初中数学校本教材(完整版)

第一篇：初中数学校本教材(完整版)

初中数学校本教材

———— 《生活与数学》序言

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”

《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”

数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？

数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。

中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。

三、把握校本教材的可读性-------“使教学有拓展性”

陶行知先生早就说过：“在现状下，把学习的基本自由还给学生。”，经过我们反复的思考和研究，同时邀请专家亲临指点，最终我们确定本课程的基本框架，本课程的设计理念就是要“把学习的基本自由还给学生”，所有的过程基本上都是以学生的活动展开的，真正实现“自主、合作、探究”的学习方式的变革，本课程共分为六个章节，分别是：《古老的数学》，《好玩的数学》，《有用的数学》，《智慧的数学》，《先进的数学》和《美丽的数学》。

在《古老的数学》一章中，并不是把数学史作为一门研究数学的起源、发展过程和规律的学科，而是根据现代心理学发现的一个体现数学史的认知功能的“遗传法则”。从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事，用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体会数学家们为寻找这些知识的付出的艰辛。这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己所学的知识；另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材，让学生体会“只有付出努力才会获得成功的人生道理”，“为实现理想而不懈追求的数学精神”。

在《好玩的数学》一章中，利用心理学中“兴趣是学习最好的老师”的规律，以一系列数学游戏为载体，让学生感受到数学并不是“枯燥”的代名词，真正的数学其实可以是乐趣无穷的，以此来激发学生的学习兴趣，并以这种兴趣作为他以后学习数学的动力和源泉。这样一方面可以让学生主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连，从而为学生学好数学培养内在驱动力；另一方面，也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生巩固看似乏味的知识，让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升。

在《有用的数学》一章中，根据《数学课程标准》：义务教育阶段的数学课程要求“人人学有价值的数学”，设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例。这样做可以使学生深刻的感受到生活中处处存在着数学，数学来源于生活。这些在生活中经常碰到的数学问题需要我们去探究，学生通过对这些数学问题的解决，能够更具体更深刻的理解什么是数学，知道学习和学好数学是很有用的，从而进一步培养学生学习数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力。

在《智慧的数学》一章中，通过穿插一些有趣的数学小故事,以改变人们认为科学研究枯燥无味的看法。本章内容主要包括有趣的数学问题、经 典的数学问题、奇怪的数学问题。通过对“有趣的数学问题”的研究，使学生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求，从而激发学生天生的求知欲；通过对“经典的数学问题”的研究使学生掌握一些基本的数学方法，学会用数学的方法解决问题；通过对“奇怪的数学问题”的研究，帮助学生开阔眼界，增长知识、锻炼和培养学生的创新思维。

在《先进的数学》一章中，主要学习和研究数学软件“几何画板”的使用方法。通过对几何画板软件的学习，可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，改变学生“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；可以开发学生的学习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而实现提高学生数学素养的目的；另外，通过对几何画板软件的学习，可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础，从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。

在《美丽的数学》一章中，展示给大家的是数学的美丽无所不在，数学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法„„都是很美丽的。这些“数学之美”都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、去发现、去挖掘、去欣赏，使美丽的数学成为学生快乐学习的源泉。数学的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为对数学学科的教学，更应该把它作为一种审美教育的载体，用它来感染和启迪学生的心灵，让学生的人格更健全，心灵更美好。

开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心，决不能仅仅凭着自己的兴趣，更重要的是要把它作为自己的事业来做，要付出艰辛的努力、经历痛苦的历程，只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在这个过程中感受成功的喜悦与幸福。

开发校本课程，首先要有一个追求（对我们国家的教育事业无比热爱，功利心不能太强，不要一说到数学研究就问这件事情对我职称评审有没有用，对我评骨干教师有没有用„„），要确定一个核心思想（即开发的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校内外各类资源，要不断地进行课程资源的积累和课程特色的培育；校本课程的规划要根据学生的课程需要来制订；要选择贴近时代特点、社会发展与学生实际的课程内容，要变革教学方式和学习方式，充分发挥师生的独立性、自主性和创造性，引导学生在身心愉悦的环境中实践和研究。

校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一个有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为我们数学教学向数学教育转变服务的理想和追求。

编者按

2011年8月

第一章

兴趣数学

第一节

七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线 只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那 么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：

如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1

图例2

图例3

图例4

第二节

四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名称的由来。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（上右图）。

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题，轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

第三节

麦比乌斯带

数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？

对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。

有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。

一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。

麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。

圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。

做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.实验一

如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。实验二

如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

奇妙之处有三：

一、麦比乌斯环只存在一个面。

二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环（在本文中将之编号为：环0），而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。

三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环1和环2），从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。

数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。

麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运 用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。

一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。

二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。

三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。

四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。

垃圾回收标志

Power Architecture 标志

第四节

分割图形

分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。

用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画

其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。

练习：想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？

第五节

数学故事

（1）奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几 何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米 德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位 数值。这个数值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血 的结晶。

大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他 的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形 的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……

不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题： “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番图的年纪吗？” 丢番图的年纪究竟有多大呢？

设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。

这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁 就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人 们，不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待 遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一 个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方 程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学 分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关 于他的生平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知 道他曾享有84岁的高龄。

（2）希腊十字架问题

图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。

(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;

有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个正方形。

(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其 长是宽的两倍。

第二章

最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到: 数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了: 若2n-1是素数,则数 2n-1[2n-1](1)是完全数.两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为2n1的素数)之间建立了紧密的联系,到1999

年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外), 22(23-1)=28=13+33 2(2-1)=496=1+3+5+7

2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+1

5....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如: 67

3453

31/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.第三章

有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

例1 计算：

分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例3 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例4 计算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 计算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 计算：

分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 计算：

分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本题就是一个例子．

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．

例9计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

． 观察算式找规律

例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例11 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．

分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+„+1997+1999． ①

再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+„+3+1． ②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+„+2000+2000(1000个2000)

=2000×1000．

从而有 S=1000 000．

说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．

分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．

解 设

S=1+5+52+„+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+„+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．

例14 计算：

分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习

1．计算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+„+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6； 第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6；

„„

第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，„„

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋„＋n，因为S1=2，所以

Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

下面对

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，„„ an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，„，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，„，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×＋2！×2＋3！×3＋„＋n！×n.分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n 33 =2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n

=2！×3+3！×3+„＋n！×n

=3！+3！×3+„+n！×n＝„

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样(1)当x=2时，x3=x2+x+2；(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答． 练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3．求适合x5=656356768的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

1．储蓄

银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率经×存期)．

如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,„，sn，则

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，„„，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

解 按表22．1的利率计算．

(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

2．保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

例3 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

解(1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

例4 财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％)

解 哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保险更合算些．

3．纳税

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．

由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

例5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

则 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小张收入3000元．

例6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

解 设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化简、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 这笔稿费是7000元．

练习八

1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

(3)连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？

第六章

中外著名数学家

1、韦达（1540-1603），法国数学家。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．

16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。

3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）

伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念

——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。

伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。”

他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基 人。

4、刘 徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的

贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

5、贾 宪

贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。

他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》

后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）．

9、祖冲之

祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。

祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。

10、祖 暅

祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。

11、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。

第二篇：初中数学兴趣小组校本教材

初中数学校本教材

———— 《校本课程》序言

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”

《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。

现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”

数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？

数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，象圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。

中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。

第一章

兴趣数学

第一节七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的 左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间 的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼 斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次 走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？ 大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个 问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线 只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？ 如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：

如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1

图例2

图例3

图例4

2四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名称的由来。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能 使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可 以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻 的两个区域得到相同的数字。”（右图）

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题,轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。2 麦比乌斯带

每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯(Möbius.A.F 1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。

3分割图形

分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。

我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。

用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画 其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。

练习：想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？

5数学故事

（1）奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几 何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米 德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位 数值。这个数值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血 的结晶。

大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他 的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形 的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……

不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题： “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番图的年纪吗？” 丢番图的年纪究竟有多大呢？

设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁 就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人 们，不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待 遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一 个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方 程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学 分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关 于他的生平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知 道他曾享有84岁的高龄。

（2）希腊十字架问题

图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;

有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们 拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的 是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个 正方形。

(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其 长是宽的两倍。

第二章

最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到: 数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了: 若2n-1是素数,则数 2n-1[2n-1](1)是完全数.两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为

2n1的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外)，22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1

53....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如: 1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.第三章

有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

例1 计算：

分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例4 计算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 计算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 计算：

分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 计算：

分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本题就是一个例子．

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．

例9计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

1． 观察算式找规律

例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例11 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．

分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+„+1997+1999． ①

再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+„+3+1． ②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+„+2000+2000(1000个2000)

=2000×1000．

从而有 S=1000 000．

说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．

分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．

解 设

S=1+5+52+„+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+„+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．

例14 计算：

分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习

1．计算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+„+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，90，76，72，77，83，73，85，92，91，86，78，74，85． 84，75，63，76，97，80，第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6；

„„

第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，„„

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋„＋n，因为S1=2，所以

面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

下

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，„„ an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，„，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，„，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋„＋n！×n.分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n

=2！×3+3！×3+„＋n！×n

=3！+3！×3+„+n！×n＝„

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

(1)当x=2时，x3=x2+x+2；

(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答． 练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3．求适合x5=656356768的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

1．储蓄

银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率经×存期)．

如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,„，sn，则

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，„„，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

解 按表22．1的利率计算．

(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为 20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

2．保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

例3 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

解(1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

例4 财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％)

解 哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保险更合算些．

3．纳税

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．

由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

例5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

则 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小张收入3000元．

例6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

解 设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化简、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 这笔稿费是7000元．

练习八

1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

(3)连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？

第六章

中外著名数学家

1、韦达（1540-1603），法国数学家。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．

16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。

3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）

伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。

伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。”

他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基 人。

4、刘 徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

5、贾 宪

贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。

他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术“(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）．

9、祖冲之

祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。

祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。

10、祖 暅

祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。

11、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。

他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。

他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的”纵横图“及有关的构造方法，同时”垛积术“是杨辉继沈括”隙积术“后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在”纂类“中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。

他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的”习算纲目“是中国数学教育史上的重要文献。

12、赵 爽

赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。

赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式

在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了”重差术"的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。

13、华罗庚

华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。1985年6月12日在日本东京逝世。华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年始，他为伊利诺伊大学教授。

1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积 分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这 一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至 今仍是最佳纪录。代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉 当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍 德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之 一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等 奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作 并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为 “华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

14、陈景润

数学家，中国科学院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年毕业于厦门大学 数学系。1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。历任中国科学院数学研究所研究员、所学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国 际领先的成果。这一成果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛引用。这项工作，使之与王 元教授、潘承洞教授共同获得1978年国家自然科学奖一等奖。其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到 16，受到国际数学界好评。对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究。发表研究论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合 数学》等著作。

15、我们的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。”——陈省身

2004年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省身，在天津病逝．享年93岁．陈省身，1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自

第三篇：谈初中数学校本教材的开发

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”

《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”

数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？

数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。

中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。

三、把握校本教材的可读性-------“使教学有拓展性”

陶行知先生早就说过：“在现状下，把学习的基本自由还给学生。”，经过我们反复的思考和研究，同时邀请专家亲临指点，最终我们确定本课程的基本框架，本课程的设计理念就是要“把学习的基本自由还给学生”，所有的过程基本上都是以学生的活动展开的，真正实现“自主、合作、探究”的学习方式的变革，本课程共分为六个章节，分别是：《古老的数学》，《好玩的数学》，《有用的数学》，《智慧的数学》，《先进的数学》和《美丽的数学》。

在《古老的数学》一章中，并不是把数学史作为一门研究数学的起源、发展过程和规律的学科，而是根据现代心理学发现的一个体现数学史的认知功能的“遗传法则”。从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事，用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体会数学家们为寻找这些知识的付出的艰辛。这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己所学的知识；

