线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案

第一篇：线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案

线性代数培训之收获

——对“克莱姆法则”的一个新教案

有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n阶行列式在几何上表示“n维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。

对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。

§7克莱姆法则

一、教学内容

(1)克莱姆法则的证明(2)克莱姆法则的应用

二、教学要求

（1）理解克莱姆法则的证明

（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解

（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D≠0，方程组只有零解

教学过程

一、（定理1）克莱姆法则

若n×n线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2, ⑴ axaxaxbn22nnnnn11的系数行列式

a11a12a1n

D=

a21a22a2nan1an2ann0，则方程组⑴有唯一解：x1=

DD1D,x2=2,,xn=n.⑵ DDD其中Di(i=1,2,,n)是把系数行列式D中的第i列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即

a11a1,i1b1a1,i1a1n

Di=

a21a2,i1b2a2,i1a2nan1an,i1bnan,i1ann.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i个方程，如果左端也等于bi，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i个方程的左端，并把Di按照第i列展开，第i个方程的左端=ai1=

DD1D+ai22++ainn DDD1(aD1+ai2D2++ainDn)Di11=[ ai1(b1A11+b2A21++biAi1++bnAn1)+ D

ai2(b1A12+b2A22++biAi2++bnAn2)+



+

ain(b1A1n+b2A2n++biAin++bnAnn)]

1[b1(ai1A11+ai2A12++ainA1n)+ D

b2(ai1A21+ai2A22++ainA2n)+



+

bi(ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin)+



+

bn(ai1An1+ai2An2++ainAnn)] =根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系数是D，而其他bk(k≠i)的系数都是零，从而第i个方程的左端=ai1DD1D+ai22++ainn

DDD=1（bi D）=bi =第i个方程的右端, i=1,2,,n.D故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：

x1=c1 ，x2=c2 , , xn=cn

⑶ 只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得

a11c1a12c2a1ncnb1,a21c1a22c2a2ncnb2,

⑷ acacacbn22nnnnn11现在构造一个新的行列式

a11c1a12a1n

c1 D=a21c1a22a2nan1c1an2ann（即在D的第1列乘以c1）

给此行列式的第2，3，，n 列分别乘以c2，c3, ,，cn后都加到第1列，得

a11c1a12c2a1ncna12a1n

c1D= a21c1a22c2a2ncna22a2nan1c1an2c2anncnan2ann

根据⑷式，得

b1a12a1n

c1D=b2a22a2nbnan2annDD2,, cn=n.DD=D1, 因为 D≠0,所以 c1=

D1.D 同理可证，c2=

唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。，基于以上想法，本文给出克莱姆法则的一个简捷的证明.先证明了解的存在性，再证明了解的唯一性，在证明中充分应用了行列式的性质和行列式的展开定理，学生容易理解，而且具有一定意义的数学教育价值.另外，不足之处是，能否象李老师所说引导学生去自然而然的发现这个定理，而不是一开始直接给出这个定理，再去证明，本人目前还没有好的方法，有待继续考虑。）

例1 解线性方程组（现略）

（说明：这是一个含有4个未知数4个方程的非齐次线性方程组，其目的是熟悉克莱姆法则的内容和直接的、简单的应用，也使学生对克莱姆法则从一般到特殊有感性的认识，加深学生对克莱姆法则的理解和应用。）

定理1的逆否定理为：

定理1ˊ若线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D=0

二、齐次线性方程组的克莱姆法则

若线性方程组（1）中的所有的常数项全为0，即b1=b2=„=bn=0, 若线性方程组（1）称为齐次线性方程组。

事实1：齐次线性方程组必有解，如x1=x2=„xn=0一定是它的解。这个解称为它的零解。如果有一组不全为0的数是它的解，则这个解称为它的非零解。

事实2：若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多解。

（说明：这2个事实不难证明，它们在后续的学习中反复遇到，而且可以以不同的形式出现：如零向量可以用任意一组向量线性表示，特别是事实2为后续学习齐次线性方程组的解的结构设下伏笔，正如李老师所说很多内容事实上是一回事，只是表现形式不同而已，这里讲透了以后可以少讲，这样使得学生精装上阵，减轻学生头脑的负担，先将书由薄读厚，再由厚读薄。）

