山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第七编 不等式 7.4 基本不等式(教案)理（共五则）

第一篇：山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第七编 不等式 7.4 基本不等式(教案)理

高三数学（理）一轮复习教案 第七编 不等式 总第34期§7.4 基本不等式:基础自测 1.已知a＞0,b＞0，答案 7+26ab≤

ab2

1a+=1，则a+2b的最小值为.b3

+2.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y∈R，且x+4y=1,则x·y的最大值是.答案 116

abcd23.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则是.答案 4 xy4.x+3y-2=0，则3+27+1的最小值为.答案 7 5.（2008·江苏，11）x,y,z∈R，x-2y+3z=0,答案 3 例题精讲

例1 已知x＞0,y＞0,z＞0.求证：证明 ∵x＞0,y＞0,z＞0,∴yxzxyx+的最小值

y2xz的最小值是.yxzxxzxyyyzzxy≥8.xzy+

zx≥

2xyz＞0, +

zy≥

2＞0.xz+

yz≥

2xyz＞0, ∴xzyyxyzz≥8yzxzxyzxy=8.（当且仅当x=y=z时等号成立）

例2（1）已知x＞0,y＞0，且51x+

9y=1,求x+y的最小值；

14x5（2）已知x＜,求函数y=4x-2+4的最大值；

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）∵x＞0,y＞0,当且仅当yx1x+9y=1,∴x+y=(x+y)1x1x9y =

yx+

9xy+10≥6+10=16.=9xy时，上式等号成立，又+

9y=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.用心

爱心

专心 208

（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+4514x5=-54x54x1+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=154x,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.2y(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴=10+24yxxy+

8x=1,∴x+y=(x+y)4yx8x2y=10+

8yx+

2xy

≥10+2×2×4yxxy=18,当且仅当=

xy,即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.例3某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级 污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建 造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造 单价为80元/米，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解（1）设污水处理池的宽为x米，则长为×2x+80×162 =1 296x+1296100x

2162x米.则总造价f(x)=400×2x2162x+248+12 960=1 296x100x+12 960≥1 296×2

x100x+12 960=38 880（元），当且仅当x=100x(x＞0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.0x16（2）由限制条件知162160x,∴10≤x≤16.设g(x)=x+

81162x11001x1610x8.g（x）在101,168上是增函数，∴当x=10时(此时

81880081=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×101+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元.8巩固练习

1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1，求证：

1a++≥9.bc11用心

爱心

专心 209

证明 1a++= bc11abca+abcb+

abcc=3+baab+caac+cbbc

≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.312.若-4＜x＜1,求解 x2x22x22x2的最大值.12x22x2=·21x12x1=

11x12x1=-

11x1x12x11

∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,-11x1x121x1＞0.从而x1≥2 ≤-1当且仅当-(x-1)=

1x1，即x=2（舍）或x=0时取等号.x22x2即2x2max=-1.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解（1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本

vs为y=(a+bv)=sbvv2sabv,v∈（0,c］.abv（2）依题意，有s,b,a,v都是正数.因此y=sbv①若②若abab≥2s

ab;≤c,则当且仅当v=abvv=

ab时,y取到最小值.≥c,则y在（0，c］上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.ab综上所述，为了使全程运输成本最小，当当ab≤c时，行驶速度应该为v=

ab；

≥c时，行驶速度应该为v=c.回顾总结 知识 方法 思想

用心

爱心

专心

210

课后作业

一、填空题

21.若不等式x+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围是.答案 a≥-5 2.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为..答案 23-2 3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为.答案

214.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0（a,b∈R）平分圆x+y-2x-4y-6=0，则的最小值是.答案 3+22+2

22a+

1b

5.函数y=log2x+logx(2x)的值域是.答案（-∞，-1］∪［3，+∞）

6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.答案 20 7.（2008·徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为.答案 27 8.若a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞)，则号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=最小值时x的值为.答案 25

512xa2x+

b2y9≥

ab2xy,当且仅当

ax=

by时上式取等

+

1x0,12x2的最小值为，取

二、解答题

9.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；

34（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2+4的最小值.解（1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤3323234113x43x23432xy

=

34当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.∴当x=时，x(4-3x）的最大值为.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2+4≥用心

