中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案汇总

第一篇：中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案汇总

中科院研究生院2005～2006第一学期

随机过程讲稿

孙应飞

（1）设{X(t),t0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为E{X(s)X(t)}B(ts),st，且是一个周期为T的函数，即B(T)B(),0，求方差函数D[X(t)X(tT)]。

解：由定义，有：

D[X(t)X(tT)]D[X(t)]D[X(tT)]2E{[X(t)EX(t)][X(tT)EX(tT)]}B(0)B(0)2E{X(t)X(tT)}B(0)B(0)2B(T)0

（2）试证明：如果{X(t),t0}是一独立增量过程，且X(0)0，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：

0t1t2tn，有

P{X(tn)xnX(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(tn)xX(tn1)xn1}形式上我们有：

P{X(tn)xnX(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1} P{X(tn)xn,X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(tn)xn,X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn2)xn2X(tn1)xn1}P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn2)xn2X(tn1)xn1}

因此，我们只要能证明在已知X(tn1)xn1条件下，X(tn)与X(tj),j1,2,,n2相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当atjtn1tn,j1,2,,n2时，增量X(tj)X(0)与X(tn)X(tn1)相互独立，由于在条件X(tn1)xn1和X(0)0下，即有X(tj)与X(tn)xn1相互独立。由此可知，在X(tn1)xn1条件下，X(tn)与X(tj),j1,2,,n2相互独立，结果成立。

（3）设随机过程{Wt,t0}为零初值（W00）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个t0，Wt~N(,2t)，问过程{Wt,t0}是否为正态过程，为什么？

解：任取0t1t2tn，则有：

Wtk[WtiWti1]k1,2,,n

i1k － 1 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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由平稳增量和独立增量性，可知WtiWti1~N(0,2(titi1))并且独立 因此(Wt1,Wt2Wt1,,WtnWtn1)是联合正态分布的，由

Wt1100Wt1WWWt2110t2t1 0Wt111WtWtnn1n可知是正态过程。

（4）设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

RB(s,t)2min{s,t}

/如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：

RB(tt,t)RB(t,t)0t0t

R(tt,t)R(t,t)/BBRB2(t,t)limt0t/RB(t,t)lim/故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5）设Nt，t0是零初值、强度0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，YtNds,t0是否存在，为什么？

0st解：泊松过程的转移率矩阵为：

00Q000

20其相关函数为：RN(s,t)min{s,t}st，由于在t，RN(t,t)连续，故均方积分存在。

（6）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

pP00p10

p010.750.25 p110.50.5－ 2 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3)。

（7）设齐次马氏链Xn,n0,S1,2,3,4,一步转移概率矩阵如下：

01/21/20001/21/2 P1/21/2001/21/200（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求n步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？

解：（a）略

（b）P(n)PnPn奇数 2Pn偶数（c）此链不具遍历性

（8）设Y(t)X(1)N(t),t0，其中{N(t);t0}为强度为0的Poission过程，随机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：

P{Xa}P{Xa}1/4,P{X0}1/2,a0

问：随机过程Y(t),t由于：E{Y(t)}0

0是否为平稳过程？请说明理由。

RY(t1,t2)EX2(1)N(t1)N(t2)EX2E(1)N(t1)N(t2)2a22N(t1)N(t2)N(t1)N(t2)N(t1)E(1)2a2E(1)N(t2)N(t1)N(t2)N(t1)nP{N(t2)N(t1)n}2n0a2E(1)

a22[(t2t1)]n(t2t1)a22(t2t1)a22(1)eeet2t1n!22n0n故{Y(t)}是平稳过程。

（9）设XtX2Yt,t0，其中X与Y独立，都服从N(0,)

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a）任取 nN,0t1t2tn，则有： － 3 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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Xt1X2Yt112t1XX2Yt12tt222X YXtX2Yt12tnnn由于X与Y独立，且都服从N(0,2)，因此可得X机向量 Xt1Y服从正态分布，由上式可知随Xt2Xtn服从正态（高斯）分布，所以过程XtX2Yt,t0是

