暑期生活专题2

第一篇：暑期生活专题2

专题2 因式分解的应用

因式分解作为多项式的一种重要变形手段，有着多方面的应用，例如数与式的整除性问题、数的分解及有关性质探究、代数式求值、恒等式证明、解方程与不等式以及其他各种杂题等等，可以认为凡是涉及代数式运算的场合，因式分解必是一种有用的工具，其作用不容忽视。

由因式分解的平方差、立方差、立方和公式可推广得出以下有关整除性的结论：

nnnn结论1 对一切正整数n，a-b必有因式a-b(即a-b整除a-b，下同)。

nn结论2 对一切正奇数n,a+b必有因式a+b。

nn结论3 对一切正偶数n,a-b必有因式(a+b)(a-b).(以上结论证略)

3结论4 对一切整数n,n-n必能被6整除。

3证明：因为n-n=(n-1)·n·(n+1)，而n-

1、n、n+1是连续的三个整数，其中至少有

3一个偶数，且必有一个是3的整数倍，因此，n-n必是6的整数倍，即被6整除。(这里的“整除”是指商为整数，包括负整数、零、正整数)

5结论5 对一切整数n,n-n必能被5整除。

52证明：因为n-n=n(n-1)(n+1)(n+1)如果n是5的整数倍，结论显然成立；

如果n被5除余1，则n-1是5的整数倍，结论成立；如果n被5除余4，则n+1是5的整数倍，结论成立；如果n被5除余2或3，则n可写成5k2(k是整数)，2225n=(5k2)2=25k20k+4,n+1可被5整除，所以结论也成立。综上可知，n-5必被5整除。

由结论5，进一步分析又可得以下推论：

5推论1 对一切整数n，n-n必被30整除。(联系结论4可得)

4推论2 如果n不是5的整数倍，那么n-1必是5的整数倍。例1．求证：

1001999①2000|1001+999；

10021000②2002|1002-1000(a|b表示a整除b即b是a的整数倍，下同)分析：注意到2000=1001+999，2002=1002+1000，以及指数的情况，应该灵活运用上述结论1、2、3。

***9992证明：①因为1001+999=(1001+999)-999(999-1)，由结论2可得

1001100122000=1001+999整除1001+999,而999-1=(999+1)(999-1)=1000×998是2000的整数倍，1001999所以1001+999是2000的整数倍。

***210002②因为1002-1000=(1002-1000)+1000(1000-1),由结论3可得

1002100222002=1002+1000整除1002-1000，而1000-1=1001×999，可知2002=2×1001整除100021000(1000-1)，10021000所以1002-1000是2002的整数倍。

nnnn例2．求证1989|2521-447-298+213(题中指数n未加说明则表示正整数，下同)分析：因为n可以是一切正整数，所以应运用结论1，可从2521，447，298,213中两数这差与1989的因数之间关系入手。

2证明：因为1989=3×13×17, 2521-447=17×122,且298-213=17×5, nnnn所以17|2521-447，且17|298-213, nnnn即：17|(2521-447)-(298-213)；

又2521-298=9×13×19且447-213=9×13×2，所以9×13|2521-298,且9×13|447-213, nnnn即：9×13|(2521-298)-(447-213)nnnn综上，1989|2521-447-298+213

注：本题证明依据整除性质“若a|n,b|n且a、b互质，则ab|n”。

2002例3．求证8193|2-1 10313分析：由2=1024，2=8可知8193=1024×8+1=2+1想法转化形式利用结论3。

13证明：因为8193=2+1,2002=2×7×11×13=154×13 200213154所以2-1=(2)-1，13由结论3可知必有因式2+1(因为154是偶数)。

2n+1n例4．求证①7|3+2=2;2n+26n+1②11|3+2

分析：改变有关各项表达形式，创设条件运用结论1、2、3。

nn证明：①因为7=9-2|9-2, 2n+1n+2nnnnn 3+2=3·9+4·2=3(9-2)+7·2, 2n+1n+2所以7|3+2.2n+22n+12n+1②因为11=3+8，而运用结论2，则指数应为奇数。由3=3·3可添项3·8, 2n+26n+12n+12n+12n+16n+1 3+2=3·(3+8)-3·8+2

2n+12n+12n2n =3(3+8)-24·8+2·8

2n+12n+12n =3(3+8)-22·8

2n+26n+1所以11|3+2

84例5．如果n不是5的整数倍，求证100|n+3n-4 分析：100=4×25，所以可分二步进行证明。

8444证明：n+3n-4=(n+4)(n-1)

444因为n不是5的整数倍，由推论2,5|n-1，而n+4=(n-1)+5也是5的整数倍，4484所以25|(n-1)(n+4)即：25|n+3n-4；

284又如果n是偶数，则4|n,显然有4|n+3n-4;

22244而如果n是奇数，可设n=2k-1，则n=4k-4k+1，所以4|n-1,则4|(n-1)(n+4)，即：844|n+3n-4；

84综上，100|n+3n-4.例6．已知n个正整数a1,a2,„,an满足30|a1+a2+„+an,求证：30|a1+a2++an 分析：因为正整数的大小、个数都不确定，所以可从a1与a1的关系入手进行探究。证明：由推论1可知a1-a1,a2-a2,,an-an都是30的整数倍，所以30|(a1-a1)+(a2-a2)+(an-an)，即：30|(a1+a2++an)-(a1+a2+an)，已知30|a1+a2+„+an, 所以必有30|a1+a2++an

注：本题利用了整除性质“如果n|a,n|b则n|a+b” ***5nnnn例7．求证整数111222是两个连续整数的乘积。n个1n个2n分析：由99=10-1，把“数”用“式”表示，再用因式分解的方法证明。9n个9证明：111222=111000+222 n个1n个2nnn个1n个0nn个=

=

=1191919(10-1)10+(102nn29(10-1)

+10-2)

n(10-1)(10+2)

nn因为(10+2)=31310002=3334 n-1个0n-1个313(10-1)=n13999=333 n个9n个3所以111222=3333334 n个1n个2n个3n-1个3例8．对正整数n，问n4-3n2+9是合数还是质数？证明你的结论。

