第五节 泰勒公式与泰勒级数讲稿 、第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)分解

第一篇：第五节 泰勒公式与泰勒级数讲稿 、第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)分解

(x3)n例（1）（3）(90.5)求级数的收敛域.2nn1tn解 令tx3，级数2,由n1nan1n2limlim1知Rt1,因此当nan(n1)2n1x31即2x4时原级数收敛.(1)n当x2时,原级数为收敛, 2nn11当x4时,原级数为2收敛.n1n所以原级数收敛域为[2,4].(x2)2n（2）(92.3)级数的收敛域为(0,4).nn4n1

tn答 令t(x2)对于, nn4n12an1n4n1由lim, limnan(n1)4n14n于是收敛半径Rt4,则0(x2)40x4内收敛.当x0和x4时,原级数都为为(0,4).21发散,所以收敛域n1n(2x1)n例4求幂级数的收敛半径与收敛域.nn1 1（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）

tn解 令t2x1,幂级数变形为，n1n1anRtlimnlimn1lim1Rt1nannn11n1n1Rx

211t1x1x0，221当x1时原级数为(1)n收敛，nn111当x0时，发散，故 原级数收敛半径R，2n1n收敛域为[1,0).注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.§7.5 泰勒公式与泰勒级数

教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

引例：近似表达函数的多项式的特性

无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数

引例：当x很小时，e1x，x设f(x)ex，P1(x)1x，则

f(0)P1(0)1,f(0)P1(0)1.x2x2x用P2(x)1x＋表示 e1x＋在x0处

22值更为接近.猜想将P1(x)换成Pn(x)则在xx0处两函数有直到n阶相同的导数，其在xx0处接近的程度更高，即x2e1x2xxn.为用多项式表示更复杂的函n!数：

设有函数f(x)在xx0的某一邻域内有直到n1阶的导数，令f(x)Pn(x)a0a1(xx0)若 f(k)(x0)Pn(k)(x0),k0,1,an(xx0)n，再令 f(x)Dn1(I),x0I(a,b), ,n.（f(0)(x0)Pn(0)(x0)表示k0的函数值相等）则

ak1(k)f(x0)（k0,1，n），于是k!f(x)Pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n.证明：因Pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n, Pn(x)a1(xx0)O(1),Pn(x)2!a2(xx0)O(1)…… , Pn(k)(x)k!ak(xx0)O(1)…… , Pn(n)(x)n!an, 那么 f(k)(x0)Pn(k)(x0)k!ak, 1(k)f(x0), k!k0,1，n.一、泰勒（Taylor）公式 所以 ak 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)（当xx0很小时）

从几何上看，这是在点x0附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)o(xx0)中 略去了一个关于（xx0）的高阶无穷小量（xx0时）.但公式f(x)f(x0)f(x0)(xx0)在实际计算中的精度不高，其误差为

R1(x)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，可以推出

f()R1(x)(xx0)2,x0,x.2!如果需要精度更高些，可将（xx0）的高阶无穷小分离成两部分

o(xx0)a2(xx0)2o(xx0)2（xx0时）.保留与(xx0)2同阶的无穷小量，略去(xx0)2的高阶无穷小量，此时有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)a2(xx0)2，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式P(x)近似表示f(x)，当xx0很小时，将多项式P(x)写成以（xx0）的方幂展开的形式

P(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n，其中a0,a1,a2,是待定系数.我们知道P(x)具有任意阶的连续导数，将P(x)的多项式两边求一阶到n阶导数，并令xx0可得

P(x0)a0,P(x0)a1,P(x0)2!a2,，P(n)(x0)n!an 于是P(x)可以写成

P(x)P(x0)P(x0)(xx0)

P(x0)(xx0)22!4 P(n)(x0)(xx0)n

n!若函数f(x)在xx0的某一邻域内一阶到n阶的导数都存在，可以做出一个n次多项式

Pn(x)P(x0)P(x0)(xx0)