另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材，让学生体会“只有付出努力才会获得成功的人生道理”，“为实现理想而不懈追求的数学精神”。

在《好玩的数学》一章中，利用心理学中“兴趣是学习最好的老师”的规律，以一系列数学游戏为载体，让学生感受到数学并不是“枯燥”的代名词，真正的数学其实可以是乐趣无穷的，以此来激发学生的学习兴趣，并以这种兴趣作为他以后学习数学的动力和源泉。这样一方面可以让学生主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连，从而为学生学好数学培养内在驱动力；

另一方面，也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生巩固看似乏味的知识，让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升。

在《有用的数学》一章中，根据《数学课程标准》：义务教育阶段的数学课程要求“人人学有价值的数学”，设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例。这样做可以使学生深刻的感受到生活中处处存在着数学，数学来源于生活。这些在生活中经常碰到的数学问题需要我们去探究，学生通过对这些数学问题的解决，能够更具体更深刻的理解什么是数学，知道学习和学好数学是很有用的，从而进一步培养学生学习数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力。

在《智慧的数学》一章中，通过穿插一些有趣的数学小故事,以改变人们认为科学研究枯燥无味的看法。本章内容主要包括有趣的数学问题、经典的数学问题、奇怪的数学问题。通过对“有趣的数学问题”的研究，使学生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求，从而激发学生天生的求知欲；

通过对“经典的数学问题”的研究使学生掌握一些基本的数学方法，学会用数学的方法解决问题；

通过对“奇怪的数学问题”的研究，帮助学生开阔眼界，增长知识、锻炼和培养学生的创新思维。

在《先进的数学》一章中，主要学习和研究数学软件“几何画板”的使用方法。通过对几何画板软件的学习，可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，改变学生“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；

可以开发学生的学习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而实现提高学生数学素养的目的；

另外，通过对几何画板软件的学习，可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础，从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。

在《美丽的数学》一章中，展示给大家的是数学的美丽无所不在，数学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法……都是很美丽的。这些“数学之美”都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、去发现、去挖掘、去欣赏，使美丽的数学成为学生快乐学习的源泉。数学的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为对数学学科的教学，更应该把它作为一种审美教育的载体，用它来感染和启迪学生的心灵，让学生的人格更健全，心灵更美好。

开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心，决不能仅仅凭着自己的兴趣，更重要的是要把它作为自己的事业来做，要付出艰辛的努力、经历痛苦的历程，只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在这个过程中感受成功的喜悦与幸福。

开发校本课程，首先要有一个追求（对我们国家的教育事业无比热爱，功利心不能太强，不要一说到数学研究就问这件事情对我职称评审有没有用，对我评骨干教师有没有用……），要确定一个核心思想（即开发的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校内外各类资源，要不断地进行课程资源的积累和课程特色的培育；

校本课程的规划要根据学生的课程需要来制订；

要选择贴近时代特点、社会发展与学生实际的课程内容，要变革教学方式和学习方式，充分发挥师生的独立性、自主性和创造性，引导学生在身心愉悦的环境中实践和研究。

校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一个有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为我们数学教学向数学教育转变服务的理想和追求。

第四篇：初中校本课程教材《经典诵读》

初中校本课程教材

经典诵读

前 言

中华文化博大精深，源远流长，丰富多彩的文化瑰宝哺育了一代代中华儿女。《诗经》、《楚辞》、先秦诸子、唐诗、宋词、元曲，《三字经》、《百家姓》、《千字文》、《千家诗》、《论语》等诸多国学经典，荟萃和浓缩了一个民族最宝贵的精神记忆，可以告诉我们很多做人做事的道理，是我们的精神食粮。

经典文化是中华文明传承数千年的重要载体，内容博大精深，流传的经典浩如烟海，纵使天才也没有那么多的经历和时间统统读完。为此，我校根据学生的年龄和认知能力，精心编写了该校本教材，并开发为校本课程对学生进行教育，我们的出发点是诵读经典和语文学科学习相结合，和深化课堂改革相结合，和提升学生文史知识相结合，和学生做人教育提升学生涵养相结合。我们的目标是：

一、传承中华美德。通过学习，让传统经典中承载的 “仁义忠恕孝悌礼信”的道德伦理观和构成中华传统文化的核心价值体系指导青少年处理人与人、人与社会、人与自然的关系。

二、健全人格。让同学们从青少年时期接受熏陶，经典文化将在他们心里埋下种子，随着他们慢慢长大，会与他们形影相随，对他们的一生都将产生积极影响。如今，外来文化、网络文化等所谓“流行文化”对孩子们的影响越来越大，不少学生不但在文化素养方面出现严重“营养不良”，还不同程度地表现出浮躁、自私、攀比、好逸恶劳等不良心态。学习经典让他们在本国优秀传统文化的滋养中成长，健全学生人格，培育民族精神。

三、陶冶情操。优秀的古典经文意存高远，可以培养孩子们的古典文化底蕴和优雅情怀。用这些优秀的传统文化资源充实孩子，给同学们一把开启心智的钥匙，继承和发扬中华民族的灿烂文明，实现人的全面发展。

四、铸造精神。在学生心灵最纯净、记忆力最好的时候接触独具智慧和价值的经典，让学生徜徉于经典文化之中，感受祖国传统文化的巨大魅力，逐渐培养其人文精神。

五、提升智力。让同学们从这些经典中汲取营养，用经典智慧的钥匙开启现代各学科知识的宝库。

办优质教育、育栋梁人才是我们的目标，我校将永远向上，永远攀登，为培养有中国灵魂、世界眼光、有国际竞争力的创新人才而竭尽全力潜心探索、躬身实践，奋然前行，希望学校和学生家长共同努力，积极引导学生品味经典、传承文化，鼓励学生在课外时间读经典，增长这方面的知识，使青少年成为中华民族文明的传递者！

我们坚信：当一批又一批优秀人才秀于中华大地，横卧成梁、挺立成柱的时候，当国家和民族十分兴旺发达，屹立于世界东方的时候，我们教育人的幸福将是充实而又崇高的！

《经典诵读》校本课程编写组

目录

一、爱国篇

满江红/8 示儿/9 过零丁洋/9 十一月四日风雨大作/10 永遇乐·京口北固亭怀古/11 破阵子 为陈同甫赋壮词以寄之/12

二、劝学篇

劝学（孟郊）/14 劝学（荀子）/15

三、励志篇

茅屋为秋风所破歌/29 少年中国说/30 《岳阳楼记》/34 《诫子书》/37 《前出师表》/37 《兰亭集序》/39 《爱莲说》/41 《师说》/42

四、感恩篇

《游子吟》/46 《墨萱图》/47

《纸船——寄母亲》/48 《再别康桥》/49 《我爱这土地》/51 《乡愁》/52

五、红色经典

《贺新郎》/53 《忆秦娥 娄山关 》/53 《长征》/54 《沁园春·雪》/54 《人民解放军占领南京》/55 《西江月·井冈山》/55 《七律·长征 》/58 《卜算子·咏梅》/59 《水调歌头·重上井冈山》59

一、【爱国篇】

满江红 岳飞

怒发冲冠，凭阑处，潇潇雨歇。抬望眼，仰天长啸，壮怀激烈。三十功名尘与土，八千里路云和月。莫等闲，白了少年头，空悲切!

靖康耻，犹未雪；臣子恨，何时灭？驾长车，踏破贺兰山缺。壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血。待从头，收拾旧山河，朝天阙！

【鉴赏】

上片抒发作者为国立功满腔忠义奋发的豪气。

以愤怒填膺的肖像描写起笔，开篇奇突。凭栏眺望，指顾山河，胸怀全局，正英雄本色。“长啸”，状感慨激愤，情绪已升温至高潮。

“三十”、“八千”二句，反思以往，包罗时空，既反映转战之艰苦，又谦称建树之微薄，识度超迈，下语精妙。“莫等”期许未来，情怀急切，激越中微含悲凉。

下片抒写了作者重整山河的决心和报效君王的耿耿忠心。

最后两句语调陡转平和，表达了作者报效朝廷的一片赤诚之心。肝胆沥沥，感人至深。全词如江河直泻，曲折回荡，激发处铿然作金石声。

示 儿

【宋】陆游

死 去 元 知 万 事 空，但 悲 不 见 九 州 同。王 师 北 定 中 原 日，家 祭 无 忘 告 乃 翁。【鉴赏】

这首诗是陆游的绝笔。他在弥留之际，还是念念不忘被女真贵族霸占着的中原领土和人民，热切地盼望着祖国的重新统一，因此他特地写这首诗作为遗嘱，谆谆告诫自己的儿子。从这里我们可以领会到诗人的爱国激情是何等的执着、深沉、热烈、真挚！无怪乎自南宋以来，凡是读过这首诗的人无不为之感动，特别是当外敌入侵或祖国分裂的情况下，更引起了无数人的共鸣。

这首诗用笔曲折，情真意切地表达了诗人临终时复杂的思想情绪，既有对抗金大业未就的无穷遗恨，也有对神圣事业必成的坚定信念。全诗有悲的成分，但基调是激昂的。诗的语言浑然天成，没有丝毫雕琢，全是真情的自然流露，但比着意雕琢的诗更美，更感人。

过零丁洋

（南宋）文天祥

辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。人生自古谁无死，留取丹心照汗青。

【鉴赏】

这是一首永垂千古的述志诗。诗的开头，回顾身世。意在暗示自己是久经磨炼，无论什么艰难困苦都无所畏惧。接着追述战斗生涯：在荒凉冷落的战争环境里，我度过了四年。把个人命运和国家兴亡联系在一起了。三四句承上从国家和个人两个方面，继续抒写事态的发展和深沉的忧愤。这一联对仗工整，比喻贴切，真实反映了当时的社会现实和诗人的遭遇。国家民族的灾难，个人坎坷的经历，万般痛苦煎熬着诗人的情怀，使其言辞倍增凄楚。五六句喟叹更深，以遭遇中的典型事件，再度展示诗人因国家覆灭和己遭危难而颤栗的痛苦心灵。结尾两句以磅礴的气势收敛全篇，写出了宁死不屈的壮烈誓词，意思是，自古以来，人生哪有不死的呢？只要能留得这颗爱国忠心照耀在史册上就行了。

《十一月四日风雨大作》

（南宋）陆游

僵卧孤村不自哀，尚思为国戍轮台。

夜阑卧听风吹雨，铁马冰(兵)河(何)入梦来。

赏析：

陆游自南宋孝宗淳熙十六年(1189)罢官后，闲居家乡山阴农村。此诗作于南宋光宗绍熙三年(1192)十一月四日。当时诗人已经68岁，虽然年迈，但爱国

情怀丝毫未减，日夜思念报效祖国。诗人收复国土的强烈愿望，在现实中当然已不可能实现，于是，在一个“风雨大作”的夜里，触景生情，由情生思，在梦中实现了自己金戈铁马驰骋中原的愿望。感情深沉悲壮，凝聚了诗人所有的爱国主义激情。

永遇乐·京口北固亭怀古

宋·辛弃疾

千古江山，英雄无觅，孙仲谋处。舞榭歌台，风流总被，雨打风吹去。斜阳草树，寻常巷陌。人道寄奴曾住。想当年，金戈铁马，气吞万里如虎。元嘉草草，封狼居胥，赢得仓皇北顾。四十三年，望中犹记，烽火扬州路。可堪回首，佛狸祠下，一片神鸦社鼓。凭谁问：廉颇老矣，尚能饭否？