分析：取不同的n值代入试探，可知可能是合数也可能是质数，(如n=1,2,3等)所以必须用因式分解的方法，再对因式进行讨论，探求n取值的规律。

解：n4-3n2+9=(n4+6n2+9)-9n2

=(n2+3)2-(3n)2

=(n2+3n+3)(n2-3n+3)如果n2-3n+3=1，即：(n-2)(n-1)=0，n=1或2时，n4-3n2+9=13是质数，而n2+3n+3=1，即：(n+2)(n+1)=0,对任何正整数n不成立。所以当n=1时n4-3n2+9=7是质数，n=2时n4-3n2+9=13是质数，当n是其他正整数时，n4-3n2+9是合数。

例9．a、b、c、d是正整数，且有a5=b4，c3=d2,c-a=19,求d-b的值。

分析：一般地，如果mp=nq(其中m、n、p、q是正整数，且p、q互质)则必有一个正整数k存在，使m=kq,n=kp.例如1252=253其中m=125,n=25,p=2,q=3,则k=5即：125=53,25=52。

解：由a5=b4,可设a=m4,b=m5, 由c3=d2，可设c=n2,d=n3,(m、n是正整数)则c-a=n2-m4=(n+m2)(n-m2)=19 2n+m=19得解得n=10,m=3 2n-m=1所以d=n=10=1000,b=m=3=243,d-b=757 例10．求方程1x3365+ 1y=

15的整数解。

分析：化为整式方程后可利用因式分解方法求解，但应注意x、y不能为零。解：原方程化为xy-5x-5y=0 即(x-5)(y-5)=25，所以x-5=1,y-5=25或x-5=25,y-5=1或x-5=5y-5=5或x-5=-1y-5=-25或x-5=-25y-5=-1或x-5=-5y-5=-5且x≠0,y≠0 解

x3=10x4=4x5=-20x1=6x2=30得，，，，

y=30y=6y=10y=-20y=412435例11．求具有以下性质的所有三位数m:m2的末三位数字即为三位数m。

分析：关键是用恰当的数学式子把题意表达出来，以便通过变形、运算进行分析推导。解：由题设可知，m2-m的末三位数字都是0，即是1000的倍数，可表示为1000|m2-m，即23·53|m(m-1)，而m与m-1互质，所以23|m且53|m-1 ① 或53|m且23|m-1 ②

由①，先确定m-1可是125,250,375,500,625,750,875等数，再检验满足23|m的m只能是376；

由②，先确定m可以是125,250,375,500,625,750,875等数，再检验满足23|m-1的m只能是625。

综上，满足条件的三位数m是376和625.a2-a-2b-2c=0，例12．a、b、c分别表示⊿ABC中∠A、∠B、∠C的对边长度，且满足问

a+2b-2c+3=0⊿ABC中哪个角最大？

分析：只要求出a、b、c中最大边所对的角必为最大，可以从讨论两边之差是否大于零入手。解：由②式，可得2(c-b)=a+3>0 因为a>0 所以c>b； 由①-②得a2-2a-4b-3=0

(a-3)(a+1)=4b>0

③ 由①+②得a2-4c+3=0

4(c-a)=a2-4a+3=(a+3)(a-1)由③式可得a-3>0，则a-1>a-3>0, 所以 4(c-a)>0 c>a 综上，a、b、c中c最大，所以∠C为最大角。

练习题

1证明2003|13+23+33+„+2002

301是合数 2证明1002001个0

3一个正整数加上50或减去31都是平方数，求所有这种正整数的和。

4对任意整数n，求证n5-5n3+4n能被120整除。5已知a、b、c、d、e都是整数，且a+b+c+d+e是6的整数倍，求证a3+b3+c3+d3+e3也是6的整数倍。

6已知a+b+c=1,a2+b2+c2=2,a3+b3+c3=3，求abc的值。

7求方程的整数解

①xy-x-y=2;②x2-y2+2y-6=0.111xy-x-y=1,511--=1, 8求方程组的整数解yzyz211--=1zxzx

9已知大于100的两个不同整数a、b，他们的十位数相同，求证an与bn(n是大于1的整数)的十位数与个位数也分别相同。

10a、b、c为三角形的三条边，且满足a2-16b2-c2+6ab+10c=0，求证a+c=2b。

11已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。

12已知x2+x+1=0,求x2003+x2002+1的值。

参考答案

3333331.1+2002,2+2001，„，1001＋1002共1001组，每组都是2003的整数倍

2.10001＝102001个02002＋1＝1001001＋1有因式100＋1，即是101的倍数，所以是合数

3.设正整数x，则x+50=m2,x-31=n2,（m、n是正整数）则m2-n2=81,(m+n)(m-n)=81, m+n=81m+n=27,m=41,n=40,x1=1631;,m=15,n=12,x2=175。综上1631+175=1806

m-n=3m-n=14.n5-5n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)，所以能同时被2,3，4,5整除

5.由a3-a=(a-1)a(a+1)是6的整数倍可得

6.由a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2-ab-bc-ca)，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)可得

7.①（x-1）(y-1)=3=3×1＝1×3＝（－3）（－1）＝（－1）（－3），x1=4,y1=2;x2=2,y2=4;x3=-2,y3=0;x4=0,y4=-2 ②x2-(y-1)2=5,(x+y-1)(x-y+1)=5=5×1=1×

5=(-5)(-1)=(-1)(-5),x1=3,y1=3;x2=3,y2=-1;x3=-3,y3=-1;x4=-3,y4=3

8.方程组化为xy+x+y=1,yz+y+z=5,zx+z+x=2,(x+1)(y+1)=2,(y+1)(z+1)=6,(x+1)(y+1)(z+1)= 6且xyz≠0,x=-2,y=-3,z=-4

9.a-b是100(z+1)(x+1)=3,的整数倍（由条件可知a-b的个位、十位都是零），而a-b|an-bn，所以100｜an-bn,即an与bn的十位数、个位数分别相同

10.配方得(a+3b)2-(5b-c)2=0,所以(a+8b-c)(a-2b+c)=0,而a+8b>a+b>c,所以a-2b+c=0

11.ab+cd=ab·1+cd·1=ab(c2+d2)+cd(a2+b2)=(abc2+cdb2)+(abd2+cda2)=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)=0

