蒙日圆定理(解析几何证法)

第一篇：蒙日圆定理(解析几何证法)

蒙日圆定理

（纯解析几何证法）

蒙日圆定理的内容：

椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

x2y2如图，设椭圆的方程是221。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。

ab求证：点P在圆xyab上。

证明：

若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：

它必定在圆xyab上。

现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：

22222222Pspeciala,b

(1)

PM:ykxm

(2)(3)

1PN:yxn

knmknk2mP2,2

k1k1联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P的坐标为：

(4)从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为：

nmknk2m2OP22k1k1

n2k2m2k2122(5)现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：

1k222kmm222x2x210

bbab(6)由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：

m2b212a2k21m2b

对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：

n2b222a2k1nb2

为方便起见，令：

a2A,b2B,m2M,n2N,k2K

这样(7)和(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出：

MBAK

NBAK 将(10)和(11)代入(5)，就得到： OG2NKMABa2b2K1

证毕。

(7)

(8)

(9)

(10)(11)

(12)

第二篇：高二地方新教材期末练习卷(三角函数、解析几何、排列、组合、二项式定理)

高一地方新教材期末练习卷一

一、选择题（每题3分，共36分）

1.54，ab10，则a与b的夹角为（）

A.90B.120C.135D.150

2.cos83cos38sin83sin38的值为（）

A.123B.C.D.1 22

23.在ABC中，已知a8，B60，A45，则b为（）

A.4B.42C.43D.46

4.下列方程的曲线经过点(0,0)的是（）

A.yx2B.y122C.xy4D.y2x x

5.点P(1,1)到直线3x4y60的距离为（）A.24B.C.1D.2 5

56.直线2x3y10关于原点对称的直线方程为（）

A.2x3y10B.2x3y10C.2x3y10D.3x2y10

7.过圆x2y24上一点M(1,)的切线方程是（）A.x3y40 B.x3y40C.x3y40D.x3y40

x2y2

1的渐近线为（）8.双曲线 49

A.y9432xB.yxC.yxD.yx 492

329.抛物线y4x的焦点坐标为（）

A．(1,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(1,0)

10.若C12C12x3x4，则x为（）

A．2B．2C．2D．4 11.(x24)中的常数项为（）x

A．6B．6C．24D．2

412.酸、甜、苦、辣、咸、涩六味，假设任何两种或多种混合调出的味道都不同，则六味可以调出多少种不同的味道（）

A．6种B．21种C．63种D．720种

二、填空题（每题4分，共24分）

13.sin75cos75 _______

14.过点(3,2)且倾斜角为45的直线方程为___________

15.直线yx52与圆x2y225的位置关系为_________ 

x2y

21上一点到一个焦点的距离为6，则该点到另外一个焦点的距离为____ 16.椭圆1006

42526269817.C100C50C51______ _____，C50

18.从5名男同学和4名女同学中选出3名参加某种技能比赛，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的选法有______种

三、解答题（共40分）

19.（本题6分）已知（2,)，且sin3，求tan，tan2

520.（本题6分）第29届北京奥运会表彰会上，中国乒乓球队男女主力队员各3名，与主教练刘国梁合影留念。

（1）教练站着中间有多少种排法？

（2）女的站在前排，男的站在后排，有多少种排法？

21.（本题8分）求满足下列条件的直线方程：

（1）经过(2,3)且与直线3x2y70平行的直线

（2）经过(2,3)且与直线3x2y70垂直的直线

22.（本题6分）已知点A(1,7),B(1,1)，求以线段AB为直径的圆的方程

x2y

21的长轴长、短轴长，焦点坐标和离心率 23.（本题8分）求椭圆2516

24.（本题6分）(x1)7a0a1xa2x2a7x7

（1）求a0

（2）求a1a2a7