第一篇:线性代数电子教案LA2-2B
6.伴随矩阵:A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij.
a11a21
Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n,A*12annA1nA21A22A2nAn1An2
Ann
重要性质:AA*A*A(detA)E
7.共轭矩阵:复矩阵A(aij)mn的共轭矩阵记作A(aij)mn.
算律:(1)(AB)AB
(2)(kA)kA
(3)(AB)AB
(4)(A)(A)AH
§2.3 逆矩阵
定义:对于Ann, 若有Bnn满足ABBAE, 则称A为可逆矩阵,且B为A的逆矩阵, 记作A1B.
定理1 若Ann为可逆矩阵, 则A的逆矩阵唯一.
证
设B与C都是A的逆矩阵, 则有
ABBAE, ACCAE
BBEB(AC)(BA)CECC
定理2 Ann为可逆矩阵detA0;
Ann为可逆矩阵A1
证
必要性.已知A1存在,则有
AA1EdetAdetA11detA0
充分性.已知detA0,则有
A*A*AE
AAAA(detA)EAdetAdetA1A*.
由定义知A为可逆矩阵,且A1detA**TT记作1A*. deAt 7 [注]detA0时, 亦称A为非奇异矩阵;
detA0时, 亦称A为奇异矩阵.
推论1 对于Ann, 若有Bnn满足ABE, 则A可逆, 且A1B.
证 ABEdetAdetB1detA0A可逆
A1A1EA1(AB)(A1A)BEBB
推论2 对于Ann, 若有Bnn满足BAE, 则A可逆, 且A1B.
算律:
(1)A可逆A1可逆, 且(A1)1A.
对于A1, 取BA, 有A1BA1AE.
(2)A可逆, k0kA可逆, 且(kA)1A1.
k11
对于kA, 取BA1, 有(kA)B(kA)(A1)AA1E.
kk
(3)Ann与Bnn都可逆AB可逆, 且(AB)1B1A1.
对于AB, 取CB1A1, 有
(AB)C(AB)(B1A1)A(BB1)A1E.
(4)A可逆AT可逆, 且(AT)1(A1)T.
对于AT, 取B(A1)T, 有ATBAT(A1)T(A1A)TE.
(5)A可逆detA11. detA
(6)Ann与Bnn都可逆(AB)*B*A*.
证(AB)*[det(AB)](AB)1[(detA)(detB)][B1A1]
[(deBt)B1][(deAt)A1]B*A*
负幂:A可逆, 定义A0E, Ak(A1)k(k1,2,), 则有
AkAlAkl,(Ak)lAkl
(k,l为整数)310541, A11A*110123
例1 A21155111401
例2 设Ann满足A22A4EO, 求(AE)1. 解
A22A4EOA22A3EE
(AE)(A3E)E(AE)1A3E
应用:
(1)n阶线性方程组求解 Annxb, detA0xA1b
(2)求线性变换的逆变换 yAnnx, detA0xA1y
(3)矩阵方程求解
设Amm可逆, Bnn可逆, 且Cmn已知, 则
AXCXA1C
XBCXCB1
AXBCXA1CB1
21510, C20 满足AXC2X, 求X.
例3 设A23135216
解
并项:(A2E)XC
计算:X(A2E)1C
05412131
101232071
51101351111 满足A*XA12X, 求X.
例4 设A111111 9
解
并项:
(A*2E)XA1
左乘A: [(detA)E2A]XE
t4
计算:
deA
X(4E2A)11(2EA)121101 0114
密码问题:
a1, b2,c3, „ ,z26
123011
A112 , A1221
012111
action:1, 3, 20, 9, 15, 14 167981
加密:A344 , A1552
20431443发出∕接收密码:67, 44, 43, 81, 52, 43
解密:A1674413 , A18152915
43204314明码:1, 3, 20, 9, 15, 14表示action
101§2.4 分块矩阵
11
A0011
A00011010A11021A21003011010B1021003A12 A22B2B3B4
用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵 为A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵.
特点:同行上的子矩阵有相同的“行数”;
同列上的子矩阵有相同的“列数”.
A11A1rB11B1rB, mn
As1AsrBs1Bsr
1.加法:AmnA11B11A1rB1r
AB As1Bs1AsrBsr 要求:A与B同阶, 且分块方式相同.
