第十一章组合变形(讲稿)材料力学教案(顾志荣).

第一篇：第十一章组合变形(讲稿)材料力学教案(顾志荣).

第十一章 组 合 变 形

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣

一、教学目标

1、掌握组合变形的概念。

2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。

3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。

4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。

二、教学内容

1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。

2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。

3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。

4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。

5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。

6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。

7、简单介绍截面核心的概念和计算。

三、重点难点

重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。

难点：

1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：

斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；

拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；

偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。

2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：

⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。

四、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时

5学时

六、讲课提纲

(一)斜弯曲

引言： *何谓平面弯曲？

梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）

**平面弯曲与斜弯曲的比较(a)

(b)

(c)项目 受力特点

平面弯曲

斜弯曲

Fp平面过形心(这里也是弯心)Fp平面与过y轴(形心主 惯性轴)的纵平面重合 中性轴与Fp平面垂直 且在Fp平面内。

但不与过y轴的纵平面重合。中性轴与Fp平面不垂直

Fp平面内。中性轴特点

变形特点 挠曲平面与中性轴垂直，挠曲平面与中性轴垂直，但偏离***斜弯曲的定义

图11-1 梁的弯曲平面不与外力作用平面相重合的这种弯曲称为斜弯曲（或者说，梁的挠曲线不在外力作用平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲）。

1、外力分析

（两对称轴的交点，该点既是形心，又是弯心），Fp通过截面的形心O，垂直杆轴x，但并不作用在形心主轴平面内，而与形心主轴有一个夹角。为了利用基本变形的应力计算公式，必须将此外力Fp向两个形心主惯性平面分解，即

FpyFpcos—在xoy平面内产生平面弯曲Fp

FFsin—在xoz平面内产生平面弯曲ppz2、内力分析

将Fp力分解后，任意截面（l-x面）上的内力（不考虑FQ）：

MZFPy(lx)MyFPZ(lx)

3、应力分析

任意截面（l-x面）上任意点（C点）的正应力c

c'MZMZy——（压应力）IZc''MyMyzIy——（压应力）

MZyMyz——（压应力）

⑴ IZIycc'MZc''My正应力正、负号根据弯矩矢量引起的变形情况确定

4、中性轴位置 ⑴中性轴方程

上述⑴式尚不能计算的值，因为中性轴的位置尚未确定 ∵中性轴上的应力=0，∴⑴式可以写成

MZyMyz0

⑵ IZIy⑵中性轴是一条通过截面形心的直线

要使⑵式满足，必须y,z同时=0，可见中性轴是一条通过形心的直线。⑶中性轴位置的确定

过形心可作无数垂直线，那么中性轴位置如何确定？令中性轴上任一点的坐标为yo、zo。（见图2），中性轴与Z轴的夹角为，根据⑵式写成下式：

tgyozIzMy

oIyMZ

图11-2 从⑶式可以讨论以下几点；即中性轴取决于： ①载荷Fp作用的位置，即随变化

由任意截面（l-x面）上的弯矩矢量可见（见图3）

MyMsin MZMcos

则⑶式为

tgIzIMsincosIzItg yMy

⑶ 6

图11-3

（l-x截面）

②截面的形状和尺寸

若 IzIy（过形心的轴都是主轴），则，中性轴与Fp平面垂直，即为平面弯曲。

若 IzIy，则，中性轴不与Fp平面垂直，即为斜弯曲。

5、任意截面（l-x面）上的最大正应力（见图1）

aMzymaxMyZmax——（拉应力）IzIyMzymaxMyZmax——（压应力）bIzIy6、危险截面上危险点的正应力计算（见图1）

Amax⑴正应力：Bmin(MzmaxymaxMymaxZmax)IzIyMzmaxMymax ()

WzWy⑵应力状态

图11-4 ⑶强度条件：

maxminMzmaxMymax

⑷ WzWycossinymaxZmax)IzIymax或minMmax(Mmax(cossin)WzWyMmaxW(coszsin)[]

4' WzWy

副题：斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：

图11-5(a)

(b)

1、解题思路及计算公式

将Fp力分解为两个在形心主惯性平面的分力Fpy和Fpz后（见图11-5，b），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y和z：

yFpyl33EIzFpcosl33EIz┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy平面内的挠度

zFpzl33EIyFpsinl33EIy┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz平面内的挠度

2、总挠度及其方位

自由端B点的总挠度是上述两个挠度的几何和，即 ⑴总挠度值计算：y2z2

⑵总挠度方位计算，即总挠度与y轴的夹角的计算。将z轴方向的挠度除以y轴方向的挠度，即可得：

Fpsinl3tg3EIyzsinIzIztg

(a)3yFpcoslcosIyIy3EIz⑶确定总挠度方位：

∵MzMcos

MyMsin 代入⑶式，即

tgyoIzMsinIztg

(b)zoIyMcosIy比较(a)、(b)两式，可见：

中性轴与z轴的夹角=总挠度与y轴的夹角。即：斜弯曲时，总挠度发生垂直于中性轴的平面内。

在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即IzIy则，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面内。如果IzIy，则，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。

3、刚度条件 ll

例题11-1 跨度为l=3m的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m 作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度

1=，材料的弹性模量200l9 E=9103MPa,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。

图11-6 解：⑴先将q分解为qyqcos800cos2634'716.8N/mq800sin2634'355.2N/m zqsin⑵求Mqyl2zmax8716.832/8806.4NmMq zl2ymax8355.232/8399.6Nm⑶设截面的高宽比为hb1.5。则根据强度条件

MzmaxMymax806.4399.66maxW22/61210 zWybh/6hb解得72363.75b312106, 72363.7512106b3 b5.44102mh1.55.441028.16102m 取b=60mm，h=90mm ⑷校核刚度

Ibh30.060.12093z12364.5108m4

Ibh30.090.063y1212162108m4

5716.834y3849109364.51080.023m23mm

5355.234z0.026m26mm

3849109162108梁跨中的总挠度y2z223226234.7mm

l34.71.22.41 3000100200200刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。若b=80mm，h=120mm 0.080.123Iz1152108m4

120.120.083Iy512108m4

125716.834y7.29mm 983849101152105355.234z8.13mm

38491095121087.2928.13210.9mm

l34.70.360.721 3000100200200满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm，h=120mm

例题11-2 简支梁由200mm200mm20mm的等边角钢制成，其截面几何性质为Wzo322.06106m3，Wyo146.55106m3（对于c点），Izo4554.55108m4，Iyo1180.04108m4，试绘最大弯矩截面上的正应力分布图。

图 11-7

解：M4max25425KNm MyomaxMZomax25cos4517.7KNm

AMZomaxWZoMyomaxIyo6110317.710317.710336110 322.061061180.041085510691.5106146.5MPaBMZomaxWZoMyomaxIyo61103