正态（高斯）过程。（b）由：

E{Xt}E{X}2tE{Y}0

RX(t1,t2)E{Xt1Xt2}E{[X2t1Y][X2t2Y]}E{X2}2(t1t2)E{XY}4t1t2E{Y2}E{X2}2(t1t2)E{X}E{Y}4t1t2E{Y2}24t1t22由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10）设Nt，t0是零初值、强度1的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数p(s,t,i,j)P{NtjNsi}；（b）令XtNtt,t0，说明Y

Xdt存在，并求它的二阶矩。

0t1[(ts)]ji(ts)解：（a）p(s,t,i,j)P{NtjNsi} e(ji)!（b）先求相关函数：

RX(t,s)E{(Ntt)(Nss)}min{t,s}2stst(12)

对任意的t，在(t,t)处RX(t,t)连续，故Xt均方连续，因此均方可积，Y21E{Y}EXtdtE021111 Xdt存在。

0t1XdtXdsEXXdtds0t0s00ts

1100RX(t,s)dtds将RX(t,s)代入计算积分即可。

由1，得：

RX(t,s)E{(Ntt)(Nss)}min{t,s}2stst(12)min{t,s}

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211111E{Y}EXtdtEXtdtXsdsEXtXsdtds000002110t13

 1100RX(t,s)dtds1100min{t,s}dtdsdttdsdtsds001t（11）设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以Yn表示第n次取出球后的累计积分，n0,1,（a）Yn，n0,1,是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率pij和两步转移概率pij(2)。

（c）令0min{n;Yn0,n0}，求P{05}。

解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：S{,2,1,0,1,2,}。

（b）pijP{Yn10.3,0.4,jYni}0.3,0,ji1ji

ji1其他0.32,20.30.4,ji2ji1pij(2)P{Yn2Yni}0.4220.32,ji

20.30.4,ji10.32,0,ji2其他

（c）即求首达概率，注意画状态转移图。

P{05}2[30.340.40.320.43]0.03096

（12）考察两个谐波随机信号X(t)和Y(t)，其中：

X(t)Acos(ct),Y(t)Bcos(ct)

式中A和c为正的常数；是,内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。

（a）求X(t)的均值、方差和相关函数；

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（b）若与B独立，求X(t)与Y(t)的互相关函数。

解：（a）E{X(t)}0

A2A2RXX(t1,t2)E{X(t1)X(t2)}cost1t2，D{X(t)}

22（b）RXY(t1,t2)E{X(t1)Y(t2)}0

（13）令谐波随机信号：X(t)Acos(ct), 式中c为固定的实数；是0,2内均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值A为一固定的正实数；

（b）幅值A为一与独立，分布密度函数为

a2ea2/(22),a0的随机变量；

试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？

（a）如12题（b）略

（14）设{N(t);t0}是一强度为的Poission过程，记X(t)dN(t)，试求随机过dt程X(t)的均值和相关函数。

解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：

mX(t)mX(t)(t)/ /2RX(t,s)2RX(t,s)(2stmin{s,t})2(ts)

tsts

（15）研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

（a）X(t)AtB，其中A,B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a,b，方差为1,2；

（b）X(t)AtBtC，其中A,B,C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为

22a,b,c，方差为12,2。,3222略

（16）求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。

（a）X(t)tW,t0，其中W(t)是参数为1的Wienner过程。（b）X(t)W(t),t0,其中W(t)是参数为的Wienner过程。

－ 6 － 221t中科院研究生院2005～2006第一学期

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解：（a）mX(t)E{tW()}tE{W()}0

1t1t111111RX(s,t)E{sW()tW()}stE{W()W()}stmin{,}2min{s,t}

stststRX(t,t)2t 连续，故均方连续，均方可积。

（b）mX(t)E{W2(t)}DW(t)[EW(t)]22t

R(s,t)4s(ts)34s2 均方连续，均方可积。

（17）讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

解：略。

（18）设有平稳随机过程X(t)，它的相关函数为RX()2e，其中,为常数，求Y(t)a解：略。

（19）设有实平稳随机过程X(t)，它的均值为零，相关函数为RX()，若

22dX(t)（a为常数）的自协方差函数和方差函数。dtY(t)X(s)ds，求Y(t)的自协方差函数和方差函数。

0t解：mY0

CY(s,t)RY(s,t)dvRX(uv)du

00stDY(t)dvRX(uv)du4(tx)RX(x)dx

000ttt

（20）设N1(t),t0和N2(t),t0是参数分别为1和2的时齐Poission过程，证明在N1(t)的任一到达时间间隔内，N2(t)恰有k个事件发生的概率为：