P(x0)(xx0)22!P(n)(x0)(xx0)n

n!Pn(x)不一定等于f(x)，但它可以近似表示f(x)，它的近似程度可以由误差Rn(x)f(x)Pn(x)来确定.设Rn(x)k(xx0)n1，如果能确定k的值，则(n1)!Rn(x)就确定了.【定理7.10】（泰勒公式）设f(x)在含有x0的区间I(a,b)内有直到n1阶的连续导数,则x(a,b)，f(x)可以按（xx0）的方幂展开为

f(x)Pn(x)Rn(x)f(x0)f(x0)(xx0) 1(n)nf(x0)(xx0)Rn(x).n!此式称为按xx0的幂展开n阶泰勒公式.其中

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1 称为拉格朗日型余项,(n1)!介于x0与x之间.证明：不妨设xx0.n1令Rn(t)f(t)P,由条件知：n(t),Gn(t)(tx0)(连续n1次使用柯西中值定理可以证明)

(k)(k)(k)(k)(t),Gn(t)D(x0,x)Rn(t),Gn(t)C[x0,x],Rn,(k)(k)显然 Rn(x0)Gn(x0)0, k0,1，n.那么

(1)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn n1(1)(xx0)Gn(x)Gn(x0)Gn(1)Rn(x0)Rn(2)Rn

(1)Gn(x0)Gn(2)Gn(n1)Rn(n1)f(n1)(), (n1)Gn(n1)(n1)!其中 x0n121x，f(n1)()所以Rn(x)(xx0)n1, 介于x0与x之(n1)!间.另证：

因为f(x)在含有x0的区间I(a,b)内有直到n1阶的连续导数,所以对于x0(a,b)，可将f(x)写成

f(x0)(xx0)22!1(n)k f(x0)(xx0)n(xx0)n1

n!(n1)!为求出k的值，引进辅助函数

f(t)(t)f(x)f(t)f(t)(xt)(xt)2

2!1(n)k f(t)(xt)n(xt)n1

n!(n1)!(t)在区间[x0,x]上连续显然 (x0)(x)0，（设f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，在区间(x0,x)内可导，由罗尔中值定理可知，xx0）至少存在一点(x0,x)，使得()0，因为 (t)f(t)f(t)(xt)[f(t)(xt)f(t)]

f(t)(xt)2f(t)(xt)] 2!f(4)(t)f(t)(xt)3(xt)2] [3!2![

f(n1)(t)f(n)(t)kn[(xt)(xt)(n1)](xt)n

n!(n1)!n!(xt)n[kf(n1)(t)] 化简整理得 (t)n!(x)n[kf(n1)()]0，而(x)n0 所以

n!由 kf(n1)()0kf(n1)()，于是

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1，介于x0与x之间.(n1)!在公式中当x00时，公式可化为麦克劳林公式

f(0)2f(x)f(0)f(0)xx

2!f(n)(0)nxRn(x)

n!f(n1)()n1其中 Rn(x)x

(n1)!f(n1)(x)n1或令x,01，则 Rn(x)x

(n1)!x例1 求f(x)e的n阶麦克劳林公式.解 因

f(k)(x)ex,f(k)(0)e01, 其中 k0,1,n,n1，那么

exf(x)f(0)f(0)x 1(n)f(n1)(x)n1nf(0)xx n!(n1)!121nex1xxxxn1,2!n!(n1)!（01）.例

2求f(x)sinx的麦克劳林公式.nn(n)(n)解 因f(x)sin(x), f(0)sin().22有 f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1, f(2k)(0)0,f(2k1)(0)(1)k,k0,1,2，那么sinxf(x)

1(n)f(n1)(x)n1nf(0)f(0)xf(0)xxn!(n1)!x3x5x2k1k1x(1)R2k1(x),(或3!5!(2k1)!R2k(x)都可以)

sin[x(2k)]2x2k,01.其中：R2k1(x)(2k)!sin[x(2k1)]2x2k1，01）（或R2k(x)

(2k1)!|x|3特别地：k1时，sinxx, |R2|；

3!x3|x|

5k2时，sinxx, |R4|；

3!5!x3x5|x|7

k3时，sinxx, |R6|.3!5!7!例3 按(x4)的乘幂展开多项式

f(x)x45x32x23x.解 f(4)60，f(4)(4x315x22x3)|x421, f(4)(12x230x2)|x474,f(4)(24x30)|x466,f(4)24,f(5)(x)0,Rn(x)0, 所以

f(x)(x4)411(x4)337(x4)221(x4)60.二、泰勒级数

1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数.由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？