5510691.510636.5MPaCMyomaxWyo17.7103120.8MPa 146.55106中性轴位置：

IzoMyo4554.5510817.7tg3.8597

IyoMZo1180.0410817.775.47

(二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 结构受力情况如图所示：

图11-8 梁AB上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。

1、内力分析

图11-9

2、应力分析：杆件内有轴力FN、弯矩M产生正应力

图11-10

3、强度条件NmaxFAMmaxW[] Z

4、纵横弯曲的概念

图11-11 ⑴何谓纵横弯曲？

Fp、Fp1共同作用，Fp1在Fp作用下产生的上引起的梁的附加弯矩这个附加弯矩M1又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是M1Fp1，荷载的线性函数。像这类变形通常称为纵横弯曲。

⑵分两种情况讨论：

EI较大，与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠加法计算横截面上的应力。

EI较小,较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函数关系。

(三)偏心压缩

1、偏心压缩的概念

轴向压缩

单向偏心压缩

双向偏心压缩

图11-12

2、外力的简化与分解

图11-13

3、内力

MzmzFpey

∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（FQ=0）MymyFpezFNFp4、应力计算

⑴单向偏心压缩时的应力计算

图11-14 结论：距荷载Fp较近的边缘总是压应力。⑵双向偏心压缩时的应力计算

图11-15 任意点（E）处的应力计算

FNAMyIzMyyFpFpezzFpeyyyIzAIyIzF

pA(1AezzIAeyyI)yz∵iyzyIA , izIA ∴ 上式可写成

FpzzyyA(1ei2eyi2)──────任意点（E）处的应力计算式

z5、中性轴 ⑴中性轴方程 由 FpA(1ezzeyyi2yi2)0

z得中性轴方程

1ezzoeyyoi20（直线方程）

yi2z式中：zo，yo代表中性轴上任一点的坐标。

ez，ey代表偏心力Fp 的作用点位置（坐标）。

注意；形心yo0z0不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。o由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。⑵中性轴位置的确定

方法是通过计算中性轴在坐标轴上的截距az，ay来确定； 根据中性轴方程：

yo0时，azzi2yo当ez2 zyizoo时，ayoey

图11-16

ez2由此得到中性轴截距计算式

iz

ayey注意：截距azayaziy2与偏心距恒相反。

根据此计算式可见，中性轴的特征之二：中性轴与偏心压力Fp的作用点(ey , ez)分别居于截面形心（坐标原点）的两侧。

中性轴的特征之三：中性轴的位置随偏心压力Fp的作用点位置(ey , ez)的改变而变化 ①当ey =0,即Fp作用在Z轴上时，则ay=∞, ∴中性轴与y轴平行（见图11-17(a)）

图11-17(a)当ez =0,即Fp 在作用在y轴上时，则az=∞

则中性轴与Z轴平行（见图11-17(b)）

图11-17(b)ezaz②偏心矩越小，则中性轴截距越大，即中性轴距形心越远（见图eyay 11-18）。

图11-18 显然，当中性轴与截面的周界相切或截到截面以外时，整个截面上只有压应力而不出现拉应力。

③一条中性轴（ay，az）对应一个偏心压力的作用点。因此，若已知（ay，az）,则偏心压力作用点坐标就可以确定：

ieyzay2────────────偏心压力作用点位置计算式 iyezaz图11-19 中性轴的特征之四:当中性轴绕一定点K（yo,zo）转动时，偏心压力的作用点在一条直线上移动。（这一特征很重要，是绘制截面核心的主要根据！）20 因为：1ezzoiy2eyyoiz20

当yo,zo为定值时，该方程就是ey和ez的直线方程，即为偏心压力作用点坐标的直线方程

图11-20 应用中性轴的这一性质即可绘制截面形心。

5、截面核心 ⑴问题的提出

对于砖、石、混凝土等一类建筑材料，其抗压能力较强，而抗拉能力很差。当这类构件承受偏心压力时，为避免截面上出现拉应力，该偏心压力的作用位置必须受到限制。

⑵截面核心的概念

当偏心压力作用在截面的某个范围内时，中性轴才将在截面之外或与截面周边相切，截面上只是产生压应力，通常把偏心压力在截面上的这个作用 范围称为截面核心。

由截面核心的定义可知：

①偏心压力作用在截面核心内时，中性轴不与截面相割。----截面内不出现拉应力。

图11-21 ②偏心压力作用在截面核心外时，中性轴与截面相割。----截面内分为受拉和受压两个区域。

图11-22 ③偏心压力作用在截面核心的周界上，中性轴与截面的周边相切。----截面内不出现拉应力。

图11-23 当偏心压力的作用点在截面核心的周界上移动时，相应的中性轴也随之改变，但总是与截面的周边相切。

──利用中性轴与截面周边相切的这种特定位置反过来求偏心压力作用点的位置，从而确定截面核心的周界。

⑶截面核心的绘制 ①绘制截面核心的步骤

a.首先应该选择截面的形心主轴oy,oz为坐标轴；

b.选择一组中性轴与截面的周边相切，并分别求出每一根中性轴在两个坐标轴上的截矩ayi,azi;c.将ayi,azi分别代入偏心压力作用点位置计算式，求出与之对应的偏心压力作用点坐标；

d.连接这一组偏心压力作用点就得到在截面形心附近的一个闭合区域——截面核心。

②绘制截面核心的注意要点: a.中性轴与偏心压力作用点分别居与截面形心的两侧；

b.中性轴与y轴平行，偏心压力作用点在z轴上

中性轴与z轴平行，偏心压力作用点在y轴上

c.中性轴绕一定点转动，偏心压力作用点在一条直线上够动。

图11-24 e.截面的周边有一部分或全部为曲线，则截面核心的周界亦有一部分或全部为曲线。

f.如截面的周边有“凹入”部分，则中性轴应滑过周边的“凹入”部分，即中性轴不能与截面相割。

图11-25 ⑷几种常见截面的截面核心(四)弯曲与扭转的组合变形

图示受力构件的应力和强度如何计算？

图11-26 BC杆问题简单，容易解决。

1、受力特点

图11-27 经简化：Fp垂直杆轴（在xoy平面内发生平面弯曲）m作用在横截面内（在yoz平面内发生扭转）弯扭组合

2、内力分析 作AB杆的内力图

任一截面m-m上的内力

图11-28

3、应力状态

⑴任一横截面上的应力情况：

图13-29 ⑵危险截面上应力情况

图11-30

4、强度条件

对于弯扭联合作用下的机轴，一般用塑性材料制成，通常用第三、四强度理论，即

r3M24n2[]─────────────────────⑴ r4M23n2[]─────────────────────⑵

∵MMM,nn WWn又∵圆截面的抗扭截面系是抗弯截面系数的二倍，Wn=2W

r3M2MnW2[]─────────────────────⑶

2r4M20.75MnW[] ───────────────────⑷

运用上述两个公式时请注意: ⑴对于⑶、⑷式，只是用与弯扭组合变形圆轴，其它截面只能用⑴、⑵。⑵若杆件受拉伸+弯曲+扭转，只能用⑴、⑵式 ⑶实际问题中，圆截面杆往往在互相垂直的两个平面内同时存在弯矩MZ,My。则MMzMy，代入⑶、⑷式即可