2.数乘:kAmnkA11kA1r
kAs1kAsr
3.乘法:AmlA11A1tB11B1rB, ln
As1AstBt1Btr
CijAi1B1jAitAi1B1jAitBtj
Btj 11 C11C1r
AB Cs1Csr 要求:A的列划分方式与B的行划分方式相同.
10
例1 A110121001000E0A211104201B111B210O E0112
B1011E B22B11
ABA21B11B211E1A21B22210241103301 31
4.转置:AmnTA11A11A1rTA, A1TrAs1AsrAsT1 TAsr 特点:“大转”+“小转”
5.准对角矩阵:设A1,A2,,As都是方阵, 记
A1A1,A2,,As)
Adia(g AsA2
性质:(1)detA(detA1)(detA2)(detAs)
(2)A可逆Ai(i1,2,,s)可逆
(3)Ai(i1,2,,s)可逆A1A111A2 As1500A1
例2 A031O021A111
AOO A20015O0 111A2023AO1M
例3 设Amm与Bnn都可逆, Cnm, M, 求. CB 解 detM(detA)(detB)0M可逆
X1
M1X3X2 , X4AOX1CBX3X1X2X3X4X2EmX4OA1OBCAB111O EnAX1EmAXO2
CX1BX3OCX2BX4En
M
1A1O 11BCAB课后作业:习题二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10~14
第二篇:线性代数电子教案LA3-1B
第三章
矩阵的初等变换
§3.1 矩阵的秩
1.子式:在Amn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k2个数按照原来的 相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作Dk.
k
对于给定的k, 不同的k阶子式总共有CkmCn个.
2.矩阵的秩:在Amn中,若
(1)有某个r阶子式Dr0;
(2)所有的r1阶子式Dr10(如果有r1阶子式的话).
称A的秩为r, 记作rankAr, 或者 r(A)r.规定:rankO0
性质:(1)rankAmnmin{m,n}
A
(2)k0时rank(kA)rankATrankA
(3)rankAr
(4)A中的一个Dr0rankAr
(5)A中所有的Dr10rank8223 例1 A212212, 求r(A). 3141 解
位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D223300
212
计算知, 所有的3阶子式D30, 故r(A)2. [注] Amn, 若rankAm, 称A为行满秩矩阵;
若rankAn, 称A为列满秩矩阵.
Ann, 若rankAn, 称A为满秩矩阵(可逆矩阵, 非奇异矩阵);
若rankAn, 称A为降秩矩阵(不可逆矩阵, 奇异矩阵).
§3.2 矩阵的初等变换
1.初等变换
行变换
列变换
① 对调
rirj
cicj
② 数乘(k0)kri kci
③ 倍加 rikrj cikcj
Amn经过初等变换得到Bmn, 记作AmnBmn.
2.等价矩阵:若AmnBmn, 称Amn与Bmn等价, 记作AmnBmn.
(1)自反性:AA
(2)对称性:AmnBmnBmnAmn
(3)传递性:AmnBmn, BmnCmnAmnCmn
定理1 AmnBmnrankArankB.
1次有限次kranBk.
证
只需证明AmnBmnranAkr, 仅证行变换之(3)的情形:
设ranAirikrji
Aj{m,n}, 则有
(1)若rminkjB
jB)(B)(A)
Dr(1不含ri:Dr1Dr10
B)(B)(A)(A)
Dr(含, 不含:rDDkDrir1r1r10 1j 2
D(B)r1含ri, 且含rj:D(B)r1倍加A)Dr(10
B)krranAk
故B中所有的r1阶子式Dr(10ranBrikrjkranBk, 于是可得rankArankB.
BAranA
(2)若rm或者rn, 构造矩阵
AOBO
A1, B1 OOOO(m1)(n1)(m1)(n1)
由(1)可得A1B1rankA1rankB1
ranAk1ranAkkranBk ranAranBk1ranBkrikrj
其余情形类似.
8223 例2 A212212, 求r(A). 314166140913行0644, 故r(A)2.
解
A064431400100行14103213行
行最简形:A012323012323B
00000000行1000
标准形:A0100H
0000行与列
定理2 若rankAmnr(r0), 则
00b1i1行
Ab1i2b2i1b1irb2irbrir00***B:行阶梯形 00
[i1][i2][ir]
00100*10*行
A1*H:行最简形
0000E 定理3 若rankAmnr(r0), 则ArO 推论1 若Ann满秩, 则AEn.
ArankB.