2pk12121k,k0,1,2,

证明：令X为N1(t)的任一到达时间间隔并且X~Ex(1)，即X的分布密度为：

1e1t,t0 fX(t)t00,由此可知：

－ 7 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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pkP{N2(t)k,t[0,X)}P{N02(t)kXt}1e1tdtk(2t)2t1t1eedt1k!120

2,k0,1,2,21

（21）设随机振幅、随机相位正弦波过程XtVsin(t),t0，其中随机变量V和相互独立，且有分布：

110~U[0,2],V~1/41/21/4

令： Yt1,如Xt2/20,反之,t0

试求过程Yt,t0的均值函数。

解：由定义，随机过程{Y(t);t0}的均值函数为：

Y(t)E{Y(t)}1P{Y(t)1}0P{Y(t)0}P{Y(t)1}PX(t)2/2而



PX(t)2/2PVsin(t)2/2P(1)sin(t)2/2P{V1}P0sin(t)2/2P{V0}P(1)sin(t)2/2P{V1}111Psin(t)2/2Psin(t)2/2Psin(t)2/2222

由于当~U(0,2)时，随机变量(t)sin(t)的分布密度为：

1,1x1 f(t)(x)1x2其它0,因此有：

PX(t)2/2即：

Y(t)

1 41 4（22）设有一泊松过程{N(t),t0}，固定两时刻s,t，且st，试证明

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knksP(N(s)kN(t)n)Ctkns1t,k0,1,2,,n

证明：由于st，有

PN(s)k/N(t)nPN(s)k,N(t)nPN(t)n

PN(s)kP{N(ts)nk}PN(t)n其中

(s)ks((ts))nk(ts)PN(s)kP{N(ts)nk}eek!(nk)!(t)ntPN(t)ne

n!所以

(s)ks((ts))nk(ts)eek!(nk)!PN(s)k/N(t)n(t)nte n!sk(ts)nkn!kskCnk!(nk)!ttnkt

（23）设B(t),t0为零均值的标准布朗运动，a和b为两个待定的正常数（a1），问在什么情况下{aB(bt)}仍为标准的布朗运动？说明理由。

解：由B(t),t0为标准布朗运动可知B(t),t0为正态过程，由正态分布的性质可知

ks1tnk{aB(bt)}为正态过程，令Y(t)ˆaB(bt)，则有

RY(t,s)E{Y(t)Y(s)}a2E{B(bt)B(bs)}a2min{bt,bs}a2bmin{t,s}

因此，要使{aB(bt)}仍为标准的布朗运动，必须ab1，即：

2a1b,b0

（24）设有无穷多只袋子，各装有红球r只，黑球b只及白球w只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令

1,当第k次取出红球Rk,k1,2,

0,反之（a）试求Rk的分布；

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（b）试证{Rk}为马氏链，并求一步转移概率。

解：（a）Rk的分布为：

RkP（b）Rk的一步转移概率为：

1rrbw0bw rbwr1Prbw1rrbw1

bwrbw1 bw1rbw1（25）设有随机过程(t)Xt2Y,t，X与Y是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为X和Y。证明过程(t)均方可导，并求(t)导过程的相关函数。

证明：计算得：E{(t)}t2E{X}E{Y}0

2222 R(t,s)E{[Xt2Y][Xs2Y]}XtsY2

2由于相关函数的导数为：

R(t,s)R(t,s)ts24Xts

它是一连续函数，因此过程(t)均方可导，(t)导过程的相关函数由上式给出。（26）设{Bt;t0}是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数p(s,t,x,y)ˆfBtBs(yx)。

