2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题04 等差数列与等比数列

第一篇：2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题04 等差数列与等比数列

【母题原题1】【2018新课标1，理4】设为等差数列A.B.C.D.的前项和，若，则

【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）【答案】B

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与得结果.【母题原题2】【2017新课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的

答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项 是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项 和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 【答案】A B．330

C．220

D．110 010

20的关系，从而求

【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.?an的最大值【母题原题3】【2016新课标1，理15】设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2鬃为.【答案】64 【解析】

a182a1a310a1(1q)10试题分析：设等比数列an的公比为q(q0)，由得，解得1.所以2aa5q24a1q(1q)52a1a2anaqn12(n1)117n2n1n(n21)8()222，于是当n3或n4时，a1a22nan取得最大值2664.【考点】等比数列及其应用 【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性

质的应用,尽量避免小题大做.【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.【方法总结】

1.求数列前n项和的常用方法 1）分组求和法

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.bn，n为奇数(2)通项公式为an＝cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.2）裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求aak1kk1n11111解：由d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… aadaadaaaaaak1kk1k1k123n1k2n1n111 da1an13）错位相减法 若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn12x3x24x3……nxn1

① ②

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn ①—②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 24）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a12.数列与函数综合

（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3.数列与不等式综合

与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；

5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列（）A.B.C.D.中，，则

【答案】A

点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列数）仍是等比数列．

2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷

（二）】设,则A.B.的前

项和

()

是公差不为0的等差数列,满足

是等比数列，则，当然（为常 C.D.【答案】C 【解析】分析：根据题意变形可得：式求和公式及其性质即可得出． 详解: ：a4+a5=a6+a7，化简可得：即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0． ∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．

点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：

若等差数列①若②、、的前项和为，且，则、成等差数列．

；，则 222

2，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公，3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列(且)，则此数列为()

中，已知，且，A.等差数列 B.等比数列

C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 【答案】D

点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】等比数列的前项和，前，则（）A.【答案】D 【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，B.C.D.项和，前

项和分别为，即，故选D.，点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列A.B.C.D.的前项和为，且，则（）

【答案】D

点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列公差为5的等差数列，若，则数列

为

是公差为3的等差数列，是A.公差为15的等差数列 B.公差为8的等差数列 C.公比为125的等比数列 D.公比为243的等比数列 【答案】A 【解析】分析：先根据等差数列定义求公差，即得结果.详解：因为数列所以因为是公差为3的等差数列，所以, 是公差为5的等差数列，, 因此选A.点睛：判断或证明(1)用定义证明：(2)用等差中项证明：(3)通项法： 为的一次函数；(4)前项和法： 为等差数列的方法：

为常数）；

；

7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（八）】公差与首项相等的等差数列记A.B.，其中表示不超过的最大整数，如 D.，的前项和为，且的前

.，则数列项和为（）

C.【答案】C

点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.的前项和满足，其中

． 8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列（Ⅰ）求证：数列（Ⅱ）设，求数列为等比数列． 的前项和． 【答案】(1)见解析（2）

【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列详解：解：（Ⅰ）∴当时，①，解得

； 的前项和

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）的前项和为，首项

且9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】若数列（）.的通项公式；（），令，求数列或的前项和.（1）求数列（2）若【答案】(1)

.(2).【解析】分析：（1），详解：（1）当时，或

；(2)由，则，即，可得，利用裂项相消法求和即可.或当时，点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列列，（1）求数列.的通项公式； 的前项和为，且成等差数（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)an=2n-1(2)【解析】分析：设等差数列得：的首项为,公差为, 由成等差数列，可知，由此解得，即可得到数列的通项公式；

, 由令详解： 设等差数列，利用错位相减法可求数列的前项和.的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得:因此:

(2)令∴① ② ①—②,得

所以.则，点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．

11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列，(1)求(2)记【答案】(1)【解析】试题分析： 的通项公式；，数列的前项和为，求证：..的前项和为，满足；(2)证明见解析.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列

中，其前项和为，且满足．

（11）求证：数列（2）证明：当是等差数列； 时，．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.