推论2 AmnBmnrankO, 称为A的等价标准形. O
§3.3 解线性方程组的消元法
2x1x23x31
例如
4x12x25x342x2x3612x1x23x31(2)2(1)4x2x32
(3)(1)x2x35(1)(2)(3)(4)(5)(6)2x1x23x31(5)4(6)x2x35
(5)(6)3x318x19(8)
x21
x6(9)3(7)解线性方程组的初等变换:(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程
(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程
用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下:
31213121行0
Ab42544120261152031921100行0101
0115031800016行
a11a21
方程组:
am1a12a22am2a1na2namnx1b1xb22
或者 Axb xnbm~
增广矩阵:AAb
kr, 且A的左上角r阶子式Dr0, 则
设ranA10行~
A00000b1,r1b1n10b2,r1b2n000001br,r1brn0000d1d2dr: 行最简形 dr10
Axb的同解方程组为
x1b1,r1xr1b1nxnd1xb22,r1xr1b2nxnd2
(3.4)xbr,r1xr1brnxndrr0dr1 5
~
若dr10, 则方程组(3.4)无解:rankAr1rrankA ~
若dr10, 则方程组(3.4)有解:rankArrankA
(1)rn时, 方程组(3.4)成为
x1d1, x2d2, …, xndn 是其唯一解
(2)rn时, 方程组(3.4)成为
x1d1b1,r1xr1b1nxnxdb222,r1xr1b2nxn
xrdrbr,r1xr1brnxn
一般解为
x1d1b1,r1k1b1nknrxdb22,r1k1b2nknr2
xrdrbr,r1k1brnknr
xk1r1knrxn
其中k1,k2,,knr为任意常数.
~
定理4 Amn, AAb
~
(1)Axb有解rankArankA;
(2)Axb有解时, 若rankAn, 则有唯一解;
若rankAn, 则有无穷多组解.
定理5(1)Amnx0有非零解rankAn;
(2)Annx0有非零解detA0.
课后作业:习题三
1, 2, 3, 4
第三篇:线性代数电子教案LA1-2B
§1.4 行列式的性质
a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD.
性质1 设Dan1anna1nann
证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则
b11bn1
DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn
1nb(p12pn)nn
(1)apapp11(22apnnD
1p2pn)ai1ainaj1
性质2 设ij,D, D1aj1ajnai1
证 bikajk,bjkaik(k1,2,,n)
li,j:blkalk(k1,2,,n)
bi1bin
D1(1)(bipibjpj)bj1bjn
(1)t(1)(bjpjbipi)
(1)(1)t(aipjajpi)
(1)(1)t(aiqiajqj)D
推论1 D对调两列得D2D2D.
(p1p2pn)(根据Th2)
ajn, 则D1D.ain
(pipj)
t(pjpi)
qipj,qjpili,j:qlpl
t(qiqj)
T
证 因为D对调两列得D2, 相当于DT对调两行得D2 T
所以D2D2DTD
推论2 D中某两行(列)元素对应相等D0.
证 因为对调此两行(列)后,D的形式不变
所以DDD0
123
例如, 对于任意的a,b,c, 都有abc0.
123a11a1na1nkD anna11ka1j
性质3 kai1kainkD, an1kanjan1ann
证(1)左端(1)[a1p1(kaipi)anpn]
(p1pipn)
k(1)(a1p1aipianpn)kD
推论1 D中某行(列)元素全为0D0.
推论2 D中某两行(列)元素成比例D0.
性质4 若对某个i, 有aijbijcij(j1,2,,n), 则
a11a1na11a1na11a1ncin
ai1ainbi1an1annan1binci1annan1ann
证 左端(1)(a1p1aipianpn)
(p1pipn)
(1)(a1p1bipianpn)(1)(a1p1cipianpn)
右端(1)+ 右端(2)[注] 性质4对于列的情形也成立.
ai1ainraikrji1aj1ainajn
性质5 (ij)
aj1ajnaj1ajn [注] 性质5对于列的情形也成立.
1533
例5 计算D20113112.41311533153315
解 D01055016101150211010023(5)0002191101110215331533
(5)011101110023(5)0023550031000112xaa
例6 计算Daxan.
aax111
解 rD1(r2rn)axan[x(n1)a] aax111
[x(n1)a]0xa0
00xa
[x(n1)a](xa)n1
33112311 123n2100
例7 计算Dn3010.
n001t23n
解 Dnc1jcjj2,,n010000101(22n2)0001
§1.5 行列式按行(列)展开
余子式:在n阶行列式中,将元素aij所在的行与列上的元素划去,其余
元素按照原来的相对位置构成的n1阶行列式,称为元素aij的余子式,记作Mij.
