弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿

第一篇：弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿

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分类：教学理论《数学教育再探--在中国的讲学》 [荷兰] 弗赖登塔尔

1.3 数学化 1.3.1术语

在讨论了数学的前后关系和内外结构之后，我们再回过头来把数学当成一种活动，来看看它的一个主要特征：数学化。是谁最先使用这个术语，用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢？这种术语通常是先出现在非正式的谈话和讨论中，而后才出现在文献著作里，因此没有人能说出是谁的发明。不管怎么说，数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。

以前用的术语，诸如公理化、形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理化也许是在数学的行文中出现得最早。公理和公式古已有之，尽管在岁月的长河中，“公理”（或“公设”）的意义及公式的形式有所改变.过去几个世纪里，人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。我们现在使用的公理体系这个术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳（虽然他们是先驱）是一种时代的错误。然而，重新组合某一领域的知识，以至于结论被当作出发点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义--这种颠倒的构造是一种久远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽管只是到了近代，人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样，有意识地、有条理地、热切地运用它。今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。这种技术就叫公理化。它被现代的数学家深刻地理解和掌握。它早期显著的例子是群。18世纪以来，数学家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造这种映射。这样他们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，这种假设是后来群所需要的。1854年凯莱（Cayley）用这些假设统一定义了这种（有限）的对象，他称作群。然而，直到1870年这一新概念才被一些领头创造的数学家们完全认可。之后又用到无限基的情况。在日常生活和符号语言中，公式是像公理一样古老，甚或更古老的一种特殊形式。用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长期的过程，它首先涉及到数学题材，后来才影响到表述这种题材所用的语言。这种对语言的整理、修正和转化的过程就叫做形式化。可以肯定，公理化可能会像公理一样在现代数学中流行，他们只是一项活动过程中的精彩部分和最后的润色，在这个过程中重点强调的是形式而不是内容。公式和形式化也同样如此。公理来源于范例或一系列范例，而公理化则意味着总结熟练的范例。人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式。最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候。

上面一段解释，通过与公理化、形式化、图式化作类比，说明了数学化一词的来源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的内容是屡见不鲜的，所以我才占一定的篇幅来说明它。我自己则坚持这个术语应该包括数学家的全部组织活动，不管它是用于数学的内容和表达，还是用于更通俗的直觉意义上，比如生活经验，日常语言的表达。但是我们别忘了，在扩展的现实性和发展语言的复杂性中，“生活”和“日常生活”的个体的与环境的依赖性。1.3.2某些方面 建立模型 然而，一谈到图式化就有一种倾向，把“图式”与形式化数学里的解题公式和步骤等问题等同起来。今天，在更广泛的意义上说，“图式”一词似乎被更时兴的“模型”所替代--这是一个很有价值的术语，然而不幸的是，由于人们的滥用和误用而降低了其含义。我一直反对这样做，至少在我看来是这样的。数学总是被应用于自然和社会，然而长期以来，人们只是过多地考虑它的应用，而很少想到应用它的方法以及它为什么能用。记数实际上是由生活得来的常识，土地测量员的工作好像是说他们用的界钉和标杆就是几何上的点和线，还有外币兑换员，商人及药剂师好像都在表明比例是自然界和社会的一个显而易见的特征。甚至古巴比伦王国的天文学家很早就习惯于用线性内插或外插法，来试着数值化地描述天文现象，也就是用分段线性函数和锯齿形函数的方法，后来的希腊人最终把它们变成测角函数。但是测角函数不会从他们仰望的天空里掉下来，其基本理论是天体运动应该是环形的。为了解释这种假设和一些互相矛盾的现象，产生了一个我们现在称之?quot;模型“的东西来描述天体的运动，这个模型包括了圆、本轮（epicycles）和外心的新发明，不管对它们进行几何上还是数值上的处理都需要用到测角函数。这个模型持续了近两千年。开普勒（Kepler）没有给出新模型，而是提出了行星运动的三大数学定律，后来牛顿（Newton）由此得出了万有引力理论的一系列结果。牛顿自己不肯设计简单的机械模型来解释地球引力。随着时间的推移，物理学家们才勉强地接受地球引力的吸引本身就是一个模型，它超过了一般意义上的经验，是第一个近代的模型，其意义仅亚于惠更斯（Huygens）的光的波动理论，历史在不断重复：根据19世纪的力学常识，人们提出了关于光传播理论的一些弹性的模型，但由于研制惠更斯的波动理论的失败，物理学家们不得不接受马克斯韦尔（Maxwell）的光的电磁理论模型。建模是现代的产物，只是到了近代，人们才或多或少有意识地忽略了所有看起来不重要的干扰，把在模糊的自然界和环境中应用的数学浓缩成了精确的数学，是它们破坏了理想情况。长期以来，简单的几何学和代数学已足以满足这种需要。但是什么是理想情况，什么又是不重要的干扰呢？伽利略（GaliIeo）首先给出了一个例子，说明了它们在特定含义下的区别：即匀速运动是理想情况，但又受到阻力的干扰，或像牛顿说的更一般意义上的外力干扰。这样，这种方法就延续到了今天。即使有了精确的理论，也是经过简化后才使用，以使其更接近于实际的过程：这样后者就有可能用更好的逼近或者反馈模型提炼出来。这种了不起的理想化方法的最伟大的例子当属达朗倍尔（d'Alembert）的绷紧的弦的振动问题：通过忽略弦线的曲度，他能把微分方程线性化，而方程一旦线性化以后问题就轻易地解决了。实际上，通过线性化的手法重建物理上的模型已成了应用数学的一般手段。在自然科学里，最早使用”模型“一词也许是与众所周知的太阳系模型相联系的，它用一个机械装置，（经过粗略简化以后）给出了在引力作用下行星和月亮运动的相互作用：由于它只是一个模型，所以只考虑到运动学问题，而不牵涉天体运动的动力学问题：另外，由于实际的原因，代表天体的球形的半径互相不成比例，和轨道大小相比也不成比例。还有人们熟知的卢瑟福－波耳（Rutherford-Bohr）原子模型，它把原子及其示意图描述成一个小太阳系形状，在可能的轨道上作一些奇特的限制模型的特征来自于轨道遵守的特定条件，以及关于从一个轨道向另一个轨道跃迁时的特定假设，和经典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的质子和中子像液体一样被释放出来--这种思想是简单化模型的典型。另外一个典型是开放的宇宙体系的宇宙生成模型，它起初是对朝各个方向运动的星群的纯运动学上的解释。随着时间的推移，由于加入动力学和基本粒子物理的许多特点而丰富起来，当然它仍被认为是宇宙进化的粗略的简化模型。

