(3修改后)2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案范文合集

第一篇：(3修改后)2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)

1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记ansup

d(x,x1)xz

若an，则映射A有唯一不动点。

n1（第七章：P216，#18）

证明因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

NNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不动点。AN的不动点是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不动点。

若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn1x’=…= A x’= x’。这样x’也是A的不动点，由于A的不动点是唯一的，因此x*= x’。即A的不动点也是唯一的。证毕。

2、按范数xmaxj，x1,2,n成赋范线性空间，问Rn的共轭空间是j什么？

（第八章：P236，#8）

解记R按范数xmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数x性空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,fennnni1ni组成赋范线

，其中ei0,0,1,0,,0i1,2,,n。i对任意xe，fxfefemaxiinnniiiiTfx

于是fTf

nni1i1i1反之，对任意y1nY。定义fX：对任意xe，fx，则

iiiii1i1Tfy。因此T是 X到Y的映射若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。若y1n  0,,0令xnsigne，则

iii1nx 1

因此f fx i1iyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明M最小闭子集。（第九章：265，#6）

是X中包含M的证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设xM，则y,x limxn,x0，因此yMn闭子空间，且MY，则Y M，从而M，即YM又Y是X中

Y= Y，所以YM。证毕

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B

222T2T。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

ATTTT,B22i及TTTT，得A2B22TTTTTTTTTT442，所以ABTTT。

222T22T2T2TTT，即T2T2。证毕。

45、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，T1，证明：

xTxxxT证明若Txx，则xxx。

2（第九章：P265,#12）

2Tx,xx,Tx x Tx x‘ 因此，x,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由x,Txx,x，可得

1，即

Tx。这样，xTxxxTxxxTxxxTxx。

即xTxx xTxx。证毕 

6、用闭图像定理证明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

证明

设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T1的图像G(T1){(y,T1y)yY}，若(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设T1ynxn，则xnx0，Txny0。因为T是连续的，所以Tx0limTxny0，即

nT1y0x0。这样(y0,x0)G(T1)。于是我们证明了G(T1)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图像定理，T是有界的，证毕。



17、X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX,.证明f(x)是X上

yA连续函数。

（第七章：P215，#10）

证明

设d(E,F)o。令 o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)} 22则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有

zOG，所以

〈)存在E中的点x使d(x,z2〈)，F中点y使d(y,z2〈)，于是d(x,y)d(x,z)d(y,z矛盾。证毕此与d(x,y)d（E，F）

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。（第十一章：P319，#10）

证明设{xn} 是X1 中有界点列。因为T1全连续，所以{T1xn}中必有收敛子列。我们记之为{T1xnk}。又因为T2有界，所以{T2T1xnk}也收敛，因此{T2T1xn}有收敛子列。这就证明了T2T1是全连续算子。证毕。

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