写在尘埃落定时(庞加莱猜想的故事)

第一篇：写在尘埃落定时(庞加莱猜想的故事)

写在尘埃落定时──证明世纪难题Poincaré(庞加莱)猜想的俄国

数学家佩尔曼拒绝菲尔兹奖

任平生

２００６年８月２２日西班牙马德里世界数学大会，由西班牙国王颁奖，菲尔兹奖花落四家。这一届的菲尔兹奖颇戏剧性：一如众人期待的那样，证明世纪难题Poincare猜想的俄国数学家佩尔曼拒绝菲尔兹奖，这在菲尔兹奖历史上还是第一次。世界数学大会主席BALL在仪式上说，“我对佩尔曼博士拒绝菲尔兹奖深表遗憾。”菲尔兹奖是数学界的最高奖项，在四年一度的世界数学大会上颁发，是数学家们梦寐以求的最高荣誉。设立菲尔兹奖的一个初衷是即表彰过去的成就又鼓励将来的研究，故规定只有40岁以下者才能得奖，使得获奖的难度更大。象上个世纪末证明世纪难题费马大定理的Wiles，由于过了40大限，世界数学大会还专门为他设了特别奖。

抽象的数学象这一次这样吸引公众的眼球，尤其的是中国公众的眼球还不多见。原因是在此之前丘成桐对北大学术腐败的指责和白热化论战，以及６月丘成桐宣布曹怀东朱熹平完成Poincare猜想的完整证明，为猜想的证明“封顶”。加上一些中国权威数学家出来说中国人在Poincare猜想的贡献约有30%，而佩尔曼只有25%。从现在权威媒体的报道，情形同丘先生的版本有点不一样。世界各大媒体都开始报道此事，但以纽约客杂志给出的故事最为详细。该文把丘成桐写成 反角，说丘成桐出来抢功是搅局，而他对北大学术腐败的指责源于他对北大田刚的嫉妒。其实，数学界的共识是把最高奖赏给予最后决定性一击的作者。比如此次把最高荣誉给予佩尔曼，是因为他把通往目的地最后一座桥的蓝图绘好了，而在此只前众人只能站在河边看。蓝图是有缺陷，但都不是致命的，都可以改好。曹朱也是大家，可能也为蓝图的完备出了力，但毕竟是按佩尔曼指引的方向做出来的，况且文章发表也有一些仓促。纽越客文章作者不愧是写《The Beautiful Mind》（美丽心灵）的高手，虽然真实性有待查证，但十几页的故事确实引人入胜，有兴趣者不妨一读。

走笔到此，不禁为丘成桐先生感到悲哀。丘无疑是天才，这一点有目共睹，即便在攻击他的纽约客的文章里也写道，丘在他二十多岁时就做出了一系列令人瞩目的突破，导致物理学中弦论的革命，为此他也获得了菲尔兹奖和大多数数学方面的荣誉，即使证明Poincare猜想的功劳簿上，丘的贡献（同哈密尔顿共创Ricci流）似乎都比曹怀东、朱熹平大。丘这次说了不智的话是有情结的。他早早高瞻远瞩看到解决问题的道路，自己也是行中一等一的高手，如果解决问题是他的弟子还说的过去，现在落到佩尔曼手里，实在有点心有不甘，加上佩尔曼的网上论文确有小漏洞，因此有了抢功劳那一出。但是丘成桐先生指责的学术腐败在中国绝对真实，而且有愈演愈烈之势，不论他是不是有争当中国数学界的老大之嫌。海外的教授们在外熏陶多年，回国理应带一个好头，但必需指出中国的学术腐败的大头不是海外兼职教授这一块。现在中国知识分子是利益集团，而社会的贫富悬殊又 如此之大，如果丧失社会良心，小心触犯众怒让工人农民揭竿而起。对四五十岁以上的人，文革臭老九的厄运仍然记忆犹新。

这一轮折腾下来，赢家显然是佩尔曼，人人都在称赞他才高八斗且人格高尚。而丘成桐，田刚，北大包括中国学术界统统都是输家，他们付出了知识分子最宝贵的声誉，还有一群意想不到的倒霉蛋。在公众眼里，数学家再次成为不食人间烟火的怪物，网上已经有声音说，陈景润、佩尔曼的故事说明数学家受虐待才能出大成果，所以可以考虑减少他们的待遇和科研经费。

另外本届世界数学大会的另一亮点是，31岁的年轻澳籍华人陶哲轩以极其多产和高质量的多学科成就众望所归地赢得大菲尔兹奖。他是丘成桐之后华人在数学界的又一颗顶级明星，遗憾的是佩尔曼的风头太健，小陶没有引起太大反响。