爱心

专心

211

x

y

224xy=22x2y=2y23=42.343234x

y当且仅当2x4，即x=,y=时“=”成立.∴当x=,y=时，2+4的最小值为4232.x2y310.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：(1)a+b≥;(2)22211a2+1b21≥8;(3)aa21+ bb2≥

252;(4)a11bab≥

254.abab,证明 由2 a、b∈（0，+∞），得ab1,ab≤

12ab≤

141ab≥4.（当且仅当a=b=时取等号）

21(1)∵a+b=(a+b)-2ab=1-2ab≥1-2×=，∴a+b≥.42222

21122

1(2)∵1a2+1b2≥2ab≥8,∴1a2+

1b22≥8.1+ bb21(3)由(1)、(2)的结论，知aa1∴aa2=a+b+4+

1a2+

1b2≥+4+8=

21252, 1+ bb2≥ba252.ab1abba11(4)abab=++ab+=+

+ba1abab21+2≥2+222+2=

254.11.设a＞0,b＞0,a+b=1.（1）证明：ab+1ab≥4;41(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内： ab+221ab22≥（）；ab+

1ab33≥（）；

（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明 方法一 ab+∵ab=(立，故ab+1abab1ab≥4

144ab-17ab+4≥0(4ab-1)(ab-4)≥0.122)2ab≤22=,∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,因此（4ab-1）(ab-4)≥0成441≥4.41用心

爱心

专心 212

方法二 ab+1ab=ab+4112+4152abab，∵ab≤2ab2=，∴

411ab≥4，∴

4152≥

154.ab当且仅当a=b=时取等号.又ab+2142≥2

ab412=，21ab1ab1ab当且仅当ab=412，即11ab=4,a=b=时取等号.故ab+

2≥+

42154=4

41ab（当且仅当a=b=时，等号成立）.2（2）解 猜想：当a=b=时，21不等式ab+64164221ab22≥()与ab+

1ab33≥()取等号，故在括号内分别填16

116与.nn（3）解 由此得到更一般性的结论： ab+证明如下：

ab∵ab≤221abnn≥4+

n

14n.=,∴4111ab≥4.∴ab+1nn

1abnn=ab+

4nn

12nabnn+

442n2n1nn

11ab≥2abnn42nabnn+42n42n×4=

24n+

42n1n=4+

n

14n，当且仅当ab=,即a=b=时取等

424号.*12.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(单位：件，x∈N，1≤x≤96)的关系如下：

又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元，每生产一件次品就损失（注：次品率p=次品个数产品总数a3元.×100%，正品率=1-p)（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解（1）依题意可知：p=x-px件，日盈利额T=a(x-px)-a33100x(1≤x≤96,x∈N),日产量x件中次品有xp件，正品有

*px=ax100x4x.213 用心

爱心

专心

(2)∵T=ax100x4x=ax4x100400100x=ax4100x400=a104100x100x400

≤a(104-2400)=64a，所以当100-x=20，即x=80时，T最大.因此日产量为80件时，取最大值.用心

爱心

专心 214 日盈利额T

第二篇：2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理

[第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

x1．[2013·韶关调研] 函数y＝xe的最小值是()

1A．－1B．－eC．不存在 e

322．f(x)＝x－3x＋2在区间[－1，1]上的最大值是()

A．－2B．0C．2D．4

3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

1332629关系可近似地用如下函数给出：y＝－t－t＋36t则在这段时间内，通过该路段用844

时最多的时刻是()

A．6时B．7时C．8时D．9时

4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()3

A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件

能力提升

5．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()

3333A．12 cmB．15 cmC．18 cmD．16 cm

26．[2013·湖南卷] 设直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()

152A．1B.D.222

37．[2013·全国卷] 已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()

A．－2或2B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

8．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()

A．1B.3C．2D．3

9．[2013·辽宁卷] 若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()

1112x2A．e≤1＋x＋xB.1－x＋x 241＋x

1212C．cosx≥1D．ln(1＋x)≥x－ 2810．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为

________．

ex＋1ex

11．[2013·厦门质检] 设函数f(x)＝，g(x)＝x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，xe

g（x1）f（x2）不等式k的取值范围是________．

kk＋1

12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售

量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P.则该商品零售价定为________时，毛利润L最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．

13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，（梯形的周长）记S＝S的最小值是________．

梯形的面积

14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用3x＋5

与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

15．(13分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求实数a的取值范围．

难点突破

16．(12分)已知函数f(x)＝lnx－(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

ax

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为a的值；

(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y＝x的图象恒在函数f(x)的图象的上方．

课时作业(十五)

