第一篇：抽屉原理
三、抽屉原理的应用
1、求抽屉中物品至多数
例：17 名同学参加一次考试，考试题是三道判断题（答案只有对错之分），每名同学都在答题纸上依次写下三道题的答案。请问至少有几名同学的答案是一样的？
分析：从问题出发找抽屉，相同的是答案，这就是抽屉。求抽屉数时可用乘法原理：每一道题都有2种答案，所以三道题的答案有2×2×2=8种，即有8个抽屉。物品为17名同学。17÷8=2……1，由抽屉原理2，至少有2+1=3名同学的答案是一样的。
例：人的头发平均有12万根。假设最多不超过20万根。13亿人中至少有多少人的头发根数相同？
分析：从问题出发，抽屉就是头发根数。头发根数最多不超20万，那么抽屉数为20万。物品为13亿人。1300000000÷200000=6500，由抽屉原理2，至少有6500人的头发根数相同。
2、抽屉原理的逆应用
例：新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同。只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？
分析：取两个球，颜色搭配有15 种可能。15个抽屉，本题中物品即为取球的人。物品数至少为15+1=16个。
拓展 有三种图书：科技书、文艺书、故事书，每位同学可任借两本，问至少多少位同学借书，才能保证其中必有4人借的书类型相同？
分析：抽屉就是借的两本书的组合，共有6种（两本书种类可相同）。为保证必有4人借的书类型相同，物品数（也就是本题中的人数）至少为3×6+1=19人。
总结：结论为“总有a 个物品在一个抽屉里”时（a 不少于2），物品数至少=（a-1）×抽屉数+1。
这是因为将m个物品放入n个抽屉中时，当总有a个物品在一个抽屉中时，最不利情形就是平均分，抽屉中的物品数最多为a，其它抽屉中均有（a-1）个物品。此时就是满足结论的物品数最少的情形：物品数=（a-1）×抽屉数+1。
例：幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎么分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
分析：200为物品数，小朋友为抽屉。结论为“无论怎么分都有人至少分到8块饼干”。根据抽屉原理2，把小朋友的人数设为n，那么200=(8－1)×n+k，k≥1。要求n的最大值。当k最小时，n最大。取k=1，n=199÷7，整数部分为28，所以这群小朋友至多有28名。
总结：当结论为“总有a个物品在同一个抽屉中”时（a不少于2），抽屉数至多=（物品总数-1）÷（a-1）的整数部分。
四、最不利原则
例：口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：
（1）至少取多少根才能保证三种颜色都能取到？
（2）至少取多少根才能保证有2 双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2 双颜色相同的筷子？
分析：（1）最糟糕的情形就是两种颜色的都取完了，还没有取到第三种颜色的。这时只要再取一根就能凑足三种颜色，所以至少取10+10+1=21根。
（2）最糟糕的情形就是其中一种颜色的筷子取出来一甩，其它两种颜色筷子各取了1根，这时只要再取一根就能凑出两双颜色不同的，所以至少取10+2+1=13根。
（3）要取出2 双颜色相同的，也就是取出4 根颜色相同的。最糟糕的情形就是三种颜色每种都取了三根，这时只要再取一根就能凑出四根颜色相同的。所以至少要取3+3+1=10根。
总结：要保证完成目标，我们要把最糟糕的情形考虑进去，在糟糕情形的基础上再加1 就可实现目标。这就是最不利原则！
第二篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计 芙蓉中心小学 简淑梅 【教学内容】：
人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》六年级（下册）第四单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。【教材分析】：
这是一类与“存在性”有关的问题，教材通过几个直观例子，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，从而抽象出“抽屉原理”的一般规律。并利用这一规律对一些简单的实际问题加以“模型化”。即：只需要确定实际生活中某个物体（或某个人、或种现象）的存在就可以了。【学情分析】：
抽屉原理是学生从未接触过的新知识，很难理解抽屉原理的真正含义，尤其是对平均分就能保证“至少”的情况难以理解。
年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。
思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。【教学目标】：
1．知识与能力目标：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。【教学难点】：
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学准备】：
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。【教学过程】：
一、课前游戏，激趣引新。
上课伊始，老师高举3张卡片。（高兴状）
（1）老师这有3张漂亮的卡片，我想把它们送给在坐的三位同学，想要吗？
（2）在送之前，我想请同学们猜一猜，这三张卡片会到男生手上还是会到女生手上？（学生思考后回答：可能送给了3名女生、可能送给了3名男生、也有可能送给了2名男生和1名女生、还有可能送给了2名女生和1名男生。）
（3）同学们列出的这四种情况是这个活动中可能存在的现象，你能从这四种可能存在的现象中找到一种确定现象吗？（学生思考后回答：得到卡片的三个同学当中，至少会有两个同学的性别相同。）
（4）老师背对着学生把卡片抛出验证学生的说法。
（5）如果老师再抛几次还会有这种现象出现吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，也就是我们今天这节课要研究的学习内容，想不想研究啊？
