2014年初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第十一讲 代数式的恒等变形(拔高篇,适合八年级使用)

第一篇：2014年初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第十一讲 代数式的恒等变形(拔高篇,适合八年级使用)

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代数式的恒等变形

【知识梳理】

1、恒等式的意义

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。

2、代数式的恒等变形

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。

3、基本思路

（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：左边右边0，或

4、基本方法

在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。

【例题精讲】

【例1】已知abc1，求证：

左边1，此时右边0。右边abc1。

aba1bcb1acc1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且x111yz，求证： x2y2z21。yzx1 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com

【拓展】若xyz0，axyz，byzxz，cxy，aba1b1cc11。

【例2】证明：xyz1axa2aya2113aza2xayazaa。思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。

求证：2 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com

222111111【巩固】

1、求证abab4abab。

abababab

2、求证：

【拓

展

】

求

证

：bcdbcd。

aabababcabcabcdaabcd24620111111

x10x1x21x24x29x2100x1x10x2x9

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xabab，ybcbc，zcaca，求证1x1y1z1x1y1z

思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。

aca222【巩固】已知bd3，求证：c2b2d2abcdacbdabcd。

【拓展】已知实数a、b、c满足

11ab1c1abc，求证： 1a2n11b2n11c2n11a2n1b2n1c2n1，其中n是正整数。

：文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com 【例4】已知

ax3by3cz3，且

1111，求证：xyz3ax2by2cz23a3b3c。

【巩固】

1、已

知

ABCDxyzt，求证：AxByCzDt

2、设

ABCDxyzt

aa1a2a3na1，a2，，an，b1，b2，，an都是整数。b1b2b3bna2b2a3b3anbna1a2anb1b2bn 求证：a1b1文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com

【拓展】设2005x32006y32007z3，xyz0，222且32005x2006y2007z320053200632007，求证：

1111。xyz

【例5】已知正数a，b满足a1b2b1a21，求证：ab1。

22思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明的结论，就是我们平时说的“正面突破”。

第二篇：2014初中数学奥赛专题复习知识梳理+例题精讲 第一讲 如何做几何证明题(拔高篇,适合八年级使用,无答案)

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如何做几何证明题

【知识梳理】

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示，中，C90，ACBC，ADDB，AECF。ABC 求证：DE＝DF

AEDCFB文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com 【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结ABCCE、DE。

求证：EC＝ED

【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F

【专题二】证明直线平行或垂直

FBCAEBCAEDD 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。ABC 求证：KH∥BC

BCQKAPHA90，AEBF，BDDC【例4】已知：如图所示，AB＝AC，∠。文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com 求证：FD⊥ED

【专题三】证明线段和的问题

BFAEDC

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°； 求证：BC＝AD＋AE

【巩固】已知：如图，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。ABCB60 求证：AC＝AE＋CD

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

ADEBCBEAODC文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com 【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。

求证：EF＝BE＋DF

AD

F

B EC

【专题四】证明几何不等式：

【例7】已知：如图所示，在ABC中，AD平分∠BAC，ABAC。

求证：BDDC

A

BDC

【拓展】ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD14ABACBC

A

BDC 4

第三篇：2014年初中数学奥赛专题复习精讲学案(拔高篇,适合八年级使用)：第十二讲 相似三角形(知识梳理+例题精讲)

第十二讲：专题复习：相似三角形

【知识梳理】

1、比例线段的有关概念：

ac 在比例式(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项。

2、平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

ABDEABDEBCEF

则，，，… BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

4、相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

5、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：

（1）如图1，当

时，ABC∽ADE

（2）如图2，当

时，ABC∽ AED。（3）如图3，当

时，ABC∽ ACD。

AA

D DED E

BBCCCB 图1图2图3

（4）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△

∽△。

（5）如图5，当

时，则△

∽△。

A

ACBA'C'E'EDD'AB'图4

图5（6）如右图，特殊图形（双垂直模型）∵∠BAC＝90° ADBC∴

 ADC

∽

 BDA

∽

 BAC

【例题精讲】

BDC【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，求证：BE=2EC。

DA

【巩固】如图，△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分线交AC于D且BC=BD+AD，设∠A=c°，求c的值。

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD

ADBCADBEC6S梯形DCBA25，O

【巩固】

1、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF:SEBF:SABF（）

A.4:10:25

B.4:9:25

C.2:3:5

D.2:5:25

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若SD0E:SCOB9:16，则AD:DB=____________。

【例3】已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，求证：

BDOCEAADFBECABAFACDF。

A

【巩固】已知如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交

BDFECCEAE于F，求证：CECFFDBE。

【例4】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上任意一点，连结AD，过D作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE+DF的长是定值。

BED图1FCA

【巩固】如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，过D作AB、AC的垂线，垂足分别为M、N，求证：DMDN的长是定值。

【例5】如图，在△ABC中，D为BC上任意一点，连结AD，P为AD上任意一点，连结

B图2NMCD'AAPB、PC，求证：

SABPBD。SAPCDC【巩固】用面积法证明下述定理：

（1）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证：AB:AC=BD:DC。

（2）（赛瓦定理）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，连结AD、BE、CF交于点O，求证：

（3）（梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，BA（或其延长线）分别交于D，E，F。求证：

BFOEBDCEAF1。DCAEFBADCBDCEAF1。DCEAFBAEBDC

【拓展】如图，在△ABC中，D是BC边中点，G是AD（不包括A、D两点）上一动点，BG、CG的延长线分别交AC、AB于点F、E。（1）求证：AEAF； EBFCASSCGFAEx，用含x的代数式表示BGE（2）设，EBSABC并求出它的最大值。

BEGFDC