例题11-3 一钢制圆轴上装有两胶带轮A、B,两轮的直径DADB1m,两轮自重P5KN，胶带的张力大小和方向如图所示。设圆轴材料的[σ]=80MPa.试按第三强度理论求轴所需要的直径d=？

图11-31 解：

1、作轴的计算简图（受力图）

2、扭矩图

3、弯矩图

（水平平面内）（xoz平面）

（垂直平面内）（xoy平面内）

图11-32

4、计算B、C截面处的合成弯矩；

MBMz2M2y1.0522.2522.49KNmMC2.121.522.58KNm

5、确定Mmax截面

MCMB，MmaxMC

6、确定d=? 按第三强度理论：MC2Mn2W[]

代入相应的数据：

2.5810321.510320.1d380106

由此得所需的直径为d=72mm。

(五)组合变形的一般情况

对于一些受到复杂外力（空间力系）作用的杆件，其危险截面上最多可能出现六个内力分量

图11-33 FQ影响较小，一般略去

因此，只要计算出内力FN、Mn、MyM就可进行强度计算。Mz例题11-4 已知钢圆杆A80104m2，W100106m3，Wn200106m3，[]134MPa，试校核此杆强度

图11-34 解：

1、固端截面上有哪些内力？

图11-35

2、危险截面在何处？（作内力图分析）、该处有哪些内力？ 危险截面在距固端1m处，该处的内力有：FN20KN，Mn4KNm，My8KNm22MMyMz12.8N

My10KNm

图11-36

3、危险点位置及应力单元体

图11-37 FNMAW201038010412.8103xNM1001062.5106128106130.5MPaMn4103xW20010620MPa

n4、强度校核：

r32x42x130.524202136.5MPa[]134MPa

2r42x3x130.523202135MPa[]

够不够？

136.5134134100%1.87%5% 仍然认为强度满足要求。

第二篇：第六章弯曲内力(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第六章 弯曲内力

一、教学目标和教学内容

1、教学目标

⑴掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念； ⑵熟练掌握用截面法求弯曲内力；

⑶熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图； ⑷利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑸掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。

2、教学内容

⑴平面弯曲等基本概念； ⑵截面法及简便方法求弯曲内力；

⑶剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；

⑷用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图； ⑸叠加法绘制剪力图和弯矩图。

二、重点难点

1、平面弯曲的概念；

2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；

3、剪力图和弯矩图；

4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；

5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。

三、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时 7学时

五、实施学时

六、讲课提纲

1、平面弯曲的概念及梁的种类 ⑴平面弯曲的概念

简单回顾 轴向拉、压：

图6-1 受力：Fp作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。

变形；沿轴线方向的伸长或缩短。

剪切：

图6-2 受力：Fp作用在杆的两侧面上，作用线⊥轴线。

变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。

扭转：

图6-3

受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内）。变形：相邻截面发生相对转动。

弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围；

①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）

图6-4 ②载荷作用在对称平面内

在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：

图6-5

变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。

⑵何谓梁？

凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。

⑶梁的种类： ①简支梁

图6-6 ②悬臂梁

图6-7

③外伸梁

图6-8 ④多跨静定梁

图6-9 ⑤超静定梁

图6-10

2、梁的内力及其求法 ⑴梁的内力—剪力与弯矩 ①确定约束反力

图6-11 ②内力分析

用截面法沿m-m截面截开（任取一段）

图6-12 按平衡的概念标上FQ,M。

FQ--与横截面相切—剪力

M—内力偶矩—弯矩

③内力值的确定 用静力平衡条件：Fy0 FAFQ0 得 FQFA

Mo0 FAaM0 得 MFAa

（O--截面形心）

⑵剪力、弯矩的正、负号规定：

剪力：当截面上的FQ使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。

图6-13 弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。

图6-14 ⑶求指定截面上的剪力和弯矩

图6-15 求图示梁截面 A、C的内力： 解：①求反力： FA5kN，FB4kN

校核：Fy0 Fpq6FAFB0

316540(无误)②求指定截面上的内力： 截面A左（不截到FA）：

Fy0 FpFQA左0

FQA左FP3kN

（使该段有逆时针转动的趋势）MO0

Fp2MA左0

图6-16 MA左326kNm

（上拉下压）

截面A右（截到FA）：

y0

FpFQA左FA0 F532kN

图6-17 截面C左（不截到M1）：

图6-18 截面C右（截到M1）：

图6-19

QA左MO0

Fp2MA右0

MA右326kNm

Fy0

FAFPq2FQC左0

FQC左5320

MO0

Fp4FA2q21MC左0

MC左3452121 4kNm

Fy0

FAFPq2FQC右0

FQC右5320

MO0

Fp4FA2q21M1MC右0MC右34521212

6kNm ⑷小结

基本规律 ①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。

②在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。

③梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。

④梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。

另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。

3、剪力图和弯矩图

为了知道FQ、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的FQ、M是不够的，并能找到FQmax、Mmax的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。

⑴剪力方程和弯矩方程

梁内各截面上的FQ、M一般随横截面的位臵不同而变化，横截面位臵若用沿梁轴线的坐标 x来表示，则梁内各横截面上的FQ、M都可以表示为坐标x的函数，即

FQFQ(x)剪力方程

MM(x)弯矩方程

在建立 F Q(x)、M(x)时，坐标原点一般设在梁的左端。

⑵剪力图和弯矩图 根据FQ(x)、M(x)，我们可方便地将FQ、M沿梁轴线的变化情况形象地表现出来，其方法是

横坐标x---横截面位臵

纵坐标F或M---按比例表示梁的内力

QFQ、MFQ画在横坐标的上边、M画在横坐标的下边

⑶剪力图、弯矩图的特点：（举例说明）例题6-1：

图6-20 解：⑴求约束反力

整体平衡，求出约束反力：

FFPFPAl；FBl 注意；约束反力的校核

⑵分段列FQ(x)、M(x)

注意：三定 ①定坐标原点及正向 原点：一般设在梁的左端； 正向：自左向右为正向。②定方程区间 即找出分段点；

分段的原则：载荷有突变之处即为分段点。③定内力正负号

截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立FQ(x)、M(x)

列FQ(x1)、M(x1)：

AC段：（根据 图b列方程）

FQ(xPb1)FAFl（0

FQ(x2)FAFPFPblFP（a

FPblx2FP(x2a)（a≤x2≤l）⑶绘FQ、M图

据式⑴、⑶作FQ图，如图（d）所示。

⑴

⑵

⑶

⑷

据式⑵、⑷作M 图，如图（e）所示。⑷确定FQmax、Mmax

FPal 据FQ图可见，当a>b时，FQ据M图可见，c截面处有，Mmax

maxFPablFPl4若a=b=l/2,则Mmax

特点之一： 在集中力作用处，FQ图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；FPblFPalFPl(ab)FP；图有一转折点，形成尖角。（M