这些都是理想化的模型，它们有的把数学的精确性引入到相对粗糙的物理现实中：或者是简化现实，而心照不宣地承认现实要比这些称为模型的东西复杂得多。奇怪的是，数学上最早使用”模型“一词却正好相反：用塑料、电线或纸板做的抽象几何形状的具体模型。如果我没弄错的话，弗里克斯·克莱因作为一个数学家，他收集了大量的几何模型，同时也是首先把”模型“一词用于数学中的人。这里是指非欧氏几何在射影几何里的映象的问题--这是凯莱的发明，克莱因阐释为模型，用来把看起来很抽象的非欧氏几何映射到射影几何的框架里，后者看上去要比前者具体些。尽管不像石膏模型那样显而易见，这个模型实际上要比它的原象易于想象。克莱因的例子说明了公理体系中现代模型概念的根源：用一个合适的数学对象来明确形式公理中所暗含的东西.看起来就像用真实的内容来填充公理的形式。举例来说，一个特殊的群或一般函数上的变换群可以作为一般意义上公理化定义的群的模型。还有欧氏空间，尤其是三维空间，可以作为公理化定义的线性空间或度量空间的模型。仅就具体化而言，可以超过纯数学的范围，考虑把物质的或仅仅是经验型的空间作为公理化定义的某种原像的模型。

只是为了保持完整，我才提到了”模型“的这种应用，它和我们开始所说的模型正好相反。实际上，在这里的行文中，我们没有考虑公理体系的模型，尽管它在基础研究中被大量使用，而是考虑理想化意义上的模型。用这种方法，我们能够简化一些复杂的条件，它们太复杂而无法付诸实际，或者是仅仅能用一些特定的数学理论来对付它们。

因为我们的主题是建模，并把它作为数学化的一个方面，需要强调的是，在这里的行文中应包括一些真实的具体模型，像检验飞机模型的风洞，或流体动力学理论的实验室模拟。换句话说，是用观察结果而不是用数学来进行评价的一些模型，尽管建造它们用到的数学知识也许比得到一些不那么真实的模型用的更多。我看甚至还应该包括对这样的真实模型的计算机模拟，它在进行评价时比模拟活动本身更少地依赖于数学。另外，我强烈反对给代数、微分、积分方程等体系贴上一?quot;模型”标签的做法--数学模型--因为有人喜欢这么叫。根据我的术语观，模型就是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。因此我不喜欢在行民主文中用数学模型一词，它让人误以为数学是直接地用于环境中，或者几乎如此：实际上只是当数学被紧紧地局限于周围环境中才会发生这种情况。我之所以如此强调模型的中介作用，因为人们往往意识不到它是不可缺少的：很多情况下，数学公式像秘诀样用于复杂的现实，而缺乏一种中介模型来检验它们的用场。

概率和统计就是特别突出的例子。在概率论里，盛签用的容器还有其他的随机装置，就是模型，人们用它把世界一切看起来由偶然因素决定的事情数学化，这包括：同种植物间的授粉，某个种族间的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是由掷签来决定的--当然有的合适，有的则不尽然。而概率在统计学上的应用也仅仅需要这么一个模型。然而，就我所知，在相关性和回归系数的常规的一一或者应该说是例行的一一应用以及某些社会的特别是教育的研究中因素分析之间，还不存在模型。这些工具只是从其他科学里翻版过来的，在那里它们是在使用的时候有中介模型来验证的。

再回过头来看看，我意识到对模型的谈论已超过了建模，而且使用了颇为通常意义下的术语；我犹豫这么久还没接触正题的原因.正是担心这种情况发生。当然，我本应该让读者领略一系列合理化的模型，像谐振器、电力网、变换阵、传播过程、游戏、引导装置、人口动力学、排队论等等。其中有些例子有很大的变化范围，如果希望他们能很好地利用的话，当然值得让学生们了解：另一方面，我把建模定义成理想化和简单化一一不管我的定义多么地不精确，它还是切中了要害：把握某种（静态或动态的）情境的要点，在丰富的相关情境中（我前面阐述过的）关注它们：并且随着事物的进展，会有更加丰富一些的内容。那么，这就是我继续考查数学化的其他方面的出发点。寻找本质

即在行文中找出哪些能表示成如下形式 ·在一种情境之内和交叉的情形 ·在一个问题之内和交叉的问题 ·在一个过程之内和交叉的过程 ·在一个组织之内和交叉的组织 ·在一个图式之内和交叉的图式 ·在一个算法之内和交叉的算法.·在一个结构之内和交叉的结构 ·在一个公式之内和交叉的公式

·在一个符号体系之内和交叉的符号体系 ·在一个公理体系之内和交叉的公理体系

为什么有这么多种“„„和交叉的„„”呢？因为找出一般的特征、相似、类比，同构才能够行 ·概括

成为一种下意识的习惯或是多多少少有意识的行为。从一个简单的 ·范例

不经意的经验，并且只靠一些范例（尽管不是很多）来强化就能得出一般性，人们往往是不相信的。现在，·概括范例.是对

·举例说明一般概念的颠倒。假如过分地说，这正是我称为“违反教学法的颠倒”的一个例子，后文中还会牵涉到。然而，·示范性地探讨未确定的一般性 是一种有价值的 ·启发式活动

这和流行的启发式教学有所不同，后者被认为是一种预先设置好的工具。当强调单一的范例的作用时，我突然想到一些新鲜的思维对象和运算，而对象和运算通过日常练习能够程序化，并最终导致成为 ·合理化和捷径 这就会导致 ·不断发展的 组织化 图示化 结构化

尤其考虑到一些拙劣的语言和符号，就会产生·不断进步的 形式化 算法化 符号化

数学化一个十分重要的方面就是 ·反思自己的活动 从而促使

·改变看问题的角度 并伴随着局部结果的 ·颠倒 和整体的 ·公理化

说重一些，这也是违反教学法的颠倒的一个例子。

1.3.3例子

1.在数轴上找出16和72的中间值！

据我观察，孩子们把两个点均匀地相向移动：开始一个一个单位地移，后来步子大一些，最多的每次移10个单位；（得出的）捷径是把它们的差平均分，再把其中一半加到较小的数上，开一般术语来描述就是表达式a＋（b－a），通过代数运算有更一般的表达式（a＋b）。