定理2 若n×n齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则此齐次线性方程组只有零解。

定理2的逆否定理为：

定理2ˊ若n×n齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0。

证：用反证法。

假设D≠0，则由 克莱姆法则可知该齐次线性方程组线性方程组有唯一解x1=

DD1D,x2=2,,xn=n。而D1=D2=„DN=0,因此唯一解是零解，这与有非零解相矛盾。DDD故D=0。

注1：定理2ˊ的逆命题也成立，即若n×n齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它一定有非零解。（第三章证明）

注2：关于更一般的m×n线性方程组的情况在本书第三章讨论。

例2 设齐次线性方程组

(5)x12x22x30,有非零解，问取何值？ 2x1(6)x20,2x(4)x031

解

由定理2ˊ可知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0，5即D=26020=5644446 4=528=0 22 从而得2或5或8。

（说明：齐次线性方程组的情形是线性方程组的特例，从而定理2和定理2ˊ分别是定理1和定理1ˊ的特例，分别由定理1和定理1ˊ演绎得到。数学教学中，归纳和演绎无处不在，我们要给学生强调一般化和特殊化的关系，这容易被忽视。特别是定理2ˊ的逆命题我们还没有证明，所以这里的例2是将原例题改变而成，原例题是问取何值时，此齐次线性方程组有非零解。这样，更符合逻辑，好让学生懂数学，让学生更好的掌握知识。因为李教授说我们不但要教数学，也要教学生，不但要懂数学，更要懂学生。）

兰州交通大学

李兴东

2007，11，22

第二篇：新安全生产法培训教案

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新安全生产法培训教案

教学目的：

通过此次学习《安全生产法》，加强安全生产工作，防止和减少生产安全事故，保障人民群众生命和财产安全，促进经济社会持续健康发展。

教学内容：

新修订的《安全生产法》(以下简称新安法)已经通过全国人大常委会审议，并以中华人民共和国主席令第十三号公布，这是安全生产法制建设的一件大事。新安法为推进依法治理、建立规范的安全生产法制秩序提供了强大的法律武器，也为我们的安全生产监督管理工作提供了法律支撑。此次新安法修改涉及现行安法97条中的63条(包含增条款)，占现行安法的65%，其内容丰富、广泛，该法于2014年12月1日起施行。

新安法主要增加了几个亮点：一是强化生产经营单位的主体责任;二是加大对责任人和企业的处罚力度，除对责任人移送司法机关追究刑事责任，对相关责任人给予党纪、政纪和行政处罚，还要对主要责任人和企业进行经济处罚(对企业最高罚金2000万元，对个人最高罚金为其上一年年收入的100%);三是建立安全生产违法行为信息库(违法黑名单)，向社会公告。

一、修改的必要性

安全生产事关人民生命财产安全和社会和谐稳定大局，是当前人民群众最关心、最直接、最现实的问题之一，安全生产始终受到党中央、国务院的高度重视，中央领导同志也多次就安全生产提出要求，强调安全生产是人命关天的大事，是不能逾越的“红线”;同时，安全生产也事关改革开放、经济发展和社会稳定大局，现行的《安全生产法》施行12年来，国民经济、社会发展和人民群众的期待虽然有了很大变化，但是随着经济的不断提高、社会的不断发展，我们安全生产不仅面临着严峻的安全生产压力，还面临着安全生产新情况、新要求。

