第一篇：点列,递归数列和数学归纳法
点列、递归数列和数学归纳法
【考题回放】
1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)
A.4 B.2 C.1 D.-2 2．在数列
3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2-3___.4．对正整数n，设曲线
在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，n+1中，且，则 35 ．
则数列 的前n项和的公式是
2-2.n+15．已知n次式项式算
.若在一种算法中，计的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，„，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要 2n 次运算.6．已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在两点的直线平行（如图）.处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）求证：当n 时，(Ⅰ)x（Ⅱ）.【解答】(I)证明：因为 所以曲线 即
（II）因为函数 而，当
时单调递增，和
两点的直线斜率是
以
.在处的切线斜率
所以，即 因此
又因为
令 则
因为 所以
因此
【考点透视】
故
本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
【热点透析】
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．
（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
【范例讲解】
【范例1】已知数列
．
中，对一切自然数，都有
且求证：(1)
(2)若
；
表示数列的前项之和，则． 解析：(1)由已知
又因为，所以
得，, 因此，即．
(2)由结论(1)可知，即，于
是，即
【点睛】从题目的结构可以看出，条件键，必须从中找出
和的关系．
是解决问题的关
．
【文】
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式及数列的前n项和
记
解析（I）
整理得
（Ⅱ）由
所以
【范例2】设数列
（Ⅰ）求首项 的前项的和，与通项；
（Ⅱ）设，证明： 解析(Ⅰ)由
①
得
所以
再由①有
②
将①和②相减得:
整理得: an+2=4(an－1+2n n
n－
1),n=2,3, „, 因而数列{an+2}是首项为a1+2=4,公比为4= 4 , n=1,2,3, „, 因而an=4－2, n=1,2,3, „
n
n
n
n的等比数列，即an+2= 4×4（n－1
Ⅱ)
所以 = = <
【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．
【文】设数列的等比数列.（１）求数列
（２）试比较的大小，并证明你的结论.的通项公式
（用S1和q表示）； 的前n项和为Sn，若
是首项为S1各项均为正数且公比为q
解析（１）∵
当n=1时，a1=S1； 当
．
是各项均为正数的等比数列，∴
．
∴
（２）当n=1时，∴ 当 时，．
∵
①当q=1时，②当 ③当
综上可知：当n=1时，若
【范例3】由坐标原点O向曲线
引切线，切于O以外的 若
．当
点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2}），如此进行下去，得到点列{ Pn 求：（Ⅰ）
（Ⅱ）数列
（Ⅲ）当 }.的关系式； 的通项公式；
时，的极限位置的坐
解析（Ⅰ）由题得 过点P1（的切线为
过原点
又过点Pn（因为 整理得
过点Pn-1（的（Ⅱ）由（I）得
所以数列{xn-a}是以
公比为的等比数列
（法2）通过计算
再用数学归纳法证明.（Ⅲ）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程 的应用，从而得出递推式．
【文】数列
（Ⅰ）写出 的前项和为，已知
与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设 解析由
得，求数列的前项和．，即，所以，对成立．
由，„，相加得 当 时，也成立．，又，所以，（Ⅱ）由 而，得．，.【范例4】设点
(，0)，和抛物线
：y＝x＋an x＋bn(n∈N*)，2其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，„，点0)到
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{