12.x3-1＝(x-1)(x2+x+1)=0x2003+x2002+1=(x3)667·x+1=x2+x+1=0

且x≠1,所以x3=1且x≠1则

第二篇：暑期生活专题1

暑期生活

专题1 因式分解的方法与技巧

我们已知学过了因式分解的一些常用方法：提公因式法，分组分解法，运用公式法，十字相乘法以及余数定理的简单应用等等。

有时，我们不能直接运用一种方法分解某个多项式，而必须对这个多项式各项的特点与相互联系(如符号、系数、指数等)进行仔细观察、分析，灵活地运用以上一种或几种方法，必要时还需作一些技巧性的变形，以达到分解因式的目的。而在这方面加强训练，对提高代数式变形的能力，观察、处理问题的能力都是很有帮助的。

补充两个因式分解的常用方法：

2222公式1 a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c).(思考：a、b、c中有一个或两个改为相反数，则公式1的形式如何？)333222公式2 a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)(也可写成a+b+c-3abc=33

3122

2(a+b+c)[(a-b)+(b-c)+(c-a)])2以上公式不难从展开等号右边的式子加以验证，由公式2，又可得出以下的推论：

333推论1 如果a+b+c=3abc,那么a=b=c或a+b+c=0.333推论2 如果a=b=c或a+b+c=0，那么a+b+c=3abc。

444222222例1．分解因式a+b+c-2ab-2bc-2ca.分析：显然不能直接用公式1(因为符号不满足条件)，但仔细观察、比较，不难发

2222222222现可用“拆项”的技巧，把-2ab(或-2bc或-2ca)拆写成+2ab-4ab，则分组后可利用公式1和“平方差公式”进行分解。

444222222解：a+b+c-2ab-2bc-aca

44422222222 =(a+b+c+2ab-2bc-2ca)-4ab

222222 =(a+b-c)-4ab

222222 =(a+b-c+2ab)(a+b-c-2ab)2222 =[(a+b)-c][(a-b)-c] =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)33例2．分解因式x+y+3xy-1.33分析：直接用立方差公式分解x-y显然无用，考虑运用公式2，但与公式符号不一致

3且少一个立方项，经过观察发现把-1写成+(-1)即可。

33解：x+y+3xy-1 333 =x+y+(-1)-3xy(-1)22 =(x+y-1)(x+y+1+x+y-xy)

333例3．分解因式(x-1)+(x-2)-(2x-3)

33分析：可以先将(x-1)+(x-2)利用立方和公式进行分解，然后可提取公因式2x-3；也3333可先将(x-1)-(2x-3)或(x-2)-(2x-3)用立方差公式进行分解；也可由2x-3=(x-1)+(x-2),3333把(2x-3)写成[(x-1)+(x-2)]，用和的立方公式展开，原式可消去(x-1)及(x-2)后再进行

33分解，但进一步观察特征可发现如果把-(2x-3)写成+(3-2x)，并且注意到(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0，则可运用公式2的推论2得出结果。

解：因为(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0 333所以(x-1)+(x-2)-(2x-3)

333 =(x-1)+(x-2)+(3-2x)=3(x-1)(x-2)(3-2x)例4．分解因式a+ab+b

222222分析：根据各项的指数特征及相互关系，可利用拆项技巧把ab拆写成2ab-ab，创造条件分组后运用有关公式进行分解。

4224解： a+ab+b

422422 =(a+2ab+b)-ab

2222 =(a+b)-(ab)

2222 =(a+ab+b)(a-ab+b)注：本题结论在解题时也可直接运用。

43234例5．分解因式a+2ab+3ab+2ab+b

分析：根据字母a、b的指数变化规律及系数特征进行恰当的拆项、分组。

432234解：a+2ab+3ab+2ab+b

432232232234 =(a+ab+ab)+(ab+ab+ab)+(ab+ab+b)22222222 =a(a+ab+b)+ab(a+ab+b)+b(a+ab+b)222 =(a+ab+b)

注：本题中字母a、b在各项中依次为降幂和升幂，特别是各项系数依次为1、2、3、2、1，通过试探不难找出上述拆项、分组的方法。

43222特别是当b=1时有a+2a+3a+2a+1=(a+a+1)可以系数特征“1、2、3、2、1”记住本题结论。

432例6.分解因式9x-3x+7x-3x-2 分析：仔细观察指数变化及各项系数关系，可得出多种不同的关系：直接把第一、三、444222五项与第二、四项分为两组；把9x拆为7x+2x；把7x拆为9x-2x；把-2拆为-9+7；或323222同时把-3x+7x-3x拆为-6x+3x-2x+9x-6x+3x等等，然后分组(每组每项或每组三项)，下面提供两种解法：

432解一：9x-3x+7x-3x-2 4232 =(9x+9x)-(3x+3x)-(2x+2)2222 =9x(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)22 =(x+1)(9x-3x-2)2 =(x+1)(3x-2)(3x+1)432解二：9x-3x+7x-3x-2 4322 =(9x-3x-2x)+(9x-3x-2)222 =x(9x-3x-2)+(9x-3x-2)22 =(9x-3x-2)(x+1)=(3x-2)(3x+1)(x+1)

222注：这两种解法都是把7x拆成9x-2x，但分组方法不同，从中可以体会到解题中观察特征，发现规律的重要性和分组分解法的灵活性。

5例7.分解因式x+x+1 分析：注意到指数的“不连贯”性，可考虑“添项”寻找出某种“规律”，再进行分组。

5解：x+x+1 5443322 =x+x-x+x-x+x-x+x+1 5434322 =(x+x+x)-(x+x+x)+(x+x+1)32222 =x(x+x+1)-x(x+x+1)+(x+x+1)232 =(x+x+1)(x-x+1)注：本题“添项”后三项一组分为三组是关键的一步。因为原式中各项系数都是1，所以所添的项系数取1为宜，而添项后共有9项且注意到系数为-1的有三项，则容易考虑以4224三项一组分组。

32例8．已知2x-3和3x+1都是ax+bx+32x+15的因式，求a、b的值并分解因式。分析：易知另一因式必为x的一项式，则可用“待定系数法”，也可用余数定理得出关于a、b的二元一次方程解得a、b。

32解一：设ax+bx+32x+15=(2x-3)(3x+1)(px-5)

a=6p,展开等号右边的代数式并比较等号两边同类项的系数，可得b=-30-7p，32=35-3p解得p=1，a=6,b=-37 32则6x-37x+32x+15=(2x-3)(3x+1)(x-5)解二：因为2x-3=2(x-把x=