解：由标准维纳过程的定理：设{W0(t);t0}为标准维纳过程，则对任意0t1t2tn，(W0(t1),W0(t2),,W0(tn))的联合分布密度为：

g(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)p(xixi1;titi1)

i1n其中：

1x2p(x;t)exp{}

2t2t可知：当st时，(Bs,Bt)的联合分布密度为：

fBsBt(x,y)x2(yx)21expexp 2s2s2(ts)2(ts)1－ 10 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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Bs的分布密度为：

fBs(x)因此

x2exp 2s2s1p(s,t,x,y)ˆfBtBs(yx)

（27）设有微分方程3fBsBt(x,y)fBs(x)(yx)2exp

2(ts)2(ts)1dX(t)2X(t)W0(t)，初值X(0)X0为常数，W0(t)是标准dt维纳过程，求随机过程X(t)在t时刻的一维概率密度。

解：方程的解：

X(t)X0e03dut2t11tsduW0(s)e03dsX0e3e3W0(s)ds 0330tt222由于W0(t)为维纳过程，故X(t)为正态过程，因此有：

E{X(t)}E{X0e2t3t1t3seW0(s)ds}X0e3ˆX(t)30221t3s2D{X(t)}E{[X(t)E{X(t)}]}E{[eW0(s)ds}]2}30ssstt1tt3s31t3333eemin{s,t}dsd[dseeddseesd]

00s90090tt12323[2te9e6t9](t)ˆX24222222222故X(t)的一维概率密度为：

f(x,t)12X(t)e(xX(t))22X(t)

（28）设给定随机过程{X(t),tT}及实数x，定义随机过程

1,X(t)xY(t)0,X(t)xtT

试将Y(t)的均值函数和自相关函数用过程X(t)的一维和二维分布函数来表示。

解：由均值函数的定义，有：

E{(t)}1P{(t)1}0P{(t)0}P{(t)0}P{(t)x}F(x,t)

由自相关函数的定义，有：

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R(t1,t2)E{(t1)(t2)}11P{(t1)1,(t2)1}10P{(t1)1,(t2)0}01P{(t1)0,(t2)1}00P{(t1)0,(t2)0}P{(t1)1,(t2)1}P{(t1)x,(t2)y}F(x,y;t1,t2)（29）设{X(t),t}是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问{X(t)X(0),t}是否仍为平稳过程，为什么？ 不是平稳过程

（30）设X(t)为平稳过程，其自相关函数RX()是以T0为周期的函数，证明：X(t)是周期为T0的平稳过程。

证明：由于

E{X(t)X(t)}0

D{X(t)X(t)}E{[X(t)X(t)]2}2[RX(0)RX()]

由切比雪夫不等式有：

P{X(t)X(t)}D{X(t)X(t)}222[RX(0)RX()]

