晋级课 证明不等式的基本方法—比较法

第一篇：晋级课 证明不等式的基本方法—比较法

证明不等式的基本方法—比较法

高二数学组 李彩妨

【学习目标】

1、理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法;

2、熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差（商）---变形---判断---结论.【重、难点】

重点：求差比较法证明不等式。难点：求差、商后，如何对“差式”“商式”进行适当变形，并判断符号。

【教学过程】 【复习导入】

初中时候，我们学习了比较两实数大小的方法，其主要依据是实数运算的符号法则，首先，我们作一简要的复习.abab0，abab0，abab0

利用上述等价形式，也可证明不等式.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则其浓度为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时溶液的浓度增加到（a+m）/(b+m),比较a/b 与（a+m）/(b+m)的大小。

【新知探究】

1． 比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论

2． 作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.ba＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.练习：

设xR，求证：（1）xx1

–

“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 23

52（2）1xx 44例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

变式训练：已知a>b>0,求证：(ab)aba2bb2a

【小结评价】

1、作差（商）法的一般步骤

2、作差法和作商法的区别

【自我检测】

1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=A.a B.b

1中最大的一个是 1x C.c

D.不能确定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定 3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是 ．．．ab

B.ab＜b2 D.|a|+|b|＞|a+b| A.a2＜b2 baC.+＞2 ab4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞ab+ab；④1a+≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a-2 –

“天下事，必作于细”

第二篇：证明不等式的基本方法—比较法

§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法

【学习目标】

能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】

1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.b

a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若

【自我检测】

1中最大的一个是 1x

A.aB.bC.cD.不能确定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=

3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是 ．．．ab

B.ab＜b2 A.a2＜b

2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab

4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a

【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”

变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式：；并且加以证明。

变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。

【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4

–“天下事，必作于细”

第三篇：2.1证明不等式的基本方法：比较法

2．1证明不等式的基本方法：比较法

（一）教学目标

1．知识与技能: 掌握比较法证明不等式的方法。

2.过程与方法: 通过糖水（盐水）不等式引入比较法；通过对比较法的两种形式，加深对比较法的理解。

3．情态与价值：体会数学在日常生活中无所不在，培养数学兴趣。

（二）教学重、难点

重点：掌握比较法证明不等式的方法。难点：比较法证明不等式的方法中的变形。

（三）教学设想 [创设问题情境]

一、作差比较法

3322例1 已知a,b都是实数,且ab,求证ababab

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为, b 若在上述溶液中再添mkg加白糖,此时溶液的浓度 am增加到,将这个事实抽象为数问学题,并给出证明.bm

解:可以把上述事实抽象如成下不等式问题:

ama,并ab且,则 已知a,b,m都是正数bmb

二、作商比较法

abba例3 已知a,b是正数,求证abab，当且仅当ab时,等号成立.abc 变式引申:求证:若a,b,cR,则aabbcc(abc)

3补充例题:已知a2,求证:loga(a1)log(a1)a 补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且mn1，试证明manbmanb

三、小结：两种方法的步骤。

四、作业

第四篇：比较法证明不等式

比较法证明不等式

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-

4下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数M=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，在cOM坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。

第五篇：4.1 比较法证明不等式

§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋1

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122<2＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