〖设计意图〗：在知识探究之前通过送卡片的游戏，从之前学过的“可能性”导入到今天的学习内容。一方面是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是要激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三是要让学生明白这种“确定现象”与“可能性”之间的联系，为接下来的探究埋下伏笔。
二、操作探究，发现规律。
1．动手摆摆，感性认识。
把4枝铅笔放进3个文具盒中。
（1）小组合作摆一摆、记一记、说一说，把可能出现的情况都列举出来。
（2）提问：不管怎么放，一定会出现哪种情况？讨论后引导学生得出：不管怎样放，总有一个文具盒里至少放了2只铅笔。
〖设计意图〗：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子中
至少放进2根小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子，理解“总有一个杯子”以及“至少2根”。
2．提出问题，优化摆法。
（1）如果把 5支铅笔放进4个文具盒里呢？结果是否一样？怎样解释这一现象？（学生自由摆放，并解释些种现象存在的确定性。）
（2）老师指着一名摆得非常快的同学问：怎么你比别人摆得更快呢？你是否有最简洁、最快速的方法，快快说出来和同学一起分享好吗？
（3）学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法（平均分的方法），组织学生展开讨论：为什么每个杯子里都要放1根小棒呢？
（4）在讨论的基础上，师生小结：假如每个杯子放入一根小棒，剩下的一根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，一定能找到一个杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能将小棒尽可能地分散，保证“至少”的情况。
〖设计意图〗：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。
3．步步逼近，理性认识。
（1）师：把6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔吗？为什么？
把7支铅笔放进6个文具盒里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把20枝笔放进19个盒子里呢？
……
（2）符合这种结果的情况你能一一说完吗？你会用一句归纳这些情况吗？
（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）
〖设计意图〗：通过这个连续的过程发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，从而达到理性认识“抽屉原理”。
4．数量积累，发现方法。
7只鸽子要飞进5个鸽舍里，无论怎么飞，至少会有两子鸽子飞进同一个鸽舍。为什么？
（1）如果要用一个算式表示，你会吗？
（2）算式中告诉我们经过第一次平均分配后，还余下了2只鸽子，这两只鸽子会怎么飞呢？（有可能两只飞进了同一个鸽舍里，也有可能飞进了不同的鸽舍里。）
（3）不管怎么飞，一定会出现哪种情况？
（4）讨论：刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？
（4）如果是“8只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下3只鸽子。）
（5）“9只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下4只鸽子。）
根据学生的回答，用算式表示以上各题，并板书。
〖设计意图〗：从余数1到余数2、3、4……，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。并发现余下的鸽子数只要小于鸽舍数，就一定有“至少有两子鸽子飞进同一个鸽舍”的现象发生。
5．构建模型，解释原理。
（1）观察黑板上的算式，你有了什么新的发现？（只要鸽子数比盒鸽舍数多，且小于鸽舍数的两倍，至少有2只鸽子飞进了同一个鸽舍里。）
（2）刚才我们研究的这些现象就是著名的“抽屉原理”，（教师板书课题：抽屉原理）我们将小棒、鸽子看做物体，杯子、鸽舍看做抽屉。
（3）课件出示：“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
（4）请你用“抽屉原理”解释我们的课前游戏，为什么不管老师怎么送，得到卡片的同学一定有两个同学的性别是一样的？其中什么相当于“物体”？什么相当于“抽屉”？
〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着，并让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。
三、循序渐进，总结规律。
（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？
A、该如何解决这个问题呢？
B、如何用一个式子表示呢？
C、你又发现了什么？
教师根据学生的回答，继续板书算式。
（2）如果一共有7本书呢？9本书呢？
（3）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？
教师师让学生充分讨论后得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”（教师板书。）
〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，引导学生抓住假设法最核心的思路---“有余数除法”，学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。从而得出“某个抽屉书的至少数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，从而使学生从本质上理解了“抽屉原理”。四．运用原理，解决问题。
1、基本类型，说说做做。
（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
（2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
2、深化练习，拓展提升。