第二篇：2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题06平面向量

【母题来源一】【2018高考新课标1理数6】 【母题原题】在△A.B.C.D.【答案】A 中，为

边上的中线，为的中点，则

，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源二】【2017高考新课标1理数13】

【母题原题】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ______.【答案】【解析】

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．

【母题来源三】【2016高考新课标1理数13】

【母题原题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|=|a|+|b|，则m=.【答案】2 【解析】

试题分析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，解得m2.【考点】向量的数量积及坐标运算

【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若ax1,y1,bx2,y2,则abx1y1x2y2.2

2【考点一：平面向量基本定理】

1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．

2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底 表示出来．

3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【考点二：平面向量的坐标运算】

1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．

1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（六）】若在则（）

中，其外接圆圆心满足，A.B.C.D.【答案】A

点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。2．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆两条切线，切点分别是A，B，则A.[-，＋∞）B.[-，] C.[2【答案】C 【解析】分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形，设三角形求出的长；利用向量的数量积公式表示出的夹角为2α，通过解直角的取值范围为 －3，] D.[

2－3，＋∞）的，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值． 详解：如图，则． 的夹角为2α，故选C．

点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方法有单调性法和基本不等式法． 3．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】在，且A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据结果.详解：由因为，得，所以，，又得，利用

以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得，则的值为（）

中，，若，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.4．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟】非零向量则与夹角的大小为（）

满足;,A.135° B.120° C.60° D.45° 【答案】A

点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.5．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷

（二）】在中点，将向量A.绕点按逆时针方向旋转

得向量，则向量

中，在向量，为

方向上的投影为（）的 B.C.D.【答案】C 【解析】如图，以则，且，为轴建立平面直角坐标系，所以向量在向量方向上的投影为.本题选择C选项.6．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，向上的正射影的数量为（）A.B.【答案】D C.D.，则向量在方

点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.7．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】设平面向量下列说法正确的是（）A.C.是的充分不必要条件 B.与的夹角为

与的夹角为，，则 D.【答案】D 中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】平行四边形则()

中，是的中点，若，A.B.2 C.D.【答案】D 【解析】分析：首先将图画出来，再分别将详解：因为所以，即，因此，解得，所以，故选D.，用

表示出来，建立等量关系，求解的值.点睛：该题主要考查平面向量基本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.9．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】向量，对，则（）A.B.C.D.【答案】C

因为因为对所以对所以因为所以，所以。，所以，所以，恒成立。，即。

。所以。

。

故选C。

点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选择直接运用判别式解答；二是未知量在区间答。

10．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解量与在向量方向上的投影相等,且,则=()

A.6 B.-6 C.-5 D.5 【答案】D

点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往 的模用坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）（平方后需求）.11．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知向量与的夹角为30°，且则_________．

＝1，【答案】

点睛：本题考查向量数量积的运算和向量模的求法，解题的关键是根据数量积的运算律得到关于然后通过解方程可得所求．

12．【四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟考试】如图，在平面四边形，.若点为边

上的动点，则

中，的方程，的最小值为__________．

【答案】 【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接已知，，又，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.13．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】已知为锐角若__________． 【答案】，且，记的外心，则，的大小关系为【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若由于O为锐角，同样地，所以，所以所以有，从而得到，根据正弦定理，可得，从而得到，则的外心，所以D,E为边的中点，分别是两边的中垂线，进一步求得的单调性得到结果，从而可以求得.，从而可求得，之后借助于余弦函数点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.14．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】平面向量与的夹角为则【答案】__________．.，，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.15．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】如图，已知同侧作半圆，__________． 分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且

为中点，以，则

为直径在的最大值为

【答案】

【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

故答案为．

点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．

第三篇：高考二轮复习数学理配套讲义1 集合与常用逻辑用语

微专题1　集合与常用逻辑用语

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T2·集合的补集运算

2018·全国卷Ⅱ·T2·集合的元素个数

2018·全国卷Ⅲ·T1·集合的交集运算

2017·全国卷Ⅰ·T1·集合的交、并集运算

高考对本部分内容的考查主要是集合间的基本关系和运算，含有量词的命题的真假判断以及含有一个量词的命题的否定，多数与函数、不等式、复数等知识相结合，难度一般，属于送分题，故复习时不必做过多的探究，只要掌握以下知识点，就能保证不失分，得满分。

考向一

集合及运算

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

(2)(2018·辽宁五校联考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是()

A．2

B．3

C．4

D．5

(3)(2018·济南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是()