赏析：

《永遇乐·京口北固亭怀古》写于宋宁宗开禧元年(1205), 辛弃疾六十六岁时。当时韩侂胄执政, 正积极筹划北伐, 闲置已久的辛弃疾于前一年被起用为浙东安抚使，这年春初，又受命担任镇江知府，戍守江防要地京口(今江苏镇江)。从表面看来，朝廷对他似乎很重视，然而实际上只不过是利用他那主战派元老的招牌作为号召而已。辛弃疾到任后，一方面积极布置军事进攻的准备工作；但另一方面，他又清楚地意识到政治斗争的险恶，自身处境的孤危，深感很难有所作为。辛弃疾支持北伐抗金的决策，但是对独揽朝政的韩侂胄轻敌冒进的作法，又感到忧心忡忡，他认为应当做好充分准备，绝不能草率从事，否则难免重蹈覆辙，使北伐再次遭到失败。辛弃疾的意见没有引起南宋当权者的重视。一次他来到京口北固亭，登高眺望，怀古忆昔，心潮澎湃，感慨万千，于是写下了这篇千古传诵的杰作。

破阵子 为陈同甫赋壮词以寄之

南宋 辛弃疾

醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。了却君王天下事，赢得生前身后名。可怜白发生！

赏析：

这是辛弃疾寄给陈亮（字同甫）的一首词。陈亮是一位爱国志士，一生坚持抗金的主张，他是辛弃疾政治上、学术上的好友。他一生不得志，五十多岁才状元及第，第二年就死了。他俩同是被南宋统治集团所排斥、打击的人物。宋淳熙十五年，陈亮与辛弃疾曾经在江西鹅湖商量恢复大计，但是后来他们的计划全都落空了。这首词可能是这次约会前后的作品。

【劝学篇】

劝学

（唐）孟郊

击石乃有火，不击元无烟。人学始知道，不学非自然。万事须己运，他得非我贤。青春须早为，岂能长少年。

【鉴赏】

只有击打石头，才会有火花；如果不击打，连一点儿烟也不冒出。人也是这样，只有通过学习，才能掌握知识；如果不学习，知识不会从天上掉下来。

任何事情必须自己去实践，别人得到的知识不能代替自己的才能。青春年少时期就应趁早努力，一个人难道能够永远都是“少年”吗？

劝 学

荀子

君子曰：学不可以已。青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水。木直中绳，輮（rïu）以为轮，其曲中规。虽有（yîu）槁暴（pù），不复挺者，輮使之然也。故木受绳则直，金就砺则利，君子博学而日参省乎己，则知明而行无过矣。

故不登高山，不知天之高也；不临深溪，不知地之厚也；不闻先王之遗

言，不知学问之大也。干,越,夷,貉之子，生而同声，长而异俗，教使之然也。诗曰：“嗟尔君子，无恒安息。靖共尔位，好是正直。神之听之，介尔景福。”神莫大于化道，福莫长于无祸。

吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也。吾尝跂而望矣，不如登高之博见也。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生(xìng)非异也，善假于物也。

南方有鸟焉，名曰蒙鸠，以羽为巢，而编之以发，系之苇苕，风至苕折，卵破子死。巢非不完也，所系者然也。西方有木焉，名曰射干，茎长四寸，生于高山之上，而临百仞之渊，木茎非能长也，所立者然也。蓬生麻中，不扶而直；白沙在涅，与之俱黑。兰槐之根是为芷，其渐之滫（xiǔ），君子不近，庶人不服。其质非不美也，所渐者然也。故君子居必择乡，游必就士，所以防邪辟而近中正也。

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹（dù）。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。酰酸，而蚋聚焉。故言有招祸也，行有招辱也，君子慎其所立乎！

积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。蚓无爪牙之利，筋骨之强，上食埃土，下饮黄泉，用心一也。蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，用心躁也。

是故无冥冥之志者，无昭昭之明；无惛惛之事者，无赫赫之功。行衢(qú)道者不至，事两君者不容。目不能两视而明，耳不能两听而聪。螣蛇无足而飞，鼫鼠五技而穷。《诗》曰：“尸鸠在桑，其子七兮。淑人君子，其仪一兮。其仪一兮，心如结兮！”故君子结于一也。

昔者瓠巴鼓瑟，而流鱼出听；伯牙鼓琴，而六马仰秣。故声无小而不闻，行无隐而不形。玉在山而草润，渊生珠而崖不枯。为善不积邪？安有不闻者乎？

学恶乎始？恶乎终？曰：其数则始乎诵经，终乎读礼；其义则始乎为士，终乎为圣人，真积力久则入，学至乎没而后止也。故学数有终，若其义则不可须臾舍也。为之，人也；舍 之，禽兽也。故书者，政事之纪也；诗者，中声之所止也；礼者，法之大分，类之纲纪也。故学至乎礼而止矣。夫是之谓道德之极。礼之敬文也，乐之中和也，诗书之博也，春秋之微 也，在天地之间者毕矣。君子之学也，入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静。端而言，蝡而动，一可以为法则。小人之学也，入乎耳，出乎口；口耳之间，则四寸耳，曷足以美七尺之躯哉！古之学者为己，今之学者为人。君子之学也，以美其身；小人之学也，以为禽犊。故不问而告谓之傲，问一而告二谓之囋。傲、非也，囋、非也；君子如响矣。

学莫便乎近其人。礼乐法而不说，诗书故而不切，春秋约而不速。方其人之习君子之说，则尊以遍矣，周于世矣。故曰：学莫便乎近其人。

学之经莫速乎好其人，隆礼次之。上不能好其人，下不能隆礼，安特将学杂识志，顺诗书而已耳。则末世穷年，不免为陋儒而已。将原先王，本仁义，则礼正其经纬蹊径也。若挈裘领，诎五指而顿之，顺者不可胜数也。不道礼宪，以诗书为之，譬之犹以指测河也，以戈舂黍也，以锥餐壶也，不可

以得之矣。故隆礼，虽未明，法士也；不隆礼，虽察辩，散儒也。

问楛者，勿告也；告楛者，勿问也；说楛者，勿听也。有争气者，勿与辩也。故必由其道至，然后接之；非其道则避之。故礼恭，而后可与言道之方；辞顺，而后可与言道之理；色从而后可与言道之致。故未可与言而言，谓之傲；可与言而不言，谓之隐；不观气色而言，谓瞽。故君子不傲、不隐、不瞽，谨顺其身。诗曰：“匪交匪舒，天子所予。”此之谓也。

百发失一，不足谓善射；千里跬步不至，不足谓善御；伦类不通，仁义不一，不足谓善学。学也者，固学一之也。一出焉，一入焉，涂巷之人也；其善者少，不善者多，桀纣盗跖也；全之尽之，然后学者也。

君子知夫不全不粹之不足以为美也，故诵数以贯之，思索以通之，为其人以处之，除其害者以持养之。使目非是无欲见也，使口非是无欲言也，使心非是无欲虑也。及至其致好之也，目好之五色，耳好之五声，口好之五味，心利之有天下。是故权利不能倾也，群众不能移也，天下不能荡也。生乎由是，死乎由是，夫是之谓德操。德操然后能定，能定然后能应。能定能应，夫是之谓成人。天见其明，地见其光，君子贵其全也。【译文】

有道德修养的人说：学习是不可以停止的。靛青是从蓝草里提取的，可是比蓝草的颜色更深；冰是水凝结而成的，却比水还要寒冷。木材直得可以符合拉直的墨线，用火烤把它弯曲成车轮，（那么）木材的弯度（就）合乎圆规的标准了，即使又被风吹日晒而干枯了，（木材）也不会再挺直，是因为经过加工，使它成为这样的。所以木材用墨线量过，再经辅具加工就能取直，刀剑等金属制品在磨刀石上磨过就能变得锋利，君子广泛地学习，而且每天检查反省自己，那么他就会聪明机智，而行为就不会有过错了。

因此，不登上高山，就不知天多么高；不面临深涧，就不知道地多么厚；不懂得先代帝王的遗教，就不知道学问的博大。干越夷貉之人，刚生下来啼哭的声音是一样的，而长大后风俗习性却不相同，这是教育使之如此。《诗经》上说：“你这个君子啊，不要总是贪图安逸。恭谨对待你的本职，爱好正直的德行。神明听到这一切，就会赐给你洪福 祥瑞。”精神修养没有比受道德熏陶感染更大了，福分没有比无灾无祸更长远了。

我曾经整天地思考，却不如片刻学习的收获大；我曾经提起脚后跟眺望，却不如登上高处看的广阔。登上高处招手，手臂并没有加长，但人们在远处也能看见；顺着风向呼喊，声音并没有增强，但听的人听得更清楚。借助车马的人，不是脚步快，却能到达千里之外；借助船舶楫桨的人，不一定善于游水，却能横渡长江黄河。君子的本性（同一般人）没有差别，只是善于借助外物罢了。

南方有一种叫“蒙鸠”的鸟，用羽毛作窝，还用毛发把窝编结起来，把窝系在嫩芦苇的花穗上，风一吹苇穗折断，鸟窝就坠落了，鸟蛋全部摔烂。不是窝没编好，而是不该系在芦苇上面。西方有种叫“射干”的草，只有四寸高，却能俯瞰百里之遥，不是草能长高，而是因为它长在了高山之巅。蓬草长在麻地里，不用扶持也能挺立住，白沙混进了黑土里，就再不能变白了，兰槐的根叫香艾，一但浸入臭水里，君子下人都会避之不及，不是艾本身不香，而是被浸泡臭了。所以君子居住要选择好的环境，交友要选择有道德的人，才能够防微杜渐保其中庸正直。

事情的发生都是有起因的，荣辱的降临也与德行相应。肉腐了生蛆，鱼枯死了生虫，懈怠疏忽忘记了做人准则就会招祸。太坚硬物体易断裂，太柔弱了又易被束缚，与人不善会惹来怨恨，干柴易燃，低洼易湿，草木丛生，野兽成群，万物皆以类聚。所以靶子设置好了就会射来弓箭，树长成了森林就会引来斧头砍伐，树林繁茂荫凉众鸟就会来投宿，醋变酸了就会惹来蚊虫，所以言语可能招祸，行为可能受辱，君子为人处世不能不保持谨慎。

堆积土石成了高山，风雨就从这里兴起了；汇积水流成为深渊，蛟龙就从这儿产生了；积累善行养成高尚的品德，精神就能达到很高的境界，圣人的思想（也就）具备了。所以不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海。千里马一跨跃，也不足十步远；劣马拉车走十天，（也能走得很远，）它的成功就在于不停地走。雕刻一样物品但最后放弃了它了，（那么）腐烂的木头也刻不断。（如果）不停地刻下去，（那么）金石也能雕刻成功。蚯蚓没有锋利的爪牙，强健的筋骨，却能向上吃到泥土，向下可以喝到泉水，这是由于它用心专一啊。蟹有六条腿和两个蟹钳，（但是）如果没有蛇、鳝的洞穴它就无处存身，这是因为它用心浮躁啊。

因此没有刻苦钻研的心志，学习上就不会有显著成绩；没有埋头苦干的实践，事业上就不会有巨大成就。在歧路上行走达不到目的地，同时事奉两个君主的人，两方都 不会容忍他。眼睛不能同时看两样东西而看明白，耳朵不能同时听两种声音而听清楚。螣蛇没有脚但能飞，鼫鼠有五种本领却还是没有办法。《诗》上说：“布谷鸟筑巢在桑树上，它的幼鸟儿有七只。善良的君子们，行为要专一不偏邪。行为专一不偏邪，意志才会如磐石坚。”所以君子的意志坚定专一。

古有瓠巴弹瑟，水中鱼儿也浮出水面倾听，伯牙弹琴，拉车的马会停食仰头而听。所以声音不会因为微弱而不被听见，行为不会因为隐秘而不被发现。宝玉埋在深山，草木就会很润泽，珍珠掉进深渊，崖岸就不会干枯。行

善可以积累，哪有积善成德而不被广为传诵的呢？

学习究竟应从何入手又从何结束呢？答：按其途径而言，应该从诵读《诗》、《书》等经典入手到《礼经》结束；就其意义而言，则从做书生入手到成为圣人结束。真诚力行，这样长期积累，必能深入体会到其中的乐趣，学到死方能后已。所以学习的教程虽有尽头，但进取之愿望却不可以有片刻的懈怠。毕生好学才成其为人，反之又与禽兽何异？《尚书》是政事的记录；《诗经》是心声之归结；《礼经》是法制的前提、各种条例的总纲，所以要学到《礼经》才算结束，才算达到了道德之顶峰。《礼经》敬重礼仪，《乐经》讲述中和之声，《诗经》《尚书》博大广阔，《春秋》微言大义，它们已经将天地间的大学问都囊括其中了。

