出圆的面积和所拼成的长方形面积之间的关系，再利用求长方形面积的

计算公式导出求圆面积的计算公式。

教师：怎样计算圆柱的体积呢?大家仔细想想看，能不能把圆柱转化成我们已经学过的图形来求出它的体积?

让学生相互讨论，思考应怎样进行转化。

指名学生说说自己想到的方法，有的学生可能会说出将圆柱的底面分成扇形切开，教师应该给予表扬。

教师：这节课我们就来研究如何将圆柱转化成我们已经学过的图形来求出它的体积。

板书课题：圆校的体积

三、新课

1．圆柱体积计算公式的推导。

教师出示一个圆柱，提问：这是不是一个圆柱?(是。)

教师用手捂住圆柱的侧面，只把其中的一个底面出示给学生看提问：

“大家看，这是不是一圆?”(是。)

“这是一个圆，那么要求这个圆的面积，刚才我们已经复习了，可以用什么方法求出它的面积?”

学生很容易想到可以将圆转化成长方形来求出圆的面积，于是教师可以先把底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份)。然后引导学生观察：沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块。

教师将这分成16块的底面出示给学生看，问：现在把底面切成了16份，应该怎样把它拼成一个长方形?

指名学生回答后，老师进行操作演示，先只把底面部分拿给学生看。大家看，圆柱的底面被拼成了什么图形?”

学生：长方形。

教师：大家再看看整个圆柱，它又被拼成了什么形状?

(有点接近长方体：)

然后教师指出：由于我们分得不够细，所以看起来还不太像长方体；如果分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体了。

教师：把圆柱拼成近似的长方体后，体积发生变化没有?圆柱的体积可以怎样求?

引导学生想到由于体积没有发生变化，所以可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积。

教师：“而长方体的体积等于什么?”让全斑学生齐答，教师接着板书：“长方体的体积＝底面积×高”。

教师：请大家观察教具，拼成的近似长方体的底面积与原来圆柱的哪一部分有关系?近似长方体的高与原来圆柱的哪一部分有关系?

通过观察，使学生明确：长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。

板书：圆柱的体积＝底面积×高

教师：如果用V表示圆拄的体积，S表示圆柱的底面积，H表示圆柱的高，可以得到圆柱的体积公式； V＝SH

2．教学例6。

出示例6。

(1)教师指名学生分别回答下面的问题：

①这道题已知什么?求什么?

②能不能根据公式直接计算?

③计算之前要注意什么?

通过提问，使学生明确计算时既要分析已知条件和问题，还要注意要先统一计量单位。

(2)用投影片或小黑板出示下面几种解答方案，让学生判断哪个是正确的?

①V＝SH＝50×2．1＝105

答：它的体积是105立方厘米。

②2．1米；210厘米

V＝SH＝50×210＝10500

答：它的体积是10500立方厘米。

③50平方厘米＝0，5平方米

V＝SH＝0．5×2，1＝1．05

答：它的体积是1．05立方米。

④50平方厘米＝0．005平方米

V＝SH＝0．005×2．1＝0．0105立方米

答：它的体积是0．0105立方米。

一先让学生思考，然后指名学生回答哪个是正确的解答，并比较一下哪一种解答更简单。对不正确的第①、②种解答要说说错在什么地方。

(3)做第44页“做一做”的第1题。

让学生独立做在练习本上，做完后集体订正。

四、小结(略)

五、作业

练习十一的第1—2题。

这两道题分别是已知底面积(或直径)和高，求圆柱体积的习题。要求学生审题

后，知道底面直径的要先求出底面积，再求圆柱的体积。

第五篇：案例圆锥体积公式的推导

在探索圆锥体积的计算公式时，教师直接告诉学生要比较等底等高的圆柱与圆锥，这是学生的内心需求和迫切需要吗，如果不是，学生难免会问：为什么要用圆柱与圆锥进行实验对比？ 对策：课始，教师先让学生回忆平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式以及圆柱体积公式的推导过程，梳理知识，形成脉络：

引导学生：对未知平面图形面积的计算，一般是把它转化成已知平面图形面积的计算，再推导出计算公式；对未知圆柱体积的计算，也是把它转化成已知长方体体积的计算，再推导出计算公式。从而渗透转化的数学思想方法，使学生自觉产生“能否把未知圆锥体积的计算转化成已知圆柱体积的计算”这一想法。有了以上的知识准备和认知需求，再引导学生分组进行下面的实验。

[实验一] 实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、水(沙子或橡皮泥)。

实验过程：把圆锥形容器装满水，然后倒入圆柱形容器，三次恰好倒满。

实验结果：圆柱形容器的容积等于和它等底等高的圆锥形容器容积的3倍，或圆锥形容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的，从而推导出圆锥体积计算公式。

[实验二] 实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、沙子、天平。

实验过程：把两种容器都装满沙子，然后在天平上分别称出所装沙子的质量，两种容器容纳的沙子质量恰好成3倍关系。

实验结果：根据同密度物体的体积与质量成正比例，可以得出圆锥形容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的。

教学圆锥体积的计算方法时，一般教师用来演示的教具都是空心的容器，实验对比的结果是它们的容积，难道用实心圆柱和圆锥就不能进行实验了吗，笔者进行的实验和调研测试如下：

[实验三] 实验目的：通过实验，找出等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系。

实验器材：能够沉入水中的等底等高的实心圆柱和圆锥、长方体玻璃缸容器、水。

实验步骤：1.在容器中加入适量的水，测量并记录水位高度。2.把圆柱放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆柱的体积。3.取出圆柱，把圆锥放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆锥的体积。