A．{2}

B．{3}

C．{2,3}

D．{0,2,3}

解析(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}。故选B。

解法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

(2)因为A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3个。故选B。

(3)因为A∪B＝B，所以A⊆B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。当a＝0时，集合A为空集，符合题意；集合A不是空集时，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以实数a的所有值构成的集合是{0,2,3}。故选D。

答案(1)B(2)B(3)D

(1)求解集合的运算中，要根据集合的表示把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算。

(2)对于元素个数有限的集合一般可用列举的方法求解，若集合涉及不等式的解集，则常借助数轴处理。

变|式|训|练

1．设全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，则(∁UA)∩B＝()

A．{x|－2≤x<3}

B．{x|x≤－2}

C．{x|x<－2}

D．{x|x<3}

解析　全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以∁UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|x<－2}。故选C。

答案　C

2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为()

A．2或

B．－1或2

C．2

D．－1

解析　由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因为A⊆B，所以m＝2。故选C。

答案　C

3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________。

解析　因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以当x＝5时，y可以是1,2,3,4；当x＝4时，y可以是1,2,3；当x＝3时，y可以是1,2；当x＝2时，y只能是1。综上所述，B中所含元素的个数为10。

答案　10

考向二

命题及其真假判断

【例2】(1)(2018·郑州预测)下列说法正确的是()

A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”

B．“若am2

C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4

x0成立

D．“若sinα≠，则α≠”是真命题

(2)(2018·渭南质检)已知命题p：∃a，b∈R，a>b且>，命题q：∀x∈R，sinx＋cosx<。下列命题是真命题的是()

A．(綈p)∧q

B．p∧q

C．p∧(綈q)

D．(綈p)∧(綈q)

解析(1)对于A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于B，“若am23x，故选项C错误；对于D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D。

(2)命题p：当a>0，b<0时，表达式就成立；命题q：∀x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表达式成立。故两个命题均为真命题。故选B。

答案(1)D(2)B

(1)命题真假的判定方法

①一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别。

②四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律，特别注意逆命题与否命题。

③形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定。

(2)全称命题与特称命题真假的判定

①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可。

②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题。

变|式|训|练

1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，则綈p为()

A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0

解析　命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定为綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故选D。

答案　D

2．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是()

A．p∧q

B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q

D．(綈p)∧(綈q)

解析　因为x>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，则命题p为真命题；因为1>－2，但12<(－2)2，所以命题q是假命题，则(綈q)是真命题，所以p∧(綈q)是真命题。故选B。

答案　B

考向三

充要条件

【例3】(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析(1)解法一：由<，得0

解法二：由<，得0，3＝－<1，所以必要性不成立。故选A。

(2)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故选C。

答案(1)A(2)C

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qDp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)。

(2)集合法：利用集合间的包含关系。例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件。

(3)转化法：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，则p是q的充要条件。

变|式|训|练

1．设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件，故选A。

答案　A

2．(2018·福建联考)设命题p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命题q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()

A.B.C.D.解析　命题p：a

答案　A

1．(考向一)(2018·济南联考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝∅，则集合B不可能是()

A．{x|4x<2x＋1}

B．{(x，y)|y＝x－1}

C．{y

D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}

解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，对于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝∅；对于B，集合为点集，满足A∩B＝∅；对于C，{y＝{y，满足

A∩B＝∅；对于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠∅。故选D。

答案　D

2．(考向一)(2018·西安联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2的概率为________。

解析　如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝＝＝。

答案

3．(考向二)(2018·西安质检)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集，命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是()

A．

B．[3，＋∞)

C．[2,3]

D．∪[3，＋∞)

解析　由题意命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集。当a＝0时，不满足题意。当a≠0时，必须满足：解得a≥2；命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0可得函数f

(x)在R上单调递减，所以0<2a－5<1，解得

答案　D

4．(考向三)(2018·西安联考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　解法一：设与的夹角为θ，因为·>0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

5．(考向三)(2018·辽师大附中模拟)“0

(x)＝满足：对任意的x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为当0

(x)在(－∞，＋∞)上递减，所以任意x1≠x2都有f

(x1)≠f

(x2)，所以充分性成立；若m<0，g(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)在(－∞，1)上递减，g(x)<0，h(x)≥0，满足对任意x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)，必要性不成立。故选A。

