2018年高考冲刺圆锥曲线

第一篇：2018年高考冲刺圆锥曲线

2018年高考冲刺圆锥曲线

一．选择题（共13小题）

1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]

2．已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1

C．a=﹣1

D．a=2

4．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A． B． C．

D．

﹣1

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所确定的圆中，最大面积是（）A．π B．π C．3π D．不存在

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线6．已知双曲线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A． B．

C．

D．

7．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10 8．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）

第1页（共16页）

A． B． C． D．

=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，9．设A，B是椭圆C：+则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）10．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A． B．1 C． D．2

+

=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．

12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C．

D．1

13．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）C．2

D．4 A． B．1

二．填空题（共2小题）

14．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于

． 15．已知双曲线﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py

第2页（共16页）

（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为

．

第3页（共16页）

2018年高考冲刺圆锥曲线

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]，即可求出实数t的取值范围．，【分析】由题意，|CM|≤【解答】解：由题意，|CM|≤∴（5﹣1）2+（t﹣4）2≤20，∴2≤t≤6，故选C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．

2．已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得OD=，从而得BC中点的轨迹方程． 【解答】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜，故选D．

第4页（共16页）

【点评】本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1

C．a=﹣1

D．a=2

【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E2﹣4F＞0联立求解a的取值范围．

【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=﹣1．

故选C．

【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题．

4．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A． B． C．

D．

﹣1

【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线x﹣y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．

【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，第5页（共16页）

直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|=∴切线长的最小值为故选：B．

【点评】本题考查圆的切线方程，考查了直线与圆位置关系的应用，是基础题．

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所确定的圆中，最大面积是（）A．π B．π C．3π D．不存在

．

．

【分析】圆的方程配方化为标准方程后，表示出圆心坐标和半径的平方，根据二次函数求最值的方法求出半径的最大值时k的值，此时圆的面积最大，即可得出结论．

【解答】解：将方程配方，得（x+）2+（y+∴r2max=，此时m=﹣1． ∴最大面积是故选：B．

【点评】此题考查学生会将圆的方程化为圆的标准方程，掌握二次函数求最大值的方法是关键．

6．已知双曲线﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线．）2=

．

上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）

第6页（共16页）

A． B． C． D．

【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，即，解得a=1，b=故选：D．，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

7．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10

【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，+θ，利用焦点弦的弦长公

第7页（共16页）

∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=

×

=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 根据焦点弦长公式可得|AB|=|DE|==

=

=

+θ，∴|AB|+|DE|=∵0＜sin22θ≤1，+==，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．

8．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段

第8页（共16页）

A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A． B． C．

D．

【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．

【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离

=a，化为：a2=3b2．

∴椭圆C的离心率e==故选：A．

=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．设A，B是椭圆C：+

=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=取值范围．

【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，设椭圆的方程为：y＞0，则a2﹣x2=

≥tan60°，当即可求，即可求得m的≥tan60°=

（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），第9页（共16页）

∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，=﹣

=﹣则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣，∴tanγ=﹣，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=解得：0＜m≤1；

≥tan60°=，当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）故选A．

≥tan60°=，解得：m≥9，第10页（共16页）

【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．

10．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A． B．1 C． D．2

【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．

【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D

【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．

11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF

第11页（共16页）

交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．

【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，=，即为a=3c，化简可得可得e==． 故选：A．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C．

D．1，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，【分析】由题意可得F（，0），设P（运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．

第12页（共16页）

【解答】解：由题意可得F（，0），设P（显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0，则=+=+

=

+（﹣），y0），=+=（+，），可得kOM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号． 故选：C．

【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．

13．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）C．2

D．4 A． B．1 【分析】由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出． 【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则联立，|FQ|=x2+2．

．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．

∵△＞0，∴，x1x2=4．

第13页（共16页）

∴+====．

故选A．

【点评】本题考查了抛物线的焦点弦问题，属于中档题．

二．填空题（共2小题）

14．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）相交

． 于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于

【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，①，②，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得∴a=∴∴e==b，=b，．