在我说明把两个数朝反向移动仍保持中间值不变以后，孩子们最后把较小的数变成O，同时把较大的数变成a＋b，这样也能证明求中间值的一般表达式。

如果不仅仅局限于只是找到求两个数的中间值的方法，还可以通过不断改进的图式化来逐步发展。为了找到这种图式的一般性，一个范例看来就足够了，即使扩大到整数域上也是如此。夸张地说，“我把两个己知数加起来，然后被2除”这种一般的结果，可以通过用代数语言“两个己知数的和的一半”来进一步公式化，这样就能促使代数语言的产生和运用。另一种概括的系列就是对多于两个的数提出同样的问题，从而建立平均数这样一个思维对象和求平均数的图式。只有在得出“给定的数的和被所给的数的个数来?quot;这个形式的概括或者它的代数表达式之后，人们才能满意。另一方面，一旦内容确定以后，人们应该找出哪些情形下所设想的加法用起来自然，或对这种情形来说含义比较含蓄。比如：加的不是（单纯的）年龄、尺寸、价格等，而是食物的日常消费，工作时间，某人一周或一月总和求每笔单位资金的消费，或者由时速求出每秒的速度。

如果仅仅作为图式化和形式化的代表，再仔细研究平均数的概念就没有必要了。而下面我要再提出一个”中间值“概念的概括，即平面图形或立体图形的”中心“，数学化的很多方面需要回答下文中要提出的问题。

2.如果一个水龙头1小时能把水池灌满，另一个需要2小时才能把这个水池灌满，那么这两个水笼头同时灌需要多长时间能自灌满水池？这种古老的问题（还有其他像两个工人一起劳动、两个人起吃一定数量的食物等等）如果不跟数学化的广泛背景结合起来，并且用传统的图式来解决的话，这问题看起来就很可笑。我提出问题后，孩子们把满的水池分成两部分，假想每个水龙头负责其中的一部分：三分之二的部分由”大“的水龙头承担，另外的三分之一由”小“的水龙头承担，于是两部分都能在2/3小时内灌满。即使给一些更大的数，孩子们仍坚持按这种形象化的比例来推算，并举例论证：比如，认为用几个慢的水龙头来取代一个快的。这显然背离了传统认可的简化为1小时的图式，即：如果两个水龙头能分别用a小时和b小时把水池灌满，那么1小时内，第一个水龙头灌池子的1/a，第二个灌去1/b，于是它们在1小时内一共灌1/a+1/b，整个水池在 = 小时内灌满。而按照孩子们的推理，对应地把整个水池按b：α的比率分开，两个水龙头分别灌，那么第一个水龙头应该灌整个池子的b/（a＋b），它就是按原来的a小时灌满时，所应乘的因子。

然而奇怪的是，当用两个人以不同的速度相向而行的问题采取代这类问题的时候，对这类问题很熟悉的成年人，往往不注意它与其他问题的同构性，而去用线性的路程－时间简图来求解问题。这看起来好像是在两个人之间分配距离，只是为了得到几何策略而不是求数量关系，就像水龙头灌水、工作、食物等一样。

像”速度“这样的思维对象，有两种截然相反的基本的图式化和形式化的办法：每段时间所走的路程和每段路程所花费的时间；后者在比较运动成绩的时候经常用到。这种双向图式化的另一个例子是耗油问题：为了知道用一箱油能否走完某段距离，司机要算出来一箱油能走多远。

这种双向图式化牵涉到各种现象，并且它的因素之间有着重要联系。如果能够意识到这些，水池和水龙头之类的问题就不会再让人看起来觉得可笑。调和的相加和求平均（即变成倒数之后）实际上是一个重要的图式，要得到它，当然需要详细的图式化去引导。

3.在学校里教学能被9整除的数的特征，很难说是数学知识.只不过是在验证它的正确有效性罢了。以算盘为模型的定位系统，可以成为一种图式化：如果用算盘上的算珠代表所给出的数，那么把一个算珠移到另一个档上，数的改变量就是9的倍数；因此，如果所有的算珠都移到个位上，就得出这个数和它的所有位上的数之和被9除同余。这种推理可以推广到其他定位系统。

4.对图示化而言，百分数这个工具由于用途广泛而不宜在此进行详细论述，我们仅给出一个特征，来说明它的极度重要性，它涉及到一种重新组织的转换：

增加或减少p％，即达到原来的（1＋）倍或（1－）倍。5.钟表的两个指针什么时候重合？用无穷级数、简单的代数学、线性草图都能解决这个问题，而一旦得出结果，就有一条捷径得出恰当的图式：时针每转一圈，分针转了12圈，于是在12小时内追上时针11次，并且保持相同的时间间隔。这是一个用途很广泛的图式，应用到其他问题里能解释一些天文现象。

6.生日宴会上有十个小孩，男孩比女孩多两个。

一个盛着牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有鸡和兔子：13个脑袋，36条腿。

孩子们最初想用尝试错误法来解答这些问题，但是遇到大数目时效率就显得很低；而后就开始利用更显而易见的形形式式的图式来解决有关的问题。比如用”假设“来进行推理：假设每个女孩找一个男孩„„假设每个兔子是一只鸡的话„„这样不断地进行概括，就产生了代数。

7.如果你还不熟悉的话，就停下来想想下面的问题：在一群人中任意5个人里总有两个人的岁数相同，请证明在他们的17个人中总有5个人的岁数相同，你或许会想出很多图式来解决这个问题，但最终的结果会使你改变看问题的观点：实际上17个人中间至多有4个年龄层次。

8.一堆火柴100根，两个游戏者轮流每次拿掉1－10根，能拿走最后一根火柴的人为胜。这里只要知道秘诀就能取胜，这几乎人人都知道。现在来玩另外一种游戏：

一堆火柴，轮流每次从中拿走2的方幂（2）根，也是能拿走最后一根的人取胜。如果只有1根或2根火柴，那么最先拿的人获胜；如果是3根的话，他就输；如果有4根则能胜，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一个人怎么拿都输。如果有6根，不管他拿1根，2根还是4根，他都把有利形势让给了对方，自己则只好输掉。7根和8根的情况，分别拿走1根或2根则都能赢（剩6根）。但9根又是一个不利的情况。继续分析，就能猜到：对轮到拿的人来说，如果火柴根数是3的倍数，则处于失败境地，其他情况则不会输。你能证明吗？结果表明要考虑模3的算术。2的方幂模3余2或1。因此那些2的高次幂都没什么关系，而是最后归结成取1根还是2根的问题--这是古老游戏的一种细微的变形。另外一种变形：只允许拿走素数根（还包括l）。

我们来列出轮到拿的人所处的有利位置和不利位置的情况。显然，1、2、3、5、6、7、9、10、11、„是有利的，4、8、12„是不利的。

实际上，以12为例，不管你从中拿哪个素数，你都把有利位置让给了对方；而把上一行的数分别减去1、2或3，都能把对方送到下面一行。这表明要考虑模4的算术，在这里只需用3来代替10，就退化成古老的游戏。还有一种变形：每次可拿1根或4根，那么 1、3、4、6、8、9、11、„是处于有利位置； 2、5、7、10、12、„是处于不利位置。被5除，余1、3、4则有利，余0、2则不利。