解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C1：y=x-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=
2在抛物线：y＝x＋an x＋bn上，点
(，的距离是 到 上点的最短距离．
}是等差数列．
令f(x)=(x-1)+(x-7x+b1), 则 由题意得
又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x2-7x2+b1
解得x2=3, b1=14.故C1方程为y=x-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则
|AnP|=
令g(x)=(x-xn)+(x+anx+bn),则 由题意得, 又∵
即(1+2)xn+1-xn+2 an =0,(*)
下面用数学归纳法证明xn=2n-1.① 当n=1时,x1=1,等式成立.② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2)xk+1-xk+2ak=0,(*)
k+1
kn+1
n 2
2, 即 , ,即=0, ,∴(xn+1-xn)+2(2xn+1+an)=0(n≥1)，n又ak=-2-4k-,∴.即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N成立,∴{xn}是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．
【文】已知数列
（I）证明：数列
（II）求数列
（II）若数列
解析（I）证明：
满足
证明
是等差数列． 的通项公式；
是等比数列；
满足
+
是以
（II）解：由（I）得
（III）证明：
为首项，2为公比的等比数列．
①
②
②－①，得 即
④－③，得
自我提升
是等差数列．
即
④
③
1.设数列的前n项和为，令，„，称为数列，„，的“理想数”，已知数列，„„，的“理想数”为2004，那么数列2，的“理想数”为（A）
(A)2002(B)2004(C)2006(D)2008
2.数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1)2*2 = 1，(2)(2n + 2)* 2 = 3(2n * 2)．则2n*2用含n的代数式表示为 3_
n-13.若数列{an}满足
若，则的值为（B）(A)(B)(C)(D)
4.弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)
（A）0颗（B）4颗（C）5颗（D）11颗
5.一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（C）
（A）P(3)=3（B）P(5)=1（C）P(101)=21（D）P(103)
6.已知函数f(x)= 2x－x,则使得数列{与q所满足的关系式为.p=-2q
}(n∈N)成等差数列的非零常数p
+7.(理)已知x轴上有一点列：P1(x1,0), P2(x2,0), „,Pn(xn,0),„点Pn+2分有向线段
（1）设an=xn+1－xn，求数列{a n}的通项公式；
（2）设f(λ)= 所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x1=1, x2=2.x n，当λ变化时，求f(λ)的取值范围.解析（1）由题得
∴{an}是首项为1，公比为 的等比数列，∴
∴当λ>0时
(文)设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，若f(-1)=0，且点
在曲线上，又a1= a2．
（1）求曲线C所对应的函数解析式；
（2）求数列{a n}d的通项公式．
解析：（1）y＝x-1(2)a n＝（n－1）！
8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=x(x(0,+),kN+，k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，„，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、„、Qn的横坐标为an，求证：
（Ⅰ）数列{an}是等比数列；
k（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
解：（Ⅰ）
则切线方程为
若切点是，当 时，切线过点P（1，0）即得
当 时，切线过点即得
∴数列（Ⅱ是首项为，公比为的等比数列.„6分）
（Ⅲ）记，则
两式相减
（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点线交曲线C于另一点，点列
作一斜率为的直的横坐标构成数列{}，其中 ．
（1）求 与的关系式；（2）求证：{}是一等比数列.解析：（1）过C：