【基础热身】

x

1．C [解析] y′＝(x＋1)e，令y′＝0，得x＝－1.因为x<－1时y′<0；x>－1时

y′>0，所以x＝－1时，ymine

2．C [解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0

3．C [解析] y－＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)

828

或t＝8，当6≤t<8时，y′>0，当8

4．C [解析] 因为y′＝－x＋81，所以当x>9时，y′<0；当00，所以

函数y＝－＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函

数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．

【能力提升】

5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8

510322

－2x)(5－2x)x＝4x－26x＋40x0

23

(舍去)，则V极大值＝V(1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.6．D [解析] 用转化的思想：直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx图象分别交于M，N，而|MN|的最小值，实际是函数F(t)＝t2－lnt(t>0)时的最小值．

122

令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－舍去)．

t2222

F(t)＝t－lnt有最小值，即|MN|达到最小值，故选D.2

7．A [解析] 由f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0⇒x＝±1，结合f(x)的图象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故选A.1222

8．C [解析] 设底面边长为a，则高h＝SA－a＝12－2，所以体积V

22

故t＝121

＝h＝33

164

12a－a.21643535

设y＝12a－a，则y′＝48a－3a，当y取最值时，y′＝48a－3a＝0，解得a＝0(舍

212

12－a＝2.332

9．C [解析] 验证A，当x＝3时，e>2.7＝19.68>1＋3＋3＝13，故排除A；验证B，去)或a＝4，故a＝4时体积最大，此时h＝

当x＝2

6111113391 5211 536166而1＋＝＝故排除B；

***3

1＋

验证C，令g(x)＝cosx－1＋x，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，显然g″(x)>0

恒成立，所以当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)时，g(x)＝cosx－11212

＋为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－恒成立；验证D，令h(x)＝22

121xx（x－3）

ln(1＋x)－x＋x，h′(x)＝1h′(x)<0，解得0

8x＋144（x＋1）

0

10.4V [解析] 设底面边长为x，则高为h＝∴Sx＋2×x＝22

4x3x3x＋32，2

43V3

∴S′＝－23x，令S′＝0，得x＝4V.x

333

当04V时，S′>0，故当x＝4V时，S取得最小值． 11．k≥1 [解析] ∵k为正数，g（x1）f（x2）g（x）≤f（x）∴对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立⇒kk＋1kmaxk＋1

.min

x＋2

e（1－x）

由g′(x)＝＝0得x＝1.e

x∈(0，1)，g′(x)>0，x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，g（x）＝g（1）＝e∴kkkmax

ex－11

同理f′(x)＝0⇒x＝，2

xe

11x∈0，f′(x)<0，x∈，f′(x)>0，ee

1f

f（x）＝e2ee2e，k>0⇒k≥1.∴kk＋1k＋1mink＋1k＋1

12．30 23 000 [解析] 由题意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)

＝(8 300－170P－P)(P－20)

＝－P－150P＋11 700P－166 000，∴L′(P)＝－3P－300P＋11 700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．

因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0，∴L(30)是极大值．

根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．

323 [解析] 设DE＝x，由ED∥BC，△ABC为正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC

－x)，梯形的周长为BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面2

＝1－x.过D作DF⊥BC，DF＝

133（3－x）2

积为(x＋1)×(1－x)＝－x)．S＝(0<

x<1)．

22432

（1－x）4

24（2x－6）（1－x）－（34（2x－6）（1－3x）S，2222

（1－x）（1－x）331

令S′＝0，解得x＝3(舍去)，311132300，∴x＝时，Smin.3333

14．解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝3x＋5

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5

而建造费用为C1(x)＝6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40800

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋54002 400

(2)f′(x)＝6－f′(x)＝0，即6.（3x＋5）（3x＋5）25

解得x＝5或x＝－(舍去)．

当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应

800的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.15＋5

故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

15．解：(1)由题意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝.e

111①当0

11此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f.ee

②当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，e

此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.(2)由题意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x＋ax＋2，则y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，等价于a＝－lnx＋2x－1有两个不同的实根x1，x2，等价于直线y＝a与函数G(x)＝－lnx＋2x－1的图象有两个不同的交点．

111由G′(x)＋2，知G(x)在0上单调递减，在上单调递增，x22

画出函数G(x)图象的大致形状如图，k

1由图易知，当a>G(x)min＝G＝ln2时，2

x1，x2存在，且x2－x1的值随a的增大而增大． 而当x2－x1＝ln2时，lnx1－2x1＋a＋1＝0，由题意得

lnx2－2x2＋a＋1＝0.