12.问题：已知函数有 xn,(收敛域x1)

1xn0 ln(1x)(1)n1n1xnn(1x1).问：(1)对于一般的函数f(x)是否也有f(x)an(xx0)n？

n0(2)如果能展开,项的系数an如何确定?(3)展开式是否唯一?(4)在什么条件下函数才能展开成幂级数? 3.【定理】（Taylor Th）设f(x)在U(x0,)内具有任意阶导数,且limRn(x)0，则在U(x0,)内有

nf(n)(x0)f(x)(xx0)n.n!n0

其中Rn(x)为f(x)的拉格朗日型余项 f(n1)()Rn(x)(xx0)n1.(n1)!证明 由于 f(x)n0nf(n)(x0)(xx0)nRn(x)Pn(x)Rn(x).n!所以等式两边取极限

f(n)(x0)f(x)(xx0)nlimPn(x)nn!n0

limRn(x)lim[f(x)Pn(x)]0, nnxU(x0,).4．函数f(x)在点xx0有泰勒展式f(x)在U(x0,)有任意阶导数且limRn(x)0.n注意：1）函数在点处可以展开为Taylor级数时，其展

f(n)(x0)(n0,1,2,)是式是唯一的.因为泰勒系数

n!唯一的.2）n0f(n)(x0)(xx0)n为 f(x)在xx0点的 n!Taylor级数，等式f(x)a(xx)n0n0n在

limRn(x)0时成立.n5．泰勒级数与麦克劳林级数

设f(x)在xx0点具有任意阶导数，则称

f(n)(x0)(1)(xx0)n为f(x)在点x0的泰勒级数, n!n0f(n)(x0)(xx0)n.记作 f(x)~n!n0f(n)(0)nx称为f(x)的麦克劳林级数,(2)n!n0f(n)(0)nx.(x00)记作 f(x)~n!n0 10 注意问题: f(x)在xx0点具有任意阶导数，那么 级数n0f(n)(x0)(xx0)n在收敛区间内是否收敛于n!f(x)？

x12,x0,在x0点处任意可导,例: 函数f(x)ex0.0,且f(n)(0)0,n0,1， 于是

f(n)(0)nx0xn0,x f(x)~n!n0n0f(n)(0)n显然f(x)x0, x0.n!n0f(n)(x0)结论：当级数(xx0)n收敛于f(x)时，即

n!n0limRn(x)0时有泰勒展式.n应用举例：

例4 求函数在点x0处的泰勒级数:（1）f(x)e，（2）f(x)sinx xxn提示：e,x

n!n0x2n1n sinx(1),x

(2n1)!n0小结：1.函数f(x)在点xx0的泰勒公式为 xf(k)(x0)f(x)(xx0)kRn(x)

k!k0f(n1)()其中余项为Rn(x)(xx0)n1，(n1)!n 11 介于x0与x之间.公式成立的条件是:f(x)在点xx0的邻域内有直到n1阶的导数.xx0的泰勒展式为2.函数f(x)在点

f(n)(x0)f(n)(x0)n其系数an为泰f(x)(xx0)，n!n!n0勒系数.当x00时，f(x)的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:f(x)在点xx0邻域内的各阶导数存在且limRn(x)0.n3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n的特殊值即可得到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.§7.6 某些初等函数的幂级数展开式

教学目的：熟练掌握Taylor 公式、TaylorTh展式；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式.重难点：能灵活运用导出公式间接求出所给函数的泰勒展

式以及麦克劳林展式.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

一、某些初等函数的幂级数展开式

由泰勒定理的学习可知一个函数f(x)对区间[a,b]内一个特定值x0,是否可以展开为幂级数,取决于它在xx0处的各阶导数是否存在,以及当n时,余项Rn(x)是否趋于0.1．直接展开法(利用泰勒级数与麦克劳林级数展开函数)将函数f(x)展成麦克劳林级数步骤：