二、修改的主要内容

今年8月31日，新安法公布以来，我从修改后的整体进行了一次浏览，其主要修改变化主要有以下几点：

(一)现行《安全生产法》共七章97条(总则共15条，生产经营单位的安全生产保障共28条、从业人员的安全生产权力义务共9条，安全的生产监督管理共15条，安全生产事故的应急救援与调查处理共9条，法律责任工20条，附则共2条)。新的《安全生产法》共七章114条(总则共16条，生产经营单位的安全生产保障共32条、从业人员的权力和义务共10条，安全的生产监督管理共17条，安全生产事故的应急救援与调查处理共11条，法律责任共25条，附则共3条)。

(二)此次新安法的修改，人大的修改决定共有52条，新安法在现行法的基础上总体上增加了17条。其中：新增16条，主要是人大修改决定中的第6、9、12、13、20、25、28、29、30、31、39、40、45、47、49、51条决定分别新增条作为新安法的第12、19、22、23、38、58、67、75、76、78、92、93、99、105、109、113条(内容解读中列举部分);人大修改决定的第42条决定又将现行法的第83条修改为新法第95、96两条。

(三)人大修改决定的第52条对部分条文作了修改，主要涉及现行安法16条(详见决定);其余修改项因时间关系在此就不再作详细解读。

三、主要内容解读

为认真总结现行安法实施12年的成功经验，贯彻落实习总书记关于安全生产工作系列重要指示精神，新安法从强化安全生产工作的摆位、进一步落实生产经营单位的主体责任、政府安全监管定位和加强基层执法力量、强化安全生产等方面入手，着眼于安全生产现实问

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题和发展要求，补充完善了相关法律制度规定，修正的主要内容体现在四个方面：

(一)进一步明确和强化安全生产工作

一是在将现行安法第一条中“促进经济发展”改为新安法第一条中“促进经济社会持续健康发展”，我们不难看出安全发展不仅关系经济，也关乎社会，并且是一个要求长期健康发展的过程。二是将现行安法“安全生产管理、坚持安全第一、预防为主”的方针分解修改为新安法第三条“安全生产工作应当以人为本，坚持安全发展”“坚持安全第一，预防为主，综合治理”的方针，“建立生产经营单位负责、职工参与、政府监管、行业自律和社会监督的机制”。这些条款对于提升安全生产重要性的认识提供了法律依据，所以我们应当站在贯彻党的安全生产方针这个高度来抓好安全生产工作。三是落实三个“必须”的要求(管业务必须管安全、管行业必须管安全、管生产必须管安全)，且在新法第9条中，将安全生产监督管理部门和对有关行业、领域的安全生产工作实施监督管理的部门统称为“负有安全生产监督管理职责的部门”并在修改条款中多次表述。这一条款说明了什么?说明了安全监管不仅是安监部门才管安全，而且对有关行业、领域的安全生产实施监管的部门也将负有安全监管责任，这也就应证了前面的三个“必须”。四是赋予了工会组织新的职责，在新法第7条中规定：工会依法对安全生产工作进行监督;生产经营单位制定或修改有关安全生产的规章制度时，应当听取工会意见。为什么新安法要赋予工会新的职责呢?因为工会在国家政治、经济和社会生活中占有非常重的地位的地位，新安法赋予工会新的权利与义务，主要是充分发挥工会组织在安全生产重的监督职责和确保安全生产各项规章制度制定修改时职工权益得到有效保障，而不是一味的追求企业利益至上。