实际上，如果轮到拿的人处于第一种状况，他就能采取任何拿走4根或者1根的行动，这样就能保持有利的状况。这里给出的游戏相互之间表现出了相似的特征。它们的相似性背后又有什么更深的属性呢？它们能作为更一般的游戏的范例吗？如果这样的话，怎样更一般的阐述呢？ 在我们做过的游戏里，与其说是示范性地开始，倒不如说展开问题的一般方法是：先找出最后的结果，再来证明它--即违反教学法的颠倒。我们给出的是开放的结果，而不是最后的结论。9.一系列圆盘，编号为1、2、3，„盘的一面是黑色，另一面是白色。开始所有的黑面都朝上，先把编号为偶数的盘翻过来，然后把编号能被3整除的圆盘翻过来，接着把编号能被4整除的圆盘翻过来，等等。最后哪些圆盘的黑色一面仍朝上？人们总是先做实验，然后找素数因子及一些有类似特征的，只是在最后才找到捷径：对于数n的任意非平凡因子k，都有相应的因子，只是当n是一个平方数时，这两个数才保持一致。从这一点出发，才能得到简洁的论述。

10.下面的例子说明，图式化得来的经验能导致重复计数等思想的产生：立方体的八个顶点处有三条边相交，似乎说明应该得到8×3条边，而实际上只有12条边。

11.通过骰子上的五个点（图2）画一条折线，每个点经过且只经过一次，能得到多少不同的图形？

首先，必须对”不同的图形“的概念图式化，可以用全等的方法来区别。其次，计数的过程必须通过适当的分类来构造，举例说，考虑五个点的中间一个：把它作为起点，作为（折线的）第一站、（折线的）第二站„„，再对四个角上的点继续以同样方式处理。12.除了前面的问题外，数学化另外一个重要的方面可以用例子来说明，?quot;棋盘上的谷粒”这一著名问题：为了估算2，用10 代替2，这就是数值图式化的一个例子。

13.至此，我忽略了数学化的语言特点。为了有所选择，我参考了[87，第4章，p.15]。选择即意味着放弃，我不愿这样做，只好如此了。

14.我也没充分注意到观点的改变。像[87，第4章，p16]的例子所显示的那样，这是一个十分丰富的课题，这个课题需要更加系统地去处理，我还不敢妄为。对此我可以补充很多，但我不愿。

15.一个木桶，上盖封住，有4个洞，呈正方形（图3）。在洞的正下方有四个圆盘，一面黑色，一面白色，而颜色是看不见的。游戏者允许选择打开1个或2个洞，把相应的圆盘翻过来。操作一次之后，绕着桶的竖轴随意地旋转木桶，使游戏者找不到他刚选择的孔洞，如此随意重复下去，一旦四个圆盘的上面的颜色已经一致，则响铃示意游戏结束。找一个方案，保证最后能让所有圆盘显示相同的颜色！这个例子蕴含着丰富的数学化特征。为了让愿意自己独立解决这个问题的读者不至于失望，我把答案归到附录里。

1.3.4 数学化--横向的和纵向的

1978年，特莱弗斯（Treffers）在他的论文里把横向和纵向数学化区别开来--不是严格的，而是带有适当的保留：横向数学化，能使一个问题的领域变得易于进行数学上的处理（这里指狭义的、形式的数学），而相对的纵向数学化却或多或少影响到复杂的数学处理过程。长期以来，我不愿接受这种划分。我关注的是两种活动在理论上的等价性，以及由此决定的实用中的同等地位；我怕这种区分破坏了它们之间的这种关系。根据特莱弗斯的术语观，那些热衷于教育的数学家把数学化限制在它的纵向因素；而致力于数学教学的教育家却把数学化限制在它的横向因素，而多少次他们的做法并没使我感到丧气！最终我接受了这种分的思想，甚至到了极力推崇的地步；我还给它们的形成加上了某些细微的差异，但我认为，在某种意义上还是尊重了特莱弗斯的初衷。我接受这种划分，还因为它对数学教育的影响，尤其是在规定教育方式的时候。在我讨论数学教育的理论框架时（见3.1.2）还会详细地解释。

我们给这种划分的特征作如下规定：横向数学化把生活世界引向符号世界。在生活世界里，人们生活、活动，同时也受苦受难；在符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地；这就是纵向数学化。在生活世界里，经历的就是现实（其意义前边讲过），而符号世界则是关于它的抽象化。当然，这两种世界的界限十分模糊，可以互为扩张和缩小--同时以另一个为代价。有些东西在某一事例中属于生活世界，而在另一件事中属于符号世界（路线图、地图、几何图形、帐单、目录单、要填的表格，等等）。自然数属于生活世界，而抽象的加法需要符号图式。抽象的加法可以被结合到生活世界，而加法的可交换性的认识（由此而产生的乘法）还需要经过处理的模型以及在符号世界里所理解的等价意义。对一个数学专家来说，数学对象可能是他生活的一部分，而对于初学者来说却完全不同。横向和纵向数学化的区别依赖于特定的情境，牵涉到人和他周围的环境。除了这些一般性，不同层次的例子则是解释它们之间区别的最好办法。1.3.5 例子

1.数数 为了数数，一个没有结构的事物或事件的集合必须进行结构化--手工的、视觉上的、听觉上的或在大脑里--而对大体上结构化了的集合必须揭示或强化其已有的结构。这就需要横向数学化。而另一方面，如何在这个（新创造的或揭示的）结构中运用数数的次序则是纵向数学化，它依据结构本身，可以采驭不同复杂程度的方法：例如可以用乘法来给一个能用矩形结构表示的（即能排成几行几列的）集合数数。2.多些或少些 同时构造两个给定的集合也许是横向数学化，而找出谁是谁的子集则是纵向的。或者换一种情况，给两个集合数数是横向数学化，而说出数数的顺序，听听哪个数在前边，就是纵向的。

3.相加 一个问题需要把5个和3个想象中的石头弹子加起来，它可以用“手指的图式”来进行横向数学化，而数手指的办法则是纵向的。换一种说法即是，用5＋3的算术和来表示前一个问题是横向数学化，而解答结果则可以通过纵向地一个一个数、或用4＋4来代替，或用记忆等办法来得到。4.相加 如果直到10的自然数都属于生活世界，那么用（10－2）＋（5＋2）=10＋5的办法求解8＋5就是纵向数学化，而礁霰患邮慕峁乖蚴峭ü嵯蚧竦玫摹?br> 5.交换律 如果2和9是可见的或在大脑中结合成线性结构的集合，并且它们的结合可以被倒过来读的话，那么用9＋2代替2＋9可以归到横向数学化里。交换律一旦被普遍使用，就能被纵向说明了。