31),3x+1=3(x+), 233132,x=-分别代入ax+bx+32x+15, 2332333a()+b()+32+15=0222应得

111a(-)3+b(-)2+32(-)+15=03333a+2b+56=0, -a+3b+117=0解得a=6,b=-37 分解因式同解一。

注：本题显然用待定系数法较为简便。

3222例9．分解因式x+(2a+1)x+(a+2a-1)x+a-1 分析：原式是按x的降幂排列，可以展开后把有关x项中系数相同的并为一组；也可以重新整理关于a的二次三项式后运用十字相乘法。

3222解一：x+(2a+1)x+(a+2a-1)x+a-1 3222=(x+x)+(2ax+2ax)+(ax+a)-(x+1)22

=(x+1)(x+2ax+a-1)=(x+1)[(x+a)-1] =(x+1)(x+a+1)(x+a-1)3222解二： x+(2a-1)x+(a+2a-1)x+a-1 2232 =(x+1)a+(2x+2x)a+(x+x-x-1)22=(x+1)a+2x(x+1)a+(x+1)(x-1)22=(x+1)[a+2xa+(x-1)]

a=(x+1)(a+x+1)(a+x-1)

a2

2x+1 x-12例10．分解因式a+2ab-ac-3b+5bc-2c

分析：可以整理成以a为元的二次三项式，利用(字母系数)十字相乘法分解，再用待定系数法继续分解。解一：a+2ab-ac-3b+5bc-2c

222 =a+(2b-c)a-(3b-5bc+2c)2 =a+(2b-c)a-(3b-2c)(b-c)=(a+3b-2c)(a-b+c)22解二：因为a+2ab-3b=(a+3b)(a-b)22所以设 a+2ab-3b=(a+3b)(a-b)=(a+3b+mc)(a-b+nc)222

aa3b-2c-(b-c)

等号右边展开整理后，比较等号两边对应项系数，可得：

m+n=13n-m=5 mn=-2解得：m=-2,n=1 因此因式分解结果为(a+3b-2c)(a-b=c)练习题

3331分解因式(x-1)+(x-2)+(2x-3)

42242分解因式(x+1)+(x-1)+(x-1)

2423分解因式2a(a+1)+a-a+1

4444分解因式(x+y)+x+y

4325分解因式x+2x+4x+2x+3

3222226分解因式x-3px+(3p-q)x-p(p-q)

7分解因式(xy+1)(x+1)(y+1)+xy

3324224228分解因式(x+y)-4xy[x+xy+y-2xy(x-xy+y)]

339分解因式x(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y(b+1)

2222222210分解因式(ab+cd)(a-b+c-d)+(ac+bd)(a+b-c-d)

33333333311分解因式xyz(x+y+z)-xy-yz-zx

2212已知x+y-z是复项式x+axy+by-5x+y+6的一个因式，求a、b的值并分解因式。

参考答案

21.第一、二项用立方和公式

原式＝(2x-3)(5x-15x+12)

2.中间一项化为(x+1)·(x-1)

222223原式＝[(x+1)+(x+1)(x-1)+(x-1)][(x+1)-(x+1)(x-1)+(x-1)]=(3x+1)(x+3)432223.展开

原式＝a+2a+3a+2a+1=(a+a+1)

4322342224.原式展开整理得2(x+2xy+3xy+2xy+y)=2(x+xy+y)或原式

***2=[x(x+y)-xy]+(x+xy+y)=[(x+y)+xy][(x+y)-xy]+(x+xy+y)(x-xy+y)=2(x+xy+y)

4322225.拆项分组

原式＝(x+2x+3x)+(x+2x+3)=(x+2x+3)(x+1)；

42322或原式＝(x+4x+3)+(2x+2x)=(x+2x+3)(x+1)

322222326.原式＝(x-3px+3px-p)-(qx-pq)=(x-p)-q(x-p)=(x-p)(x-p+q)(x-p-q)；或原式＝ 332222(x-p)-(3px-3px)-(qx-pq)=„

7.十字相乘法

原式＝(xy+1)[(xy+1)＋2（x+y）]+xy=(xy+1)+(x+y)(xy+1)+xy=(xy+1+x)(xy+1+y)； 或原式＝y(y+1)·x+(y+3y+1)·x+(y+1)=„422422

222222

yy+1y+11

8.由x+xy+y=(x+xy+y)(x-xy+y)可知原式＝

2222222[(x+y)(x-xy+y)]-4xy(x-xy-y)[(x+xy+y)-2xy]＝ 222222322(x-xy+y)·[(x+y)-4xy]=(x-xy+y)(ax+by+x+y)或原式＝x(a+1)(xy-xy+y3)=„

10.原式＝

222222(ab+cd+ac+bd)(a-d)-(ab+cd-ac-bd)(b-c)=(b+c)(a+d)(a-d)-(b-c)(a-d)(b+c)=(a-d)(b+c)[(a+22d)-(b-c)]=(a-d)(b+c)(a+b-c+d)(a-d+c+d)

11.原式＝

***32yz·x-(y+z)·x+yz(y+z)·x-yz=(yz·x-yz)-[(y+z)·x-yz(y+z)·x]=(x-yz)[y233222z(x+yz)-(y+z)x]=(x-yz)(y-zx)(z-xy)（也可展开后重新分组）

12.用待定系222数法

因为x-5x+6=(x-2)(x-3),所以设x+axy+by-5x+y+6=(x+y-2)(x+my-3)右式展开后比较等号两侧同类项系数得a=1+m,b=m,1=-3-2m解得m=-2,a=-1,b=-2;原式＝(x+y-2)(x-2y-3)

第三篇：暑期生活专题7

专题7 简单的面积问题

有关面积的问题是平面几何的一个重要组成部分，相传在古代，正是由于丈量土地、测算面积的需要而产生了几何学。

在平面几何中，与面积有关的内容不仅有各种图形的面积计算，面积关系的推导与证明，更有以面积作为工具进行几何问题及有关定理的推导与证明，而且往往比其他方法显得更为简洁、巧妙。