代数余子式:元素aij的代数余子式Aij(1)ijMij.
a11a21
定理3 Dan1a12a22a1na2n an2ann
ai1Ai1ai2Ai2ainAin
(i1,2,,n)
a1jA1ja2jA2janjAnj
(j1,2,,n)
证
证明第一式, 分以下3步.
a11a1,n1
第1步:Mnn(1)(p1pn1)a1p1an1,pn1
an1,1an1,n1
(1pin1)
a11a1,n1a1nan1,nann
0an1,1an1,n10(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn
pnn(1)(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn+ a1p1an1,pn1an,pn(p1pn1pn)pnn
ann(1)(p1pn1n)a1p1an1,pn1
(p1pn1n)(p1pn1)
annMnnann(1)nnMnnannAnn
a1jD1
第2步: D(i,j)0ai1,j0aijai1,janj0D2D4a1jD1D2ai1,jai1,j anj0aij0
D3
(1)(ni)(nj)D3000D4
(1)(ij)aijMijaijAij
第3步:DD(i,1)D(i,2)D(i,n)
ai1Ai1ai2Ai2ainAin
15332011
例8 计算D.
31124131 162
解 D310271627011(1)32211
112143043200520555
(1)211(1)(1)2271701aa
例9 计算D2nbbabcdcdd00(1)12nb(2n1).
cD2(n1)0
解 D2n(1)11a00d0c0D2(n1)0(2n1)
(1)(2n1)(2n1)adD2(n1)(1)(1)(2n1)1bcD2(n1)
(adbc)D2(n1)(adbc)n1D2
D2abadbc
cd
D2n(adbc)n
1112210330n
例10 计算Dn.
100n1n1100 12
解 DnnDn1(1)n1(n1)!
n(n1)Dn2(1)(n1)1(n11)!(1)n1(n1)!
n(n1)Dn2(1)n
n(n1)3D(1)4n!n!n!(1)n(1)n1 n!n!(1)n1 n1n23n1
D211221(1)22(1)311
D(1)2(1)3(1)4(1)n1
n(n!)123n
课后作业:习题一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)
n
第四篇:线性代数电子教案LA1-1B
线性代数讲稿
讲稿编者:使用教材:《线性代数》
教学参考:《线性代数典型题分析解集》张 凯 院
西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编
第一章
n阶行列式
§1.2 排列及其逆序数
1.排列:n个依次排列的元素.
例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种.
1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243
2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143
3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142
4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132
例1 互异元素p1,p2,,pn构成的不同排列有n!种.
解 在n个元素中选取1个
n种取法
在剩余n1个元素中选取1个
n1种取法
在剩余n2个元素中选取1个
n2种取法
„„„„„„
„„„„
在剩余2个元素中选取1个
2种取法
在剩余1个元素中选取1个
1种取法
------------------
总共n!种取法
2.标准排列:n个不同的自然数从小到大构成的排列.
n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列.
3.逆序数:
(1)某两个数(元素)的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数(元素)
之间有1个逆序.
(2)排列p1p2pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作(p1p2pn).
算法:固定i(2,,n), 当ji时,满足pjpi的“pj”的个数记作i(称为pi的逆序数),那么(p1p2pn)2n.
例2 排列6372451中, 2710322614.
例3 排列13(2n1)(2n)(2n2)42, 求逆序数.
解
记作p1p2pnpn1pn2p2n1p2n
20, ,n10
n2221, n3422, „, 2n2(n1)
2[12(n1)]n(n1)
4.奇偶性:排列p1p2pn
(p1p2pn)奇数时, 称为奇排列;
(p1p2pn)偶数时, 称为偶排列.
5.对换:
相邻对换:p1pipi1pnp1pi1pipn
一般对换:p1pipjpnp1pjpipn(ij)
定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变.
证
先证相邻对换:(1)a1alabb1bm
(2)a1albab1bm
ab:对换后a增加1, b不变, 故t2t11;
ab:对换后a不变, b减少1, 故t2t11.
所以t2与t1的奇偶性相反.
再证一般对换:(1)a1alab1bmbc1cn
(2)a1alb1bmabc1cn
(3)a1albb1bmac1cn
(1)(2)经过m次相邻对换
(2)(3)经过m1次相邻对换
(1)(3)经过2m1次相邻对换, 所以t3与t1的奇偶性相反.