6.加法 当在如下情形中使用加法时，它就是属于纵向数学化的一个符号：当A到B及B到C之间的距离己被步测之后，则从A经B到C的距离就不用再重新步量，而只需把前面两个数值相加即可。

7.乘法 8的5倍可以用5行8列的矩形图式来横向数学化，而纵向数学化则可能得到如下的序列8、16、24、32、40。8.乘法 人们最终认识到对相同被加数的加法，并把它独自作为一种运算--这种过程以横向数学化开始，并以纵向数学化结束。

9.除法 当需要把一些物品分给一群人的时候（例如围成一桌打牌时的发牌），可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直到分完为止；这是分配问题的横向数学化。纵向数学化则在于寻找愈来愈大的份额（直到刚好合适），从而来缩短分发的过程。这些过程是逐步图式化的一个显著的例子（在这个例子中是逐步的算法化，最终导出标准的长除算法）。

10.组合学 如果A、B之间有3条路相连，B、C之间有4条路，那么从A经B到C共有多少种不同的走法？横向数学化在于找出问题的结构，这可以从某种巧妙的计算开始，而最终用乘积的手段来完成纵向数学化。依具体情况的不同，这种“道路的图式”在其他情形中的应用既可能是横向的也可能是纵向的数学化。把3和4同用字母代替则是纵向的数学化。

11.比率 对一些从几何上或代数上看起来具有某种相似性的一类问题进行数学化，会出现横向与纵向的思路交替发生的情况，开始时会这样叙述：在这里大小加倍的东西，在另一边也必然加倍。

12.比 把足球比分2：1和3：2等价起来是不对的，把它们和4：

3、5：4等继续比较下去就能看出来，这是纵向数学化捣的鬼。为了找出一个公正的比较办法，要用到横向引入，并从纵向得到几何的图式或比例表。

13.直线性 比率可以通过上面得到图式和线性函数的直线图象进一步纵向数学化，日常生活的很多情形都能如此，它们通过横向数学化与比率联系起来。揭示固定的比率和平直度之间的关系是纵向数学化的一大功绩，这也正是比率值和图象的陡峭程度之间的关系。对商业事务中牵涉到的一个固定的或成比例的比率进行的横向数学化，总是伴随着纵向数学化发生，它把商业事务的特点和图像的特点联系起来。14.垛积数 用于几何（形状）给出的垛积数，它们的大小和关系就属于横向数学化问题。例如（图4），前n个奇数的和等于n的平方，又如（图5）：第n－1个三角形数和第n个三角形数的和等于n的平方。长期以来，这都是横向的经验，而且一旦把这种叙述和关系表达成公式进行处理，纵向数学化就占了主导。证明这种关系的归纳步骤具有纵向的特征，即使在很长的时间内它将像横向的那样起作用。在证明中所用的完全归纳法语言也表现出纵向的数学化。15.帕斯卡三角 这种情形和上一个例子类似：一旦给出了帕斯卡三角，它的元素间的大量关系是横向数学化获得的。二项式系数的一般的代数表达式需要纵向数学化；众所周知，很多组合问题都和帕斯卡三角有关。?

第二篇：王永老师的两篇文章(关于弗莱登塔尔思想的)

著名特级教师王永“小学数学课堂教学的数学化”探讨实录

这里所说的“数学化”更注重生活数学化，课程内容数学化，还是教学方法数学化，或者其他？“数学化”是数学教学手段、目的，还是特征？

王永：“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。今天我们看到以数学活动为载体的小学数学课程，强调“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。

数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化。数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成是他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。

所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。教师的责任首先是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

例如，小学一年级学生怎样学习加法呢？首先要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）

其次，指导学生参与如下的数学活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。

这就是课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历数学化的过程。我所理解的“数学化”，既是数学教学活动的目的，也是实现目的的手段。

数学化是否就是培养学生的数学建模思想？数学化与纯数学之间有什么联系与区别？

王永：数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。

是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。

所谓纯数学，如果是指脱离了现实背景的抽象的形式化的数学理论与方法，它却是纵向数学化所要生成的东西。对数学模型进行形式的数学处理，就是纵向数学化的过程。

有趣的是，弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果数学教育用双重的二分法分别注重横向数学化和纵向数学化来进行分类的话，可以分成如下四种类型，这些教学类型分别对应着彼此不同的哲学观：

①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学； ②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学； ③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学； ④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。

当下我国基础教育数学课程改革倡导的是现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。

数学教育的本质是发展学生的思维。发展学生的思维与数学化是否是同一回事？

王永：我们暂且不去讨论数学教育的本质是否只是关注发展学生的思维。但发展学生的数学思考能力无疑是数学课程的基本目标之一。发展数学思考能力包括抽象思维、形象思维、统计观念、合情推理能力和初步的演绎推理能力等。发展学生的思维与数学化虽然不是同一回事，但可以肯定，学生亲身经历数学化的活动也是发展学生思维的过程和动力。

数学新课程强调数学教学要遵循学生学习数学的心理规律，什么是学生学习数学的心理规律呢？布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。我们可以从下面一个例子，看到数学化过程是怎样促进学生思维发展的。

问题情境（用情境图呈现）：在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，这两箱一共有几瓶牛奶？

从这个实际问题能提出一个简单的数学问题吗？这个简单的数学问题是：9和5合起来是多少？从而列出算式：9＋5＝？要求学生从实际问题剥离出一个简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构，建立数学模型的过程。这是横向数学化。在传统数学教学中，不要求学生在列出算式前先把实际问题抽象为一个简单的数学问题（数学模型），是因为意识不到这一中介的重要性。

接着，放手让学生自主探索：9＋5应该怎么计算？这就是学生自己在进行着纵向的数学化活动。在是创造算法化的过程，“算法化意味着将证明留给学生，即使它会在一段时间或永远地隐含在学习过程中”，弗赖登塔尔说，“再创造算法涉及到一个图式化的过程，由他们来探究尽可能适合学习者需要、能力要求和允许范围的标准算法”。

学生的算法是多样化的，因为他们本来就处在不同的认知发展阶段，他们的认知背景和认知风格也不会相同。

处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根小棒和5根小棒，然后合在一起数，得出结果14。这些学生的思维需要利用实物的图式，他们还摆脱不了数数的具体操作。

处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个一堆的圆圈中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出结果14。这些学生利用的是图形的图式，他们已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了。

处在符号认知水平的学生，他们可以进行抽象的思维了：9＋1＝10，10＋4＝14。这些学生利用的是符号的图式，他们有良好的数感和符号感。

凡是学习就会产生差异，但差异也会产生学习。因此，要把上述差异当作课堂动态生成的教学资源加以利用，有效的策略是让学生交流、互动起来，将不同算法展示出来，这些差异的碰撞，会促使学生个体的反思。这种反思，会促使认知水平比较低的学生获得感悟：利用图形的图式比小棒图式简便，利用符号的图式又比图形的图式简捷。