由相关函数的周期性，可知：对于0，有：

P{X(tT0)X(t)}0

因此

PX(tT0)X(t)1

即X(t)是周期为T0的平稳过程。

－ 12 －

第二篇：中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）

设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。

解：由定义，有：

（2）

试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：，有

形式上我们有：

因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。

（3）

设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，问过程是否为正态过程，为什么？

解：任取，则有：

由平稳增量和独立增量性，可知并且独立

因此是联合正态分布的，由

可知是正态过程。

（4）

设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：

故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5）

设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？

解：泊松过程的转移率矩阵为：

其相关函数为：，由于在，连续，故均方积分存在。

（6）

在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。

（7）

设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：

（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；

（b）求步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？

为什么？

解：（a）略

（b）

（c）此链不具遍历性

（8）

设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：

问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。

由于：

故是平稳过程。

（9）

设，其中与独立，都服从

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。

（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a）任取，则有：

由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量

服从正态（高斯）分布，所以过程是正态（高斯）过程。

（b）由：

由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。

（10）

设，是零初值、强度的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数；

（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。

解：（a）

（b）先求相关函数：

对任意的，在处连续，故均方连续，因此均方可积，存在。

将代入计算积分即可。

由，得：

（11）

设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。

（c）令，求。

解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。

（b）

（c）即求首达概率，注意画状态转移图。

（12）

考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；

（b）若与独立，求与的互相关函数。

解：（a），（b）

（13）

令谐波随机信号：

式中为固定的实数；是内均匀分布的随机变量，考察两种情况：

（a）幅值为一固定的正实数；

（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；

试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？

（a）如12题（b）略

（14）

设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和相关函数。

解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：

（15）

研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

（a），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；

（b），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为。

略

（16）

求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。

（a），其中是参数为1的Wienner过程。

（b）,其中是参数为的Wienner过程。

解：（a）

连续，故均方连续，均方可积。

（b）

均方连续，均方可积。

（17）

讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

解：略。

（18）

设有平稳随机过程，它的相关函数为，其中为常数，求（为常数）的自协方差函数和方差函数。

解：略。

（19）

设有实平稳随机过程，它的均值为零，相关函数为，若，求的自协方差函数和方差函数。

解：

（20）

设和是参数分别为和的时齐Poission过程，证明在的任一到达时间间隔内，恰有个事件发生的概率为：

证明：令为的任一到达时间间隔并且，即的分布密度为：

由此可知：

（21）

设随机振幅、随机相位正弦波过程，其中随机变量和相互独立，且有分布：

令：

试求过程的均值函数。

解：由定义，随机过程的均值函数为：

而

由于当时，随机变量的分布密度为：

因此有：

即：

（22）

设有一泊松过程，固定两时刻，且，试证明

证明：由于，有

其中

所以

（23）

设为零均值的标准布朗运动，和为两个待定的正常数（），问在什么情况下仍为标准的布朗运动？说明理由。

解：由为标准布朗运动可知为正态过程，由正态分布的性质可知为正态过程，令，则有

因此，要使仍为标准的布朗运动，必须，即：

（24）

设有无穷多只袋子，各装有红球只，黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令

（a）试求的分布；

（b）试证为马氏链，并求一步转移概率。

解：（a）的分布为：

（b）的一步转移概率为：

（25）

设有随机过程，与是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为和。证明过程均方可导，并求导过程的相关函数。

证明：计算得：

由于相关函数的导数为：

它是一连续函数，因此过程均方可导，导过程的相关函数由上式给出。

（26）

设是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数。

解：由标准维纳过程的定理：设为标准维纳过程，则对任意，的联合分布密度为：

其中：

可知：当时，的联合分布密度为：的分布密度为：

因此

（27）

设有微分方程，初值为常数，是标准维纳过程，求随机过程在时刻的一维概率密度。

解：方程的解：

由于为维纳过程，故为正态过程，因此有：

故的一维概率密度为：

（28）

设给定随机过程及实数，定义随机过程

试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二维分布函数来表示。

解：由均值函数的定义，有：

由自相关函数的定义，有：

（29）

设是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问是否仍为平稳过程，为什么？

不是平稳过程

（30）

设为平稳过程，其自相关函数是以为周期的函数，证明：是周期为的平稳过程。

证明：由于

由切比雪夫不等式有：

由相关函数的周期性，可知：对于，有：

因此

即是周期为的平稳过程。

第三篇：大学中国近现代史纲要复习题及答案

2012年下半年《中国近现代史纲要》复习提纲

各章要求领会、掌握如下内容： 上编综述

1为什么说鸦片战争是中国近代历史的起点？

随着外国资本主义的入侵，中国的社会性质（独立的中国逐步变为半殖民地的中国，封建的中国逐步变为半封建的中国）和革命性质（反封建的农民革命变为反帝反封建的资产阶级民主革命）开始发生质的变化。中国社会逐步沦为半殖民地半封建社会。中国人民逐渐开始了反帝反封建的资产阶级民主革命。

2、近代中国社会的半殖民地半封建社会的性质、基本特征、两对主要矛盾、历史任务及其关系。A性质：中国的半殖民地半封建社会，是近代以来中国在外国资本主义势力的入侵及其与中国封建主义势力相结合的条件下，逐步形成的一种从属于资本主义世界体系的畸形的社会形态。C矛盾：帝国主义和中华民族的矛盾；封建主义和人民大众的矛盾 D历史任务：争得民族独立和人民解放；实现国家富强和人民富裕