这里我们只根据已学过的知识，通过一些较简单的面积问题，来领略其中的独特、美妙之处，掌握一些基本思路与技巧，为进一步学习打好基础。

由熟知的三角形面积公式S＝

1ah(a表示三角形的一条边，h表2示这条边上的高)，可以推知以下两个基本结论：

结论1 如果点A、A’在线段BC的同侧，且直线AA’//BC，则S

。以上关系称为“等积变形”。⊿ABC＝S⊿A’BC（S⊿ABC表示三角形ABC的面积，下同）结论2 ⊿ABC的BC边（所在直线）上有一点M，则S⊿ABM：S⊿AMC＝BM：MC。

可以说以上两个结论是解决面积问题的基本工具，所谓“技巧”，不少即是这两个结论的灵活运用与变化。

例1．用不同的方法把一个三角形分成四个等积三角形。解：最简单的分法是把一条边的四等分点与这条边所对顶点相连接。

如图：BD＝DE＝EF＝FC，则S⊿ABD＝S⊿ADE＝S⊿AEF＝S⊿AFC

灵活运用上述结论2，又可有以下各种不同的分法：

如果只要求面积四等分（每部分不一定都是三角形），且可用结论2以外的方法，又可有以下分法：

其他分法还有很多，同学们不妨可以再试试。

例2．⊿ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝

1AB，4AE＝1AC，问⊿ABC的面积是⊿ADE面积的几倍？ 3分析：通过添线“制造”基本图形，利用结论2间接得出⊿ABC与⊿ADE的面积关系。解：连接BE（或DC），因为AB＝4AD，所以SABE＝4SADE，又AC＝3AE，所以SABC＝3SABE，综上，SABC＝12SADE。

注：重复本题的解法，可以得出以下的一般结论：

结论3 设D是直线AB上（不重合于A、B）的点，E是直线AC上（不重合于A、C）的点，则SABC：SADE＝AB·AC：AD·AE。

例3．如图，矩形ABCD中，S⊿DEF＝4，S⊿CED＝6，求SABEF。分析：图中有平行线，可利用结论1：已知面积的两个三角形位置又符合结论2的特征；可想法把容易求得的部分面积先求出。

解：连结BF，易知SFEB＝SDEC（因为S⊿FBC＝S⊿DBC，减去公共部分S⊿EBC即得），所以SFBE＝6。

而FESDEF4SFEBFE4＝＝，＝＝，ECSDEC6SCEBEC6即S⊿EBC＝9。

而S⊿ADB＝S⊿BCD＝S⊿EBC＋S⊿DEC＝9＋6＝15。所以SABEF＝S⊿ADB－S⊿DEF＝15－4＝11。

例4．把四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA分别延长一倍到A’、B’、C’、D’。求SA’B’C’D’：SABCD。

分析：可通过添辅助线“制造”出适用结论2的图形。解：连结DB、DB’，则S⊿B’C’C＝2S⊿B’DC＝2S⊿BDC，再连结BD’，则S⊿D’A’A=2(S⊿BDC+S⊿DBA)=2SABCD； 同理可得 S⊿C’D’D+S⊿A’B’B＝2SABCD；

所以SA’B’C’D’＝（S⊿B’C’C+S⊿D’A’A）+(S⊿C’D’D+S⊿A’B’B)＋SABCD＝5SABCD。即SA’B’C’D’：SABCD＝5：1。

例5．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，在BC边上任取一点P，求证：S⊿ABO＝S⊿DCO＝SAPDO。

分析：由例3解法可知S⊿ABO＝S⊿DCO；但APDO是一个“箭头”状的凹四边形，且形状不确定，但注意到P点位置始终在BC边上，应充分利用条件AD//BC。

证明：因为AD//BC，所以S⊿BAD＝S⊿CAD＝S⊿PAD，三个等积三角形同时减去公共部分S⊿OAD得出结论。注：在处理面积问题时，“割”、“补”是常用的手段，本题即采用了“补”上⊿OAD的方法，即可利用结论1证得。

例6．

①E、F分别是四边形ABCD的边BC、AD的中点，求证SAECF＝1S⊿ACD，21（S⊿ABC＋S⊿ACD）

21＝SABCD。

2所以SAECF＝S⊿AEC＋S⊿ACF＝②连结AC，同理可得： SAECF＝S⊿AEC＋S⊿ACF＝11（S⊿ABC＋S⊿ACD）＝SABCD 33注：添加辅助线必须有目的，本题中连结AC是为了能利用结论2进行证明，如果连结EF，则对证明毫无帮助。

例7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，求证S1＋S2＋S3＋S4＝S（S1，S2，S3，S4，S分别表示四个小三角形及中间四边形的面积）

分析：根据图形特点，可利用例6结论推出有关面积之间的等量关系，通过代数运算推出结论。

证明：设图中另外四个小四边形面积分别为a、b、c、d（如图），则由例6结论可知a+S+c=b+S+d=

1SABCD, 2所以a+b+c+d+2S=SABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S，即S＝S1＋S2＋S3＋S4

例8．⊿ABC中，M、N分别是AC、BC上的点，BM与AN交于点O，若S⊿OMA=3，S⊿OAB=2，S⊿OBN=1，求S⊿CMN。

分析：利用结论1尽量找出有关面积之间的关系式。

解：SOMNOMSOMA ==SOBNOBSOBA33SOMA·S⊿OBN= ×1=，22SOBA所以S⊿OMN= 设S⊿CMN=x，由SABNSMBNBN=(=)SANCSMNCNC3+12+1可得=2, 3x3++x245解得 x=，即S⊿CMN=22.5 2例9．D、E分别在⊿ABC的边AC、AB上，且AE=EB，AD：DC=2：3，S⊿ABC=40，BD与CE交于点F。求SAEFD。

分析：充分利用AEAD，的比值，得出有关图形的关系或大EBDC小。

解一：连结AF，因为

SADSABDSAFDSABD-SAFDSFAB2====，所以FAB=。DCSCBDSCBDSCDB-SCFDSFBCSFBC3同理：SFBCEB=1(=)SFCAAE所以S⊿FAB：S⊿FBC：S⊿FCA=2：3：3 又S⊿FAE= 12S⊿FAB=5，S⊿FAD= S⊿FAC=6，25112S⊿ABD= ·S⊿ABC=8，225所以SAEFD=S⊿FAE+S⊿FAD=5+6=11。解二：连结DE，易知S⊿ADE= 又DFSDEFSDEF+SDCFSDCE，===FBSBEFSBEF+SBCFSBCE3311S⊿ADE=·S⊿ABC=12，S⊿BCE=S⊿ABC=20，5522DF12333131==，S⊿DEF=S⊿DEB=·S⊿ABD=·S⊿ABC=3，所以FB20588282而S⊿DCE=所以SAEFD=S⊿ACE+S⊿DEF=8+3=11。