（1）有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，如果请五位同学每人任意抽1张，同种花色的至少有几张？为什么？
如果9个人每一个人抽一张呢？
（2）某街道办事处统计人口显示，本街道辖区内当年共有 370名婴儿出生。统计员断定：“至少有2名婴儿是在同一天出生的。”这是为什么？ 至少有多少名婴儿是在同一个月出生的？为什么？
〖设计意图〗：让学生运用所学知识去分析、解决生活实际问题，不仅是学生掌握知识的继续拓展与延伸，还是他们成功解决问题后获取愉悦心情的重要途经；不同题型、不同难度的练习不仅能进一步调动学生学习的积极性，还能满足不同的孩子学到不同的数学，并体会抽屉原理的形式是多种多样的。
五、全课小结，课外延伸。
（1）说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？你还有什么困惑？
（2）用今天学到的知识向你的家长解释下列现象：
从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？
〖设计意图〗：既让学生说数学知识的收获，也引导学生谈情感上的感受，同时培养他们的质疑能力，使三维目标落到实处；把课堂知识延伸到课外，与家长一起分析思考，主要是想拓展学生思维，达到“家校牵手，共话数学”的教学目的。
板书设计。
抽屉原理
物体数 抽屉数 至少数 =商＋1
（铅笔数）（盒子数）
2
3
÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1
〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。
第三篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学反思
严田小学彭性良
《课程标准》指出：数学必须注意从学生的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会数学就在身边，对数学产生浓厚的兴趣和亲近感。也就是创设丰富的学习氛围，激发学生的学习兴趣。通过让学生放苹果的环节，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的内容。通过3个苹果放入2个抽屉的各种情况的猜测，进一步感知抽屉原理。认识抽屉原理不同的表述方式：①至少有一个抽屉的苹果有2个或2个以上；②至少有一个抽屉的苹果不止一个。
充分利用学生的生活经验，对可能出现的结果进行猜测，然后放手让学生自主思考，采用自己的方法进行“证明”，接着再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，教师进一步比较优化，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理。最后出示练习，让学生灵活应用所学知识，解决生活中的实际问题，使学生所学知识得到进一步的拓展。
这种“创设情境——建立模型——解释应用”是新课程倡导的课堂教学模式，让学生经历建模的过程，促进学生对数学原理的理解，进一步培养学生良好的数学思维能力。
第四篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计
教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学过程
一、游戏引入
3个人坐两个座位，3人都要坐下，一定有一个座位上至少坐了2个人。
这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究。
二、新知探究
1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进（）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么发现？
不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。总有是什么意思？至少是什么意思
2、思考
有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢？
1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝铅笔放进5个文具盒中。99支铅笔放进98个文具盒中。是否都有一个文具盒中
至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么？可以用算式表达吗？
4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+余数吗？
三、小试牛刀 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有几张是同花色的？
四、数学小知识
数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做
“抽屉原理”。
五、智慧城堡
1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?
2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相？
3、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，镖镖都中，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起，可以肯定。为什么？
六、小结
这节课你有什么收获？
七、作业：课后练习
第五篇：抽屉原理
4分割图形构造“抽屉”与“苹果”
在一个几何图形内, 有一些已知点, 可以根据问题的要求, 将几何图形进行分割, 用这些分割成的图形作抽屉, 从而对已知点进行分类, 再集中对某个抽屉或某几个抽屉进行讨论, 使问题得到解决.命题4在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数, 如果它们的和等于55, 那么, 一定能找到某个侧面正方形, 其相对顶点所放的数都是奇数.证明
首先, 由8个正整数的和为奇数知, 当中必有奇数个奇数；其次,为奇数的至少有3个, 否则, 假设最多有一个奇数, 便有551246810121457，矛盾!