上一点作斜率为的直线交C于另一点，则，于是．
（2）记，则，因为，因此数列{
}是等比数列．
注：以上答案均为参考答案
第二篇：斐波那契数列递归和迭代&循环链表队列初始化实验报告
第一次实验实验报告
班级：2009211307 姓名：吕博文 学号：09211297 分工情况：个人一组 完成日期：11月5日
斐波那契数列递归和迭代算法
一、问题描述
分别写出下列函数的递归算法和迭代算法，并求出n=10时的函数值。Fib(n)= n
当n=0或n=1 Fib(n-2)+ Fib(n-1)当n>=2
二、算法思想
用递归算法求解时，若输入的n的值为0或1，根据问题描述中Fib(n)的递归定义，算法直接返回n作为输出结果。当输入的n的值大于等于2时，根据Fib(n)的递归定义，算法将调用自身计算Fib(n-2)和Fib(n-1)的值，然后返回二者的和。
用迭代算法求解时，先初始化Fib(0)和Fib(1)的值，用两个变量curValue和preValue存储，curValue存储较大的数值，preValue存储较小的数值。若输入的n的值为0或1，算法直接返回n。若输入的n的值大于等于2，循环n-1次，每次循环将curValue和preValue的值相加存入curValue中，并用preValue存储原来curValue的值，为下一次循环做好准备。最终的curValue的值即为Fib(n)的值。
三、设计描述
先提示输入n的值，然后调用递归算法计算Fib(n)，输出，再调用迭代算法计算Fib(n)，输出。
递归算法
int ShowFib_1(int n){
if(n == 0 || n == 1)//初始条件 return n;
else//不符合初始条件时，用递推关系计算 return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);}
迭代算法
int ShowFib_2(int n){ preValue = 0;curValue = 1;//设定第一、第二项的值作为初始条件
if(n == 0 || n == 1)//第一、第二项可直接输出结果 return n;else
{
for(i = 2;i <= n;i++)//其余各项从前往后逐项相加
{ temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp;
} returncurValue;
} }
四、源程序
#include
int ShowFib_1(int n);//定义递归函数 int ShowFib_2(int n);//定义迭代函数
int main(){ int n;
cout<< “N=?:”;cin>> n;
//递归算法
cout<< “用递归算法计算” < //迭代算法 cout<< “用迭代算法计算” < //递归算法 int ShowFib_1(int n){ if(n == 0 || n == 1)//判定初始条件 return n;else// return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);} //迭代算法 int ShowFib_2(int n){ intpreValue = 0, curValue = 1;//设定第一、第二项的值 if(n == 0 || n == 1)// return n;else { for(int i = 2;i <= n;i++)//其余项从前往后逐项相加 { int temp;temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp; } returncurValue; } } 五、测试结果 N=40时利用递归求算时计算机反应速度较慢 N=10时 六、心得体会 在N=40时，等待递归算法算出结果时间较长，可见递归算法计算斐波那契数列的效率不高。但使用迭代算法则想法，可见虽然迭代算法的思路稍难于递归算法，但时间复杂度与空间复杂度均优于递归算法。故更应推荐迭代算法。 另外，本题难度低，过程中没什么问题，故无太多感想。 第二题 一、问题描述 假设以带头结点的循环链表表示队列，并且只设一个指针指向队尾元素结点而不设头指针，试编写相应的队列初始化、入队列、出队列和判断队列状态的算法。 利用上述算法完成下面的各操作，并在每一操作后输出队列状态。 1)下列元素逐一入队：5,7,3,8,55 状态：5个元素 2)3个元素出队 状态：２个元素 3)再２个元素出队 状态：队空 4)再１个元素出队 状态：队空（指示下溢） 二、算法思想 主函数中新建一个队列的对象，然后调用其成员函数进行队列的操作。将5,7,3,8,55 入队→5,7,3出队→8,55出队→在队列为空时出队 每次操作后均输出当前队列状态。 