注：两种解法中比例性质的运用起了重要作用。本题解法较多，例如得出

DF3=后，FB5由例2推得的结论3，可得

5SBEFBEBF155S⊿BAD，所以===，则S⊿BEF=16SBADBABD2816SAEFD=(1-511)S⊿BAD=×16=11。1616例10．⊿A0C0A4中，C1、C2、C3、C4依次在边C0A4上，A1、A2、A3依次在边A0A4上，线段A0C1，C1A1，A1C2，C2A2，A2C3，C3A3，A3C4依次把⊿A0C0A4分成8个等积三角表。求A4C4:A4A0.分析：本题关键是图形的观察，反复运用结论2的基本图形，通过面积比求出有关线段长度比，逐步接近“目标”。

解：观察⊿A3A4C3，可得

A4C4SA3A4C41==，A4C3SA3A4C32观察⊿A2A4C2，可得

A4C3SA2A4C33==，A4C2SA2A4C24同理，A4C2A4C2SA1A4C35===，A4C1A4C1SA1A4C16A4C1SA0A4C17==，A4C0SA0A4C08所以A4C4A4C4A4C3A4C2A4C1135735===。A4C0A4C3A4C2A4C1A4C02468128注：从本题可以体会到深入观察、发现图形特点，切实掌握、灵活运用基本图形的重要性。

练习题 1正方形ABCD边长为1，E点在AD边上，且DE=

1EA，求SDEC，SEAC，SABC。2

2设D、E、F依次是ABC三边BC、CA、AB的中点，且AD、BE、CF交于一点O。求证SAOB=SBOCSCOA。

3ABC中，BC中点为D，点E、F分别在AB、AC上，且EF//BC。求证SADE=SADF。

4ABCD中，E、F分别在边CD、DA上，且EF//CA，连结AC、EF、BE、BF、AE、CF，问与BEC面积相等的三角形有几个？

5ABC中，D是BC边上的点，E是线段AD上的点，如果SABE=14，SBDE=7，SCDE=5。求SAEC。

6ABCD的面积为10，AB=3，BC=5，E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE=BF=AG=2，过G引直线平行于EF，交CD于H。求SEFHG。

7(1)E是四边形ABCD对角线BD的中点，求证SAECD=SABCE；

(2)E、F分别是四边形ABCD的对角线BD、AC的中点，求证SABCD=4SAEFD。

8若E、F是四边形ABCD的BC边上两个三等分点，G、H是AD边上两个三等分点。求证SABCD=3SEFHG。

9四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD中点，BN与CM交于P点，AN与DM交于Q点。求证S⊿BPC+S⊿AQD=SMQNP。D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF交于三角形内一点P，把ABC分成六个小三角形，其中SAPF=84，SCPE=35，SBPD=40，SCPD=30。求SABC。

参考答案 1.S⊿DEC＝2.11211S⊿CAD＝，S⊿EAC＝S⊿CAD＝，S⊿ABC＝

36332SAOBBDSAE＝＝1，AOB＝＝.3.S⊿ADE＝S⊿ADB－S⊿EDB＝S⊿ADC－S⊿FDC＝S⊿ADF

SBOCECSCOADC111SABFG，S⊿GHF＝SGFCD，SEFHG＝S⊿GEF＋S⊿GHF＝（SABFG＋2224.3个，S⊿BEC＝S⊿AEC＝S⊿AFC＝S⊿AFB

5.S⊿ABE：S⊿AEC＝S⊿BDE：S⊿CDE，所以S⊿AEC＝10

6.连结GF，易知GF//AB，所以S⊿GEF＝SGFCD）＝1SABCD＝7.（1）SAECD＝S⊿AED＋S⊿CED＝S⊿AEB＋S⊿CEB＝SABCE

（2）SAEFD＝S⊿AEF211111＋S⊿ADF＝S⊿AEC＋S⊿ACD＝SAECD＝SABCD（由（1）SAECD＝SABCD）

8.连结AE、HC，2224212SAECH，且SAECH＝SABCD，所以SABCD＝3SEFHG

9.设S⊿BPC＝S1，S⊿AQD＝S2，231SMQNP＝S，S⊿AQM＝a,S⊿BPM=b,S⊿CPN=c,S⊿DQN=d,则a+S+c=b+s+d=SABCD，所以a+b+c+d+2S=SABCD＝

2由例6可知SEFHG＝a+b+c+d+S+S1+S2，即S=S1+S

210.设S⊿BPF＝x,S⊿APE=y，由

SAPBSBPDBD，即＝（＝）SAPCSCPDDC84+xySAPF＋SBPFSBPDSSAPE84+x4AE=②，由，得得=①，由APB＝＝（＝）SAPE＋SCPESCPD35+y3①、②可解得x=56,y=70,则S⊿ABC=315

SBPCSCPEEC40+3035

第四篇：暑期生活总结

暑期生活总结

三年高中生活，没了；四年大学生活，来了！这个过渡，我很是不习惯！接近三个月的暑期结束了，只有淡淡的忧伤！经历了高考，自己对这个社会看得更加真切，不再喜欢吵吵闹闹的生活，独爱安静，静静地思考自己自己这走过的学生岁月！小学初中的自己总是生活在父亲的光环下，得到了所有老师的关注和祝福！并不是说自己的高中生活过得很失败，相信大家从我的日志中可以看出我高中的幸福！当初选择掇中，我是想证明没有了父母的关心，我照样可以生活得很幸福！是的，我做到了！在自己的高中中，虽然没有收获像初中收获的那般纯真的友谊，但我很满足了！毕竟随着年龄的增长，大家思考的更多了，不再是单纯地看待友谊这个东西了！一生的朋友，是个笑话，在高中至少是这样，因为大家都现实地生活着！