(二)进一步落实生产经营单位的主体责任新安法中有20多条都是针对企业来说的，对企业的安全生产监管、机构建设、隐患排查治理等都做了明确规定，这说明在新安法实施后，经营单位的主体责任更加明确具体。一是新安法“第二章生产经营单位的安全生产保障”增加了4条，共32条。主要是将近年来，特别是国务院[2010]23号文件中关于对生产经营单位要求的条款以法律条文形式写入了新安法。如：第19条，生产经营单位建立安全生产责任制以及监督考核机制;第22条，生产经营单位的安全生产管理机构以及安全生产管理人员的7条职责;第23条，安全管理机构、安全管理人员依法履行职责并参与经营决策;第38条，生产经营单位建立生产安全事故隐患排查治理制度，治理情况如实记录并向次年工业人员通报。二是在现行法的基础上，高危行业增加“金属冶炼”，并且在新法中相关条款均设定了安监部门相关告知、考核、审查、审核的权利和责任。如：23条规定“安全管理人员的任免应当告知”、29条规定“按照国家有关规定进行安全评价”、30条中的“设计审查”和31条中“安全设施验收由建设单位负责，安监部门监督核查”等。三是建立对被派遣劳动者的管理制度，在现行安法第21条的基础上增加“生产经营单位使用被派遣劳动者的，应当将其纳入本单位从业人员统一管理、教育和培训”，“劳务派遣单位进行必要的安全生产教育和培训”作为新安法第25条的条款。四是安全费用提取和使用制度，在现行安法第18条的基础上增加“有关生产经营单位应当按照规定提取和使用安全生产费用，专门用于改善安全生产条件，安全生产费用在成本中据实列支”一款作为新法的第20条的条款。

(三)进一步明确政府安全监管定位和加强基层执法力量 新安法规定国务院和县级以上地方人民政府应当建立健全安全生产工作协调机制，及时协调、解决安全生产监督管理中存在的重大问题，明确了国务院和县级以上地方人民政府安全生产监管部门实施综合监管，有关部门在各自职责范围内对有关行业、领域的安全生产工作实施监督管理。一是在新安法的“第四章安全生产的监督管理中”增加2条，共17条。新安法中的第67条赋予了安监部门在对安全生产经营单位作出停产决定时，在拒不执行的情况下停止供电和民爆物品的权利和第75条，如实记录生产经营单位的安全生产违法行为信息，对情节严重的向社会公告，并通报有关行业部门和机构。二是明确了乡镇人民政府安全监管职能。在现行安法第8条基

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础上增加 “乡镇人民政府以及街道办事处、开发区管理机构等地方政府派出机关应当按照职责，加强对本行政区域内到生产经营单位安全生产现状的监督检查，协助上级人民政府有关部门依法履行安全生产监督管理职责”作为新安法第8条的条款。三是规定安监部门要制定监管检查计划。在现行安法第53条的基础上新增“安监部门要制定监管检查计划，并按计划进行监督检查”作为新安法第59条的条款。四是增加安监部门依法开展安全生产行政执法工作的表述，明确了安监部门的执法地位。比如新法第62条中明确规定“安全生产监督管理部门和其他负有安全生产监督管理职责的部门依法开展安全生产生产行政执法工作”。五是安委会的工作法制化，在新安法的第8条中规定“国务院和县级以上地方各级人民政府应当加强对安全生产工作的领导，支持、督促各级有关部门依法履行安全生产监管职责，建立健全安全生产工作协调机制，及时协调、解决安全生产监管中存在的重大问题”。这也就是本节开头说的新法对各级政府和有关部门的规定。

(四)进一步强化安全生产责任追究

在新安法的第六章“法律责任”中，责任追究增加的条款是最多的章节，修改后的第六章共25条，比现行安法新增加5条。可以看出，新安法在责任追究这一块是比较严格和逗硬的，也体现出了新法在修订过程中，将安全生产责任追究纳入了重点修改范畴。同时也说明了在后的安全生产监管中，不管是作为安全生产监管者，还是生产经营单位或是生产经营单位主要负责人来说，责任追究将会越来越严厉。比如：一是对安监部门和对有关行业、领域的安全生产工作实施监督管理的部门工作人员的追究，就在现行安法第77条的基础