关于Poincare猜想和故事，下面是一篇转载的短小而又生动的介绍，非数学行内的人由此可以对这件事的来龙去脉有一个大致的了解。

拒领菲尔兹：不是看不起你们，我就是不想领

今天公布了2006菲尔兹奖的得主，俄国人Grigory Perelman因为证明Poincare猜想众望所归地成为四个获奖者之一，也同样跟大家猜测的差不多，他拒绝领奖。

上周纽约时报曾经介绍过Poincare猜想的整个证明过程，中国媒体关心的是其中对于丘成桐一派和田刚一派所作贡献的评价，完全忽 略了这个故事中最有意思的部分。我想大概叙述一下，也好跟人家沾点光。

Poincare猜想是说，任何一个单连通闭三维流型同胚于三维球面。通俗点说就是如果一个空间物体没有洞，那么经过连续的拓扑变换，它等同于一个球，当然为了严格定义“单连通”，需要一点数学想象力，具体说就是里面任何一根封闭曲线都不会饶过一个类似于柱子的东西。这个猜想看上去是如此显然，可是要想用严格的数学方法证明及其困难。实际上1904年就被提出来了，直到今天才证明。

这个猜想的各种推广反而容易证明。比如二维空间的情况非常简单。1960年Stephen Smale证明了五维或更高维空间的情况，并获得菲尔兹奖；1983年Michael Freedman证明了４维空间的情况，也获得菲尔兹。这两位老兄现在一个在丰田研究所，一个在微软。1970年代William Thurston对Poincare猜想做出如下推广：任何三维空间的物体最终都可以用８种基本形状分解，换句话说三维空间只有8种基本形状，比如球啊，面包圈啊等等。这个推广了的猜想当然就叫Thurston猜想。（二维空间只有三种基本形状，简单平面，球面，以及“curved uniformly in two opposite directions like a saddle or the flare of a trumpet”，我看了半天也没想明白这是什么面。）结果Thurston也拿到了菲尔兹。

也就是说你哪怕做出接近Poincare猜想的工作你都得一个菲尔兹。

我理解这个猜想证明的难点在于你怎么描述三维空间的物体，怎 么一对一的mapping（映射）之类的，如果解决了，很可能对计算机图形学有点帮助，有实际应用价值。

最终证明采用的技术就是丘成桐同学整天鼓吹的Ricci流。本来Ricci流是研究广义相对论的时候发明的技术，后来1908年代早期Richard Hamilton提出可以借用这个东西来研究空间形状（Hamilton超龄拿不了菲尔兹了）。拓扑学家们就沿着这条路走，结果发现重大困难，就是里面可能有很多singularity。

这时候轮到Grigory Perelman大侠出手了。他指出，这些singularity肿瘤都是良性的。

2002年11月，Grigory Perelman把他的证明思想贴在了网上。我理解他这么做也可能不是为了耍酷,要想在正规数学杂志发表你必须写一篇严格的长文章（比如说中国队的文章就３、4百页），那意味着你得去做那些脏活累活，Grigory Perelman手下可能没有研究生，干脆就懒得去写了。

Grigory Perelman其实早就成名了，中学时候拿过数学奥林匹克满分金牌，在俄罗斯圣彼得堡州立大学拿的Phd（博士），九十年代在美国做博士后。当大家都发现他是个天才的时候，他决定回圣彼得堡，理由可能是他爱好在那里的森林中采蘑菇。

当大家以为他专心去做采蘑菇的小伙子离开数学了的时候他在网上公布了他的证明或者说证明思想，这个思想可以用来同时证明Poincare猜想和Thurston猜想，为了帮助同学们理解，他到美国访问了一段时间，在几个大学作了点报告。然后他回到圣彼得堡，再次消 失，连E-mail也不回了。

“He came once, he explained things, and that was it,” Dr.Anderson said.“Anything else was superfluous.”

森林外面的数学家们决心做他的研究生。Morgan和田刚详细给出了Poincare猜想的证明，朱熹平和曹怀东详细给出证明两个猜想的证明。

Clay Mathematics Institute为Poincare猜想悬赏一百万美元，显然是发不出去了，他们打算把这笔钱来资助俄罗斯数学家，或者Perelman以前在的研究所，或者干脆资助中学生数学奥林匹克.今天的报道，６月份国际数学联合会的主席跑到圣彼得堡去劝说Perelman领奖，Perelman表现的非常有礼貌：我真不是看不起你们，我就是不想领。

最后主席决定，不管你领不领，我们就发了你能怎么地？