数学化的一个十分重要的方面就是反思自己的活动，从而促使改变看问题的角度，这是学生思维得以持续发展的内因。认知水平比较低的学生虽然不可能创造出超越自己认知水平的算法，但可以通过模仿他人来改变自己的思维方式，掌握更好的算法。维果茨基认为，学习的本质是基于模仿为基础的沟通过程；在学生最近发展区框架内，模仿并不是消极的，它同样具有建构的意义。

数学知识的生活化在新课程中有相当的地位，也得到了许多教师的认同，可实施一段时间后，我们发现有的数学课不再像数学课。请问：如何处理生活问题的数学化与数学问题的生活化？

王永：数学新课程强调要密切数学与现实生活的联系。我不知道是否由此引伸出所谓“数学知识生活化”的说法。什么是数学知识？课程标准明确指出数学知识包括数学事实和数学活动的经验。数学事实具有客观性，是公共知识；而数学活动的经验是因人而异的，是主观的个人化的知识。

值得我们追问的是，它们是怎样产生的？又是怎样发展的？它们是怎样被人类创造出来，又是怎样被后人掌握的？无论是数学事实还是数学活动经验都是将数学作为人类一种活动的成果。今天，我们学习数学不必重复人类创造数学的历程，但却可以通过数学化的活动去经历和体验数学知识是怎样从生活经验与常识中提炼和升华而来的；去经历和体验数学知识是怎样发展、丰富起来，并逐步得到系统化和合理化的；去经历和体验数学知识是怎样被广泛应用的。

数学化的对象不是别的，就是学生的生活现实；数学化活动把数学知识发生、发展与应用的各个方面贯通起来；数学化本身已经把密切数学与现实生活的联系涵盖其中。

我想，了解数学化内涵的人是不会赞成“数学知识生活化”的提法的。因为，纵向的数学化活动是在数学符号世界里进行的，它是通过解决数学知识内部的矛盾或问题来发展数学的过程。指导学生进行数学化活动有两个基本原则：一是在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合于横向的数学化。这就是为什么新世纪（版）教材采用如“小熊购物”、“玩具”、“动物园”等情境性的课题名称的原因。二是为纵向的数学化提供手段和工具。纵向的数学化活动也要提供问题情境，只不过它是用数学自身的素材来创设情境的。

例如，新世纪（版）小学数学三下“找规律”一课，就是从算一算如下三组算式开始的： 5×1

3×2

12×4 5×10

3×20

12×40 50×10

30×20

120×40 上述算式中，凡是两个乘数都是两位数或三位数的，是学生初次遇到的乘法算式，放手让学生去探索算法，交流各自算法的理由，从而得到如下三组等式：

5×1＝5

3×2 ＝6

12×4＝48 5×10＝50

3×20＝60

12×40＝480 50×10＝500

30×20＝600

120×40＝4800 这些有序排列的三组等式又构成了纵向数学化活动的一个起点。指导学生有序地观察这些等式，去发现蕴含其中的形式规律，并尝试用语言描述自己所发现的规律。发现这一规律的目的，就是为了运用它能够更快捷地进行整十数与整十数的乘法运算。但为什么这么有用的规律教材又不明确地用文字表述出来呢？这里涉及到数学化的另一个重要的方面，即形式化。

所谓形式化，是指对语言的整理、修正和转化的过程。形式化的过程也是要让学生经历的，让学生用个性化的语言来描述所发现的规律，开始的描述也许不准确，不完整，不简练，但通过合作交流与个体反思，可以达到澄清思想，修正错误，形成正确的语言描述的目的。

数学课要上出数学味。选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，会帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。

我们使用了北师大版的数学，每个课题都联系生活创设情境，联系实际提出问题，一个学期下来，学生会编、会背口诀，却不会运用口诀解决实际问题了。如，一根跳绳3元，24元能买几根？（问题是用情境图呈现的）列式时学生就不知道 是用乘法解决问题呢，还是用除法解决问题。请问：这是为什么？

王永：由于对张老师实施教学的过程缺乏了解，所以很难能客观地分析产生上述现象的原因。不过从现象看，学生也许是没有真正弄清楚乘法与除法的意义或结构。

北师大版的小学数学，是把数与数的四则运算以及“倍”的关系，作为思维对象来处理，而不是作为概念来教学的。许多心理学家和教育学家仍把认知发展看作概念的获得。但弗赖登塔尔不以为然。他说，通过概念获得的学习，这种认识只是一种表面的认识。

“不幸的是，教学概念看起来比纯粹的教学更加尊贵，教学概念好像是创造了可以对所学的是什么增加了更多理解的假象。”在他看来，我们得到对现实的把握的有效途径，是通过结构化而不是概念的形成。他说，“对于大多数人的大多数情况来说，教与学的基本的最终目标是思维对象。我特别喜欢这个术语，因为它可以被外推出另一个术语，描述这些对象是如何地被掌握的，这另一个术语叫做思维操作”。

通过大量的思维操作去体会和掌握乘法、除法运算的构成。从北师大版小学数学教材乘法与除法起始单元的名称“数一数与乘法”、“分一分与除法”就表明了这样的编写意图。

其次，可能在解决实际问题的教学中，学生也许没有真正经历和体会其中的数学化过程： 从“1根跳绳3元，24元能买几根？”这个实际问题中，能提出一个什么简单的数学问题呢？从24中能分出几个3？或者24是3的几倍？

这两个简单的数学问题都揭示了实际问题中蕴含的数学结构--除法结构，进而列出除法算式：24÷3，至此完成了横向数学化。利用口诀求商，得到数学问题的解8，这是纵向数学化。再回到实际问题的情境，解释和检验这个抽象的解8的实际意义，做出实际问题的答案。这个过程也反映了从具体到一般，再从一般到具体的人类认识真知的辩证的道路。

我想，作为一名数学老师，应该用“整体”“远视”的眼光关注数学的发展。

王永：我经常在思考：生活数学化、数学生活化在小学数学教学中具有明显的特征和现实意义，可是，当数学达到高度抽象之时（高中阶段、大学阶段），数学教学是否也具有同样特征？教材呈现形式以及教学的策略等方面与小学阶段又有什么区别？如何为小学生的继续学习打下基础？