三、设计描述 class Queue{ //建立一个队列类 public: Queue(){} ~Queue(); intInit(); //初始化队列 int Insert(int); //入队 int Delete(int&); //出队 intQState(); //判断状态 private: typedefstruct node { int data;struct node *next;}Node;Node *rear;}; 四、源程序 #include class Queue { public: Queue(){} ~Queue(); intInit();//初始化队列 int Insert(int);//入队 int Delete(int&);//出队 intQState();//判断状态 private: typedefstruct node { int data; struct node *next;}Node;Node *rear;}; int Queue::Init()//初始化 { rear=new Node;if(rear){ rear->data=-1; rear->next=rear; return 1;} return 0;} int Queue::Insert(intelem)//入队 { Node * newd=new Node; newd->data=elem;newd->next=rear->next;rear->next=newd;rear=newd;return 1;} int Queue::Delete(int&elem)//出队 { if(rear==rear->next) return 0; Node *p=rear->next->next;elem=p->data;rear->next->next=p->next;if(p==rear)//删最后一个 rear=rear->next;free(p);return 1; } int Queue::QState()//判定状态 { int i=0;Node *q=rear->next; cout<<“队列状态:”< cout< q=q->next; i++;} if(0==i) cout<<“空”< else cout< Queue::~Queue()//删除，如有未释放空间 { int i;if(rear) } { } if(rear->next==rear)free(rear);else { while(rear->next!=rear) Delete(i);free(rear);} //主函数 int main(){ Queue DQ;intele;DQ.Init();DQ.QState(); cout<<“依次将5,7,3,8,55入队”< 5,7,3,8,55 cout<<“将5,7,3出队n”;system(“pause”); if(DQ.Delete(ele))// 出队 cout< if(DQ.Delete(ele)) cout< if(DQ.Delete(ele)) cout< DQ.QState();//当前状态 8,55 cout<<“再将8,55出队”< system(“pause”); if(DQ.Delete(ele)) cout< cout< cout<<“下一步将在空的队列里进行删除操作”< if(DQ.Delete(ele)) cout< } cout<<“队列已满，下溢”< system(“pause”); 五、测试结果 六、心得体会 这个程序的实现关键在于类，类对于数据结构可以说是非常重要非常基础也是必不可少的一个杀手锏。在编这道题的过程中，最初的想法是设计一个程序可以实现入队、出队、上溢下溢提示，但考虑到这道题的具体要求，改为了程序自动将题目所要求出入队的元素进行操作，不过不影响核心算法核心思想的实现。 【总结】公司法上的时间点和数字汇总 { 总结 } 公司法时间点和数字 1.法定公积金：提取税后、补亏后利润至少10%；2.累计额为注册资本50%以上可以不再提取；用于投资要有所留存（比例至少为原注册资本的25%）3.有限责任公司人数：50以下4.代持股协议中实际出资人显名化：其他股东二分之一以上同意5..募集设立：发起人自股款缴足之日起30日内召开创立大会；董事会在创立大会结束后30日内，申请设立登记。6.董事会人数：有限（3-13人）；股份（5-19人）；任期≤3年7.股份有限公司董事会决议：全体董事半数通过8.临时股东大会召开：有限（1/10以上表决权股东提议；1/3以上董事提议）；股份（董事人数低于2/3；未弥补亏损达到1/3；股东单独或合计持有10%以上股份请求）9.股东大会通知：有限（提前15天）；股份（年会提前20天、临时会议提前15天、发行不记名股票提前30天）10.特别决议（改增减合分解变）：2/3以上表决权股东通过11.监事会人数：有限（≥3人，职工代表不低于1/3；国独≥5人）；股份（≥3人）；任期3年12.董监高不能任职情况：黑历史（执行期满未逾5年）；担任破产清算等负有个人责任，清算完结之日起未逾3年；吊销营业执照未逾3年13.公司不让股东（有限）查账簿的，需在15日内拒绝14.