推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数.
偶排列标准排列, 对换次数为偶数.
§1.3 n阶行列式的定义
1.二阶: a11a21a11a12a22a12a22a32a11a22a12a21
a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33 2.三阶: a21a
a11a23a32a12a21a33a13a22a31
(1)乘积中三个数不同行、不同列:a1p1a2p2a3p3
行标(第1个下标):标准排列 123
列标(第2个下标):p1p2p3是1,2,3的某个排列(共6种)
(2)正项:123, 231, 312为偶排列
负项:132, 213, 321为奇排列
a11a12a22a32a13a23(1)a1p1a2p2a3p3, (p1p2p3).
(p1p2p3)a33
于是 a21a31 3.n阶:n2个数aij(i,j1,2,,n), 称
a11a12a22a1na2n
Da21an1an2ann
为n阶行列式, 它表示数值
(p1p2pn)(1)a1p1a2p2anpn, (p1p2pn)
其中, 求和式中共有n!项.
a11a12a22a1na11a1,n1a1n
例3 计算D1a2na21a2,n1, D2annan1.解 D1中只有一项a11a22ann不显含0, 且列标构成排列的逆序数为
(12n)0, 故D1(1)a11a22anna11a22ann.
D2中只有一项a1na2,n1an1不显含0, 且列标构成排列的逆序数为
(n21)12(n1)
故D2(1)a1na2,n1an1(1)n(n1)2n(n1)2a1na2,n1an1.
结论:以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积.
以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号(1)
特例:
n(n1)2.
1
1212n,2(1)n(n1)212n
na11a21
定理2 Dan1a12a22a1nna2n(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn
(2)(q1q2qn)an2ann(p1p2pn)
证
由定义知
D(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn
(1)
先证(2)中的项都是(1)中的项:交换乘积次序可得
(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(q1q2qn)a1p1a2p2anpn
(3)5
① (q1q2qn)偶数
q1q2qn12n
偶数次对换
12np1p2pn
偶数次对换
所以(p1p2pn)偶数
② (q1q2qn)奇数
q1q2qn12n
奇数次对换
12np1p2pn
奇数次对换
所以(p1p2pn)奇数
因此(1)(q1q2qn)(1)(p1p2pn), 由(3)可得
(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn
同理可证(1)中的项都是(2)中的项.
课后作业:习题一
1,2,3
第五篇:线性代数电子教案LA5-1B
第五章
矩阵的相似变换
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
定义: 对于n阶方阵A, 若有数和向量x0满足Axx, 称为A的特征值, 称x为A的属于特征值的特征向量.
特征方程:Axx(AE)x0 或者(EA)x0
(AE)x0有非零解de(tAE)0
EA)0
de(t
特征矩阵:AE 或者 EA
a11a12a1na2n
特征多项式:()det(AE)a21an1a22an2
ann
a0na1n1an1an[a0(1)n]
122
例1 求A212 的特征值与特征向量. 2211
解 ()222212(5)(1)2 21
()015,231
求15的特征向量:
2214101行011, p1
A5E24212401200
xk1p1(k10)
求231的特征向量:
222行111111, p0 000
A(1)E222, p2300022201
xk2p2k3p3
(k2,k3不同时为0)
110
例2 求A430 的特征值与特征向量.
1021
解 ()13000(2)(1)2 241
()012,231
求12的特征向量:
0310行100
A2E410010, p10
0001100
xk1p1(k10)
求231的特征向量:
210行1011
A1E420012, p22
0001011
xk2p2(k20)
[注] 在例1中, 对应2重特征值1有两个线性无关的特征向量;
在2中, 对应2重特征值1只有一个线性无关的特征向量.
一般结论:对应r重特征值的线性无关的特征向量的个数r.
定理1 设A(aij)nn的特征值1,2,,n, trAa11a22ann, 则
(1)trA12n;
(2)detA12n.
证 由特征值的定义可得
a11a12an2a1na2na21an1a22
()det(AE)
ann
(a11)(a22)(ann)fn2()
(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1gn2()fn2()
其中gn2(),fn2()都是次数不超过n2的多项式.由题设, 又有
()det(AE)(1)(2)(n)
(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)
比较多项式同次幂的系数可得
a11a22ann12n
deAt(0)12n
t0 0是A的特征值.