第14页（共16页）

+=1（a＞b＞0）相交于，即，故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．

15．已知双曲线﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为 y=±x ．

【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出线的渐近线方程为：y=±x． 【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，及，求出a=b，得双曲∵|FA|=c，∴

抛物线的准线方程为由得，由①②，得∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．

【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．

第15页（共16页）

=2c，即c2=2a2，第16页（共16页）

第二篇：高考冲刺

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第三篇：高考圆锥曲线题型归类总结50

高考圆锥曲线题型归类总结50 高考圆锥曲线的七种题型；题型一：定义的应用；

1、圆锥曲线的定义：；（1）椭圆；（2）椭圆；（3）椭圆；

2、定义的应用；（1）寻找符合条件的等量关系；（2）等价转换，数形结合；

3、定义的适用条件：；典型例题；例

1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,；例

2、方程；题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程；

1、椭圆：由

2、双曲线：由，分母的大小决高考圆锥曲线的七种题型

题型一：定义的应用

1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件： 典型例题

例

1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例

2、方程

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

1、椭圆：由

2、双曲线：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 表示的曲线是 2222

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题 x2y2 例

1、已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m?12?m x2y2 ??1的曲线： 例

2、k为何值时,方程9?k5?k(1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积S?btan2? 2 ；双曲线焦点三角形面积S?bcot2? 2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题

22xy例

1、椭圆22?，求1(a?b?0)上一点P与两个焦点FFPF?1，2的张角∠F12?ab 证：△F1PF2的面积为btan2?。2 例

2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且

．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；，2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 x2y2 例

1、已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab 三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例

2、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,ab 则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例

3、椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?c,0),F2(c,0)，椭圆上存在 ab 点M使F1M?F2M?0.求椭圆离心率e的取值范围； ?? x2y2 例

4、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?的直线 ab 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系 x2y2 点在椭圆内?2?2?1 ab x2y2 点在椭圆上?2?2?1 ab x2y2 点在椭圆外?2?2?1 ab

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： ?>0?相交

?=0?相切（需要注意二次项系数为0的情况）?<0?相离

3、弦长公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圆锥曲线的中点弦问题：

1、伟达定理：

2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题

例

1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例

2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 例

1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例

2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例

3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点0P的轨迹方程为

例

4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线 例

5、一动圆与两圆⊙M： 的轨迹为

(4)代入转移法：动点

在某已知曲线上，则可先用迹方程: 例

6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点 虑将

例

7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考上任一点，定点为,点M分所成的比为2，依赖于另一动点 的代数式表示的变化而变化，并且，再将又和⊙N：都外切，则动圆圆心的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ 代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与；

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出；

三、联立方程组；；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线；

五、根据条件重转化；常有以下类型：；①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“点在圆内、圆上、圆外问题”；?“直角、锐角、钝角问题

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五、根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?x1x2?y1y2>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共线问题”

（如：AQ??QB ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线?直线OA与OB斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”

?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；

六、化简与计算；

七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：

例

1、已知点F?0,1?，直线l：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D?0,2?，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?l1，DB?l2，求

例

2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为 线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上 运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 求λ的取值范围.DM=λ，DN x2y2 例

3、设F1、F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点。ab（1）设椭圆C 上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线

PM，PN 的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例

4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

例

5、已知椭圆两焦点F1、F2在y 轴上，短轴长为，P是椭圆在第一 2 ?象限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆

于A、B两点。（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值； 典型例题： 例

1、由①、②解得，x?a?2． 不妨设A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．

l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 当a? 0时，由③得，当且仅当a?? 当a?0时，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故当a??l1l2?的最大值为 l 2l1 例

2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=；x22；∴曲线C的方程为+y=1.；(2)设直线l的方程为y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由图可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲线C的方程为+y=1.5(2)设直线l的方程为y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由图可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韦达定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 将x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280两式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中间，∴λ＜1 x2DN 又∵当k不存在时，显然λ=综合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此时直线l与y轴重合)DN3 例

3、解：（1）由于点? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1椭圆C的方程为 43x2y2??1把K的坐标代入椭圆43，焦点坐标分别为(?1,0),(1,0)??4分

（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)?2 4 设M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，??14分 x2y2 ??1．（5分）例

4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 联立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，则? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均满足3?4k?m?0，7

1、当m1??2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m2??