图的切线斜率有突然变化）

例题6-2

图6-21 AC段：

FQ(x1)FAMOl（0

OM(x2)FAx2M

MlOx2M（a

O若a>b,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩

MMOalmax

特点之二： 在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小；

MOalMOblMO；但剪力图没有突变。（FQ图连续，并不改变斜率）。例题6-3

图6-22 FQ(x)FAqxql22qx（0

qx22 M(x)FAxqx2qlx2（0≤x≤l）⑵

由FQ、M图可见： 支座处：FQmaxql2

2FQ=0处：M特点之三： maxql8

从例题8-1（集中力）、例题8-2（集中力偶）、例题8-3（均布荷载）可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零。例题6-4

图6-23 FQ(x)qx（0≤x≤l）⑴ M(x)qx2（0≤x≤l）⑵

max在固定端处：FQMqlql2

2max

特点之四： 在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。特点之五： 在固定端处，剪力和弯矩分别等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。

特点之六： 最大剪力、最大弯矩及其位臵。

最大剪力发生位臵：梁的支座处及集中力作用处有FQmax，例题6-3及6-4 最大弯矩一般发生在下列部位； ①集中力作用的截面处 例题6-1 ②集中力偶作用的截面处 例题6-2 ③FQ=0处，M有极值 例题6-3 ④悬臂梁的固定端处 例题6-4（外伸梁的支座处往往也有Mmax）例题6-5

图6-24 特点之七： 在梁的中间铰上如果没有集中力偶作用，则中间铰处弯矩必等于零，而剪力图在此截面处不发生突变。

例题6-6 再分析例题6-1；集中作用在l/2处

图6-26 再分析例题6-3：简支梁承受均布载荷

图6-27 特点之八： 对称结构、对称载荷，FQ图反对称，M图对称，据此特点，下面这道题即可方便作出 FQ、M图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图）

图6-25 q(x)10x2

q(x)5x

AC段：F1Q(x)FA25xx102.5x2（0

⑴

⑵ 例题6-7

图6-26 特点之九： 对称结构，反对称载荷，FQ图对称，M图反对称。

特点之十： 梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处 M=0，构件设计中确定反弯点的位臵具有实际意义。

4、q(x)、FQ(x)、M(x)之间的微分和积分关系。

留心例题6-1到例题6-4；特别是例题6-

3、例题6-4，可以发现：dM(x)dxFQ(x)，dFQ(x)dxq(x)。是否普遍存在着这样的关系？

⑴q(x)、F

Q(x)、M(x)之间的微分关系。

图6-27 取 dx一段讨论，任设F

Fy0Q(x)、M(x)均为正值。

FQ(x)q(x)dx[FQ(x)dFQ(x)]0

dFQ(x)dxq(x)⑴

Q式⑴的物理意义：梁上任一横截面上的剪力FdFQ(x)dx(x)对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度q(x)。

式⑴的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度q(x)，就是剪力图上相 关点处的斜率。

MO0

M(x)FQ(x)dxq(x)dxdx2M(x)dM(x)0

略去高阶微量

dM(x)dxFQ(x)⑵

dM(x)dx式⑵的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩M(x)对x的一阶导数等于该截面上的剪力FQ，(x)。

(x)，就是弯矩图上相关点处的式⑵的几何意义：任一横截面处的剪力F斜率。

对⑵式的两边求导，则

dM(x)dx22QdFQ(x)dxq(x)⑶

式⑶的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩M(x)对x的二阶导数dM(x)dx22，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度q(x)

数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：

式⑶的几何意义：可以根据 M(x)对x的二阶导数的正、负来定出M(x)图的凹向。

⑵根据q(x)、F①若q(x)=0 ∵dFQ(x)dxQQ(x)、M(x)之间的微分关系所得出的一些规律：

=q(x)=0，即FQ(x)=常数

∴F图为一水平直线； 又∵dM(x)dxFQ(x)=常数，即

M图的斜率为一常数

∴ M图为一斜直线。并且 当FQ00时，M图为上升的斜直线（/）； 时，M图为下降的斜直线（）.当FQ②若q(x)0（即分布荷载向下）∵dFQ(x)dxQ=q<0 ∴F图为一下降的斜直线（）又∵dM(x)dxFQ0

∴ M图下降。再∵dM(x)dx22q0

∴ M图为一凹向下的曲线（∩）③若q(x)0（即分布荷载向上）∵dFQ(x)dxQ=q0 ∴F图为一上升的斜直线（/）又∵dM(x)dxFQ0

∴ M图上增。再∵dM(x)dx22q0

∴ M图为一凹向上的曲线（∪）④若dM(x)dxFQ(x)0（即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶

M,而梁上又无q、FP作用）则 M图的斜率为零，M图为一水平直线。若dM(x)dxFQ0，M图在该处的斜率为零时，则在此截面上M 为一极值。⑤若dM(x)dxFQFQ 或

dM(x)dxQFQFQ

（即分段列内力方程的分段点，F变号）

则M在该处必有极值。当F当F ⑶q(x)、F∵dM(x)dxQQFQFQ时，M有极大值； 时，M有极小值。

Q(x)、M(x)之间的积分关系

q(x)

∴FQ(x)q(x)dx

若梁上任有两点：a和b，则

FQFQFQbaq(x)dxab

几何意义；任何两截面（b，a）上的剪力之差，等于此两截面间梁段上的荷载图的面积；

又∵dM(x)dxq(x)

∴M(x)FQ(x)dxba

MMbMaFQ(x)dx几何意义；任何两截面上的弯矩之差，等于此两截面间的剪力图的面积。⑷q(x)、F Q(x)、M(x)之间的微分关系和积分关系的应用 作内力图既快又正确的三句话：

抓住“关系”； 注意突变； 定点控制。

利用q(x)、FQ(x)、M(x)间的微分关系和积分关系作FQ、M图

例题6-8

图6-28 例题6-9

例题6-10

图6-29

图6-30 例题6-11

图6-31

5、用叠加法绘制梁的剪力图和弯矩图 ⑴叠加法的基本思想

当梁在外力作用下的变形微小时，梁上若干外力对某一截面引起的内力等于各个力单独作用下对该截面引起的内力的代数和。

⑵叠加法①同号图形的叠加

图6-32 ②异号图形的叠加

图6-33 叠加法的三句话： ①截面相对应，同号只管加。

②异号重叠处，不用去管它；抓住控制面，一一相减加。

③图形必须归整，反弯点要对准；控制截面须对应，正负一定要分清。

第三篇：第十三章动荷载(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第十五章 动荷载

一、教学目标和教学内容

1、教学目标

通过本章学习，唤起学生对动荷载问题的注意。

让学生知道动荷载问题的两个方面，目前应当掌握在较简单的工程问题中，动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。对于材料在动荷载下的力学行为，以后根据工作的需要再进一步补充学习。

