初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数

第一篇：初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数

回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

初一奥数数学竞赛第十五讲 奇数与偶数

通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，„是奇数，0，±2，±4，±6，„是偶数．

用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．

奇数和偶数有以下基本性质：

性质1 奇数≠偶数．

性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．

性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．

性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．

性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．

性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．

性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．

性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．

性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．

性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．

回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．

性质8的证明 设两个整数为X，y．因为

(x+y)+(x-y)=2x

为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．

性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．

若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是

y2=(2t)2=4t2

所以，y2是4的倍数．

例1 在1，2，3，„，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？

解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同

1+2+3+„+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即为奇数．

例2 设1，2，3，„，9的任一排列为a1，a2，„，a9.求证：(a1-1)(a2-2)„(a9-9)是一个偶数．

证法1 因为

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+„+(a9-9)回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

＝(a1+a2+„+a9)-(1+2+„+9)

=0

是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，„，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知

(a1-1)(a2-2)„(a9-9)是偶数．

证法2 由于1，2，„，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)„(a9-9)是偶数．

例3 有n个数x1，x2，„，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果

x1x2+x2x3+„+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数．

证 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．

由于x1，x2，„，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，„，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．

下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)„(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)„(xnx1)＝(-1)k，另一方面，有

(x1x2)·(x2x3)„(xnx1)=(x1x2„xn)2=1．

所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．

例4 设a，b是自然数，且满足关系式

回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

(11111+a)(11111-b)=123456789．

求证：a-b是4的倍数．

证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件

11111(a-b)=ab+2468，①

ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数.例5 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．

证 我们证明每一个学生的得分都是偶数．

设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于是此人的得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数．

所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．

例6 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.证 将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．

回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

练习十五

1．设有101个自然数，记为a1，a2，„，a101．已知a1+2a2+3a3+„+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+„+a9９+a101是偶数．

2．设x1，x2，„，x1998都是+1或者-1．求证：

x1+2x2+3x3+„+1998x1998≠0．

3．设x1，x2，„，xn(n＞4)为1或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+„+xnx1x2x3=0．

求证：n是4的倍数．

4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99„9(共n个9，n是奇数)；

(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．

5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；

(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．

6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？

回澜阁教育 www.xiexiebang.com 免费的教育资源库

7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，„，两个5之间夹着5个数？

第二篇：四年级奥数奇数与偶数(学生用)

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

第二讲：奇数与偶数

教学目标

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数〒偶数=偶数，奇数〒奇数=偶数 性质2：偶数〒奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数〓奇数=偶数，奇数〓奇数=奇数，偶数〓偶数=偶数

三、两个实用的推论：

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶

例题精讲

模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质

【例 1】 123……1993的和是奇数还是偶数？ 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

【巩固】 123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数？为什么？

．

【巩固】 293031……8788得数是奇数还是偶数？

【例 2】(200201202……288）得数是奇数还（151152153……233）是偶数？

【例 3】 12345679899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？

【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法

【例 5】 是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?

【巩固】 是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

【巩固】 已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(a1)(b2)(c3)是一个偶数

模块

三、奇偶模型与应用题

【例 6】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．

【例 7】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

模块四：整数的奇偶性分析法

【例 8】 一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？

【例 9】 师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

课后练习

练习1.东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564，他做得对吗？

练习2.黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？

第三篇：奇数和偶数奥数教案

1、练习：找2的倍数

特征：个位上是02468的数都是2的倍数。

2、奇偶数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数0也是偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。判断一个数是奇数还是偶数关键就看这个数是不是2的倍数。自然数的个数是无限的，所以偶数和奇数的个数是无限的，没有最大的技术和偶数，最小的奇数是1最小的偶数时2.3、奥数班要研究的知识： 奇数偶数的特征：

一个自然数不是奇数就是偶数、相邻两个自然数的差与和一定是奇数，积一定是偶数。

1、三十六只羊，七天来宰光，宰单不宰双，每天各宰几只羊？

答：此题不可能，因为七天中每天宰羊的只数都是奇数，那么7个奇数相加永远是奇数，不可能是36.2、1+2+3+4+5+6+............+3001的和是奇数还是偶数？