两式相减可得ln2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，4

代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1，2ln2此时实数aln2－ln－1，33

2ln2所以实数a的取值范围为a>ln2－ln－1.33

【难点突破】

1ax＋a

16．解：(1)f′(x)＋22(x>0)．

x2x1

xxx

当a>0时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，33

f(x)min＝f(1)＝－a＝a＝－(舍)．

②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，a3e

则f(x)min＝f(e)＝1－＝a(舍)．

e22

③当－e0，f(x)在(x0，e)上为增函数．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－e，2综上知，ae.(3)由题意得x>lnx－在(1，＋∞)上恒成立，即a>xlnx－x在(1，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝xlnx－x(x>1)，则g′(x)＝lnx－3x＋1.12

令h(x)＝lnx－3x＋1，则h′(x)＝6x，32

ax

x

当x>1时，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝lnx－3x＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g′(x)

第三篇：【创新设计】2011届高三数学一轮复习不等式的证明随堂训练 理 苏教版选修4-5-2

第2课时不等式的证明

简答题

1．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a，b是不相等的正实数．

求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.3证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，3即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，22222等号成立．所以(ab＋a＋b)(ab＋a＋b)≥9ab，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.1492．(南京调研)已知a，b为正数，求证：a＋b.a＋b

1＋4＝5＋b＋4a≥5＋2 证明：因为a>0，b>0，所以(a＋babab

149所以a＋ba＋b

3．已知a，b是正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.证明：∵a＋b≥2ab＞0，a2＋b2≥2ab＞0，① ② ③ b4a×＝9.aba3＋b3≥2ab＞0，∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥ab·abab＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求证：|ax＋by|≤4.证明：要证|ax＋by|≤4，只要证(ax＋by)2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要证2abxy≤b2x2＋a2y2，即证(bx－ay)2≥0.显然此式成立．故原不等式成立．

5．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：ab＋bc＋ca＜a＋b＋c.证明：a＋b＞ab，b＋c＞2bc，a＋c＞2ac，① ② ③

∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞ab＋bc＋2ac，即ab＋bcac＜a＋b＋c.用心爱心专心

6.已知α∈(0，π]，求证：2sin 2α≤

证明：证法一：(作差比较法)sin α 1－cos α

sin α4cos α－4cos2α－1sin αsin α2sin 2α－＝4sin αcos α－＝ 1－cos α1－cos α1－cos α

－sin α2cos α－1

2＝1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0,1－cos α>0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin αsin α0.∴2sin 2α≤.1－cos α1－cos α

证法二：(分析法)

要证明2sin 2 α≤sin αsin α成立，只要证明4sin αcos α≤1－cos α1－cos α

1∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要证明4cos α≤.1－cos α

上式可变形为4≤

∵1－cos α>0，∴1＋4(1－cos α)． 1－cos α141－cos α＝4，1－cos α1＋4(1－cos α)≥2 1－cos α

1π1当且仅当cos α＝α＝时取等号．∴4≤＋4(1－cos α)成立． 231－cos α

∴不等式2sin 2α≤

证法三：(综合法)

∵11π＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝即α＝时取等号)231－cos αsin α成立． 1－cos α

sin αsin α∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤∴2sin 2α.1－cos α1－cos α

1－cos α

11．已知a>0，b>0，求证：(a＋b)2＋a＋b)≥2abab)． 2

1证明：要证明(a＋b)2(a＋b)≥2(ab)，只需证明 2

1a＋b＋≥ab(a＋b)．(a＋b)2

1∵a>0，b>0，∴a＋b≥ab>0.只需证明a＋b＋≥a＋b，21111a＋＋b＋≥＋b.只需证明a＋a>0，b＋b>0.只需证明444

41显然上式成立．∴(a＋b)2＋a＋b)≥2ab(a＋b)成立． 2

2．已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：cab＋a＋bb＋cc＋a

11.2a＋ba＋b＋c证明：∵a、b、c为三角形的三边长，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴

c2ca2ab2b两边同乘以2c，∴.同理

∴

cab2c2a2b＋<＋2.a＋bb＋ca＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c