最开始的暑期生活是在武汉度过的，那时的学长学姐朋友们都还没放假，漫步于名校的校园，满是幸福感充满心头，羡慕名校的孩子们，他们拥有我期待的大学校园和学习氛围！不过羡慕归羡慕，四年后的事情谁都说不定！其实很小的时候就有种感觉，和名校的孩子一起走，总感觉自己很幸福！因为外公外婆家这边就是我们市最好的高中，很小的时候就喜欢看着从里面走出来的孩子们，<莲山 课件 >更是想和他们一起走过这段路！很多时候都是自己在安慰自己，当我被分到xx（我市最好的高中）时，我觉得自己相当幸运，就算三年的高中生活没能在里面度过，但自己最后高中的句号能在xx划下也是很不错的！只不过这个句号划得似乎不是那么圆！其实在武汉玩的时候，没有想自己今年的结果是什么，所以算得上是首次放开了去玩吧！没有学习的压力，只是和朋友们尽情地欢笑，收获了许多许多的快乐！谢谢你们陪我走过六月！

七月开始，就独自坐火车去杭州了，没有过多的好奇，只是为了去跟自己的外甥女培养下感情！从她出生到这次，就只接触了一次，还是短短的三天时间！这次去杭州，并没有将旅游作为自己的第一任务，就算不出去玩也无所谓的，因为在一个人心智逐渐成熟的过程中玩耍似乎已经成为了浮云，还是现实点好！所以去杭州，我也很满意！我第一次从外甥女口中听到“舅舅”时，满是欢喜，毕竟这是自己必须快快长大的标志！不能再任性了，毕竟现在很多决定都得自己去做，很多事情都得自己独立完成了！在杭州，西湖西溪似乎都是浮云，和外甥女培养起来的感情是事实，我很满足！谢谢姐姐姐夫的招待！

八月，就陆陆续续接到同学好朋友升学宴的邀请！华师，中国政法等名校，再次向你们表达恭喜，虽然自己又一次在大学的起跑线上比你们慢了，但我始终不后悔，自己种下的树，还是需要自己去收获树上的果实的！八月开始，自己就开始为自己的大学生活做准备了，不是物质上的准备，而是精神上的！又有很多个像这样无聊的暑假寒假，还是希望自己能多做点有意义的事情！我加入了全国性的支教组织和武汉地方性的公益活动群！还有自己周末在武汉需要兼职的兼职群！这一切的一切，都是希望自己的大学生活能像高中生活一样充实，高中有忙碌的学业，大学学习的负担相对来说小多了，所以更多的时间还是希望自己做点有意义的事情，不能虚度，因为我的心中有梦！尽管高考将自己拖得离梦想越来越远，但就算是爬，我也希望哪怕是在自己生命的最后一刻都能爬到属于我的那块土地，上面记录了我奋斗的足迹！

转眼就九月了，上学月也是军训月，其实自己很担心自己的军训，不是怕，而是自己经历了三年高中的学习生活，加上我又不爱运动,身体不再那么好!在杭州帮姐姐搬完家，竟然流鼻血了，好多年没有过了额！我曾记得高中班主任说过，军训是为了收心！是啊，经历了漫长的假期，再次回到学校，接触书本，更多的需要的是淡定！我期待九月的军训，能让自己的心回来，我也不知道自己现在心在哪里，仿佛灵魂和肉体脱离了一样！快回来吧，尽管大学得学工科专业，但是或许这也是老天给我的安排呢！大学的时间很多，我也充分相信自己有能力吸收所学的东西！武汉，虽然是我不怎么喜欢的城市，但是既然选择了自己大学四年在武汉度过，也要慢慢习惯武汉这个城市，相信自己会发现其中的美的！回头想想，武汉未尝不好，有这么多好朋友在那儿，他们可以帮我适应大学生活！

大学了，必须学会成长了！31号是爸爸五十岁生日了，余光下可以看到爸爸逐渐稀疏的头发，远远望去可以看到父亲微微发福的身体！昨晚和外公说，时间过得真快，转眼爸爸都五十岁了！是的啊，五十年，其中大部分的时间都奉献给了他的孩子！孩子长大了，父亲老了！或许是因为自己高考的失利，爸爸还得继续在教师讲台上呆着，毕竟我四年的大学费用不是笔小费用！大学的自己不能堕落，也不许堕落，否则真对不起那么高的学费！

加油吧，成长后收获的就是精彩！我相信我就是龟兔赛跑中的那只乌龟，慢慢地走向终点！最后的结果不是谁先到，而是哪些人到了终点，因为这不是竞技比赛！就像在火车上跟武大的教授交流一样，中国的年轻人应该始终有颗创业的心，在中国，或许二十几岁就可以决定一个人的一生，而在美国五六十岁的人照样可以创业成功！不是每个人都适合创业，但是创业精神，每个年轻人都必须有！

第五篇：大学生暑期生活（本站推荐）

引言

炎炎夏日，烈日当头。暑假期间我参与了这次“关于大学生暑期生活”调查，调查的主要目的是了解当代大学生如何利用这短暂的时间去充实丰富自己。调查的方式为问卷调查及网上资料调查。

关键词：暑假 打工 大学生

方式：上网查找资料 问卷调查

暑假，对于很多学生来说是一个放松身心，提高自身修养的大好时机。能够把握这短暂的两个月时间真正去学点什么、做点什么应该是我们当代大学生所考虑的。

跨进了21世纪，又是个新的开始,当代大学生是新一代的代表，是祖国的未来，我们必须坚持马列主义和毛泽东思想，必须在它的指导下阔步前进。作为新世纪的大学生，就应当肩负起历史赋予我们的重任，做一个合格的大学生。充分发挥我们的才能，壮大我们的国家，使中国走进强国之列，这就是我们21世纪大学生的伟大使命。合理支配暑假时间，充分利用把握机遇。