方法一:1+2+3+.......+3001

=(1+3001)÷2×3001

=1501×3001(结果一定是奇数)方法二：1到3001中共有1500个偶数1501个奇数，结果一定是奇数。

3、三个连续偶数的和，比其中最大的偶数大18，这三个连续偶数分别是多少？

解：最小的偶数时：（18-2）÷2=8 其余偶数就是10和12

4、九个连续的偶数，最大的数是最小的数的3倍，求这九个连续偶数分别是多少？ 九个连续偶数中

九个连续的偶数中，最大数与最小数的差是16,16对应的倍数是2所以最小偶数是8.5、有七个连 续的奇数，从小到大排列，第二个数与第六个数的和是38，求这七个连续的奇数。

中间数是19,***3256、101个连续的自然数相加，其和是奇数还是偶数？

最小为奇数

7、一个班上的同学上阅读课时，每人手中都拿着一本书，如果其中拿连环画的比拿故事书的人多3个，而拿故事书的人又比拿科技书的多1人，如果拿科技书的人的人数是奇数，那么这个班的同学人数是奇数还是偶数？

8、某校毕业班的同学在离校前，相互之间交换照片，做留念，有人说：无论人数多少，那么用来交换的照片总张数一定是偶数，这句话对吗？为什么？

9、七只小碗倒扣在桌子上，现在每次翻转其中两个。经过若干次翻转后，能否使所有的小碗碗口朝上？

10、有11名同学面向黑板站成一排，听到口令只能有4个人向后转，问经过若干次口令后能否使11位同学都背向黑板？

11、一个班的同学参加一次数学竞赛，一共要做40道题，评分标准如下：答对一题给3分，不答或者答错一题倒扣1分，那么这个班同学所得总分数是奇数还是偶数？

12、一次奥数竞赛共20道题，规定答对一题得2分，答错扣1分，未答的题不得分也不扣分，小明得了23分。已知他未答的题目是偶数，他答错了几道题？

13、现在桌子上放了8只杯子，杯子的口都朝下，每次他只允许同时翻动7只杯子，那么最少要翻动几次才能使所有杯子的杯口都朝上？

14、有这样一列数：1、2、3、5、8、13、21、34、...........从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么前105个数中（包括105个）一共多少个奇数？

第四篇：四年级奥数 奇数与偶数(教师用含答案)

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

第二讲：奇数与偶数

教学目标

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数〒偶数=偶数，奇数〒奇数=偶数 性质2：偶数〒奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数〓奇数=偶数，奇数〓奇数=奇数，偶数〓偶数=偶数

三、两个实用的推论：

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶

例题精讲

模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质

【例 1】 123……1993的和是奇数还是偶数？ 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数

【巩固】 123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数？为什么？

【解析】 在算式中，1~99都出现了次，所以2123499999897964321是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676 54321的和是偶数．

【巩固】 293031……8788得数是奇数还是偶数？ 【解析】 偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。

【例 2】(200201202……288）得数是奇数还（151152153……233）是偶数？

【解析】 200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。

【例 3】 12345679899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？ 【解析】 特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．

【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。12345678927或12345678927

模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法

【例 5】 是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115? 【解析】 不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。

【巩固】 是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【解析】 不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。

【巩固】 已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(a1)(b2)(c3)是一个偶数

【解析】 因为在a,b,c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c两个数中至少有一个是 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

奇数，那么(a1)和(c3)中至少有一个是偶数，所以(a1)(b2)(c3)中至少有一个因数是偶数，结果为偶数

模块

三、奇偶模型与应用题

【例 6】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．

【解析】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例 7】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

【解析】 因为两个数的和ab与两个数的差ab的奇偶性相同，所以的和（ab）（ab）是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．

模块四：整数的奇偶性分析法

【例 8】 一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？

【解析】 根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数．由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数．又因为西阅览室里每张桌子上有3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数．由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数．所以，只有西阅览室的桌子数是奇数．

【例 9】 师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？

【解析】 注意到所给出的6个数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因是：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出徒弟加工零件总数为：（789486878280）（21）169，那另一筐放有产品1698782(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．

课后练习

练习1.东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564，他做得对吗？ 【解析】 等式左边是偶数，1375是奇数，64是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

练习2.a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？（★★★）

【解析】 根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为abcabc。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。

练习3.黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？

【解析】 黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现2008。

第五篇：初一数学一元一次方程教案(奥数)

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/

初中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com/