第一篇:《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了!
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《线性代数》复习提纲
第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯
一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:
Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。二.矩阵
1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2.矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: ①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵); ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|; ④|kA|=k^n|A| 3.矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法
一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I;(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)
5.用逆矩阵求解矩阵方程: AX=B,则X=(A^-1)B; XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定 定理:
(1)r(A,b)≠r(A)无解;
(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A) r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解; r(A) X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。(3)求解的方法和步骤: ①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ②写出对应同解方程组; ③移项,利用自由未知数表示所有未知数; ④表示出基础解系; ⑤写出通解。 3.非齐次线性方程组(1)解的情况: 利用判定定理。(2)解的结构: X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。(3)无穷多组解的求解方法和步骤: 与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法: 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。 四、向量组 1.N维向量的定义 注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2.向量的运算: (1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同); (2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;(3)向量长度 |α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号)(4)向量单位化(1/|α|)α; (5)向量组的正交化(施密特方法) 设α1,α 2,…,αn线性无关,则 β1=α1,β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。3.线性组合 (1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn,则称β是向量组α1,α 2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记 A=(α1,α 2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β) 若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示; 若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。(3)求线性表示表达式的方法: 将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。4.向量组的线性相关性 (1)线性相关与线性无关的定义 设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关; 若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。(2)判别方法: ① r(α1,α 2,…,αn) n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)5.极大无关组与向量组的秩 (1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 (2)求法 设A=(α1,α 2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。 五、矩阵的特征值和特征向量 1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 2.特征值和特征向量的求解: 求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3.重要结论: (1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0; (2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值; (3)不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似 1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。 2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧): 求出所有特征值; 求出所有特征向量; 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。 3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵: 方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型 n 1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。 i,j=1 2.二次型标准化: 配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3.二次型或对称矩阵的正定性: (1)定义(略); (2)正定的充要条件: ①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0; ②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0; 《线性代数》复习提纲 第一部分:基本要求(计算方面) 四阶行列式的计算; N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论; 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯 一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量; 讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分:基本知识 一、行列式 1.行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法 定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; (2)行列式值为0的几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 二.矩阵 1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等); 2.矩阵的运算 (1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果; (2)关于乘法的几个结论: ①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵); ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|; ④|kA|=k^n|A| 3.矩阵的秩 (1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩; (2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4.逆矩阵 (1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立); (2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序) (3)可逆的条件: ① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I; (4)逆的求解 伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~) ②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1) 5.用逆矩阵求解矩阵方程: AX=B,则X=(A^-1)B; XB=A,则X=B(A^-1); AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组 1.线性方程组解的判定 定理: (1)r(A,b)≠r(A)无解; (2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解; (3)r(A,b)=r(A) 特别地:对齐次线性方程组AX=0 (1)r(A)=n 只有零解; (2)r(A) 再特别,若为方阵,(1)|A|≠0 只有零解 (2)|A|=0 有非零解 2.齐次线性方程组 (1)解的情况: r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解; r(A) (2)解的结构: X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 (3)求解的方法和步骤: ①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ②写出对应同解方程组; ③移项,利用自由未知数表示所有未知数; ④表示出基础解系; ⑤写出通解。 3.非齐次线性方程组 (1)解的情况: 利用判定定理。 (2)解的结构: X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 (3)无穷多组解的求解方法和步骤: 与齐次线性方程组相同。 (4)唯一解的解法: 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。 四、向量组 1.N维向量的定义 注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。 2.向量的运算: (1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同); (2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn; (3)向量长度 |α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号) (4)向量单位化(1/|α|)α; (5)向量组的正交化(施密特方法) 设α1,α 2,…,αn线性无关,则 β1=α1,β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。 3.线性组合 (1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn,则称β是向量组α1,α 2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。 (2)判别方法 将向量组合成矩阵,记 A=(α1,α 2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β) 若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示; 若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。 (3)求线性表示表达式的方法: 将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。 4.向量组的线性相关性 (1)线性相关与线性无关的定义 设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关; 若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。 (2)判别方法: ① r(α1,α 2,…,αn) r(α1,α 2,…,αn)=n,线性无关。 ②若有n个n维向量,可用行列式判别: n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了) 5.极大无关组与向量组的秩 (1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 (2)求法 设A=(α1,α 2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。 五、矩阵的特征值和特征向量 1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 2.特征值和特征向量的求解: 求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3.重要结论: (1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0; (2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值; (3)不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似 1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。 2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧): 求出所有特征值; 求出所有特征向量; 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。 3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵: 方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型 n 1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。 i,j=1 2.二次型标准化: 配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3.二次型或对称矩阵的正定性: (1)定义(略); (2)正定的充要条件: ①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0; ②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;