12(1)求f(n)(x),进而求出f(n)(0)；如果f(x)在x00的某一阶导数不存在,则f(x)不能在x00展成幂级数.(2)写出f(x)的麦克劳林级数f(x)~并求出级数的收敛半径R、收敛域；

(n)(3)讨论limRn(x)0或f(x)M, |x|R，n0f(n)(0)nx,n!n(4)在收敛区间I上有 f(x)n0f(n)(0)nx, n!xI.x例1 将f(x)e展开成x的幂级数.解：(1)x00,(x)ex，(n)所以f(0)1, n1,2, ；

fn(0)an(n0,1,2,)

n!f(n)(0)nxn, xn!n!n0n0(2)由于f由于收敛半径(n)Rlimnxan(n1)!limlim(n1)； nnan1n!xnx2xn1x(3)∴en!2!n!n0x.x近似计算: e1x；

x2xe1x；

2x2x3xe1x.26 , 例2 将f(x)sinx展开成x的幂级数.解(1)f(n)(x)sin(xn), n0,1,2,2 ；

f(n)(0)依次循环取0,1,0,1,0,1,0,1,(n0,1,2,)

即f(2n1)(0)(1)n,f(2n)(0)0(n0,1,2,)；

f(n)(0)nx2n1n(2) x(1)n!(2n1)!n0n0x2n1n1【或(1)】

(2n1)!n1x3x5x2n1nx(1), 3!5!(2n1)!而u1(2n1)!2limn1limx nnRun(2n3)!lim12x0；

n(2n3)(2n2)所以收敛域为 x.(3)所以

x2n1x2n＋1n1n sinx(1)＝(1)(2n1)!(2n＋1)!n1n0x3x5x2n1n1sinxx(1), 3!5!(2n1)!x.例3 将函数 f(x)(1x)展开成麦克劳林级数，其中是任意不为零的常数.分析：因为 f(x)(1x)1，f(x)(1)(1x)

2f(n)(x)(1)(n1)(1x)n 所以 f(0)1,f(0),f(0)(1)，f(n)(0)(1)数

公式：(1x)(n1)得麦克劳林级n1(1)(n1)nx，n!收敛域为 x1（结果为二项式级数）

当x1时，级数是否收敛于1x取决于的取值.可以证明：当1时，收敛域为1,1；当10 时，收敛域为(1,1]；当0时，收敛域为1,1.取1,的公式.1n(x)(1)nxn，（1x1）.1xn0n011211x1xxx3

2242461x4x[1,1] 24681113213531xxx

2242461x13574xx(1,1] 24681xn，（1x1）.可以由无穷递缩等比数1xn011,,22等不同的值可以得到相应列求和公式得到.特别地，当是正整数n时，可以看出含有x项以后的各项的系数都为零.从而得到二项式公式

n(1x)n1nxn(n1)2x2!nxn1xn.2．间接法 根据函数的泰勒展式的唯一性,利用常见展开式如sinx，e，x1，(1x)n的公式，通过变量代换、1x四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法,求函数的幂级数（泰勒）展开式.例4（1）将f(x)cosx展开成x的幂级数.解：已知x2n1x2n1n,(1)(2n1)!n0(2n1)!sinx(1)n1n1xR.那么

2n1xn cosx(sinx)(1)

(2n1)!n02nnx,x (1)(2n)!n01（2）将f(x)展开成x的幂级数.（注意收敛1x2区间的间接求法）

1xn, 1x1.那么 解：已知1xn0112n(x)(1)nx2n, 221x1(x)n0n01x1.例5（1）将f(x)ln(1x)展开成x的幂级数.1n(x)(1)nxn, 解：已知[ln(1x)]1xn0n0|x|1.那么 ln(1x)nxx0[ln(1t)]dt

nxn1,|x|1.(1)tdt(1)0n1n0n01n又因为 x1时，级数 (1)收敛, ln(1x)n1n01在x1连续.x1时，级数 发散, 于是

n0n1nxn1 ln(1x)(1)n1n0n1x2x3nxx(1)23n1n, 其中 收敛域为 1x1.（2）将f(x)arctanx展开成x的幂级数.1解 f(x)(x2)n 21xn0(1)nx2n,x(1,1)，n0f(0)0

arctanxxx01dt 21tnx2n1(1)tdt(1),x(1,1)