君子学习，是听在耳里，记在心里，表现在威仪的举止和符合礼仪的行动上。一举一动，哪怕是极细微的言行，都可以垂范于人。小人学习是从耳听从嘴出，相距不过四寸而已，怎么能够完美他的七尺之躯呢？古人学习是自身道德修养的需求，现在的人学习则只是为了炫耀于人。君子学习是为了完善自我，小人学习是为了卖弄和哗众取宠，将学问当作家禽、小牛之类的礼物去讨人好评。所以，没人求教你而去教导别人叫做浮躁；问一答二的叫罗嗦；浮躁罗嗦都是不对的，君子答问应像空谷回音一般，不多不少、恰到好处。

学习没有比亲近良师更便捷的了。《礼经》、《乐经》有法度但嫌疏略；《诗经》、《尚书》古朴但不切近现实；《春秋》隐微但不够周详；仿效良师学习君子的学问，既崇高又全面，还可以通达世理。所以说学习没有比亲近良师更便捷的了。

崇敬良师是最便捷的学习途径，其次就是崇尚礼仪了。若上不崇师，下

不尚礼，仅读些杂书，解释一下《诗经》《尚书》之类，那么尽其一生也不过是一介浅陋的书生而已。要穷究圣人的智慧，寻求仁义的根本，从礼法入手才是能够融会贯通的捷径。就像弯曲五指提起皮袍的领子，向下一顿，毛就完全顺了。如果不究礼法，仅凭《诗经》《尚书》去立身行事，就如同用手指测量河水，用戈舂黍米，用锥子到饭壶里取东西吃一样，是办不到的。所以，尊崇礼仪，即使对学问不能透彻明了，不失为有道德有修养之士；不尚礼仪，即使明察善辩，也不过是身心散漫无真实修养的浅陋儒生而已。

如果有人前来向你请教不合礼法之事，不要回答；前来诉说不合礼法之事，不要去追问；在你面前谈论不合礼法之事，不要去参与；态度野蛮好争意气的，别与他争辩。所以，一定要是合乎礼义之道的，才给予接待；不合乎礼义之道的，就回避他；因此，对于恭敬有礼的人，才可与之谈道的宗旨；对于言辞和顺的人，才可与之谈道的内容；态度诚恳的，才可与之论及道的精深义蕴。所以，跟不可与之交谈的交谈，那叫做浮躁；跟可与交谈的不谈那叫怠慢；不看对方回应而随便谈话的叫盲目。因此，君子不可浮躁，也不可怠慢，更不可盲目，要谨慎地对待每位前来求教的人。《诗经》说：“不浮躁不怠慢才是天子所赞许的。”说的就是这个道理。

射出的百支箭中有一支不中靶，就不能算是善于射；驾驭车马行千里的路程，只差半步而没能走完，这也不能算是善于驾；对伦理规范不能融会贯通、对仁义之道不能坚守如一，当然也不能算是善学。学习本是件很需要专心至致的事情，学一阵又停一阵那是市井中的普通人。好的行为少而坏的行为多，桀、纣、拓就是那样的人。能够全面彻底地把握所学的知识，才算得上是个学者。

君子知道学得不全不精就不算是完美，所以诵读群书以求融会贯通，用

思考和探索去理解，效仿良师益友来实践，去掉自己错误的习惯性情来保持养护。使眼不是正确的就不想看、耳不是正确的就不想听，嘴不是正确的就不想说，心不是正确的就不愿去思虑。等达到完全醉心于学习的理想境地，就如同眼好五色，耳好五声，嘴好五味那样，心里贪图拥有天下一样。如果做到了这般地步，那么，在权利私欲面前就不会有邪念，人多势众也不会屈服的，天下万物都不能动摇信念。活着是如此，到死也不变。这就叫做有德行、有操守。有德行和操守，才能做到坚定不移，有坚定不移然后才有随机应对。能做到坚定不移和随机应对，那就是成熟完美的人了。到那时天显现出它的光明，大地显现出它的广阔，君子的可贵则在于他德行的完美无缺。

名言警句

1、敏而好学，不耻下问——孔子

2、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈

3、学而不思则罔，思而不学则殆——孔子

4、知之者不如好之者，好之者不如乐之者——孔子

5、三人行，必有我师也。择其善者而从之，其不善者而改之——孔子

6、兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子

7、己所不欲，勿施于人——孔子

8、读书破万卷，下笔如有神——杜甫

9、读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹

10、立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修

11、读万卷书，行万里路——刘彝

12、黑发不知勤学早，白发方悔读书迟——颜真卿

13、书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦

14、书犹药也，善读之可以医愚——刘向

15、少壮不努力，老大徒伤悲——《汉乐府。长歌行》

16、莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞

17、发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼

18、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅

19、立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮

21、勿以恶小而为之，勿以善小而不为——陈寿《三国志》

22、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》

23、书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游

24、问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹

25、旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼

26、书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄

27、读书百遍，其义自见——《三国志》

28、千里之行，始于足下——老子

29、路漫漫其修道远，吾将上下而求索——屈原 30、奇文共欣赏，疑义相如析——陶渊明

31、读书之法，在循序而渐进，熟读而精思——朱熹

32、吾生也有涯，而知也无涯——庄子

33、非学无以广才，非志无以成学——诸葛亮

34、玉不啄，不成器；人不学，不知道——《礼记》

【励志篇】

茅屋为秋风所破歌

杜甫

八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅。

茅飞度江洒江郊，高者挂卷长林梢，下者飘转沈塘坳。

南村群童欺我老无力，忍能对面为盗贼。

公然抱茅入竹去，唇焦口燥呼不得，归来倚仗自叹息。

俄顷风定云墨色，秋天漠漠向昏黑。

布衾多年冷似铁，骄儿恶卧蹋里裂。

床头屋漏无干处，雨脚如麻未断绝。

自经丧乱少睡眠，长夜沾湿何由彻！

安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜，风雨不动安如山！呜呼，何时眼前突兀见此屋，吾庐独破受冻死亦足！鉴赏：

本诗作者抒发的情怀与范仲淹的《岳阳楼记》中“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”抒发的情怀基本一致。也表达了作者关心民间疾苦，忧国忧民的思想感情。

俄国著名文学评论家别林斯基曾说：“任何一个诗人也不能由于他自己和靠描写他自己而显得伟大，不论是描写他本身的痛苦，或者描写他本身的幸福。任何伟大诗人之所以伟大，是因为他们的痛苦和幸福的根子深深地伸进了社会和历史的土壤里，因为他是社会、时代、人类的器官和代表。”杜甫在这首诗里描写了他本身的痛苦，但他不是孤立地、单纯地描写他本身的痛苦，而是通过描写他本身的痛苦来表现“天下寒士”的痛苦，来表现社会的苦难、时代的苦难。

他也不是仅仅因为自身的不幸遭遇而哀叹、而失眠、而大声疾呼，在狂风猛雨无情袭击的秋夜，诗人脑海里翻腾的不仅是“吾庐独破”，而且是“天下寒士”的茅屋俱破。杜甫这种炽热的忧国忧民的情感和迫切要求变革黑暗现实的崇高理想，千百年来一直激动读者的心灵，并发生过积极的作用。

少年中国说

梁启超

日本人之称我中国也，一则曰老大帝国，再则曰老大帝国。是语也，盖袭译欧西人之言也。呜呼！我中国其果老大矣乎？梁启超曰：恶！是何言！是何言！吾心目中有一少年中国在。

欲言国之老少，请先言人之老少。老年人常思既往，少年人常思将来。惟思既往也，故生留恋心；惟思将来也，故生希望心。惟留恋也，故保守；惟希望也，故进取。惟保守也，故永旧；惟进取也，故日新。惟思既往也，事事皆其所已经者，故惟知照例；惟思将来也，事事皆其所未经者，故常敢破格。老年人常多忧虑，少年人常好行乐。惟多忧也，故灰心；惟行乐也，故盛气。惟灰心也，故怯懦；惟盛气也，故豪壮。惟怯懦也，故苟且；惟豪壮也，故冒险。惟苟且也，故能灭世界；惟冒险也，故能造世界。老年人常厌事，少年人常喜事。惟厌事也，故常觉一切事无可为者；惟好事也，故常觉一切事无不可为者。老年人如夕照，少年人如朝阳。老年人如瘠牛，少年人如乳虎。此老年与少年性格不同之大略也。梁启超曰：人固有之，国亦宜然。

造成今日之老大中国者，则中国老朽之冤业也；制出将来之少年中国者，则中国少年之责任也。故今日之责任，不在他人，而全在我少年。少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于

地球。红日初升，其道大光；河出伏流，一泻汪洋；潜龙腾渊，鳞爪飞扬；乳虎啸谷，百兽震惶；鹰隼试翼，风尘翕张；奇花初胎，矞矞皇皇；干将发硎，有作其芒；天戴其苍，地履其黄；纵有千古，横有八荒，前途似海，来日方长。美哉,我少年中国，与天不老；壮哉,我中国少年，与国无疆！

【译文】

日本人称呼我们中国，一称作老大帝国，再称还是老大帝国。这个称呼，是承袭照译了欧洲西方人的话。真是实在可叹啊！我们中国果真是老大帝国吗？梁启超说：“不！这是什么话！这算什么话！在我心中有一个少年中国存在。”

要想说国家的老与少，请让我先来说一说人的老与少。老年人常常喜欢回忆过去，少年人则常常喜欢考虑将来。由于回忆过去，所以产生留恋之心；由于考虑将来，所以产生希望之心。由于留恋，所以保守；由于希望，所以进取。由于保守，所以永远陈旧；由于进取，所以日日更新。由于回忆过去，所有的事情都是他已经经历的，所以只知道照惯例办事；由于思考未来，各种事情都是他所未经历的，因此常常敢于破格。老年人常常多忧虑，少年人常常喜欢行乐。因为多忧愁，所以容易灰心；因为要行乐，所以产生旺盛的生气。因为灰心，所以怯懦；因为气盛，所以豪壮。因为怯懦，所以只能苟且；因为豪壮，所以敢于冒险。因为苟且因循，所以必定使社会走向死亡；因为敢于冒险，所以能够创造世界。老年人常常厌事，少年人常常喜欢任事。因为厌于事，所以常常觉得天下一切事情都无可作为；因为好任事，所以常常觉得天下一切事情都无不可为。老年人如夕阳残照，少年人如朝旭初阳。老年人如瘦瘠的老牛，少年人如初生的虎犊。老年人如坐僧，少年人如飞侠。老年人如释义的字典，少年人如活泼的戏文。老年人如抽了鸦片洋烟，少年人如喝了白兰地烈酒。老

年人如告别行星向黑暗坠落的陨石，少年人如海洋中不断增生的珊瑚岛。老年人如埃及沙漠中矗立的金字塔，少年人如西伯利亚不断延伸的大铁路。老年人如秋后的柳树，少年人如春前的青草。老年人如死海已聚水成大泽，少年人如长江涓涓初发源。这些是老年人与少年人性格不同的大致情况。梁启超说：人固然有这种不同，国家也应当如此。