现以正方体的侧面对角线为棱组成两个三棱锥, D – A1 BC , B1 – ACD1如图1, 3个奇数归入2个三棱锥, 必有2 个奇数属于同一个三棱锥。这两个归入奇数的顶点必是某一侧面正方形的相对顶点。
此命题中的抽屉原理的应用属于“苹果”(元素)、“抽屉”都未直接给出的类型, 需要从几何上去构造两个“抽屉”。并运用奇偶分析法找出3 个“苹果”。
在不超过60的正整数中任取9个数，证明：这9个数中一定有两个数（a和b）的比值满足2a3 3b
2例3 任意给定12 个不同的自然数,证明其中必有两个数的和或差是20 的倍数.证明 将自然数按照除以20 所得的余数分类,得0、l、2、„„、19,共20 类.任意给定的12 个不同的自然数,若有两个数在同一类(即两个数除以20的余数相同),那么它们的差是20 的倍数,结论成立。任意给定的12 个不同的自然数中,每两个数都不在同一类,也就是按上面分的20 类中每一类只多有一个已知数(也可以没有).此时,我们把自然数按被20 除的余数。0、l、2、3、„„、19 分成11类: {I,19},{2,18},{3,17},„,{9,11},{10},{0} 每一类当做1 个抽屉,己知的12 个自然数必有两个在同一个抽屉中,它们的和是20 的倍数
一般地任取2个不同的自然数，必有两个数的和或差是n的倍数.2证明 设所给的自然数为am（m=1、2、……、2），有am=ngm+rm，2nnnrm0、1、2、......、 2则2个自然数的余数，分属1种情况，看做1个抽屉，必有两个数222ai，aj属于同一个抽屉，即rirj。nnn.(1)当rirj时,ai-aj是n的倍数;(2)当ri-rj时, aiaj是n的倍数·
综合(l)、(2)可知,该命题成立
例7 试证:从1,2,3,„,10 这10 个自然数中,任取6个数,则必能找到两个数,其中一个数是另一个数的倍数.分析
6个数,需设计5 个抽屉,把前10个自然数放在5 个抽屉里,且能使每个抽屉中的数具有倍数关系,因此得出如下分类方法:{1,7},}2,6 },{3,9},{4,8},}5,10 }.解 将前10 个自然数分成以下5 组:}l,7},}2,6},{3,9},}4,8},{5,10}.把这5 组看做5 个抽屉.任取6 个数则必有两个数出自同一抽屉里,其中大数是小数的倍数.若题目变为从1,2,3,„,20,这20 个自然数中,任取1 个数,则必能找到两个数,其中一个数是另一个数的倍数.则应这样设计抽屉:{l,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},}{3},{15},{17},{19}.把这10 组看做10抽屉.任取11个数,则必有两个数出自同一抽屉里,只能是前5 个抽屉,其中大数是小数的倍数.一般地,设1a1a2...an12n，则有1ijn1，故aiaj。
证明 设ai2ibi，ai0，2不能整除b（因为1,2,3，…,2nii=1,2,3,„,n+1,其中bi<2n，中恰有n个不同的奇数,故在b1,….,bn+1中至少有两个相同,设bi=bj,1ijn1,故aiaj。
.这是数论中的一个定理,1935 年由爱尔特希(erdos)提出,莱梅证明的例6 给定九个不同的实数a1,a2,...,a9,证明: 至少存在两个实数ai,ajai , aj(ij), 满足: 0naiaj1aiaj21。
ytan，k=1,2,…,9,由在k,单调递增, 22223,分成8个小区间:,，8222证明
设ak= tank-当aiaj时，ij。将33,…,根据抽屉原理, 在,,,至少存在两个角i,j使得8482220ij8，则有: 0tanijtan8，0tanitanj1tanitanj21, 即有0aiaj1aiaj
21
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