推论
deA
一元多项式:f(t)c0c1tc2t2cmtm
矩阵多项式:f(A)c0Ec1Ac2A2cmAm
(Ann,En)
定理2 设Axx(x0), 则
(1)f(A)xf()x;
(2)f(A)Of()0.
证(1)因为 AxxAkxkx
(k1,2,)
所以 f(A)xc0Exc1Axc2A2xcmAmx
c0xc1xc22xcmmxf()x
(2)f(A)Of()xf(A)xOx0f()0
(x0)
[注] 一般结论:若A的全体特征值为1,2,,n,则f(A)的全体特征值
为f(1),f(2),,f(n).
例3 设A33的特征值为11,22,33, 求 det(A33AE).
解
设f(t)t33t1, 则f(A)A33AE的特征值为
f(1)1,f(2)3,f(3)17
故
det(A33AE)(1)3(17)51
定理3 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 对应的特征向量依次为
p1,p2,,pm, 则向量组p1,p2,,pm线性无关.
证 采用数学归纳法.
m1时, p10p1线性无关.
设ml时, p1,,pl线性无关, 下面证明p1,,pl,pl1线性无关.
设数组k1,,kl,kl1使得
k1p1klplkl1pl10
(1)
左乘A, 利用Apiipi可得
k11p1kllplkl1l1pl10
(2)
(2)l1(1):
k1(1l1)p1kl(ll1)pl0
因为p1,,pl线性无关(归纳法假设), 所以
k1(1l1)0,,kl(ll1)0k10,,kl0
代入(1)可得 kl1pl10kl10.故p1,,pl,pl1线性无关.
根据归纳法原理, 对于任意正整数m, 结论成立.
定理4 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm,(i)(i)
对应i的线性无关的特征向量为p1,p2,,pl(ii)(i1,2,,m),(1)(m)m)
则向量组p1线性无关.(自证),,pl(11),,p1,,pl(m
§5.2 相似对角化
1.相似矩阵:对于n阶方阵A和B, 若有可逆矩阵P使得P1APB,称A相似于B, 记作A~B.
(1)A~A:
E1AEA
(2)A~BB~A:(P1)1B(P1)A
(3)A~B,B~CA~C
性质1 A~BdetAdetB.
性质2 A可逆, A~BB可逆, 且A1~B1.
性质3 A~BkA~kB,Am~Bm
(m为正整数).
性质4 f(t)为多项式, A~Bf(A)~f(B).
性质5 A~Bdet(AE)det(BE)
A与B的特征值相同
证
由P1APB可得 BEP1APEP1(AE)P
de(tBE)dePt1detA(E)dePt
(dePt)1detA(E)dePtdetA(E)
2.相似对角化:若方阵A能够与一个对角矩阵相似, 称A可对角化.
定理5 n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量.
证
必要性.设可逆矩阵P使得
1def1
PAP n
即APP.划分Pp1pn, 则有
Ap1pnp1pn
Ap1Apn1p1npn
Apiipi(i1,2,,n)
因为P为可逆矩阵, 所以它的列向量组p1,,pn线性无关.
上式表明:p1,,pn是A的n个线性无关的特征向量.
充分性.设p1,,pn线性无关, 且满足Apiipi
则Pp1pn为可逆矩阵, 且有
APAp1Apn1p1npn
p1pnP
即P1AP.
[注] A~的主对角元素为A的特征值.
推论1 Ann有n个互异特征值A可对角化.
推论2 设Ann的全体互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm,则A可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i,A有ri个线性
无关的特征向量.
(i1,2,,n),例4 判断下列矩阵可否对角化:
100,(2)A
(1)A0016116
解(1)()(1)(2)(3)
122212,(3)A221110430 102
A有3个互异特征值 A可对角化
对应于11,22,33的特征向量依次为
111
p11, p22, p33
1491111
构造矩阵 P123, 24931
则有 P1AP.
(2)()(5)(1)2
例1求得A有3个线性无关的特征向量 A可对角化
对应于15,231的特征向量依次为
111
p11, p21, p30
101
1115, 1
构造矩阵 P1100111
则有 P1AP.
(3)()(2)(1)2, 例2求得, 对应于2重特征值231,A只有1个线性无关的特征向量 A不可对角化.
122
例5 设A212, 求Ak(k2,3,). 2211115, 1, 使得
解
例4求得 P1100111
P1AP:APP1,AkPkP1
k1115110
故 Ak011(1)k1111 121k3(1)2115k21
5k3k55k5k25k5k5k
((1)k)5k2