让学生掌握动荷载问题的基本知识，如杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，简单的自由落体冲击和水平冲击，以及循环应力问题的有关概念。

能够深刻认识动荷系数概念，并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。

2、教学内容

介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。介绍等角速度旋转的动荷应力计算。

讲解简单冲击时，能量守恒的基本方程，分别导出自由落体冲击和水平冲击时的动荷系数公式，及杆件经受冲击时的应力计算公式。

二、重点难点

重点：建立三类动荷载概念。

掌握杆件作等加速运动时的应力计算。作等速旋转圆盘的应力分析。

简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算 难点：对动静法和动荷系数的理解。

对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。

三、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时 3学时

五、实施学时

六、讲课提纲

(一)概念（动荷载的概念）

1、静荷载：

作用在构件上的荷载由零开始，逐渐（平缓、慢慢）地增长到最终值，以致在加载过程中，构件各点的加速度很小，可以不计；荷载加到最终值保持不变或变动的不显著的荷载，称之为静荷载。

2、动荷载：

如果构件本身处于加速度运动状态（高层、超高层建筑施工时起吊重物；这些建筑物中运行的电梯—惯性力问题）；或者静止的构件承受处于运动状态的物体作用（落锤打桩，锤头猛烈冲击砼桩顶—冲击问题）；地震波引起建筑物晃动(构件在振动状态下工作—振动问题)；机械零件在周期性变化的荷载下工作(交变应力疲劳问题)，则构件受到荷载就是动荷载。

3、动荷载与静荷载的区别

静荷载：构件在静止状态下承受静荷载作用。由零开始，逐渐缓慢加载，加到终值后变化不大、加速度很小，可以略去不计。动荷载：在动荷载作用下，构件内部各质点均有速度改变，即发生了加速度，且这样的加速度不可忽略。

区别：加速度可忽略与不可忽略。

4、虎克定律的适用问题

实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动荷载的应力、应变的计算，弹性模量与静荷载的数值相同。

5、本章讨论的问题

⑴惯性力问题：构件在加速度运动时的应力计算；构件在匀速转动时应力计算（构件上各点有向心加速度）。

⑵冲击问题：垂直冲击；水平冲击。(二)惯性力问题

1、惯性力的大小与方向

对于加速度为a的质点，惯性力等于质点的质量m与其加速度a的乘积，即惯性力大小。

FIma ─────────────(a)若构件的重量为G,重力加速度为g，则质点的质量

mG ─────────────(b)g 则质点的惯性力

FIGa

─────────────(c)g惯性力的方向与加速度a的方向相反。

2、动静法——达朗贝尔原理。

达朗贝尔原理指出，对作加速度的质点系，若假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理。这就是动静法。

3、构件在加速度直线运动时的应力和变形计算。⑴动荷载系数Kd

例如有一绳索提升重量为G的重物（如下图）。

图13-1 则Fy0

FNdGGga0 FGaNdGgaG(1g)所以，绳索中出现的动应力为

FNddAGA(1ag)ast(1g)────────────⑴式中的GstA是静力平衡时绳索中的静应力。若令⑴式括号内1ag为Kd，那么⑴式即为

dkdst────────────────────⑵

式中的kd称为动荷系数

⑵式表明：绳索中的动应力d=静应力st乘以动荷载系数kd。同理：绳索中的静伸长lst乘以动荷载系数kd=绳索的动伸长ld，即

ldKdlst────────────────────⑶

同理：

dKdst─────────────────────⑷

⑵匀加速直线运动构件的应力计算

一直杆AB以匀加速a向上提升（见下图）；设杆长为l,横截面积为A，材料的容重为r，求杆内的动应力d?

图13-2 解：①用截面法截出杆的下段 ②设截面上的轴向力为FNd ③该段在FrAxNd、自重rAx和惯性力ga作用下形成平衡力系（图b）由静力平衡条件得：

FrAxNdrAxgarAx(1ag)

若用FNddA代表横截面上的正应力，则 adrx(1g)──────────────────(A)∵静应力astrAx/Arx ∴dst(1g)Kdst

由(A)式可知，杆内的正应力沿杆长按直线规律变化，见图c

4、构件在匀速转动时的应力计算

当构件作定点匀速转动时，构件上各点有向心加速度

anR2

式中的R为质点到转轴的距离（圆环的平均半径）图13-3 离心惯性力沿圆环中心线均匀分布，其集度为

qdArArArD2anR2 ggg2则环向应力

ArD2DqoDrD2g22─────────────⑴

2A2A4g∵线速度VD 2∴环向应力计算式也可写成： r2───────────⑵ grD22其强度条件：[]────────────────⑶

4gr2[]─────────────────⑷ g由⑶式可求转速，∵2n，则⑶式可写成

n1[]g───────────────⑸ 2Dr由⑷式可求容许线速度

[][]g──────────────────⑹ r

例题13-1 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮（如下图）。与飞轮相比，轴的质量可忽略不计。轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转速为n100r/min，转动惯量为Ix0.5KNMS2。轴的直径d100mm，刹车时使轴在10秒内均匀减速停止。求轴内最大动应力。

图13-4 解：⑴飞轮与轴的转动角速度为o2n10010rad/s 60303⑵当飞轮与轴同时做均匀减速转动时，其角加速度为

1ot0103rad/s2(其中负号表示与的方向相反，如上图)o103⑶按动静法，在飞机上加上方向与相反的惯性力偶矩Md，且

0.5MdIx0.5()KNm

33⑷设作用于轴上的摩擦力矩为Mt，由平衡方程Mx0，设：

MtMd0.5KNm 3⑸AB轴由于摩擦力矩Mt和惯性力偶矩Md引起扭转变形，横截面上的扭矩为MT，则

MTMd0.5KMm 3⑹横截面上的最大扭转剪应力为

maxMr2.67106Pa2.67MPa Wp(100103)2160.51033

40/s，例题13-2 图示结构中的轴AB及杆CD，其直径均为d=80mm，材料的[]70MPa，钢的容重76.4KN/m3，试校核AB、CD轴的强度。

解法之一： 解：

1、校核AB轴的强度（AB轴的弯曲是由于CD杆惯性力引起的，因为CD杆的向心加速度引起了惯性力）

图13-5 ⑴CD杆的质量：mGArlgCDg ⑵CD杆的加速度：a2RCD ⑶CD杆引起的惯性力FI；

0.0821030.6FIma476.49.84020.6211.28KN ⑷AB轴的MFIl11.281031dmax4.243.38kNM ⑸AB轴的Mdmax3.38dW10367.3MPa[] 0.083322、校核CD杆的强度（FNdFI受拉，危险截面在C）

