教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读

第一篇：教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读

教学课题： § 3.二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质。

教学目的：掌握二元函数连续的定义及其性质，有界闭域上连续函数的性质及其证明方法。教材重点：本节重点是二元函数连续的定义及有界闭域上连续函数的性质，难点是二元函数连续性的讨论。

教学过程：

一．二元函数连续的概念

1． 定义：设f在DR上有定义，p0∈D（聚点或孤立点）。若0,0，当pU(p0,)D时，有 f(p)f(p0)，称f关于D在p0连续。在不致误解的情况下，也称f在p0连续。

若f在D上每一点都f关于D连续，称f为D上的连续函数。说明：（1）。若p0为D的孤立点，f关于D在p0连续。

（2）。若p0为D的聚点，f关于D在p0连续pp0(pD)2limf(p)f(p0)。

（3）。若p0为D的聚点，f在p0不连续，称p0为f的间断点。特别，当f在p0 的极限存在但不等于在p0的函数值时，称p0为f的可去间断点。

y222,xy0,2例1． 设 f(x,y)(xy2)p

0,x2y20.其中p>0。p取何值时，f在（0，0）连续？

y2ln(x2y2),x2y20,例2．设 f(x,y)

讨论f在（0，0）的连续性。220,xy0设 p0(x0,y0),p(x,y)D.记xxx0，yyy0，zf(x,y)f(x0,y0)

=f(x0x,y0y)f(x0,y0)，称z为f在p0的全增量。也可应用全增量描述函数的连续性，即：f在p0连续 (x,y)(0,0)limz0。

记 xzf(x0x,y0)f(x0,y0),yzf(x0,y0y)f(x0,y0)，分别称为f在p0关于x，y的偏增量。若limxz0，则表示一元函数f(x,y0)在x0连续。同样，x0y0limyz0，则f(x0,y)在y0连续。若f(x,y)在p0(x0,y0)连续，则f(x,y0)在x0连续且f(x0,y)在y0连续，反之不成立。

1,xy0,例3．f(x,y) 在（0，0）不连续，但f(0,y)= 0，f(x,0)= 0，分别0,xy0在 y= 0 及 x= 0 处连续。续函数的局部性质：若f在p0连续，则

（1）。0,f在U(p0,)中有界；（2）。若f(p0)0,则0,在U(p0,)中f与f(p0)同号；（3）。若g在p0也连续，则 f±g，fg,续。下面证明复合函数的连续性。

定理7。设u(x,y),v(x,y)在U(p0)中有定义，在p0连续。f(u,v)在uv平面上点Q0(u0,v0)的某邻域内有定义，在Q0连续，则f((x,y),(x,y))在p0连续。其中，f(g(p0)0)在p0也连gu0(x0,y0),v0(x0,y0)。

证明： f在Q0连续, 由定义，0,0,当uu0,vv0 时，有

f(u,v)f(u0,v0)。又 u(x,y),v(x,y)在p0(x0,y0)连续，对上述0，0,当xx0,yy0时,uu0(x,y)(x0,y0)，vv0(x,y)(x0,y0),故 f((x,y),(x,y))f((x0,y0),(x0,y0)<, 即f((x,y),(x,y))在p0连续.3． 初等函数的连续性。

以x，y为变量的基本初等函数，经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的函数称 为二元初等函数。与一元函数类似，二元初等函数在定义域内连续。二．有界闭域上连续函数的性质

1． 有界性与最值定理

定理8。若f在有界闭域DR上连续，则f在D上有界，且能取到最大与最小值。证：先证有界性。用反证法。设f在D上无界，则n,pnD,使f(pn)n，于是得有界点列{pn}D，且{pn}为无限点列。由致密性定理，{pn}有收敛子列{pnk}，设

limpnkp0，则p0为D的聚点。而D为闭域，故p0D。又由f在p0连续可知，kpp0limf(p)f(p0)，因此 limf(pnk)f(p0),这与f(pnk)nkk矛盾，所以f在kD上有界。设Msupf(p),minff(p)。下证M，m 分别为f在D上的最大值与最pDpD小值。若pD,f(p)M.则1在D上连续，从而有界。存在G > 0 , 使

Mf(p)1G,Mf(p)f(p)M1 , 这与M的定义矛盾。因此必存在p1D，使 Gf(p1)M。同理存在p2D,使f(p2)m。

2．一致连续性定理

定理9。若f在有界闭域DR上连续，则f在D上一致连续。即 0,0，2p1,p2D,只要(p1,p2),就有f(p1)f(p2)。

证：若f在D上不一致连续，则00,0,p,pD,使(p,p)，f(p)f(p)0。

，pnD，使(pn,pn)1/n，但是 取1/n,n1,2,,则pnp0，由 }有收敛子列{pnk}，记 limpnk)f(pn)0。由致密性定理，{pnf(pnk,pnk)1/nk1/k,知limpnkp0。又，f在p0连续，因此有 (pnkk)f(pnk))f(p0)f(p0)0，)f(pnk)0 矛盾，lim(f(pnk与 f(pnk于是f在kD上一致连续。

3．介值定理

定理10。设f在有界闭域DR上连续，p1,p2D,且f(p1)f(p2),则

2：f(p1)f(p2),则必存在p0D,使f(p0)。

则F(p1)0,F(p2)0。在D内用有限条折线将p1,p2连接证。记F(p)f(p)，起来。（1），若有一个连接点i，使F(i)= 0，则取p0=i即可。（2），若所有连接点i，都有F(i)≠ 0，则必有一直线段，F在它两端点的函数值异号。不妨设此线段为p11，xx1t(xx1)且 p1(x1,y1),1(x,y)，线段p11的方程：t[0,1]，则

yyt(yy)11F(x,y)F(x1t(xx1),y1t(yy1))G(t)为[0，1]上的连续函数，且G(0)F(p1)0，G(1)F(1)0。因此必存在t0(0,1)，使

G(t0)F(x1t0(xx1),y1t0(yy1))0,记x0x1t0(xx1)，，则 p0D,且F(p0)0,即f(p0)。y0y1t（）0yy1