2、2k2??2?? 时，l的方程为y?k?x??，直线过定点?，0?． 77??7?? 所以，直线l过定点，定点坐标为?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例

5、解（1）F1F2(0,，设P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。

??22则PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?点P(x0,y0)在曲线上，则? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐标为 从而2（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k?0)，?y?k(x?1)? 则PB 的直线方程为：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?设B(xB,y B),则xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，则AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例

6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分

得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夹角?的取值范围是（?? ,）??643（2）设P(x0,y0),则(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分

?|OP|?10分 ∴当且仅当3c? 4,即c?2时,|OP|取最小值26,此时,OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 椭圆长轴 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求椭圆方程为 16129?1?2 2

第四篇：高考数学-圆锥曲线简化计算技巧

圆锥曲线计算技巧

——整理自有道精品课关旭老师公开课“新高三圆锥曲线专项”

给定一个椭圆和一条直线：

椭圆方程：x2a2+y2b2=1

直线方程：y=kx+b

一般做法：

1)

联立方程组

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

将直线方程带入椭圆方程中

x2a2+kx+m2b2=1

3)

通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

4)

求判别式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)

当Δ>0，用韦达定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=2a2kmb2+a2k2

x1x2=

a2m2-a2b2b2+a2k2

上面的运算数不是有点复杂呢，那接着往下看看关旭老师提供的计算技巧吧：

巧运算

1)

联立方程组

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

将直线方程带入椭圆方程中

x2a2+kx+m2b2=1

不用通分！

上式可换做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0

记x2的系数为A,x的系数为B,常数项为C

则上式可记为：Ax2+Bx+C=0

3)

求判别式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

这个式子展开后有五项，然而有两项是可以消掉的，所以只剩三项。

4)

当Δ>0，用韦达定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=-BA

x1x2=

CA

（这样子运算是不是简单了很多呢！）

此外，常用的两个结论还有：

一、直线交椭圆的弦长：L=1+k2ΔA

（因为只要联立了方程组，就一定要求判别式，将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多）

二、y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅节省运算时间，圆锥曲线是不是简单了不少呢？

这里给出了两道非常简单的例题，快用简洁的方法算一算吧。

1、.若椭圆与直线y=2x+5相切，求椭圆方程。

2、.若直线y=kx+与椭圆．交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且•>2，求k的取值范围？

答案:1.a=9

2.1/4

备注：数学公式真的好难输入QAQ,有点担心排版的时候公式复制过去会乱，所以把那些数学式子截成了小图片附在这里：

第五篇：圆锥曲线教案

与圆锥曲线有关的几种典型题

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等．

(二)能力训练点

通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力．(三)学科渗透点

通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教学，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法．

二、教材分析

1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．

(解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．)2．难点：双圆锥曲线的相交问题．

(解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．

(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)

三、活动设计

演板、讲解、练习、分析、提问．

四、教学过程(一)引入

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．

(二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解． 由学生演板完成．解答为：

∵

抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)． 设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，由学生课外完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值． 解(1)：

将x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

当y=0时，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．

令x+y=u，则有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．

例3 在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；

证明：

(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．

∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．

由抛物线的定义：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三点共线．(2)如图2－46，设∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小结：与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质．

4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”

与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．

实数a的取值范围．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如图2－47，可知：

(三)巩固练习(用一小黑板事先写出．)

2．已知圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围．

顶点．

请三个学生演板，其他同学作课堂练习，教师巡视．解答为： 1．设P的坐标为(x，y)，则

2．由两曲线方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范围为(0，1)．

四个交点为A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四个顶点．

五、布置作业

1．一条定抛物线C1∶y2=1-x与动圆C2∶(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的范围．

2．求抛线y=x2上到直线y=2x-4的距离为最小的点P的坐标． 3．证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长． 作业答案：

1．当x≤1时，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，离为d，则

似证明．

六、板书设计