FNdFI11.28103d2.25MPa[] 30.08AA4解法之二： 图13-6 解：沿CD杆轴线单位长度上的惯性力（如图b所示）为

(0.08276.4103)lCDqd(x)4402x614103xN/m

lCD当x0时，qd0

当x0.04m时（c截面处），qd24.6103N/m 当x0.6m时，qd368.5103N/m CD杆危险面C上轴力和正应力分别为

1FNdmax[(24.6103368.5103)(0.60.04)][0.082(0.60.04)76.4103] 24110.10.2110.3KNdmaxFNmax110.310321.9MPa

A0.0824(三)冲击荷载

落锤打桩、汽锤锻打钢坯、冲床冲压零件，转动的飞轮突然制动、车辆紧急刹车都属于冲击荷载问题。

1、垂直冲击（冲击物为自由落体）

图13-6 设有一重物Q从高处为H处自由落下（如图），冲击到被冲击物体的顶面上，则其动荷载系数Kd11式中的stl2Hst

FNlQl ─────构件在静荷载作用时的静位移。EAEA⑴若H=0时（即突加荷载——荷载由零突然加到Q值），则Kd2 dKdst2st dKdst2st

即突加荷载作用下，构件的应力与变形比静荷载（由0逐渐Q值）时要大一倍。

⑵若2Hst10时，则

Kd12Hst

⑶若2Hst100时 2HKdst

2H⑷若已知在冲击开始时冲击物自己落体的速度V，则Kd1st中的高度可用V2H2g来代替，即K1V2d1g

st2、水平冲击

水平冲击时（图a、b所示）的动荷系数

KVdg─────────────────⑺ st

图13-7

3、冲击荷载作用下的动位移、动应变、动应力

dKdst dKdst dKdst

4、受冲击时构件的强度条件：

dKdst[]

例题13-3 试校核图示梁在承受水平冲击荷载作用时的强度。已知，冲击物的重量Q=500KN,冲击荷载Q与弹簧接触时的水平速度V0.35m/s；弹簧的刚度k100106N/m，冲击荷载及弹簧作用在梁的中点处，梁的抗弯截面系数W10103m3，截面对中性轴的惯性矩 I5103m4，钢的E200GPa，[]160MPa。

图13-7 解：

1、当Q500N以静载方式从水平方向作用在弹簧、梁的跨中时，跨中截面的水平位移为

Ql3Qst

48EIK 500103835001030.005330.0050.01m 4820010951031001062、动荷载系数Kd

KdV0.350.351.12

0.313gst9.80.013、最大弯矩(Mmax)d

5001038(Mmax)dkd(Mmax)st1.121120103Nm

44、强度校核

(Mmax)d1120103(max)d112MPa[] 3W10105、结论：强度够

例题13-4 图a所示结构，梁长l2m，其宽度b75mm。高h25mm；材料的E200GPa；弹簧的刚度K10kN/m。今有重量Q250N的重物从高度H50mm处自由下落，试求被冲击时梁内的最大正应力。若将弹簧置于梁的上边（图b），则受冲击时梁内的最大正应力又为何值？

图13-8 解：第一种情况（图a）

由弹簧支承B处的变形协调方程：

（QF3B)l48EIFBK 解出FQB25019.6148EI482001091N 752531012kl31121010323B截面的静位移F19.6stBK101031.96103m 动荷载系数Kd112H2510311st1.961038.21 梁内的最大正应力为

1(QF)l1B(25019.6)2dKdstKd4W8.2141121MPa

75251096第二种情况（图b）

重物Q以静载方式作用于弹簧顶部时的静位移为

Ql3Q25023250st48EIK27.131013m4820010917525310121010312动荷载系数KH11250103d112st27.131033.16

梁内的最大正应力为

1Ql1dKdstKd4W3.1614250250.6MPa

75252109615

第四篇：第五章平面图形几何性质(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第五章平面图形的几何性质

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣

材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。

杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。（小实验）

研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般 图5-27。实际杆件的横截面： 抽象为：

特殊 一般

图5-27

1、静矩 形心位置（１）静矩 图5-28：

图5-28

微面积dA与Z轴、Y轴间距离的乘积ydA,zdA分别称为微面积dA对Z轴、Y轴的静矩。

整个截面对Z轴、Y轴的静矩可用下式来定义：

（若把A看作力）

ydAS定义：截面A对Z轴：

ZdASAAZ（４-1）y截面A对Y轴：

计算：①对（４-1）式直接积分：

②若已知截面的形心位置C，则SZ,Sy可以写成：

SYAZc（４-2）

SZAYc（２）形心的位置：

YCSZA（４-3）SyZCA性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即： SZC0;

SYC0

决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围：可以为正、或负、或等于零。单位：mm3,cm3,m3（３）组合截面的静矩：

SnzAiYii1 SnyAiZii1即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。

（４）组合截面的形心位置：

nAyiYicSzi1AnAii1zSn AcyiZii1AnAii1例题5-7 求图5-29所示截面图形的形心。（４-4）（4-5）

图5-29 解：把T形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 ∵y轴是对称轴 ∴形心必在y轴上

① 求SZ'?

AI80201600mm2 AⅡ=120202400mm2 yc10mm（到Z′轴）ycⅡ=60+20=80mm n则：sz'AiYii116001024008020800mm3

②求yc＝？

AiYis208000＝＝52mm yc＝z＝i1n802012020AAii1n

2、惯性矩（形心主惯性矩）惯性半径 极惯性矩

图5-30 定义：（1）惯性矩

IZIy2yAdA（4-6）2ZdAA定义为截面对z轴,y轴的惯性矩。

（2）形心主惯性矩——若Z轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，用Izc，Iyc表示（3）惯性半径

iyizIyA（4-7）IzA

对于圆形截面 i=（4）极惯性矩：

Ip2dA（4-8）

AId A

4定义为截面对坐标原点的极惯性矩。∵2y2z

2∴IpIyIz 计算方法：直接积分 例题5-8：惯性矩的计算

①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y、z的惯性矩？

图5-31 解：IzAydAy2(bdy)2h2h2by3 ＝32h2bh3＝ h122 Iy＝AZdA＝Z2(hdZ)

hZ32hb3 ＝＝

3b122bb2b2

②三角形 求其IZ?

图5-32 解：DyyD＝hh D＝

hyyhD

dA＝Dydy I2hhyzAydA0y2hDdy =Dh312

③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆）（1）扇形 求其IZ?

图5-33

解：IZAy2dA

dAdd ysin

Iz(sin)2dd

AR4=(asincos)（A）8

（2）1／4圆 IZ?

图5-34 解；∵2

代入（A）式即得 IzR416

（3）1／2圆 IZ?

图5-35 解：∵，代入式（A）得

IzR48

（4）全圆 IZ?