实际上，纵向和横向要和谐发展，但是年级越高，纵向的因素可能更多一点，但是也不应该忽视横向的隐私 因素，横向始终是让我们知道数学的根源来源于现实，我觉得让孩子们知道数学的来龙去脉，更侧重于横向 但是随着年级的深高，要逐步关注纵向数学化的成长 没有纵向的数学化，数学知识就像一盘散沙，缺乏系统化和合理化，适用性有不强，这是当前课改必须克服的一个倾向 我想，是否在小学阶段着重从横向数学化切入，以此为重点；并逐步引导学生进行纵向数学化，到了高中，更是以纵向数学化为重点。数学化，就是关注数学本原性的问题，提供适合孩子横向数学化的情景，提供纵向数学化的工具和手段，是两个基本原则 同时，课堂教学需要一个互动的系统，鼓励孩子门的创造，不仅是创造解法，还要创造问题，这是很重要创造 要把数学化各部分的内容联系起来，构成一个整体，使得数学化能够持续的进行，备课应该从全书到单元，从单元到章节，从粗到细，充分地挖掘其中的横向数学化和纵向数学化信息。实际上，我不太同意数学问题生活化的提法而生活问题数学化，仅仅是数学的一个方面，是横向的，数学化还有纵向数学化。

到底什么是纵向什么是横向？我还是理解不透。

王永：布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。不仅仅表示不同学生的不同水平吧，不同年级的学生应该会有一种比较主要的认知水平吧。这和皮亚杰的认识发生阶段理论似乎有点相似。我个人觉得符号认知已经是走向了纵向数学化的道路了。

是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。

简单地说，横向数学化就是从生活到数学，纵向数学化就就从数学到数学，数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。

读懂弗莱登塔尔

王永

2004年，从职场退休后的第二年，我开始认真阅读弗赖登塔尔的著作——《数学教育再探——在中国的讲学》。一次次的重读、思考和写作，一次次走进弗赖登塔尔的数学教育思想，直到2011年春节过后，一次顿悟，我才觉得真正读懂了他。

弗赖登塔尔强调“数学是一种活动”，这种数学观区别于把数学看成是印在书上或铭记在头脑里的东西。我把“数学是一种活动”视为数学教学设计与实践的一种原理；我的顿悟，就是突然想到把这个原理概括为三个方面和一个核心（如下图所示）。

■

我最先关注和读懂的是数学化，2005年开始发表这一方面的教研文章。比较满意的有两篇，一篇是《寻找均衡的数学化——评（a能表示什么）一课的得与失》（《人民教育》2006年第1期）；一篇是《小学数学教学中的数学化——一次网络上的对话》（《福建教育·小学版》2006年第3期）。《福建教育》杂志钟建林编辑告诉我说，张兴华先生很赞赏这篇“网络上的对话”，并评价说，小学数学教学就是这么回事。我深感到荣幸。

2008年，我开始关注课堂教学中的反思性学习，先后在《小学教学》、《新世纪小学数学》等杂志上发表了《必须重视对解决问题探究过程的反思》、《比方法更重要的是想法》、《课堂教学三元素：自读、探究、反思》等教学案例。反思数学课程课堂教学实践的问题，我的直觉是：横向数学化有余，纵向数学化不足。于是，我开始思考上世纪90年代兴起的情景教学理论与弗赖登塔尔数学教育思想究竟有什么区别与联系。我以为，当下实践形态的情景教学必须加强纵向的数学化，必须重视“去情景化”的问题。结合这个问题，重读弗赖登塔尔的时候，我才明白他关于“学习过程的重要问题是不连续性”的论述是多么深刻，多么重要。

数学学习是“有指导的再创造”，学习过程是由各种学习水平构造的。弗赖登塔尔说，这是学习过程不连续性的决定因素。学习过程的阶段从一个水平到下一个水平与教学有关，这里，教学是指导学生在较高水平中对他们较低水平的活动进行反思，也就是把较低水平活动中的可操作的内容变成较高水平的分析对象。因此，学习过程中学生学习水平的提高，必须通过他们自己的反思去实现，不经历反思的水平提高，那是拔高，而不是学生自己的跳跃。

弗赖登塔尔指出：“传统的方法经常采取相反的方向：从较高水平降到最低水平，而不是从较低水平爬到较高水平。”

我认为，学习水平理论主要是描述纵向数学化活动过程的理论。纵向数学化的较低水平是具体的、直观的、可操作的，在这个水平上，通常是把抽象的数学符号与直观的现实模型结合起来进行思考，通过操作寻找结果。进一步的纵向数学化则要“去情景化”，在抽象水平上，应用已有的数学知识和方法解释为什么以及怎样能够得出这个结果，而且解释（说理）的方法或途径不是唯一的，是多样化的。这里，起先用直观的方法找到的结果，成为后续在抽象水平中的分析对象。当然，在抽象水平上，还有不同的学习水平：一级抽象，二级抽象„„，一步一步地体验数学的抽象化和形式化。反思的重要性，用弗赖登塔尔的话可以为概括三点：反思是数学创造的动力，反思是联系两个水平之间的纽带，反思思维是数学思维的特征。

我常常问自己：真的读懂了弗赖登塔尔博大精深的数学教育思想了吗？我想只有在实践中不断地去应用它才能回答自己的问题。几年来，我总是读懂一点就用一点。我发现不论在哪里，老师们都喜欢听我用弗赖登塔尔的数学教育思想解读新世纪小学数学教材，也喜欢听我用学习水平理论进行课的评析。我会继续这样做下去，因为我是弗赖登塔尔的铁杆粉丝，因为我延长学术生命的意义就在其中。我希望我的坚持，能够影响更多的青年教师一起来从事把弗赖登塔尔数学教育思想中国化、本土化的工作。这项工作的核心，就是在读懂弗赖登塔尔的基础上，身体力行，站到巨人的肩膀上，把数学教育的再探索进行下去。

【弗赖登塔尔简介】

弗赖登塔尔（1905-1990）是世界著名数学家和数学教育家。他曾是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所的所长。他在1967年至1970年间任“国际数学教育委员会”（ICMI）主席，在他的倡议下，召开了第一届“国际数学教育大会”（ICME）。他一生中为国际数学教育事业作出了巨大贡献。尤其令人敬佩的是，在他80岁高龄之后，依然在不断地思考着数学教育中的问题，关心着孩子们的成长和发展。1987年，他82岁来到中国访问。《数学教育再探——在中国的讲学》一书就是弗赖登塔尔对他这次访问中国时在报告和座谈会上所表达的思想和观点进行的整理。

在他看来，数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思，组织起来，不断地进行系统化（横向的或纵向的）。因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他经常提到的“数学化”。按照他的观点，这个“化”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界所强加的。在数学教育中应当特别注意这个数学化的过程，培养学生一种自己获取数学的态度，构建他们自己的数学。■

（摘自《数学教育再探——在中国的讲学》一书“译者说明”）

第三篇：2013新疆阿尔塔什水利枢纽工程前期工程“安全生产月”演讲稿(修改)