临时提案权：持股3%以上股东；股东大会召开10日前；15.临时股东会议召集权：持股10%（有限和股份一样）16.股东会自行召集权：有限（持股10%）；股份（持股10%以上、连续持股90天以上）17.决议无效、撤销请求：股份公司（作出之日起60日内）18.强制解散请求权：单独或合计10%以上表决权；连续2年不开会或无决议19.股东（有限）异议回购请求权：决议作出之日起60天内协商；决议作出之日起90天内起诉。20.股东代位诉讼：股份（单独或合计持有1%以上股份，180天以上）21.有限公司股份股权外部转让：其他股东半数人同意，30天不答复视为同意。22.强制执行股份股权：20日之内主张有限购买权23.股份公司股份转让：发起人1年内限转；董监高（任职期间25%内转；上市起1年内、离职起半年内禁转）；法定回购（法定减资的10日内注销、公司合并的6个月内转或注；接受法定回购的6个月内转或注）24.清算组成立：自行清算（解散事由出现起15日内）；法院指定(15日内不成立）25.清算程序：10日内通知；60日内公告26.国有独资公司：成员不得少于5人；职代比例不低于1/327.上市公司独立董事：至少1人为会计；董事会成员至少1/3位独董；一人最多兼任5家 《列方程解应用题2》学法优化教学反思 这一例题承担的教学任务与例1是一致的，通过今天的教学发现了以下几个问题： 一、有个别学生对这种稍复杂的方程不会解，学生的整体思想有待建立，对乘法分配率存在问题，头脑中对于把两个未知数合成一个未知数存在思维障碍，需要进一步巩固和练习，还有个别学生是因为前面对于简易方程的基础掌握不扎实，导致现在跟不上。 二、学生不会分析数量关系，甚至是列出方程以后才能说出等量关系，所以今后上课中对于列出方程以后，应该多让学生说一说算理，从而让学生明确算理。 三、如何让学生学会分析数量关系呢？ 上完课后，我做了以下几点的思考： 1、读懂题意，在做题之前让学生多读题，理解题意。为分析数量关系做好铺垫。 2、给题目分类，像常见的行程问题、工作量问题、价钱问题，让学生熟悉并掌握这些问题之间各个量之间的关系。 3、明确题目的类型之后，快速找出题目中已知的量和未知的量。 4、找到这些已知量和未知量之后，让学生根据分析好的数量关系，列出或说出等量关系。 5、等量关系找到之后，告诉学生列方程就是根据等量关系来列。 《点图和数》教学反思 xiaoxue.xuekeedu.com 这个月我上了一节领先课《点图和数》，这节课是教材中的一个新知识点，它不仅要让学生初步感知平方数、奇数及其一些特点，更重要的是激发学生探究的欲望。 在学习本知识点前，学生已有九九乘法口诀的基础，第二册中也曾用拼拼摆摆的形式探究过单数、双数及其关系。因此，学生具备了一定的知识基础及相似的操作经验。 根据学生的年龄特点，整节课以去米老鼠带小朋友到点图王国游玩为线索，把复习、初步感知平方数、探究平方数特点串联起来，如进入点图王国要先过关，游玩时有过河障碍、帮小动物找家，打开小动物送给我们的礼物出现题目等等，激发学生兴趣。 低年级学生由于年龄小，知识积累少，要真正开展探究有一定的难度，但是选择恰当学习方式开展探究活动，能够培养学生能力，拓展思维。根据本课的知识特点，通过动手操作辅助学生的自主探究，而探究又体现在学生的种种实践活动中。动手操作是一种特殊的认知活动，学生借助手的活动能够实现和反映其内部的思维活动。让多种感官参与学习，改变“耳听口说”的学习模式，加深对知识的理解，学到获取知识的方法。我设计了两个操作环节： 1、以小组为单位，用4张相同的平方数点图拼一拼，引导学生观察得出4个相同的平方数合起来还是平方数。 2、用单数点图拼一拼，引导学生观察得出单数拼成平方数。但“从1开始”“连续”这两个关键词，学生自己很难归纳出来，教师就用反例拼一拼来补充这一结论，使学生对知识的认识更趋完整。总之，让学生在参与知识的形成过程中，去分析、归纳、推理、总结，同时改变学生参与广度，使人人参与。 不足：在预设的过程中，我也曾想到把学生举例的平方数有序板书，但后来怕占用太多时间而删掉了，想想不觉是一个遗憾，这么个小环节其实可以很好地训练学生的有序思维，教学应以学生为主，利用好最佳的教学时机。请学生回答问题时，如果他能完整地表述，老师应该大胆地放手，重要的地方则应该多请一两个学生表述.教学语言、语气还应进一步推敲…… 我清醒地认识到我只是学习活动的组织者、鼓动者，通过精心设计疑问，穿针引线，引导学生投入学习活动，才能使课堂成为学生获取知识、展示才能的舞 xiaoxue.xuekeedu.com 台。课堂的精彩很大程度在于师者的精心设计,学生的投入的神情,精彩的回答就是给我最想要的回报。这节课的前前后后我收获了很多，我将沿着这条路继续前行。第三篇：【总结】公司法上的时间点和数字汇总
第四篇：列方程解应用题2学法优化教学反思
第五篇：二年级上数学教学反思-点图和数-沪教版【小学学科网】
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