图5-36

解： ∵2 代入（A）式即得 IzR44D464 IpIzIy2IzD432

性质：（1）同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。

（2）截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，恒等于它对该两轴交点的极惯性矩（∵p2y2z2）决定因素：截面形状、尺寸、轴的位置。

数值范围：惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。

单位：惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为：mm4,cm4,m4,惯性半径：mm,cm,m

3、平行移轴公式

图5-37 已知：Iz、Iy ；Izc、Iyc yc∥y，Zc∥Z（两坐标轴互相平行）

yycb;ZZca

求：Iz、Iy ； Izc、Iyc的关系。解：IzAy2dA =A(ycb)2dAA(yc22ycbb2)dA =Ayc2dA2bAycdAb2AdA =Izc0b2AIzcb2A

由此可见：图形对任意轴的惯性矩Iz图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩Izc图形面积与两轴间距离平方的乘积。同理可得：

IyIyca2A

平行移轴公式的运用：

例题5-9 求图示图形的 Izc,Iz2?

图5-38 解：求Izc

因IZ1Izcb2A，即：

Dh3hDh Izc1223IzcDh3h2DhDh3 1292362（2）求Iz2? ∵Iz2而应该：

Iz2Dh3DhIz1dAd2（错！）

1222hIzcdA

32注意：移轴一定要对截面形心

第五篇：第十二章压杆稳定(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第十二章 压 杆 稳 定

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣

一、教学目标

深入理解弹性平衡稳定性的概念

熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响 压杆的分类与临界应力曲线 掌握压杆稳定性计算的方法

二、教学内容

稳定的概念

两端铰支细长压杆的欧拉临界力 杆端约束的影响 临界应力总图 压杆稳定性计算

三、重点难点

重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算 难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算

四、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时 3学时

六、实施学时

七、讲课提纲 ★压杆稳定问题的提出 钢尺：

(a)(b)(c)图12-1(a),钢尺，杆长l2cm，属于强度问题

A12626mm2

s240MPa

F6ssA24010261066240N624kg

图14-1(b),钢尺,杆长l30cm，按欧拉公式计算临界力。2110.0260.0013F2EI210cr12(l)2（10.3)2

2210112.610110.09181N18.1kg图14-1(c), 钢尺,杆长l1m，按欧拉公式计算临界力。F2210112.61011cr（11)251N5.1kg

若l2m，则F2210112.61011cr（12)212.8N1.28kg

12-1

图

(一)稳定平衡与不稳定平衡的概念

1、稳定平衡

(a)(b)(c)图12-2 压杆在力F的作用下，其轴线与F的作用线重合，这种状态称为压杆的直线形状的平衡状态，如图12-2(a)所示。

在图12-2(a)的基础上，在横向施加一个微小的干扰力，使压杆脱离原来直线形状的平衡状态，（见图12-2(b)虚线所示）

从图12-2(b)上除去横向干扰力，如果压杆能恢复到原有图12-2(a)的直线形状的平衡状态，则压杆原来直线形状的平衡（图12-2(a)）称为稳定平衡。

2、不稳定平衡

见图12-2(c)，即：在图12-2(b)上除去干扰力，压杆不能恢复到原来图12-2(a)的直线形状的平衡状态（虚线位置），即在弯曲状态下保持平衡，则原来的直线形状的平衡12-2(c)称为不稳定平衡。(二)压杆的失稳与临界力

1、当压杆所承受的压力F小于某一确定的值Fcr。即F < Fcr 时，压杆能保持原有直线形状的平衡状态，则压杆是稳定的；

2、当压杆承受的压力F 超过这一确定的值Fcr，即F >Fcr时，压杆不再维持原有直线形状的平衡状态，即直线形状下的平衡状态丧失了稳定性,称为压杆失稳。

3、显然，上述这一确定的值Fcr，是压杆从稳定过度到失稳的临界力。注意：临界力是一个数值，它既不是外力，也不是内力，它是压杆保持直线形状稳定平衡所能承受的最大的压力（再大一点压杆就失稳）；或者说，它是压杆丧失直线形状稳定平衡所需要的最小压力（再小一点就不再失稳）。

在小变形和材料服从虎克定律的条件下，计算压杆临界压力的欧拉公式2EI为： Fcr ─────────────────(A)（l)2式中I 为丧失稳定方向压杆横截面的惯性矩，l为压杆的长度，长度系数与压杆两端的约束条件有关：

两端固定：0.5 一端固定，另一端铰支：0.7 两端铰支：1 一端固定，另一端自由：2(三)临界应力与临界应力总图

1、临界应力

在临界力作用下，压杆横截面上的平均应力称为临界应力。欧拉临界应力计算式: Fcr2EIcr 2A(l)A ∵Ii ──────称为截面的惯性半径。

A∴Ii2

Al2E 令称为压杆的柔度，它反映：① 压杆的长度l； l2i②支承形式；()i③截面几何性质i。

2E

2注意：只有当压杆内的应力不超过材料的比例极限时，用欧拉公式计算

2E临界力才是正确的，即cr2p

则Ep──────压杆材料的柔度极限值；

pA3钢：E200GPa，p200MPa，p100

2、临界应力总图 ⑴何谓临界应力总图？

根据压杆临界应力在比例极限内的欧拉公式，以及超过比例极限的经验公式，将临界应力cr与柔度的函数关系用曲线表示，得到的函数曲线称为临界应力总图。

⑵临界应力总图

图12-3 由图12-3可见：临界应力总图就是表示cr随变化的规律，对于不同范围的，其计算cr的公式也不同。

图12-3中：AD段属于强度问题。CD段是以经验公式crab绘制的2E斜直线；CB段是以欧拉公式cr2绘出的曲线。

这三段曲线：D点是强度问题和稳定问题的分界点，C点是求临界应力的欧拉公式与经验公式的分界点。

①p的压杆

这类杆件称为大柔度杆或细长杆，其失稳为弹性稳定问题。临界应力由欧拉公式计算；

2Ecr2 ───────────────(B)②op的压杆

这类杆件称为中柔度杆，其失稳为超过比例极限的稳定问题。临界应力由直线形式的经验公式计算：

crab───────────────(C)式中的a、b是与材料有关的常数。

注意：o是应用直线公式时的最低值。o所对应的临界应力等于材料塑os的极限应力。o脆bo

即：craboo

ao则oba304MPa A3钢b1.12MPa

o235MPaso61.6 ③0的压杆

这类杆件称为小柔度杆，主要为强度问题。其临界应力等于材料的极限应力o。

对于塑性材料：cros 对于脆性材料：crob

例题12-1： 长度为l3m的压杆如图示，由A3钢制成，横截面有四种，面积均为A3.2103mm2。已知：E200GPa，s235MPa，cr3041.12，p100,o61.4。试计算图12-4所示截面压杆的临界荷载。