通过调查了解到当代大学生暑期生活分为四类：

一、参加社会实践兼职打工；

二、埋头苦学，参加各类培训班；

三、出行旅游度假观光；

四、“无聊”一族。

一、社会实践，兼职打工

中国社会调查事务所的调查结果显示，现代大学生打工的主要目的是：

1．35％的大学生是为了增加收入；

2．36％的大学生是想自食其力；

3．29％的大学生认为要锻炼自己的能力，对报酬无所谓。

随着社会的变革和思想观念的转变，大学生打工的形式开始变得异常丰富起来，打工的形式多种多样：

1． 22％的大学生选择网络公司；

2． 4％的大学生选择暑期教师；

3． 19％的大学生选择市场调研员；

4． 13％的大学生选择营销策划员；

5． 16％的大学生选择做志愿者；

6． 9％的大学生选择做促销；

7． 5％的大学生选择到快餐厅做钟点工；

8． 12％的大学生选择其它。

社会实践是大学生接触社会，了解社会的一条重要途径。到企事业单位实习的大学生也为数不少，这样既可锻炼自己，提高专业水平，又可开阔视野，接触社会，为日后工作积累社会经验。暑假兼职打工赚钱是许多学生的选择。“流自己的汗，吃自己的饭；自己多吃点苦，父母少花点钱。”这是时下不少大学生“打工族”秉承的至理名言。传统的家教、推销翻译到现在的网吧管理员、市场调研员、快餐店钟点工、导游，甚至是一些大胆另类的选择，如替网络公司试玩游戏等都成为现在大学生打工时所选择的职业。有的大学生在暑假里建立

起了自己的网上商店，或者是在自己学校附近建立起了自己的摊点，为自己打工。

尽管大学生“打工族”具备“初生牛犊不怕虎”的勇气和自信，但他们也同样有着缺乏经验和辨别能力有限的“先天不足”。正因为如此，大学生因打工而上当受骗的事件才层出不穷，有的甚至被骗入传销组织而走上违法犯罪的道路。不少专家也纷纷呼吁，大学生打工要谨防陷阱，社会也应该关注和加强对大学生打工的规范和管理。

二、埋头苦读，继续深造

近年来，社会竞争越来越激烈，加入WTO后就业形势越来越严峻，“知识就是力量”越来越激励着那些有志学子，“专升本”、“出国”、“考研”成为很多大学生的选择，继续深造以满足未来社会对人才的更高要求，暑假则成为这些大学生备战的“黄金时期”。

其中这部分“充电一族”选择充电的方面各不一样：

1．13%的大学生参加各类培训班。各类形形色色的招生广告在校园内随处可见，暑假报名参加英语、电脑培训班的大学生，大都是为了在原有基础上“更上一层楼”。将来社会需要的是复合型人才，掌握多种专业知识，取得多个文凭、证书更有利于找到理想的工作。

2．34%的大学生趁暑假报名参加汽车培训。他们认为学开车为了将来更方便找工作，即使找工作时用不上，也对自己有好处。

3．22%的大学生到图书馆、书店“充电”，摄取精神食粮，完善自己的知识结构和技能等。这些大学生如果能够劳逸结合，在用功学习的同时放松自己的心情，“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”已经与时代不相吻合，暑假是一个充电的好机会，也是一个了解社会的良机。

4．31%的大学生选择在校上自习准备考研，上自习的时间一般为3—5小时。随着高校扩招以来，本科生倍受青昧已成历史，越来越多的大公司倾向于录用起点较高的研究生。因此，考研成了这部分大学生的奋斗目标。

三、出去旅游，饱览风光

旅游，从个人活动、群体行为发展到当今的现代旅游业，已经成为涉及旅游资源、旅游设施、旅游服务、旅游活动等的社会生活方式.大学生到大自然中去接受美的熏陶,包揽祖国山河风光，使生活张弛相济、劳逸结合，使人脑得到精神保健、生命获得和谐运动，现在已经成为一种时尚潮流。部分大学生利用暑期欣赏名山大川，不仅丰富了阅历，增长了经验，从外出经历中体会人生，感触社会，同时也能体验到出门在外的不易出行旅游，度假观光，与同伴相互照顾，增进了解，培养提高了与人交流的能力。

四、“无聊”一族

在放假前早已经制定了周密的暑假计划，但是回到家后睡觉、看电视、上网、看小说成了部分大学生在假期的主要活动，没有暑假盼暑假，暑假到了又觉地无聊，短暂的两个月就像流水一样一去不复返。也有一些大学生本想留在学校学习或到校外兼职，但因为种种原因丧失了自信和兴趣，最终只好郁闷的度过整个暑假。另外有少数学生呆在学校是为了逃避现实中的一些事情或者沉迷于游戏中不能自拔。据调查显示有28.5%同学属于“无聊一族”，其中就有10.7%的人选择了“网吧上网”。

建议

暑假为我们自身发展和知识扩充提供充足时间和广阔空间，我们必须亲自去挖掘它宝贵的资源，实现其价值。通过调查，提供以下建议：

⑴暑期时间参加志愿活动，实现自身价值，增加社会责任感和使命感。

⑵对“考证热” 养自己的综合能力和学习自己的专业知识。

⑶在假期生活中，切不可让放纵、懒散、无知冲昏了头，要加强体育锻炼。

调查结语

通过对暑假生活调查，我们不由得感到欣喜，我们可以从中领略到当代大学生积极向上的风貌，同时也感悟到大学生们独特的思想意识和价值取向。暑假成为很多大学生学习的新阵地，展现青春风采，施展一技之长的好机会。总之，大部分大学生能够根据自己的实际情况，度过一个健康有意义的暑假。

附注：大学生暑假生活问卷调查表

1．暑假的大部分时间是用来做些什么事情？

2．暑假有没有和你要好的同学朋友经常联系？

3．假如有一分很好的兼职，待遇不错，但不合你的兴趣，你会去做吗？

4．暑假有没有去找兼职？假如有的话，那份兼职是你自己找的，还是其他人介绍的？

5．假如暑假是在外度过的，你会不会很想家呢？

6．暑假期间有没有复习功课？有没有关注国内外的大事？是从报纸关注国内外大事，还是

通过电视、网络等手段获得的？

7．暑假的作息时间跟在校的作息时间有没有很大的改变？

8．暑假期间你会很留恋校园生活吗？

9．暑期留校期间，你有没有制定自己的暑期计划

10．如果制定了自己的暑期计划，实施情况如何？是坚持下去还是半途而废？

11．有没有利用暑期时间做志愿活动？

12．暑假期间有没有去上网？有的话，是上网做些什么事情？是聊Q还是查找资料？还上

其他的？

13．暑假期间有没有参加身体锻炼活动？

14．暑假期间你的消费是父母资助的还是自己努力劳动得来的？

15．暑假生活你过得开心吗？很辛苦吗？有没有从中悟出些人生哲理？