梁启超说：造成今天衰老腐朽中国的，是中国衰老腐朽人的罪孽。创建未来的少年中国的，是中国少年一代的责任。那些衰老腐朽的人有什么可说的，他们与这个世界告别的日子不远了，而我们少年才是新来并将与世界结缘。如租赁房屋的人一样，他们明天就将迁到别的地方去住，而我们今天才搬进这间屋子居住。将要迁居别处的人，不爱护这间屋子的窗户，不清扫治理这间房舍的庭院走廊，这是俗人常情，又有什么值得奇怪的！至于象我们少年人，前程浩浩远大，回顾辽阔深远。中国如果成为牛马奴隶，那么烹烧、宰割、鞭打的惨酷遭遇，只有我们少年承受。中国如果称霸世界，主宰地球，那么发号施令左顾右盼的尊贵光荣，也只有我们少年享受；这对于那些气息奄奄将与死鬼做邻居的老朽有什么关系？他们如果漠然对待这一问题还可以说得过去。我们如果漠然地对待这一问题，就说不过去了。假如使全国的少年果真成为充满朝气的少年，那么我们中国作为未来的国家，它的进步是不可限量的；假如全国的少年也变成衰老腐朽的人，那么我们中国就会成为从前那样的国家，它的灭亡不久就要到来。所以说今天的责任，不在别人身上，全在我们少年身上。少年聪明我国家就聪明，少年富裕我国家就富裕，少年强大我国家就强大，少年独立我国家就独立，少年自由我国家就自由，少年进步我国家就进步，少年胜过欧洲，我国家就胜过欧洲，少年称雄于世界，我国家就称雄于世界。红日刚刚升起，道路充满霞光；黄河从地下冒出来，汹涌奔泻浩浩荡荡；潜龙从深渊中

腾跃而起，它的鳞爪舞动飞扬；小老虎在山谷吼叫，所有的野兽都害怕惊慌，雄鹰隼鸟振翅欲飞，风和尘土高卷飞扬；奇花刚开始孕起蓓蕾，是光明盛大的样子；宝剑新磨，锋刃大放光芒。头顶着青色的长天，脚踏着黄色的大地，从纵的时间看有悠久的历史，从横的空间看有辽阔的疆域。前途像海一般宽广，未来的日子无限远长。美丽啊，我的少年中国，将与天地共存不老！雄壮啊，我的中国少年，将与祖国万寿无疆！

《岳阳楼记》

范仲淹

庆历四年春，滕子京谪（封建王朝官吏降职或远调）守巴陵郡。越（及，到）明年，政通人和，百废具（同“俱”全，皆）兴。乃重修岳阳楼，增其旧制，刻唐贤今人诗赋于其上。属（同“嘱”）予作文以记之。

予观夫巴陵胜状（好风景），在洞庭一湖。衔远山，吞长江，浩浩汤汤（水波浩荡的样子），横（广远）无际（边）涯；朝晖（日光）夕阴，气象万千。此则岳阳楼之大观也。前人之述备矣。然则北通巫峡，南极（尽）潇湘，迁客骚人，多会于此，览物之情，得无异乎？

若夫霪雨（连绵不断的雨）霏霏，连月不开（放晴），阴风怒号，浊浪排空（冲向天空）；日星隐耀，山岳潜形；商旅不行，樯倾楫摧；薄（迫近）暮冥冥，虎啸猿啼。登斯楼也，则有去国怀乡，忧谗畏讥，满目萧然，感极而悲者矣。

至若春和景（日光）明，波澜不惊，上下天光，一碧万顷；沙鸥翔集，锦鳞（美丽的鱼）游泳；岸芷汀兰，郁郁青青。而或长烟一空，皓月千里，浮光跃金，静影沉璧，渔歌互答，此乐何极！登斯楼也，则有心旷神怡，宠辱偕忘，把（持）酒临风，其喜洋洋者矣。

嗟夫！予尝（曾经）求（探求）古仁人之心，或异二者之为，何哉？不以物喜，不以己悲；居庙堂之高则忧其民；处江湖之远则忧其君。是进亦忧，退亦忧。然则何时而乐耶？其必曰“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”乎。噫！微（没有）斯人，吾谁与归（归依？ 时六年九月十五日。

赏析

《岳阳楼记》的著名，首先是因为它的思想境界崇高。和它同时的另一位著名的文学家欧阳修在为他写的碑文中说，他从小就有志于天下，常自诵曰：“士当先天下之忧而忧，后天下之乐而乐也。”可见《岳阳楼记》末尾所说的“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”，是范仲淹一生行为的准则。孟子说：“达则兼善天下，穷则独善其身”。这已成为封建时代许多士大夫的信条。范仲淹写这篇文章的时候正贬官在外，“处江湖之远”，本来可以采取独善其身的态度，落得清闲快乐。可是他不肯这样，仍然以天下为己任，用“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这两句话来勉励自己和朋友，这是难能可贵的。

一个人要做到先忧，必须有胆、有识、有志，固然不容易；而一个先忧之士当他建立了功绩之后还能后乐，才更加可贵。这两句话所体现的精神，那种吃苦在前，享乐在后的品质，在今天无疑仍有教育意义。

《诫子书》

诸葛亮

夫(fú)君子之行，静以修身，俭以养德。非淡泊(澹泊)无以明志，非宁静无以致远。夫学须静也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。淫漫则不能励精，险躁则不能冶性。

年与时驰，意与日去，遂成枯落，多不接世，悲守穷庐，将复何及！

赏析：

古代家训，大都浓缩了作者毕生的生活经历、人生体验和学术思想等方面内容，不仅他的子孙从中获益颇多，就是今人读来也大有可借鉴之处。三国时蜀汉丞相诸葛亮被后人誉为“智慧之化身”，他的《诫子书》也可谓是一篇充满智慧之语的家训，是古代家训中的名篇。文章短小精悍，阐述修身养性、治学做人的深刻道理，读来发人深省。

《前出师表》 诸葛亮

臣亮言：先帝创业未半，而中道崩殂；今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣，不懈于内；忠志之士，忘身于外者：盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气；不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同：若有作奸犯科，及为忠善者，宜付有司，论其刑赏，以昭陛下平明之治；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费依、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必得裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用之于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，事无大小，悉以咨之，必能使行阵和穆，优劣得所也。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也！侍中、尚书、长史、参军，此悉贞亮死节之臣也，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，谘臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间：尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧虑，恐付托不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，甲兵已足，当奖帅三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都：此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、依、允等之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效则治臣之罪，以告先帝之灵；若无兴复之言，则责攸之、依、允等之咎，以彰其慢。陛下亦宜自谋，以谘诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激！今当远离，临表涕泣，不知所言。

赏析：

《出师表》前半部分是临行时的进谏，后半部分乃表明此行夺胜的决心。刘禅虽为蜀主，而蜀之安危成败，实系于诸葛亮之身，因而率众出征时，当促使后主保持清醒的头脑，具备正确的观点，采取得力的措施，才能保证前方顺利进军；同时表明自己忠贞死节之心，既是自勉自励，也是预防小人惑主。

《兰亭集序》 王羲之

永和九年，岁在癸丑暮春之初，会于会稽山阴之兰亭。修禊事也，群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭、茂林修竹，又有清流激湍映带左右，引以为流觞曲水。列坐其次，虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。是日也，天朗气清、惠风和畅，仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也！夫人之相与俯仰一世，或取诸怀抱，悟言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外；虽趣舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于

己，快然自足，不知老之将至，及其所之既惓，情随事迁，感慨系之矣！向之所欣，俯仰之间，以为陈迹，犹不能不以之兴怀，况修短随化、终期于尽？！

古人云：死生亦大矣，岂不痛哉！每揽昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今亦由今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀其致一也，后之揽者，亦将有感于斯文！

赏析：

文章首先记述了集会的时间、地点及与会人物，言简意赅。接着描绘兰亭所处的自然环境和周围景物，语言简洁而层次井然。描写景物，从大处落笔，由远及近，转而由近及远，推向无限。先写崇山峻岭，渐写清流激湍，再顺流而下转写人物活动及其情态，动静结合。然后再补写自然物色，由晴朗的碧空和轻扬的春风，自然地推向寥廓的宇宙及大千世界中的万物。意境清丽淡雅，情调欢快畅达。兰亭宴集，真可谓“四美俱，二难并”。

但天下没有不散的宴席，有聚合必有别离，所谓“兴尽悲来”当是人们常有的心绪，尽管人们取舍不同，性情各异。刚刚对自己所向往且终于获致的东西感到无比欢欣时，但刹那之间，已为陈迹。人的生命也无例外，所谓“不知老之将至”(孔子语)、“老冉冉其将至兮”(屈原语)、“人生天地间，奄忽若飙尘”(《古诗十九首》)，这不能不引起人的感慨。每当想到人的寿命不论长短，最终归于寂灭时，更加使人感到无比凄凉和悲哀。如果说前一段是叙事写景，那么这一段就是议论和抒情。作者在表现人生苦短、生命不居的感叹中，流露着一腔对生命的向往和执着的热情。

《爱莲说》 周敦颐

水陆草木之花，可爱者甚蕃。晋陶渊明独爱菊；自李唐来，世人皆爱牡丹；予独爱莲之出淤泥而不染，濯清涟而不妖，中通外直，不蔓不枝，香远益清，亭亭净植，可远观而不可亵玩焉。

予谓菊，花之隐逸者也；牡丹，花之富贵者也；莲，花之君子者也。噫！菊之爱，陶后鲜有闻；莲之爱，同予者何人？牡丹之爱，宜乎众矣！

赏析：

文章托物言志，以莲喻人，通过对莲花的描写与赞美，歌颂它坚贞不渝，出淤泥而不染的高尚品质，表现了作者不慕名利、洁身自好的生活态度。最突出的艺术手法是衬托，用菊正面衬托，用牡丹反面衬托。

《师说》 唐 韩愈

古之学者必有师。师者，所以传道受业解惑也。人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。

嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣人，其出人也远矣，犹且从师而问焉；今之众人，其下圣人也亦远矣，而耻学于师。是故圣益圣，愚益愚。圣人之所以为圣，愚人之所以为愚，其皆出于此乎？爱其子，择师而教之；于其身也，则耻师焉，惑矣。彼童子之师，授之书而习其句读者，非吾所谓传其道解其惑者也。句读之不知，惑之不解，或师焉，或不焉，小学而大

遗，吾未见其明也。巫医乐师百工之人，不耻相师。士大夫之族，曰师曰弟子云者，则群聚而笑之。问之，则曰：“彼与彼年相若也，道相似也。位卑则足羞，官盛则近谀。”呜呼！师道之不复，可知矣。巫医乐师百工之人，君子不齿，今其智乃反不能及，其可怪也欤！

圣人无常师。孔子师郯子、苌弘、师襄、老聃。郯子之徒，其贤不及孔子。孔子曰：“三人行，则必有我师。”是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子，闻道有先后，术业有专攻，如是而已。

李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余。余嘉其能行古道，作《师说》以贻之。

赏析；

这是韩愈散文中一篇重要的论说文。文章论述了从师表学习的必要性和原则，批判了当时社会上“耻学于师”的陋习，表现出非凡的勇气和斗争精神，也表现出作者不顾世俗独抒己见的精神。作者表明任何人都可以作自己的老师，不应因地位贵贱或年龄差别，就不肯虚心学习。文末并以孔子言行作证，申明求师重道是自古已然的作法，时人实不应背弃古道。

名言警句

百川东到海,何时复西归？少壮不努力,老大徒伤悲。(汉乐府《长歌行》)百学须先立志。(朱熹)宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。出师未捷身先死，长使英雄泪沾襟。(杜甫)春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。(李商隐)从善如登，从恶如崩。(《国语》)大丈夫宁可玉碎，不能瓦全。(北齐书)

大直若屈，大巧若拙，大辩若讷。(《老子》)丹青不知老将至，富贵于我如浮云。(杜甫)不登高山，不知天之高也；不临深溪，不知地之厚也。(《荀子》)不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。(司马迁)不患人之不己知，患不知人也。(孔子)不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层。(王安石)不以规矩，无以成方园。(孟子)采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜。(罗隐)仓廪实则知礼节，衣食足则知荣辱。(《管子》)操千曲而后晓声，观千剑而后识器。(刘勰)察己则可以知人，察今则可以知古。(《吕氏春秋》)差以毫厘，谬以千里。(《汉书》)长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。(李白)臣心一片磁针石，不指南方不肯休。(文天祥)沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。(刘禹锡)