图12-4 解：

1、矩形截面：∵Ab2b3.2103 ∴b40mm

IminA2bb31211.55mm 2b2惯性半径i0.53103压杆的柔度130p

i11.55l2E3.21032200103则FcrAcrA2375kN

1302

2、正方形截面：∵Aa23.2103 ∴a56.5mm

a4iI123Aa216.3mm li0.531016.392

op

∴FcrcrA(3041.12)A(3041.1292)3.2103644kN

3、圆形截面 ∵Ad243.2103 ∴d63.8mm

iIAd415.95 l0.5i310315.9594 ∴FcrcrA(3041.1294)3.2103635kN

4、空心圆截面

∵Amd（210.72)43.2103 ∴D89.3mm

D4(10.7)4iI64AD227.2

24(10.7)l0.53103i27。255.1

o属小柔度杆，其临界荷载应按强度计算：

∴FcrcrA2351063.2103752kN

可见，在面积相同情况下，空心圆截面压杆的临界荷载最高，即承载能力最强。(四)压杆的稳定计算

1、安全系数法 压杆的稳定条件：F[Fcr]Fcr[n]s [n]s───规定的稳定安全系数

cr[n]s上式用应力形式表示为：[cr]工程上常用的稳定条件：n关键：临界力Fcr的计算

Fcrcr[n]s n──压杆工作时的实际安全系数 F例题12-2 图12-5所示压杆，若在绕y轴失稳时，两端可视为铰支；若在绕z轴失稳时，则两端可看作为固定支座。压杆的材料为A3钢，E=200MPa,p200MPa, s240MPa,l2m。截面为：th4065mm。已知[n]s2，a304MPa，b1.12MPa。试校核压杆的稳定性。

解：

1、计算立柱在绕y轴失稳时的临界力 ∵在绕y轴失稳时，可视为两端铰支；∴y1

th31Iy4065310129.15107m4

1212Ath40651062.6103m2

iyIy9.151071.88102m 3A2.610yyliyE12106 21.881020010999 图12-5

2001069 pp ∴yp 属大柔度杆，用欧拉公式计算(Fcr)y：

F2EIy22001069.15107(cr)y()2(12)24.51kN yl2、计算立柱在绕z轴失稳时的临界力

∵在绕z轴失稳时，可视为两端固定，∴z0.5

I1ht3z16540310123.471071212m4 iIzA3.471072.61031.16102m4z zl.52zi0z12610286

osasb3042401.1257 ∵ozp

∴该杆在在绕z轴失稳时属于中柔度杆，其临界力由经验公式计算：（cr)zab3041.1286208MPa

（F6cr)z(cr)zA208102.6103540KN

3、结论

该杆的临界力Fcr(Fcr)y451KN，则其工作安全系数nFcr451F2.51[n]s2 p180故压杆的稳定性符合规定要求。10

2、折减系数法

压杆的稳定条件：[cr][]

───工作应力，[]───许用压应力，是一个小于1的系数，称为折减系数，其数值与压杆的材料及柔度有关。

注意：若给定[n]s，则按安全系数法对压杆进行稳定校核； 若给定[]而未给出[n]s时，则按折减系数法对压杆进行稳定校核。

[]11MPa，例题12-3 图12-6所示托架，撑杆AB为圆木杆。两端铰支，试求AB杆的直径d 解：

1、求lAB？

tg30x 2.4m∴x1.38m

lAB1.3822.422.77m

2、求FNAB?

Mc0

FNABsin302.4q3.21.60 图12-6 FNAB213KN

3、求d?

FNAB213103⑴设10.5，则A387104m2 61[]0.51110d24 387104 d0.222m id45.55102m li12.775.5510250 查表，1'0.767与假设相距甚远。⑵设11'0.767220.520.63 AFNAB213]1030.6311106307104m2 2[dFNAB307104419.8102m2 2[]d19.8102i4l44.95102m i12.774.9510256查表，2'0.708 ⑶设22'.630.70832020.67 AFNAB]2131030.6711106289104m2 3[F4dNAB]28910419.2102m 3[id419.210244.8102m l12.77i4.810258 查表，3'0.688 ⑷设.670.6884020.68 A285104m2 d19102m i4.75102m 0.583

4'0.685 44'

则d19102m190mm

(五)极限荷载、容许荷载的概念。

图12-7 例题12-4 钢结构受力如图12-8所示，AB杆为刚杆，杆件①和杆件②材料的弹性模量E210GPa，比例极限p210MPa，屈服极限s210MPa，a304MPa，b1.12MPa，杆长，容许应力[]170MPa，试：

1、求结构所能承受的极限荷载Fmax及其作用位置。

2、求结构所能承受的最大的容许荷载[F]及其作用位置。注：只需考虑纸平面内的稳定问题。解：

1、计算p，1，2

pE

p21010999.3 621010d1cm0.01m;11； 4杆①：i11 1l1i111.5150p，即杆①为细长杆。图12-8 0.0113 杆②：i222l2i2a412a41.15cm0.0115m；20.7 2a1212as3042350.71.561.6，91.3 sb1.120.0115∵s2p ∴杆①为中长杆。

2、求Fmax及其作用位置 杆①： Fcr1EI(1l1)22221010964(11.5)2(4102)4115.6KN

2E2210109或cr1292MPa 21501Fcr1cr1A19210642(4102）115.6KN

杆②：cr2ab23041.1291.3202MPa

2Fcr2cr2A2202106(4102）323KN

Fy0，FmaxFcr1Fcr2115.6323438.6KN

32321.472m 438.6mA0，得x

3、求[F]及其作用位置

杆①：1=150，1=0.306 [cr1]1[]=0.306×170=52.02MPa [Fcr1][cr1]A152.021064(410-2)265.3kN

杆②：291.3，20.663

[cr2]2[]0.663170112.7MPa

[Fcr2][cr2]A2112.7106(410-2)2180kN

Fy0,[Fp][Fcr1][Fcr2]65.3180245.3KN

18021.467m 245.314 mA0,得x 例题12-5 试求图12-9所示结构的极限荷载。已知AB、AC两杆均为圆形截面，其直径D80mm。材料为A3钢，其：p200MPa，E200GPa，s260MPa，a304MPa，b1.12MPa。

图12-9 解：

1、压杆长度及材料的极限柔度计算：

lABcos60lACcos30lAB3.46mlABcos30lACcos604m联立此两方程，解出：

lAC2m

pE200109p20010699.3

assb3042601.1239.3

2、计算临界力

lAB13.46ABi1173p480103lACACi12均为细长杆，则 110080103422200109（FEIcr）AB648041012(l2AB)(13.46)2331KN

2EI22001098041012（Fcr）AC64(l2AC)(12)2991KN

3、计算FNAB、FNAC与F之间的关系：

x0，FNABcos30FNACcos60FNABcos60FNACcos30F联立此两方程，解出：FFNAB2 ────────────⑴ FNAC0.866F────────────⑵

4、计算极限荷载Fmax： 若AB杆先失稳：FNAB(Fcr)AB331KN 代入⑴式，则得Fmax2(Fcr)AB2331662KN 若AC杆先失稳：FNAC(Fcr)AC991KN 代入⑵式，则得Fmax(Fcr)AC0.8669910.8661144KN