关系：互相区别又互相紧密联系。争得民族独立和人民解放，才能为实现国家富强和人民富裕创造前提，开辟道路。

3、近代中国学习西方的历史进程及其重大事件的分析与认识。A技术层面：洋务运动

B制度层面：戊戌变法、辛亥革命 C思想层面：新文化运动

第一章 反对外来侵略的斗争

1、资本-帝国主义侵略中国的主要方式？

A军事侵略：a发动侵略战争，屠杀中国人民 b侵占中国领土，划分势力范围 c勒索赔款，抢掠财富

B政治控制：a控制中国的内政、外交 b镇压中国人民的反抗 c扶植、收买代理人

C经济掠夺：a控制中国的通商口岸 b剥夺中国的关税自主权

c实行商品倾销和资本输出 d操纵中国的经济命脉

D文化渗透：a披着宗教外衣，进行侵略活动 b为侵略中国制造舆论

2、帝国主义列强未能瓜分中国的原因分析。A帝国主义列强之间的矛盾和相互制约

B中国人民打击和教训了帝国主义者，使他们不敢为所欲为

第二章 对国家出路的早期探索

1、洋务运动的历史背景、内容、历史作用及其失败原因分析。

B内容：a兴办近代企业；b建立新式海陆军；c创办新式学堂，派遣留学生

C历史作用：a客观上对中国的早期工业和民族资本主义的发展起了某些促进作用

b培养通晓洋务的人才，开办了一批新式学堂，派出了最早的官派留学生，这是中国近代教育的开端

c翻译了一批西学书籍，给当时的中国带来了新的知识 d工商业者的地位上升，有利于资本主义经济的发展

D失败原因：a洋务运动具有封建性 b洋务运动对外国具有依赖性 c 洋务企业的管理具有腐朽性

2、戊戌变法的历史背景、过程、失败原因与历史意义怎样？ C失败原因：客观：以慈禧太后为首的强大守旧势力的反对 主观：a不敢否定封建主义b对帝国主义抱有幻想c惧怕人民群众

D历史意义：戊戍变法是一次爱国救亡运动，是一场资产阶级性质的政治改良运动，是一场思想启蒙运动

第三章 辛亥革命与君主专制制度的终结

1、辛亥革命爆发的历史必然性。

A民族危机加深，社会矛盾激化 B清末“新政”的破产C资产阶级革命派的阶级基础和骨干力量具备

2、孙中山新、旧三民主义的主要内容及其评价（积极意义与局限性）。旧三民主义：

民族主义：包括“驱除鞑虏，恢复中华”两项内容，就是要结束清政府的专制统治及其媚外政策。局限性在于没有从正面鲜明地提出反对帝国主义的主张

民权主义：内容是“创立民国”，即推翻封建君主专制制度，建立资产阶级民主共和国。这就是孙中山所说的政治革命。局限性在于忽略了广大劳动群众在国家中的地位，难以使人民的民主权利得到真正的保证

民生主义：在当时指的是“平均地权”，也就是孙中山所说的社会革命。局限性在于没有正面触及封建土地所有制，不能满足广大农民的土地要求

积极意义：旧三民主义学说是一个比较完整而明确的资产阶级民主革命纲领，对推动革命的发展产生了重大而积极的影响

新三民主义

民族主义：突出了反帝的内容，强调对外实行中华民族的独立，国内各民族一律平等 民权主义：强调了民主权利应“为一般平民所共有”

民生主义：概括为“平均地权”和“节制资本”两大原则，改善工农的生活状况 评价：成为国共合作的政治基础

3、孙中山让位给袁世凯的原因。

A袁世凯以武力压迫革命派B帝国主义列强为袁世凯助威C革命的立宪派、旧官僚等从内部施加压力D一些革命党人主张让袁世凯当大总统

4、辛亥革命的历史意义、失败原因与教训。

A历史意义：a辛亥革命推翻了清王朝的统治，沉重打击了中外反动势力b建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心c给人们带来了一次思想上的解放d促使社会经济、风俗等方面发生了新的积极的变化