02n1n0n02n1(1)nnx当x1,(1)均收敛，2n12n1n0n0n2nx2n1故 arctanx(1),x[1,1].2n1n0n 17 注意：对于不需要通过积分与求导就可以的得到的级数，其收敛域可以直接由原收敛域间接求出，但对于要积分或求导才能得到的级数，端点要单独考察一下敛散性.提问：用间接法将下列函数展开为为x的幂级数,并确定收敛域:(1)f(x)ex

解 因为ex2x2n!xn01n(x),所以有

2n12nnx, e(x)(1)n!n!n0n02并由x得f(x)的收敛域为(,).同理可得

1xnxnn,x(,).e()(1)n33n!n0n!n0(2)f(x)cos2x x3x2n解 因为cosx(1)(x)，(2n)!n0n所以有

1(1cos2x)22n2n11n(2x)n(2x), (1)1(1)22n0(2n)!2(2n)!n1并由2x得f(x)的收敛域为(,).cos2x同理可得

2n111n(2x)sinx(1cos2x)(1)222n0(2n)!2 18(2x)2n(1)(x), 2(2n)!n1(3)f(x)x3ex

1x解 因为exn(x),所以有

n0n!n313x3nnxxex(x)(1)(x)n!n0n!n0n1.(4)f(x)

解 由有 1 3x11tt21t1

tn1(1t1),x131xx2xn1xn[1()()]n1 3333n03x又由1得其收敛区间为(3,3).收敛域为 [3,3)

3解 113x3f(x)

xxx11()2x2x3(x3)(x1)4x3x119 11tt2tn1(1t1)，知 1t1111xnxn()n1 xx333n03n0313（其中3x3)和

1nn(x)(x)(1)nxn(1x1)x1n0n0n0并由 , 所以

xxxnf(x)2[n1(1)nxn]

x2x34n03n011[n(1)n1]xn,1x1.n143dex1()展成x的幂级数.（6）将dxx1nx解：因为 ex(x)，n0n!1nx1dex1dn0n!()dxxdxxd1n1n1n2xx(x).dxn!n!n1n11例6（1）(07.3.10)将函数f(x)2展开为

x3x4x1的幂级数,并指出收敛区间.1111[] 解: f(x)2x3x45x4x1 20 111[]53(x1)2(x1)11111[] x12x1531132n1(x1)n1n(x1)(1)n15n0310n02n123(1)nn [n](x1)n30n032由x12得收敛区间为1,3.（2）将f(x)sinx展开成(x解：由于

4)的幂级数.f(x)sin(x)

44sincos(x)cossin(x)

4444x2n1n又已知sinx(1)，(2n1)!n0x，2nnx cosx(1), x.(2n)!n01那么 sinxcos(x)sin(x) 4422n2n1(x)(x)n144 (1),(2n)!(2n1)!2n0 收敛域 x. 21（3）将f(x)区间.解 1展开为x2的幂级数,并确定收敛2x1 x212111xx222n(x2)n(1),x22 n12n0n111n1n(x2)f(x)2()(1),0x4n1xx2n1类似可求

11f(x)() nxn1,1x1 2(1x)1xn1小结：1.函数f(x)在点xx0的泰勒展式为

f(n)(x0)f(n)(x0)nf(x)(xx0)，其系数ann!n!n0为泰勒系数.当x00时，f(x)的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.2.利用公式中的已知收敛域，间接地求所求级数的收敛域比较方便.3．常用于间接展开的公式有

1

1）xn,x1

1xn0x2n1

2）sinx(1),x

(2n1)!n02nnx

3）cosx(1),x(2n)!n0xnx

4）e,x

n0n!n 22 注意：有限个级数的代数和的收敛域应为各个收敛域的公共部分.课后记： 存在问题：1.间接展开时不能灵活运用已知公式和级数的

性质去正确写出套用公式所需的表示式.2.忽略了级数和的收敛域应为各个收敛域的公共部分.23