2013水电安全生产演讲稿

尊敬的各位领导、朋友们：

你们好﹗我是黄河工程咨询监理有限责任公司的一名普通员工，我叫马浩。我很荣幸能参加今天的“安全生产月”活动的演讲，现在我演讲的题目是“安全与爱同行”。安全是什么，安全就是生命。只有确保了安全，生命才会美丽精彩。

说起安全，每个人都知道该怎么做，但是你真正重视了吗？施工中你戴好安全帽了吗？走马路闯红灯了没有？……世上每天都有很多不幸的事情在发生，生命就像珍贵的青花瓷，是那么脆弱，只要一失手就会变成碎片。我们只有更了解生命的意义，才能让不幸离我们远些，安全离我们更近些。我们要为自己和他人的安全着想，不要让宝贵的生命消失。生活在这个世界上，安全就是我们生活的基础课程，只有学好了这门课，才能开始你丰富美好的生活。

人一生最宝贵的是生命，生命属于每一个人只有一次，所以我们要好好爱惜生命，从小养成好的习惯。从我们来到了人世间，父母爱的唠叨就开始伴随着我们成长。从每一个最细小的动作开始：慢点吃，别呛着了；别爬到床边会摔下去的；站稳扶好别倒了；路上骑车小心点，别回家太晚了……等等，没等我们去真正的体味那些话的含义，我们也就长大了，爱又让做了父母的我们不由自主的沿着前辈的话语引导着我们的下一代。其实我们的亲人所重复的话语的真正含义，就是希望我们能够健康安全。大家都在重复着同样的话语，虽然有些啰嗦乏味，但只要用心留意会发现，在这平淡无奇的话语里，却凝聚着亲人、同事、朋友最深的爱意与关怀。我们曾一千遍一万遍的强调一定要注意安全，“安全”两字说起来就这么简单，但做起来就不简单了。

安全是一个永恒的主题，它是人类最重要、最基本的要求，安全生产既是人们生命健康的保障，也是企业生存与发展的基础，更是社会稳定和经济发展的前提条件。“隐患险于明火，防范胜于救灾，责任重于泰山”，逆耳的忠言利于行啊！天天说安全，时时话安全，但久而久之未见出任何事，就会使一些人产生了麻痹思想。水电建设集团在2005年发生的生产安全事故我们还清晰的记得：5月28日，尤马水电站工地发生一起交通事故，死亡4人。8月15日，某水电分包商在平头电站架桥时，发生高空坠落事故，死亡2人。如果当时他们能想到一点点安全，这人间的悲剧就不会发生。安全知识的贫乏，安全意识的淡薄总是能让我们听到一次次血的教训，让我们看到一幕幕人间惨剧。但是有了安全知识，强化了安全意识，往往也会使我们逢凶化吉，遇难呈祥。

“严是爱，松是害”，如果对违章的职工心慈手软，不敢大胆管理，那就等于害了他们，有句话说的好：“宁愿天天听到职工的埋怨声，也不愿有一天听到出事后职工家属的哭声”！惨痛的事实告诉我们：重视安全生产，不能仅仅停留在口头上、规章制度的文件里，必须落实到议事日程和操作流程上。然而，有些人就是对安全生产重视不够，或存侥幸心理，往往是“说起来重要，做起来次要，忙起来不要”，甚至把安全生产与经济效益对立起来，认为安全生产是可有可无、不见成效的工作，直到酿成大祸才后悔不迭。其实，好多事故都是由于安全工作做不到位或违反操作规程，蛮干、盲干造成的。

安全生产要求我们大家要绷紧安全警钟长鸣这根弦，进一步强化“安全第一、预防为主”的思想观念，不断总结成功的经验和失败的教训，重在防患未然，把事故消灭在萌芽状态。安全监督管理部门在建立健全规章制度的同时，加大监督、检查、管理的力度，督促企业加大对安全生产的投入，加强职工的安全生产教育和培训，使软、硬件同时到位。

在我们的施工现场中，还存在着许多不安全因素，如各类施工机械作业、特种作业、施工用电等，在工作中稍有疏忽和大意就可能造成生产事故。要想做到安全施工，完善的规章制度、安全生产责任制、安全监督检查、安全生产投入及安全培训是必不可少的重要工作。我们可以通过培训提高意识增强技能，也可以通过安全技术交底使作业人员明确安全隐患及

防范、应急措施，做到更好的保护好自己，这样才能把安全工作做到位。这就要求我们每一个作业人员必须提高安全意识，严格按照安全技术规范进行操作、作业。安全帽、安全带是现场人员最基本的劳保护具，可是我们有的现场人员总是 嫌麻烦，有的觉得没有必要，不戴或不正确佩戴安全帽就进入现场施工；高空作业不扎安全带，为了所谓的方便就违章作业；有的明知危险却总是抱着侥幸心里，于是大大小小的事故就发生在了我们的身边和周围。让我们静下心来仔细分析一下那些事故，很多都是人为造成的，都是违章作业造成的。所以我们要采取措施，加强安全生产的宣传和教育，努力营造安全文明生产氛围，使遵章守纪成为我们每个作业人员的自觉行为，让违章远离我们，做到令行禁止，不能因一个繁忙的日程成为忽视安全的理由为借口，酿成终身遗憾。

安全是金钱，安全是效益。安全生产警钟常鸣，居安思危才能使企业兴旺，才能使企业发展。再讲一个“安全帽’的故事吧。某工地职工小杨在拆除脚手架的作业过程中，一根长

1.8米，重19公斤的槽钢从3米高处垂直掉落，砸在小杨的头上，头上的安全帽震裂了，险啊，这一顶小小的安全帽居然救下了小杨，使他免遭厄运。无疑，是安全防护救了他。生命需要呵护，安全对他的呵护才是最根本、最有效的，我深深的相信：只有那些真正热爱生命、热爱生活、对安全这项伟大事业有着深刻领悟的人们，才会对安全和生命格外关注，才会安全健康的活着。因此，我在这里呼吁和提醒大家：在生产过程中必须实施”我不害人、人不害我“的安全行为规范，当上班前穿戴好劳保用品时，那就是安全；当你按章作业时，那就是安全；当你发现一个不起眼的安全隐患，并及时将之消除时，那就是安全；这样安全才能常驻我们心里。不懂得“安全第一”的人，是不会平安生存在世界上的，只有安全才会有收获、有幸福。

只有人人注意安全，重视安全，我们才能真正拥有安全幸福的人生。

我们水电人不容易，背井离乡地在外面工作，背负着父母、爱人和孩子的期盼。“高高兴兴上班来，平平安安回家去”是我们的心愿。同志们，为创造我们黄河工程咨询监理有限责任公司的辉煌，让我们携起手来，共筑安全的长城，让安全警钟长鸣，让爱与安全伴我们一同前行。

我的演讲完了，谢谢各位！

2013年6月20日