【感恩篇】

游子吟

【唐】孟郊

慈母手中线，游子身上衣。临行密密缝，意恐迟迟归。谁言寸草心，报得三春晖。

赏析：

这是一首母爱的颂歌，在宦途失意的境况下，诗人饱尝世态炎凉，穷愁终身，故愈觉亲情之可贵。“诗从肺腑出，出辄愁肺腑”（苏轼《读孟郊诗》）。这首诗，虽无藻绘与雕饰，然而清新流畅，淳朴素淡中正见其诗味的浓郁醇美。全诗最后用一双关句，写出儿子对母亲的深情。

全诗无华丽的词藻，亦无巧琢雕饰，于清新流畅，淳朴素淡的语言中，饱含着浓郁醇美的诗味，情真意切，千百年来拨动多少读者的心弦，引起万千游子的共鸣。此诗写在溧阳，到了清代，有两位溧阳人又吟出这样的诗句：“父书空满筐，母线尚萦襦”（史骐生《写怀》）；“向来多少泪，都染手缝衣”（彭桂《建初弟来都省亲喜极有感》）。可见《游子吟》留给人们的深刻印象，是历久而不衰的。

墨萱图

【元】王冕

灿灿萱草花，罗生北堂下。南风吹其心，摇摇为谁吐？ 慈母倚门情，游子行路苦。甘旨日以疏，音问日以阻。举头望云林，愧听慧鸟语

赏析：

灿灿的萱草花（中国的母亲花，早在康乃馨成为母爱的象征之前，我国也有一种母亲之花，它就是萱草花。另一称号忘忧（忘忧草），来自《博物志》中：“萱草，食之令人好欢乐，忘忧思，故日忘忧草。），生在北堂之下（北堂：”诗经疏称：“北堂幽暗，可以种萱”；北堂即代表母亲之意。古时候当游子要远行时，就会先在北堂种萱草，希望母亲减轻对孩子的思念，忘却烦忧。）

南风吹着萱草（即母亲的心）摇摆着是为了谁吐露着芬芳？ 慈祥的母亲倚着门盼望着孩子，远行的游子是那样的苦啊！对双亲的奉养每天都在疏远，孩子的音讯每天都不能传到。抬头看着一片云林，听到慧鸟的叫声思念起来至此很是惭愧。

纸船——寄母亲

冰心

我从不肯妄弃了一张纸，总是留着

留着，叠成一只一只很小的船儿，从舟上抛下在海里。

有的被天风吹卷到舟中的窗里，有的被海浪打湿，沾在船头上。

我仍是不灰心的每天的叠着，总希望有一只能流到我要他到的地方去。

母亲，倘若你梦中看见一只很小的白船儿，不要惊讶他无端入梦。

这是你至爱的女儿含着泪叠的，万水千山，求他载着她的爱和悲哀归来！赏析

古今中外表达母爱的诗作很多，这首诗却有着自己的独特之处。诗人以孩子般的纯洁和天真，从儿童的游戏世界中找到了一个可以寄托对母亲无限恋念的中介物——纸船，并以此展开自己的情思。

在这首诗中，诗人以纸船为题，托物言情，赋予纸船特别的含义。纸船象征漂泊无依的孤独，象征思念母亲思念祖国的一颗心，象征诗人纯洁、美好的心愿。

再别康桥

徐志摩

轻轻的我走了，正如我轻轻的来； 我轻轻的招手，33 做别西天的云彩。那河畔的金柳，是夕阳中的新娘； 波光里的艳影，在我的心头荡漾。软泥上的青荇，油油的在水底招摇； 在康河的柔波里，我甘心做一条水草。那榆阴下的一潭，不是清泉，是天上虹； 揉碎在浮藻间，沉淀着彩虹似的梦。寻梦？ 撑一只长篙，向青草更青处慢溯； 满载一船星辉，在星辉斑斓里放歌。但我不能放歌，悄悄是离别的声萧； 夏虫也为我沉默，沉默是今晚的康桥！

悄悄的我走了，正如我悄悄的来；

我挥一挥衣袖，不带走一片云彩

我爱这土地

艾青 假如我是一只鸟，我也应该用嘶哑的喉咙歌唱： 这被暴风雨所打击着的土地，这永远汹涌着我们的悲愤的河流，这无止息地吹刮着的激怒的风，和那来自林间的无比温柔的黎明„„ ———然后我死了，连羽毛也腐烂在土地里面。为什么我的眼里常含泪水？ 因为我对这土地爱得深沉„„ 一九三八年十一月十七日

乡愁

—余光中

小时候，乡愁是一枚小小的邮票。

我在这头，35

母亲在那头

长大后，乡愁是一张窄窄的船票。

我在这头，新娘在那头。

后来啊，乡愁是一方矮矮的坟墓。

我在外头，母亲在里头。

而现在，乡愁是一湾浅浅的海峡。

我在这头，大陆在那头。

【红色经典】

贺新郎

挥手从兹去。

更那堪凄然相向，苦情重诉。眼角眉梢都似恨，热泪欲零还住。知误会前翻书语。

过眼滔滔云共雾，算人间知己吾与汝。人有病，天知否？

今朝霜重东门路，照横塘半天残月，凄清如许。汽笛一声肠已断，从此天涯孤旅。凭割断愁思恨缕。

要似昆仑崩绝壁，又恰像台风扫环宇。重比翼，和云翥。忆秦娥 娄山关 西风烈，长空雁叫霜晨月。霜晨月，马蹄声碎，喇叭声咽。雄关漫道真如铁，而今迈步从头越。从头越，苍山如海，残阳如血。

长征

红军不怕远征难，万水千山只等闲。五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸。金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒。更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜。

沁园春·雪

北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高！须晴日，看红妆素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物，还看今朝！

人民解放军占领南京

钟山风雨起苍黄，百万雄师过大江。

虎踞龙盘今胜昔，天翻地覆慨而慷。

宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王。

天若有情天亦老，人间正道是沧桑。

西江月·井冈山

毛泽东

山下旌旗在望，山头鼓角相闻。

敌军围困万千重，我自岿然不动。

早已森严壁垒，更加众志成城。

黄洋界上炮声隆，报道敌军宵遁。

赏析：

〔井冈山〕位于江西、湖南两省边界的罗霄山脉中段，在江西省宁冈、遂川、永新和湖南省酃(líng灵)县四县交界的众山丛中，周围有五百多里。一九二七年十月，毛泽东率领秋收起义部队进军井冈山，在这里建立了中国第一个农村革命根据地。一九二八年四月，朱德、陈毅率领南昌起义保存下来的部队和湘南农军转移到井冈山革命根据地，同毛泽东领导的部队胜利会师。随后，两支军队合编为工农革命军第四军，不久又根据中共中央指示改称红军第四军。(第四军的番号系沿用北伐战争中声威昭著的国民革命军第四军的番号，这是因为该军所部叶挺率领的独立团中共产党员很多，政治素质优异，战绩辉煌，纪律严明，所到之处，坚决支持工农群众的革命斗争，备受人民爱护。)一九二八年八月三十日，湖南、江西两省敌军各一部，乘红四军主力还在赣西南欲归未归之际，向井冈山进犯。红军不足一营，凭借黄洋界(在井冈山西北部，是进入井冈山五个主要隘口之一)天险奋勇抵抗，激战一天，击退敌军，胜利地保卫了这个革命根据地。这首词是毛泽东在黄洋界保卫战胜利后所作。

忆秦娥·娄山关

毛泽东

一九三五年二月 西风烈，长空雁叫霜晨月。

霜晨月，马蹄声碎，喇叭声咽。

雄关漫道真如铁，而今迈步从头越。从头越，苍山如海，残阳如血。

赏析：

这首词表达了作者指挥中央红军攻克娄山关后的激越情怀。1935年2月25日凌晨，红军向娄山关挺进，在红花园与黔军遭遇，黔军仓皇应战，败退关口，红军沿盘山道猛烈攻击，傍晚时分，终于把这座雄关控制在手中，使大部队顺利通过，迈向胜利的前程。由于这一仗意义重大，所以诗人的情怀无比激动，在战斗结束不久即挥笔写下这首不朽之作。

七律·长征

毛泽东

红军不怕远征难，万水千山只等闲。

五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸。

金沙水拍云崖暖，40

大渡桥横铁索寒。

更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜。

赏析

56个字，负载着长征路上的千种艰难险阻，饱含着中国共产党的万般豪情壮志。它是中国革命的壮烈史诗，也是中国诗歌宝库中的灿烂明珠。无论对革命史而言，亦或对诗歌史而论，它都是里程碑之作。长征如此伟大复杂的题目，毛主席以一首短短的七律浓缩了它的景观，•其中包括了多少惊险，多少曲折，多少悲壮，多少感天地泣鬼神的故事。•这首《长征》，从题目就可看出，是写整个长征的经过与感受，•诗人从正面挺身而出，运酣畅之笔朝四面八方抒写，景致转换向前，•一首八行七律担当了二万五千里，担当了一个庞大的包罗万象的主题。

卜算子·咏梅

毛泽东

风雨送春归，飞雪迎春到。已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。

俏也不争春，只把春来报。待到山花烂漫时，她在丛中笑。

《水调歌头·重上井冈山》

毛泽东

久有凌云志，重上井冈山。千里来寻故地，旧貌变新颜。到处莺歌燕舞，更有潺潺流水，高路入云端。过了黄洋界，险处不须看。

风雷动，旌旗奋，是人寰。三十八年过去，弹指一挥间。可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还。世上无难事，只要肯登攀。

赏析

这首词作者采用了现实主义和浪漫主义相结合的方法。它以登井冈山为题材，在忆旧颂新中将崇高的理想和伟大的实践精神相结合，将叙事、写景、抒情、议论溶于一炉，既包含着丰富的思想内容，具有高度的概括力，又不乏明快活泼、生动细致的景物描写，慷慨激昂，与诗人一贯的乐观主义和浪漫主义一脉相承。

附：红色经典诗词目录

题目 地点或事件摘要 年份 贺新郎 1923 沁园春 长沙 1925 菩萨蛮 黄鹤楼 1927 春 西江月 秋收起义 1927.09 西江月 井冈山 1928 秋 清平乐 蒋桂战争 1929 秋 采桑子 重阳 1929.10 如梦令 元旦 1930.01 减字木兰花 广昌路上 1930.02 蝶恋花 从汀洲向长沙 1930.07 渔家傲 反第一次大“围剿” 1931 春 渔家傲 反第二次大“围剿” 1931 夏 菩萨蛮 大柏地 1933 夏 清平乐 会昌 1934 夏 忆秦娥 娄山关 1935.02

十六字令 三首 1934-35 七律 长征 1935.10 念奴娇 昆仑 1935.10 清平乐 六盘山 1935.10 沁园春 雪 1936.02 临江仙 七律 七律 浣溪沙 浪淘沙 水调歌头蝶恋花 七律 七律 七律 七绝 七律 七律 卜算子 七律 满江红 七律 贺新郎

赠丁玲 人民解放军占领南京 和柳亚子先生 和柳亚子先生 北戴河 游泳 答李淑一 送瘟神二首 到韶山 登庐山 为女民兵题照 答友人 和郭沫若同志 咏梅 冬云 和郭沫若同志 吊罗荣桓同志 读史 1936.12 1949.04 1949.04.29 1950.10 1954 夏 1956.06 1957.05.11 1958.07.01 1959.06 1959.07.01 1961.02 1961 1961.11.17 1961.12 1962.12.26 1963.01.09 1963.12 1964 春