B失败原因:客观：a袁世凯以武力压迫革命派b帝国主义列强为袁世凯助威c革命的立宪派、旧官僚等从内部施加压力d一些革命党人主张让袁世凯当大总统

主观：资产阶级革命派本身存在着许多弱点和错误：a没有提出彻底的反帝反封建的革命纲领b不能充分发动和依靠人民群众c不能建立坚强的革命政党

C教训：资产阶级共和国的方案没有能够救中国，先进的中国人需要进行新的探索，为中国谋求新的出路

中编综述

1、近代中华民族资本主义发展艰难的原因是什么？

A外国资本的压迫B官僚资本的排挤C封建生产关系的束缚D军阀官僚政府的压榨

2、一战与十月革命的影响；抗战结束后的三种政治力量与三种建国方案。B a地主阶级和买办性大资产阶级反动势力主张资产阶级共和国道路

c工人阶级、农民阶级和城市小资产阶级，是进步势力、民主革命的主要力量-主张中国人民应当在工 人阶级及其政党的领导下，进行新民主主义革命，建立人民民主专政的国家，逐步到达社会主义和共产主义

第四章 开天辟地的大事变

1、新文化运动的主要内容、历史影响。

2、五四爱国运动爆发的历史条件、历史特点及其重要意义。

A历史条件：a新的社会力量的成长、壮大 b新文化运动掀起思想解放的潮流c俄国十月革命对中国的影响

B历史特点：a五四运动表现了反帝反封建的彻底性b是一次真正的群众运动c促进了马克思主义在中国的传播及其与中国工人运动的结合

3、中国共产党成立的历史条件及其重要意义。

A历史条件：a新文化运动和五四运动的影响b马克思主义在中国传播c苏联共产国际的积极帮助

B重要意义：中国共产党的成立，是一个“开天辟地”的大事件，它给灾难深重的中国人民带来了光明和希望。中国人民的斗争之所以屡遭挫折和失败，重要的原因之一是没有一个先进的坚强的政党作为凝聚自己力量的领导核心。自从有了中国共产党，这种局面就开始从根本上改变了

4、中国共产党成立后如何推动了中国革命面貌的剧变（中国共产党在1924至1927年国民革命中的主要贡献）？

在这场革命中，中国共产党起着独特的、不可代替的作用。

a大革命是在反对帝国主义、反对军阀的政治口号下进行的。提出这个口号的，正是中国共产党。

b大革命是在以国共合作为基础的统一战线的组织形式下进行的。而中国共产党正是国共合作的倡导者和组织者

c大革命是近代中国历史上空前广泛而深刻的群众运动。而中国共产党正是人民群众的主要发动者和组织者

d大革命的主要斗争形式是革命战争。共产党人不仅帮助和推动了国民革命军的建立，而且在军队中进行了卓有成效的政治工作，在战斗中起着先锋作用和表率作用

5、大革命失败的原因及其教训是什么？ 失败原因

A客观：反革命力量的强大；资产阶级发生严重动摇、统一战线出现剧烈的分化；蒋介石集团、汪精卫集团先后被帝国主义势力和地主阶级、买办资产阶级拉进反革命营垒里去了

B主观：以陈独秀为代表的右倾机会主义的错误，放弃了无产阶级的领导权，尤其是武装力量的领导权，当时的中国共产党还处在幼年时期，还不善于将马克思列宁主义的基本原理和中国革命的实践结合起来 C外部：中国共产党作为共产国际的一个支部，当时直接受共产国际的指导。共产国际及其在中国的代表虽然对这次大革命起了积极的作用，但由于并不真正了解中国的情况，也出了一些错误的主意。幼年的中国共产党还难以摆脱共产国际的那些错误的指导思想

