湖北李智勇 何涛澜 向量数量积问题再探讨（写写帮推荐）

第一篇：湖北李智勇 何涛澜 向量数量积问题再探讨（写写帮推荐）

作者：李智勇

何涛澜

电话：*** 单位地址：湖北省红安县第一中学（湖北省红安县城关镇边街3号）

邮编：438400

平面向量数量积最值问题的再探讨

李智勇

何涛澜

（湖北省红安县第一中学

438400）

近几年,平面向量数量积的最值问题又再次频频出现在各地的高考卷上,成为新课改地区高考中的一个热点问题,现以两例具体问题来阐述此类问题的解决途径.例

1、（05年江苏高考试题)在ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM2,则OA(OBOC)的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于AM为ABC的中线,故易知

OBOC2OM,所以:OA(OBOC)OA(2OM)2(OAOM)

从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.方法一:借助基本的向量运算降低问题难度

应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的 解:AM为ABC的中线OBOC2OM

OA(OBOC)OA(2OM)2(OAOM)2|OA||OM|cos2|OA||OM|

|OA||OM|2|AM|2)1OA(OBOC)2 又|OA||OM|(24方法

二、建立直角坐标系降低问题门槛

从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.解:以M点为圆心,AM所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设A(0,2),B(x,y),O(0,z),则C(x,y)

OA(0,2z),OB(x,yz),OC(x,yz)OBOC(0,2z)(0z2)

OA(OBOC)(2z)(2z)2(z1)22

故OA(OBOC)的最小值为2

例

2、（04年湖北高考试题)在RtABC中,BCa,若长为2a的线段PQ以A点为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.方法一：解:

11BPCQ(BAAP)(CAAQ)(BAPQ)(CAPQ)

2221111BPCQBACAPQ(BACA)PQBACAPQBC|PQ|2

2424又BACA,|PQ|2a,|BC|a

11PQBCa2|PQ||BC|cosa2a2cosa2 22BPCQ当cos1,即0(PQ与BC同向)时,BPCQ取到最大值0.方法二：以A点为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系.设CAB,PQ与AB的夹角为,则B(acos,0),C(0,asin)

P(acos,asin),Q(acos,asin)

BP(acosacos,asin),CQ(acos,asinasin)

BPCQa2cos2a2coscosa2sin2a2sinsina[1cos()]2

当cos()1即(PQ与BC同向)时,BPCQ的最大值为0

点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边ABC的边长为2,又以A为圆心,半径为1作圆,PQ是直径,试求

BPCQ的最大值,并指明此时四边形BCQP的形状.答案:BPCQ的最大值为3,此时四边形BCQP为矩形.作者：李智勇

何涛澜

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