水调歌头 重上井冈山 1965.05 念奴娇 鸟儿问答 1965 秋

山东省“诵读经典、爱我中华”活动组委会推荐篇目

《诵读经典三百篇》

目 录

（注：本书目次均按作者出生日期先后为序一 古典诗词（203篇）1.关雎（《诗经·周南》）2.木瓜（《诗经·卫风》）3.蒹葭（《诗经·秦风》）4.硕鼠（《诗经·魏风》）5.国殇（战国·屈原）6.橘颂（战国·屈原）7.迢迢牵牛星（《古诗十九首》）8.饮马长城窟行（《乐府诗集》）9.长歌行（《乐府诗集》）10.古诗二首（《古诗源》）11.短歌行〔其一〕（汉·曹操）12.观沧海（汉·曹操）13.龟虽寿（汉·曹操）14.七哀诗三首〔选一〕（汉·王粲）15.白马篇（三国·曹植）16.咏怀八十二首〔选一〕（三国·阮籍）17.读《山海经》十三首〔选一〕（晋·陶渊明）18.饮酒诗二十首〔选一〕（晋·陶渊明）19.咏荆轲（晋·陶渊明）20.归园田居五首〔选二〕（晋·陶渊明）21.代春日行（南朝·鲍照）22.子夜四时歌〔春歌〕（南朝民歌）23.木兰诗（北朝民歌）24.蝉（唐·虞世南）

25.送杜少府之任蜀川（唐·王勃）26.滕王阁诗（唐·王勃）27.咏柳（唐·贺知章）28.回乡偶书（唐·贺知章）29.登幽州台歌（唐·陈子昂）30.凉州词〔其一〕（唐·王翰）31.望月怀远（唐·张九龄）32.凉州词（唐·王之涣）33.登鹳雀楼（唐·王之涣）

34.望洞庭湖赠张丞相（唐·孟浩然）35.宿建德江（唐·孟浩然）36.次北固山下（唐·王湾）37.芙蓉楼送辛渐（唐·王昌龄）

38.出塞（唐·王昌龄）39.从军行〔其四〕（唐·王昌龄）40.采莲曲三首〔其二〕（唐·王昌龄）41.清平调三首〔选二〕（唐·李白）42.忆秦娥〔箫声咽〕（唐·李白）43.秋浦歌（唐·李白）

44.黄鹤楼送孟浩然之广陵（唐·李白）45.行路难（唐·李白）46.送友人（唐·李白）47.将进酒（唐·李白）48.早发白帝城（唐·李白）49.望天门山（唐·李白）50.望庐山瀑布〔其二〕（唐·李白）

51.宣州谢朓楼饯别校书叔云（唐·李白）52.相思（唐·王维）

53.送元二使安西（唐·王维）54.杂诗三首〔其二〕（唐·王维）55.九月九日忆山东兄弟（唐·王维）56.使至塞上（唐·王维）57.山居秋暝（唐·王维）58.燕歌行（并序）（唐·高适）59.春江花月夜（唐·张若虚）60.黄鹤楼（唐·崔颢）61.旅夜书怀（唐·杜甫）62.赠花卿（唐·杜甫）63.江村（唐·杜甫）64.望岳（唐·杜甫）65.春望（唐·杜甫）66.春夜喜雨（唐·杜甫）67.绝句二首〔其二〕（唐·杜甫）68.绝句四首〔其三〕（唐·杜甫）69.前出塞（唐·杜甫）70.登高（唐·杜甫）

71.茅屋为秋风所破歌（唐·杜甫）72.江南逢李龟年（唐·杜甫）

73.走马川行奉送封大夫出师西征（唐·岑参）74.白雪歌送武判官归京（唐·岑参）75.渔歌子〔西塞山前白鹭飞〕（唐·张志和）76.寄李儋元锡（唐·韦应物）77.滁州西涧（唐·韦应物）78.游子吟（唐·孟郊）79.枫桥夜泊（唐·张继）80.十五夜望月（唐·王建）

81.早春呈水部张十八员外（唐·韩愈）82.月夜（唐·刘方平）

83.西塞山怀古（唐·刘禹锡）

84.乌衣巷（唐·刘禹锡）85.竹枝词二首〔其一〕（唐·刘禹锡）

86.酬乐天扬州初逢席上见赠（唐·刘禹锡）87.大林寺桃花（唐·白居易）88.琵琶行（唐·白居易）

89.赋得古原草送别（唐·白居易）90.长相思（唐·白居易）91.江雪（唐·柳宗元）

92.登柳州城楼寄漳汀封连四州刺史（唐·柳宗元）93.菊花（唐·元稹）

94.寻隐者不遇（唐·贾岛）95.雁门太守行（唐·李贺）96.咸阳城东楼（唐·许浑）97.题都城南庄（唐·崔护）98.山行（唐·杜牧）

99.江南春绝句（唐·杜牧）100.泊秦淮（唐·杜牧）101.清明（唐·杜牧）

102.望江南（唐·温庭筠）103.乐游原（唐·李商隐）104.晚晴（唐·李商隐）105.无题〔相见时难别亦难〕（唐·李商隐）106.夜雨寄北（唐·李商隐）107.雨晴（唐·王驾）

108.溪上遇雨（唐·崔道融）109.虞美人〔春花秋月何时了〕（五代·李煜）110.浪淘沙〔帘外雨潺潺〕（五代·李煜）111.山园小梅（宋·林逋）112.雨霖铃〔寒蝉凄切〕（宋·柳永）113.望海潮〔东南形胜〕（宋·柳永）114.渔家傲〔塞下秋来风景异〕（宋·范仲淹）115.苏幕遮〔碧云天〕（宋·范仲淹）116.浣溪沙〔一曲新词酒一杯〕（宋·晏殊）117.蝶恋花〔槛菊愁烟兰泣露〕（宋·晏殊）118.踏莎行〔候馆梅残〕（宋·欧阳修）119.淮中晚泊犊头（宋·苏舜钦）120.客中初夏（宋·司马光）121.梅花（宋·王安石）122.泊船瓜洲（宋·王安石）123.书湖阴先生壁（宋·王安石）124.元日（宋·王安石）

125.卜算子〔送鲍浩然之浙东〕（宋·王观）126.蝶恋花〔花褪残红青杏小〕（宋·苏轼）127.题西林壁（宋·苏轼）

128.饮湖上初晴后雨（宋·苏轼）129.水调歌头〔明月几时有〕（宋·苏轼）

130.惠崇春江晚景（宋·苏轼）131.念奴娇〔赤壁怀古〕（宋·苏轼）132.江城子〔密州出猎〕（宋·苏轼）133.定**〔莫听穿林打叶声〕（宋·苏轼）134.水龙吟〔似花还似非花〕（宋·苏轼）135.江城子〔乙卯正月二十日夜记梦〕（宋·苏轼）136.临江仙〔梦后楼台高锁〕（宋·晏几道）137.卜算子〔我住长江头〕（宋·李之仪）138.清平乐〔晚春〕（宋·黄庭坚）139.鹊桥仙〔纤云弄巧〕（宋·秦观）140.青玉案〔凌波不过横塘路〕（宋·贺铸）141.秦淮夜泊（宋·贺铸）142.和端午（宋·张耒）143.苏幕遮〔燎沉香〕（宋·周邦彦）144.病牛（宋·李纲）145.绝句（宋·李清照）

146.醉花阴〔薄雾浓云愁永昼〕（宋·李清照）147.声声慢〔寻寻觅觅〕（宋·李清照）148.临江仙〔庭院深深深几许〕（宋·李清照）149.如梦令〔常记溪亭日暮〕（宋·李清照）150.如梦令〔昨夜雨疏风骤〕（宋·李清照）151.渔家傲〔记梦〕（宋·李清照）152.满江红〔怒发冲冠〕（宋·岳飞）153.示儿（宋·陆游）154.书愤〔其一〕（宋·陆游）155.卜算子〔咏梅〕（宋·陆游）156.游山西村（宋·陆游）

157.十一月四日风雨大作（宋·陆游）158.四时田园杂兴（宋·范成大）159.村居即事（宋·范成大）160.小池（宋·杨万里）161.观书有感（宋·朱熹）162.春日（宋·朱熹）

163.游园不值（宋·叶绍翁）164.摸鱼儿〔暮春〕（宋·辛弃疾）165.破阵子〔为陈同甫赋壮词以寄之〕（宋·辛弃疾）166.菩萨蛮〔书江西造口壁〕（宋·辛弃疾）167.丑奴儿〔书博山道中壁〕（宋·辛弃疾）168.西江月〔夜行黄沙道中〕（宋·辛弃疾）169.永遇乐〔京口北固亭怀古〕（宋·辛弃疾）170.青玉案〔元夕〕（宋·辛弃疾）171.水龙吟〔登建康赏心亭〕（宋·辛弃疾）172.暗香（宋·姜夔）

173.题临安邸（宋·林升）174.唐多令〔何处合成愁〕（宋·吴文英）175.野步（宋·周密）

176.过零丁洋（宋·文天祥）177.念奴娇〔驿中言别友人〕（宋·文天祥）178.正气歌（宋·文天祥）179.金陵驿（宋·文天祥）180.村晚（宋·雷震）

181.虞美人〔少年听雨歌楼上〕（宋·蒋捷）182.一剪梅〔舟过吴江〕（宋·蒋捷）183.绝句（宋·僧志南）184.天净沙〔秋思〕（元·马致远）185.潇湘夜雨〔元·马致远〕 186.山坡羊〔潼关怀古〕（元·张养浩）187.双调〔蟾宫曲〕（元·郑光祖）188.墨梅（元·王冕）189.百字令〔登石头城〕（元·萨都剌）190.殿前欢〔观音山眠松〕（元·徐再思）191.石灰吟（明·于谦）192.明日歌（明·钱鹤滩）193.临江仙〔滚滚长江东逝水〕（明·杨慎）194.秦淮杂诗（清·王士祯）195.长相思（清·纳兰性德）196.竹石（清·郑燮）197.竹（清·郑燮）

198.赴戍登程口占示家人（清·林则徐）199.己亥杂诗〔选二〕（清·龚自珍）200.慈仁寺荷花池（清·何绍基）201.出都留别诸公（清·康有为）202.狱中题壁（清·谭嗣同）203.满江红〔小住京华〕（清·秋瑾）

二 古典文赋（35篇）

1.一年之计在于春（春秋·管仲）2.道德经（节选）3.论语（节选）4.大学（节选）5.中庸（节选）6.学记（节选）7.孟子（节选）8.墨子（节选）9.伯牙鼓琴（《列子·汤问》）10.庄子〔逍遥游〕（节选）（战国·庄周）11.荀子〔劝学〕（节选）（战国·荀况）12.荀子〔天论〕（节选）（战国·荀况）13.报任安书（节选）（汉·司马迁）14.诫子书（三国·诸葛亮）15.前出师表（三国·诸葛亮）16.凿壁借光（《西京杂记》）

第五篇：初中书法校本教材七年级

书法进课堂校本教材

（一）写字姿势与执笔方法

一、写字姿势

书写的姿势对于练习写字非常重要。正确的写字姿势不仅能保证书写自如，减轻疲劳，提高书写水平，而且还能促进少年儿童身体的正常发育，预防近视、斜视、脊椎弯曲等多种疾病的发生。因此，必须引起重视。

正确的写字姿势是：上身坐正，两肩齐平；头正，稍向前倾；背直，胸挺起，胸口离桌沿一拳左右；两脚平放在地上与肩同宽左右两臂平放在桌面上，左手按纸，右手执笔。眼睛与纸面的距离应保持在一尺左右。如(图一)所示。

二、执笔方法

执笔方法正确与否，关系到笔的控制能力，运笔的灵活性，书写的速度，直接影响书写的效果。良好的执笔方法必须从小培养，否则，一旦形成习惯，纠正起来很难。

正确的执笔方法，应采用三指执笔法。具体要求是：右手执笔，大拇指、食指、中指分别从三个方向捏住离笔尖3厘米左右的笔杆下端。食指稍前，大拇指稍后，中指在内侧抵住笔杆，无名指和小指依次自然地放在中指的下方并向手心弯曲。笔杆上端斜靠在食指的最高骨处，笔杆和纸面呈50。左右。执笔要做到“指实掌虚”，就是手指握笔要实，掌心要空，这样书写起来才能灵活运笔。如(图二)所示。