第五章 中国革命的新道路

1、中国共产党是如何开辟中国革命新道路的？有何历史启示？ 《中国的红色政权为什么能够存在？》《井冈山的斗争》《星星之火，可以燎原》 《反对本本主义》

2、中共早期连续发生的几次“左”倾错误及其原因分析。第一次：1927年11月至1928年4月的“左”倾盲动错误

第二次：1930年6月至9月以李立三为代表的“左”倾冒险主义

第三次：1931年1月至1935年1月以陈绍禹（王明）为代表的“左”倾教条主义 原因：a八七会议以后党内一直存在着浓厚的“左”倾情绪始终没得到认真清理 b共产国际对中国共产党内部事务的错误干预和瞎指挥 c不善于将马克思列宁主义与中国实际全面正确地结合起来

3、遵义会议的转折作用与历史意义。

遵义会议开始确立以毛泽东为代表的马克思主义的正确路线在中共中央的领导地位，挽救了中国共产党，挽救了中国工农红军，挽救了中国革命，成为了中国共产党历史上一个生死攸关的转折点

第六章 中华民族的抗日战争

1、西安事变与抗日民族统一战线的初步形成。

2、如何认识国民党正面战场在抗日战争中的作用与地位？

A在战略防御阶段，国民党军队为主体的正面战场担负了抗击日军战略进攻的主要任务

B进入相持阶段后，日本对国民党政府采取以政治诱降为主、军事打击为辅的方针，国民党由片面的抗战逐步转变为消极抗战

C在敌后开始局部反攻的有利条件下，国民党军队的战斗力却日益下降，国民党政府在军事、政治、经济各个方面陷入深刻的危机

3、如何理解共产党在抗日战争的中流砥柱作用？

A中国共产党实行全面的全民族抗战的路线，采取持久战的战略方针 B开辟和发展敌后战场，重视游击战争的战略地位和作用

C中共坚持统一战线中的独立自主原则，坚持抗战、团结、进步，反对妥协、分裂、倒退，巩固抗日民族统一战线的策略总方针

D实现三三制的民主政权建设、减租减息，发展生产，开展文化建设与干部教育 E开展抗日民主运动、抗战文化工作

F积极开展中国共产党自身建设，提出马克思主义中国化命题，系统阐明新民主主义理论，在全党开展整风运动和确立实事求是思想路线

4、中国抗日战争胜利的历史意义、胜利原因是什么？ B胜利原因a中国共产党在全民族抗战中起了中流砥柱的作用

b中国人民巨大的民族觉醒、空前的民族团结和应用的民族抗争 c各种反法西斯力量的同情和支持

5、中国抗日战争胜利的基本经验是什么？

A全国各族人民的大团结是中国人民战胜一切艰难困苦、实现奋斗目标的力量源泉 B以爱国主义为核心的伟大民族精神是中国人民团结奋进的精神动力 C提高综合国力是中华民族自立于世界民族之林的基本保证 D中国人民热爱和平，又决不惧怕战争 E坚持中国共产党的领导

第七章 为新中国而奋斗

1、重庆谈判发生的背景、结果及其对时局的影响

A中国共产党争取和平民主的努力，尽管最终未能阻止全面内战的爆发，但是它使得各界群众增强了对中国共产党的了解，在政治上是一个重大的胜利

B经过努力，中国人民毕竟争得了将近一年的和平的暂息时期。也为扩大和巩固解放区、做好进行自卫战争的准备，提供了有利的条件

2、中国革命胜利的原因。

A中国革命的发生不是偶然的，它有着深刻的社会根源和雄厚的群众基础。工人、农民、城市小资产阶级群众是民主革命的主要力量，各民主党派和无党派认识都在这场斗争中发挥了积极的作用

B有了中国工人阶级的先锋队—中国共产党的领导。中国共产党不仅代表着中国工人阶级的利益，而且代表着整个中华民族和全中国人民的利益。“没有共产党，就没有新中国”这是中国人民基于自己的切身体验所确认的客观真理。

C得到无产阶级和人民群众的支持

3、中国革命胜利的基本经验。A建立广泛的统一战线 B坚持革命的武装斗争 C加强共产党自身的建设

4国民党败亡的主要原因分析。A政治腐败

B国统区经济崩溃 C军事上的溃败

D首发内战，失道寡助