上新增了“在监督检查中发现重大事故隐患，不依法及时处理的”和“有前款规定以外的玩忽职守的，依法给予处分，构成犯罪的，依照刑法有关规定追究刑事责任”作为新安法第87条的条款。二是加大了对安全评价、认证、检测和检验机构的责任追究，此条款主要表现是现行安法和新安法经济处罚上的重大区别。如：将现行安法中“违法所得在五千元以上的，并处违法所得的二倍以上五倍以下罚款”调整为新安法中“违法所得在十万元以上的，并处违法所得的二倍以上五倍以下罚款”，此条款主要说明在新安法中的经济罚款基数和罚款比列数额增加，也就是行政处罚的经济罚中在现行法的基础上进行了倍增。三是加大了对生产经营单位的责任追究。从新法的相关条款不难看出，生产经营者在安全生产中的责任越来越大，特别是对生产经营单位和主要负责人的经济处罚。如：1.新增“对经营单位主要负责人未履行职责，导致发生生产安全事故，由安监部门依照规定对一般、较大、重大、特别重大分别处上一年收入30%、40%、60%、80%的罚款”作为第92条;2.新增“对拒不执行采取措施消除事故隐患的，责令停产停业整顿，并处10-50万元罚款，对其直接负责的主管人员和其他直接责任人处二万以上五万以下罚款”作为第99条;3.新增“对发生一般、较大、重特别重大事故对负有责任的生产经营单位由安监部门处以罚款，从过去的500万元提高至2000万元”作为第109条;4.在现行安法第88条的基础上新增“在事故处理期间擅离职守或者逃匿的生产经营单位主要负责人由安监部门处上一年收入的60%至100%的罚款”作为新安法第106条的条款;5.在现行安法第81条的基础上增加“对重大、特别重大生产安全事故负有责任的，不得担任本行业生产经营单位的主要负责人”作为新安法第91条的条款。

以上讲的是新安法的主要内容，也是新安法的亮点之处，当然，还有部分新增加的内容没有讲到，如：安全生产标准化制度(新安法第4条)、注册安全工程师制度(新安法第24条)、安全生产责任保险制度(新安法第48条)、应急救援制度(新安法第76条)。

四、立法思考及法律的生命力

新安法的修改从2013年10月31日十二届人大常委会将修改列入一类项目开始至2014年8月31日公布，历时10个月，不难看出，法律的修改制定是一个规范的、科学的、民主的过程，同时也体现了我们国家的法律在制定和修改中的协调性、及时性和系统性。

既然新安法已经公布，那么，作为新修改的法律，它的生命力在哪里?我觉得，新安法

新疆鑫源亨泰客运有限公司 的生命力在于它的实施。新安法的修改遵循了“三项原则”，而“适当细化”就是其中之一，目的就在于提高它的可操作性，因为安全生产涉及面宽，全国各地情况又有很大区别，任然有不少条款使用了比较原则的表述，所以，只有实践才是新安法实施的基础，这点需要国家总局进行调查研究，提出指导意见，以便新安法的实施。

比如：新增的第75条“安监部门应当建立安全生产违法行为信息库，对违法行为情节严重的可以向社会公示，并可以通报行业、投资、国土等机构和部门”中，虽然我们对一些违法行为进行了处罚或责令停产整顿，但却没建立信息库，也没向社会进行公布，还只是停留在简单的行业内通报，再者，就算建立了信息库，与其他部门或外市县的信息又怎么共享等等都需要进一步的实施和调研。

再如新法的第67条赋予了安监部门停电、停供爆炸物品的权利，并且赋予了安监监管部门综合监督管理行业安全管理的职责，但是大家应该很了解，在以往或者在我们这个地方来说，停电、停供爆炸物品在现行安法中作为安监部门只有建议权，没有直接的行政强制权利，而新法却将权利赋予了安监部门，这就意味着安监部门在对那些拒不执行安监部门下达的指令时，安监部门有权采取停电和停止供应爆炸物品的强制措施，但是，根据以往的经验来看，要真正得到实施，不仅需要上级政府、部门的指导，还需要负有安全监管的相关部门认真领会学习，并将其运用到安全生产监管的全过程，更需要生产经营单位对新安法的学习，使其明白新安法的相关规定和要求，只有这样，新的法律法规才能在安全生产的实践中、思索中不断的完善。