钢笔书法及其基本知识

书法，就是写字的技法。“书”有写字的意思；“法”就是方法、技法、法则，也就是汉字的书写艺术。它是我们中华民族特有的高级艺术形式。

钢笔书法，就是用钢笔表现汉字的线条书写和造型艺术。其“线条书写”即用钢笔表现汉字的各种笔画的方法，其“造型”即汉字的结构和章法。因此。钢笔书法跟毛笔书法一样。由三个最基本最关键的因素组成，即：线条(笔画)、结构、章法，称为书法的三要素。

所谓线条（笔画），指汉字的第一笔画留在纸上的痕迹。同一笔画，不同水平的书写者写出来的面貌形象是大不相同的。

所谓结构，是指正确、巧妙地组织笔画，使每个汉字的所有笔画按规律布局合理，达到美观的要求。

所谓章法，是指篇章布局的方法，也就是使一幅书法作品整体美的技能和方法。它着重字与字、行与行之间的协调、呼应、连贯、疏密与辉映，利用黑白的分布、字形的大小、字距的远近、字态的正奇等于段，使千姿百态的单字在合理而巧妙地布局下，形成一篇既和谐美观又辉映成趣的艺术作品。它能引发人们的美感。

写得一手正确、清楚、流畅、美观的好字。不但对工作和学习很有益处，而且也是一种文化素养的体现，也是一种美的享受。

书写工具

钢笔字书写工具的优劣直接影响着书写时的效果，因此必须重视书写工具的选择与使用。书写钢笔字的工具有钢笔、墨水和纸张。

1、钢笔。钢笔的种类和型号很多，其区别主要在于笔尖的用料上。根据钢笔笔尖制作材料的不同，可分为金笔、铱金笔和普通钢笔三种。

挑选钢笔时，要看笔尖两片是否粗细均匀对称，顶端是否圆滑，书写是否流畅。试笔时，可书写“永”和“8”字多次。如笔尖不刮纸，出水均匀，书写圆滑流畅，那么笔尖就合乎使用要求。至于笔杆笔套是次要的。

钢笔的笔尖有粗细之分，练字适用笔尖稍粗一些的钢笔。

2、墨水。练字宜用蓝黑墨水和碳素墨水，尤以碳素墨水最佳。它有浓度，有光泽，写在纸上黑白分明，十分醒目。一支钢笔要使用同一颜色、同一牌号的墨水，不能混用。否则，会引起化学变化，产生沉淀而影响书写流畅。若要换一种墨水使用，应先将笔尖、笔胆洗净、晾干，再吸入新的墨水。墨水用后应及时旋紧瓶盖，以防尘、防泼、防挥等。

3、纸张。练习钢笔字用纸一般以不洇不滑，略有涩感、吸墨性较强的60克至80克的书写纸、有光纸、复印纸为好。练习楷书字体时，最好在印有方格的纸上书写，以便安排字的大小、结构，增强练字的效果。

怎样写好字

一、正确的学书之路

1．临帖

临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。

2．专一

学书首先应师承一家，建立根据地，然后再发展。这就有一个选帖的问题，选帖的标准：①好帖；②喜欢。选定帖后专心致志，认真临习，坚持不懈，直至形同神似。这个时期检验你学习得怎样，首先看临得像不像，再看笔法笔意。

3．博采众长

当对一本帖或一家书体临习达到形同神似之后，就要广涉其他好帖，取其营养加以吸收消化，融会贯通。

4．字外功夫

练字的同时经常要多读书，多掌握方方面面的知识，加强自身修养。总之一句话，加强字外功夫的训练。

在此基础上，逐步形成自己的风格，便自成一家。综上所述，我们可以把正确的学书之路概括为：

二、科学的学书方法 明确了正确的学书之路之后，我们还要掌握科学的学习方法，有了科学的学习方法，就可得到较好的学习效果。

1．临帖和摹帖

这既是正确学书之路的开端，又是正确学书方法中的根本点，必须坚信不疑，坚定不移。摹帖和临帖各有优点，效果各异。姜夔《续书谱》中说：“临书易失占人位置，而多得古人笔意，摹书易得古人位置，而多失古人笔意，临书易进，摹书易忘。”其中的“笔意”即指笔法、笔势及线条意趣。“临”的方法就是看着字帖，照着写。只要仔细地临，便容易掌握笔法笔意．从而把范本的精髓学到手。“摹”的方法，就是用薄纸蒙在帖上，直接地描画。所以字形基本上不会走样，多摹几遍，有利于把握结构。但摹书看不清笔法，“易失笔意”，虽然间架不错．但没有笔法，字就僵化。所以，初学者可以临摹并用，相互补充。

2．每天定量

事实证明，任何事情都有一个由量变到质变的过程，练字也一样，写得太少，练习量跟不上，就谈不上进步；当然盲目机械地多写，疲倦了效果也不好。一定的量才能达到的一定的效果，较佳的量才能达到较佳的效果。

3．循序渐进

学习书法，在勤学苦练的基础上，还应该懂得它是一个循序渐进的过程：

第一，先正楷，后行草。苏轼说：“真生行，行生草。真如立，行如行，草如走。”就是说楷、行、草书三者如同人的立、走、跑，如果人连站都不能站，怎么能走和跑呢？如果没有楷书基础，直接写行书、草书，就会疏于法度，流于轻滑飘浮。行书、草书是楷书的流、便、疏、散，学好楷书之后，加强用笔的流动呼应，行草就容易上手。等到楷法熟练，再写行草时．便可悟到两者相通之处，可相辅相成，互相促进，相得益彰。

第二，先点画，后结构，再章法。书法是线条的艺术，也就是以基本点画为基础的艺术。基本点画不好，整字或整篇的艺术性就无从谈起。由于钢笔尖性硬，在线条变化上相对简单得多，故钢笔书法学习在结构上花的时间多，而在用笔、点画上相对较少。但这并不是说点画用笔不重要，相反，它是钢笔书法的基本功，只有在点画书写的基本功扎实之后，才可能去把握结构。在结构上有了一定的基础后，整幅字的章法就容易把握了。

钢笔楷书的特点

楷书是汉字的主要书体。楷，是楷模，就是标准字体。钢笔楷书具有以下几个特点：

一、讲究用笔

钢笔楷书的笔画有提顿、藏露、方圆、快慢等用笔方法。不同的用笔方法产生不同的形态、质感的线条，不同的线条需要不同的用笔方法去体现。钢笔楷书字形较小，线条粗细变化不大，如果书写时用笔稍不注意，笔画就达不到要求，笔画就会出现软弱无力、僵硬死板等毛病。因此，必须经过严格训练才能掌握用笔方法。

二、笔画分明

钢笔楷书的每一个笔画的起笔和收笔都要交待清楚，工整规范，干净利落，不能潦草、粘连。但是笔画与笔画之间又要有内在的呼应关系，使笔画达到：既起收有序、笔笔分明、坚实有力，又停而不断、直而不僵、弯而不弱、流畅自然。

三、结构方整

钢笔楷书在结构上强调笔画和部首均衡分布、重心平稳、比例适当、字形端正、合乎规范。字与字排列在一起时要大小匀称、行款整齐。虽然也有形态上的参差变化，但从总体上看仍是整齐工整的。

正是由于以上原因，历代许多书家都主张把楷书作为学习书法的第一步。现行的九年义务教育小学语文教学大纲要求，学生在小学阶段主要是学好写钢笔楷书，打好基础，为上中学写行楷书创造条件。实践证明，只有经过系统的楷书练习，才能了解汉字笔画和结构的特点和要求，才能掌握汉字的组合规律，为学写行楷书奠定书写基础，从而练就一手合乎法度、流畅自然的行书和草书。

练习楷书，应从笔画和结构两方面下功夫。练习笔画，主要解决用笔方法问题，目的是生产合格的“零件”；练习结构，主要是解决笔画和部首之间的组合方式问题，目的是学会结构方法，掌握结构规律，从而达到将字写端正、整齐、美观的要求

钢笔楷书笔画书写要领

（一）汉字的特点是由笔画组成的，笔画是构成汉字的最小结构单位。钢笔楷书的笔画是以单线条为其表现形式。由于汉字结构的干变万化，不同的笔画表现的线条形态不同，同一种笔画在不同字的结构中又表现为不同形态的线条。概括起来，主要有以下特点：

直与弧。一般横、竖为直；撇、捺、钩为弧。书写时，做到直如线，弧如弓，直而不僵、弧而不弱。弯与折。一般带有弯的笔画，如竖弯、竖弯钩的弯处为弯；折画的折处为折。书写时，弯处要圆转，用提笔；折处要折中带圆，用顿笔。做到弯而不软，折而无死角。

长与短。这是笔画之间相比较而言的，是由于字的结构需要决定的。如长横相对短横为长，短横相对长横为短；长竖相对短竖为长，短竖相对长竖为短；长撇与短撇也是同理。等等。粗与纫。这也是笔画之间相比较而言的，是因笔尖用力大小不同而形成的。如横、竖下笔和收笔较重，线条粗；行笔较轻，线条较细，带有尖状的笔画，如撇、钩、捺、提画的下笔和行笔较重，线条较租；收笔时(捺画的下笔处)用提笔，线条细、出尖。

斜与正。这是指汉字笔画形态的可变性。同一种笔画在不同结构类型的字中形态会发生一些变化，以求得结构的平稳。比如撇画，在“人”字中写成斜撇，而在“月”字中就要写成竖撇；横画在“上”字中要平，而在“七”字中就要写成左低右高的斜横。这样“七”字的笔画才均匀，重心才平稳。

上述笔画的这些特点，反映了钢笔楷书线条的丰富性、可变性，从不同的角度体现了汉字笔画线条的动态美和力度美，为钢笔书法的艺术创作奠定了基础。

钢笔楷书笔画书写要领

（二）学习楷书，首先要从练习笔画开始，笔画书写好与坏，直接影响到字的结构效果。笔画好比零件，结构好比装配，笔画写得笔笔过硬，装配成字，就容易做到个个合格。钢笔楷书的笔画书写的要求，主要可概括为三个字，这就是“写、挺、准”。写，就是书写每一个笔画都要有下笔(或重或轻)、行笔(轻一些，线条或直或弧或弯)、收笔(或顿笔或轻提出尖)三个步骤，不能乎拖或平划。在汉字的基本笔画中，横画比较能代表各种笔画的运笔过程。其道理在于：千万条笔画，生于一点，以点成画，积画成字。比如一点延伸到右方就是横，横垂直向下就是竖，横向左下就是撇，向右下就是撩，等等。只要掌握了写横的基本要领，即：重下笔——轻行笔——重收笔，其它笔画也离不开这条运笔路线，只是用力部位和形态不同而已。横画运笔路线，见上图：

书写笔画时，是写，还是平拖平划，笔画表现出的效果是不同的。见下图

挺，就是要将笔画写得挺拔、刚劲、有力。体现笔画“挺”有两个主要因素：一是带有横或竖的笔画要乎、要直，笔画不能上下或左右颤抖，做到直如线。二是带有“弧”或“弯”的笔画不能出现折弯，应圆转自如，做到弯如弓。见下图

准，就是每写一个笔画之前要看准下笔的位置，这主要指在临摹字帖过程中，一要看准字帖上字的笔画在格子中间的位置；二要看准笔画的形态，同一种笔画在不同字的结构当中或在同一个字的不同部位有长、短、横势、竖势、斜势等不同的表现形态，应看准、写准；三要看准笔画的粗细，是重下笔还是轻下笔，收笔是顿笔还是出尖，要看准、写准。做到位置准确、长短适宜、租细恰当。见下图