《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了![优秀范文五篇]

时间:2019-05-14 13:31:36下载本文作者:会员上传
简介:写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了!》,但愿对你工作学习有帮助,当然你在写写帮文库还可以找到更多《《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了!》。

第一篇:《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了!

[转]【《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了!

《线性代数》复习提纲

第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;

N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);

矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论;

齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯

一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性;

求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量;

讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识

一、行列式

1.行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;

(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算

一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法

定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:

Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。二.矩阵

1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);

2.矩阵的运算

(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: ①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵); ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|; ④|kA|=k^n|A| 3.矩阵的秩

(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;

(2)秩的求法

一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4.逆矩阵

(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);

(2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)

(3)可逆的条件:

① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I;(4)逆的求解

伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)

5.用逆矩阵求解矩阵方程: AX=B,则X=(A^-1)B; XB=A,则X=B(A^-1);

AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组

1.线性方程组解的判定 定理:

(1)r(A,b)≠r(A)无解;

(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;

r(A)

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。(3)求解的方法和步骤:

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ②写出对应同解方程组;

③移项,利用自由未知数表示所有未知数; ④表示出基础解系; ⑤写出通解。

3.非齐次线性方程组(1)解的情况: 利用判定定理。(2)解的结构:

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。(3)无穷多组解的求解方法和步骤:

与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法:

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。

四、向量组

1.N维向量的定义

注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2.向量的运算:

(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);

(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;(3)向量长度

|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号)(4)向量单位化(1/|α|)α;

(5)向量组的正交化(施密特方法)

设α1,α 2,…,αn线性无关,则

β1=α1,β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。3.线性组合

(1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn,则称β是向量组α1,α 2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记

A=(α1,α 2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)

若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示; 若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。(3)求线性表示表达式的方法:

将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。4.向量组的线性相关性

(1)线性相关与线性无关的定义

设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关;

若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。(2)判别方法:

① r(α1,α 2,…,αn)

n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)5.极大无关组与向量组的秩

(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

(2)求法 设A=(α1,α 2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的求解:

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3.重要结论:

(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;

(2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;

(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。

2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧):

求出所有特征值;

求出所有特征向量;

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:

方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型

n

1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。

i,j=1

2.二次型标准化:

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3.二次型或对称矩阵的正定性:

(1)定义(略);

(2)正定的充要条件:

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;

②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;

《线性代数》复习提纲

第一部分:基本要求(计算方面)

四阶行列式的计算;

N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);

矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);

求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;

含参数的线性方程组解的情况的讨论;

齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯

一、无穷多解);

讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性;

求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;

将无关组正交化、单位化;

求方阵的特征值和特征向量;

讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;

通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;

写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分:基本知识

一、行列式

1.行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;

(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;

2.行列式的计算

一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;

N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法

定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。

特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;

(2)行列式值为0的几种情况:

Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0;

Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;

Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例;

Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二.矩阵

1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);

2.矩阵的运算

(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;

(2)关于乘法的几个结论:

①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;

③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;

④|kA|=k^n|A|

3.矩阵的秩

(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;

(2)秩的求法

一般不用定义求,而用下面结论:

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。

求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4.逆矩阵

(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);

(2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)

(3)可逆的条件:

① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I;

(4)逆的求解

伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)

②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)

5.用逆矩阵求解矩阵方程:

AX=B,则X=(A^-1)B;

XB=A,则X=B(A^-1);

AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组

1.线性方程组解的判定

定理:

(1)r(A,b)≠r(A)无解;

(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;

(3)r(A,b)=r(A)

特别地:对齐次线性方程组AX=0

(1)r(A)=n 只有零解;

(2)r(A)

再特别,若为方阵,(1)|A|≠0 只有零解

(2)|A|=0 有非零解

2.齐次线性方程组

(1)解的情况:

r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;

r(A)

(2)解的结构:

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

(3)求解的方法和步骤:

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;

②写出对应同解方程组;

③移项,利用自由未知数表示所有未知数;

④表示出基础解系;

⑤写出通解。

3.非齐次线性方程组

(1)解的情况:

利用判定定理。

(2)解的结构:

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

(3)无穷多组解的求解方法和步骤:

与齐次线性方程组相同。

(4)唯一解的解法:

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。

四、向量组

1.N维向量的定义

注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。

2.向量的运算:

(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);

(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;

(3)向量长度

|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号)

(4)向量单位化(1/|α|)α;

(5)向量组的正交化(施密特方法)

设α1,α 2,…,αn线性无关,则

β1=α1,β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。

3.线性组合

(1)定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn,则称β是向量组α1,α 2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。

(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记

A=(α1,α 2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)

若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示;

若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α 2,…,αn的一个线性表示。

(3)求线性表示表达式的方法: 将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。

4.向量组的线性相关性

(1)线性相关与线性无关的定义

设 k1α1+k2α2+…+knαn=0,若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关;

若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。

(2)判别方法:

① r(α1,α 2,…,αn)

r(α1,α 2,…,αn)=n,线性无关。

②若有n个n维向量,可用行列式判别:

n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)

5.极大无关组与向量组的秩

(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

(2)求法 设A=(α1,α 2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的求解:

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3.重要结论:

(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;

(2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;

(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。

2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧):

求出所有特征值;

求出所有特征向量;

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:

方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型

n

1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。

i,j=1

2.二次型标准化:

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3.二次型或对称矩阵的正定性:

(1)定义(略);

(2)正定的充要条件:

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;

②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;

下载《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了![优秀范文五篇]word格式文档
下载《线性代数》复习提纲】只需1天就能高分过了线代——没听课的孩纸果断转了![优秀范文五篇].doc
将本文档下载到自己电脑,方便修改和收藏,请勿使用迅雷等下载。
点此处下载文档

文档为doc格式


声明:本文内容由互联网用户自发贡献自行上传,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任。如果您发现有涉嫌版权的内容,欢迎发送邮件至:645879355@qq.com 进行举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关范文推荐