答案　A

第四篇：2014年文数高考母题题源系列 07利用导数探求参数取值范围、证明不等式 Word版含解析]

【母题来源】2014高考陕西卷文－21 【母题原题】设函数f(x)lnxm,mR.x（1）当me（e为自然对数的底数）时，求（2）讨论函数g(x)f(x)的最小值；

xf'(x)零点的个数；

3f(b)f(a)1恒成立，求m的取值范围.（3）若对任意ba0,ba

【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、含参数的不等式恒成立问题等基础知识，意在考查学生运用转化与划归思想，分析问题解决问题的能力，运算求解能力． 【方法技巧】函数f(x)在区间I上单调递增等价于f¢(x)³0在区间I上恒成立；函数f(x)在区间I上单调递减等价于f¢(x)£0在区间I上恒成立．但要注意取等号时，是否为常函数．

利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意xÎ[a,b]都有f(x)³g(x)，可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可．解题技巧总结如下：

（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式；

（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明．例如采用两边取对数（指数），移项通分等等．要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式；（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决．在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”．

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．从集合观点看，含参不等式fxkfxk在区间D上恒成立DxfxkfxmaxkDxfxkfxmink，而含参不等式fxkfxk在区间D上能成立至少存在一个实数x使不等式fxkDfxk成立

xn．xmDifxmafk 【2014高考湖南卷文第9题】若0x1x21，则（）

x

xA.e2e1lnx2lnx1 C.x2e1x1e2 xx

B.e2e1lnx2lnx1

xxxx

D.x2e1x1e2

2.【2014高考辽宁卷文第12题】当x[2,1]时，不等式axx4x30恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．[5,3]

B．[6,]

C．[6,2]

D．[4,3]

3298

323.【2014高考全国1卷文第12题】已知函数f(x)ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）

2,（B）1,（C）,2（D）,1

4.【2014高考全国2卷文第11题】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）

（A）,2

（B）,1

（C）2,

（D）1,

xa,x0,5.【2014高考上海卷文第9题】设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的1x,x0,x取值范围是

.6.【2014高考安徽卷文第20题】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（2）当x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.7.【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.8.【2014高考广东卷文第21题】已知函数fx（1）求函数fx的单调区间；

（2）当a0时，试讨论是否存在x00,13xx2ax1aR.3111，使得,1fxf0.222

9.【2014高考湖北卷文第21题】为圆周率，e2.71828为自然对数的底数.（1）求函数f(x)lnx的单调区间； x3（2）求e3，3e，e，e，3，这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，e，e，3，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.10.【2014高考湖南卷文第21题】已知函数（1）求

f(x)xcosxsinx1(x0).f(x)的单调区间；

（2）记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有12.xn2311x12x22

11.【2014高考江苏第19题】已知函数f(x)ee

xx，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f(x)是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf(x)exm1在(0,)上恒成立，求实数m的取值范围；

3（3）已知正数a满足：存在x0(1,)，使得f(x0)a(x0试比较e3x0)成立，a1与ae1的大小，并证明你的结论.12.【2014高考江西文第18题】 已知函数f(x)(4x24axa2)x，其中a0.（1）当a4时，求f(x)的单调递增区间;（2）若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.2【答案】（1）(0,)和(2,)，（2）10.5【解析】

13.【2014高考辽宁文第21题】已知函数f(x)(xcosx)2sinx2，g(x)(x)1sinx2x1.证明：

1sinx（Ⅰ）存在唯一x0(0,（Ⅱ）存在唯一x1(2)，使f(x0)0；

2,)，使g(x1)0，且对（1）中的x0x1.14.【2014高考四川文第21题】已知函数f(x)eaxbx1，其中a,bR，x2e2.71828为自然对数的底数．

（Ⅰ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.15.【2014高考天津文第19题】已知函数f(x)x（1）求f(x)的单调区间和极值；

223ax(a0),xR 3（2）若对于任意的x1(2,)，都存在x2(1,)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围

16.【2014高考浙江文第21题】已知函数小值记为g(a).（1）求g(a)；

fxx33|xa|(a0)，若f(x)在[1,1]上的最（2）证明：当x[1,1]时，恒有f(x)g(a)4.综上所述，当x[1,1]时恒有f(x)g(a)4.