《正弦定理》教案5篇

第一篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》授课教案

湖南师范大学 数计院 数学一班 李雪

教材：人民教育出版社高中数学必修五第一章第一节

学生：高一年级学生

教学课时：8分钟

一、教材分析：

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，是解三角形重要手段之一，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。在此之前，学生已经学习过了三角形的相关性质，它是后续课程中解三角形的理论依据，因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

1.知识与技能

理解并掌握正弦定理的证明，能初步运用正弦定理解三角形。

2.过程与方法

探索正弦定理的证明过程，由特殊到一般，数学归纳的思想证明结论。灌输数学建模的思想，学会在给定情境中建立数学模型。

3.情感、态度与价值观

通过对公式证明过程的探究与发现，提高学生对数学的兴趣，树立学好数

1学的信心，让学生感受数学公式的整洁对称美和与其数学的实际应用价值。

三、教学重点、难点：

重点：正弦定理的内容及其证明。

难点：正弦定理的探索及证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

四、教学过程 ：

1.探究假设

在直角三角形中，证明过程： abc成立，对其进行证明。sinAsinBsinC

得出结论：abc sinAsinBsinC

探究问题：这个结论是否能推广到一般三角形？若成立，给出理由。若不成立，能否举出反例呢？

2.验证假设

 首先在锐角三角形中进行讨论（板书）

验证过程：

E

过C点作AB边的垂线CD，sinACD

得到：b

sinBCD

a

CDbsinA

asinB b

sinBa

sinA

同理，过A点作BC边的垂线AE，sinCAE

得到：b

sinBAE

c

AEbsinCcsinB b

sinBc

sinC

得出结论：a

sinAb

sinBc

sinC

 再次在钝角三角形中进行讨论

3.得出结论：

正弦定理（laws of sines）: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即：任意三角形中，a

sinAb

sinBc

sinC成立

4.例题详解：

例：AC=, BC=1,B=120o，求角A的度数。

解：由正弦定理可知

代入数据得：

故：

故A=150o或者30o

AC

sin

BBC

sinA

sinA=

15.课堂小结：

 正弦定理abc及其证明 sinAsinBsinC

 正弦定理的简单应用

6.课后思考：

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形的解是唯一的吗？

五、板书设计

第二篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教学设计

一、教学目标分析

1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析

重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教法与学法分析

本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。

四、学情分析

对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习习近平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

五、教学工具

多媒体课件

六、教学过程 创设情境，导入新课

兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：

工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，AB的长为1m，但他不知道AC和BC的长

是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？ 教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决

这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）学生活动一:

（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。

学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D

然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才

（同时再一次回顾该同学具体的做法）

教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢？ 学生：可以

教师：那么具体应该怎么做呢？

学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度 教师：总结学生的做法

通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来

接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。定理的发现：

oo教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A＝50，B＝80大家又该怎么做

呢？

学生1：同样的做法（仍得作高）

学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度 教师：还需要再次作高吗？ 学生：不用

教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问

题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？ 学生：可以

教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个

等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式 并进行代入求值即可。

教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？ 学生：不容易

教师：能否美化这个形式呢？

学生：美化之后可以得到：

（定理）

教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？ 学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等

教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就

让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否 成立。定理的探索：

教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若 则：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考。

学生活动二：验证

教师（提示）：要出现sinA、sinB的值

必须把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用诱导公式将

在钝角三角形中是否成立

转化为）

学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长

汇报本小组的思路和做法。（结论成立）

教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对

它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于

任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这

个等式对于任意的三角形都成立”呢？ 学生：可以

教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）定理的证明

教师：展示正弦定理的证明过程

证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC边

上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

同理可得：

所以易得

（2）当三角形是直角三角形时；

在直角三角形ABC中：若 因为：

所以：

故：

即：

（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）

过点A作BC边上的高线，垂直记作D

由三角形ABC的面积可得 即：

故：

所以，对于任意的三角形都有

教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）

（解释定理的结构特征）

思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？ 学生：在一个等式中可以做到“知三求一” 定理的应用

教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦

定理解决）（板书步骤）

成立。

随堂训练

学生：独立完成后汇报结果或快速抢答

教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相

当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：“近测

高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）

课堂小结：

1、知识方面：正弦定理：

2、其他方面：

过程与方法：发现

推广

猜想

验证

证明

（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今

后的学习中一定要注意这样的一个过程）

数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般

作业布置： ①书面作业：P52

②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法（比如“面积法”、“向量法”等）

③思考、探究：若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况，结果如何？

板书设计：

1、定理：

2、探索：

3、证明：

4、应用：

检测评估：

第三篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教学目标：

1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习引入

创设情境：

【师】：世界闻名的巴黎埃菲尔铁塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供测角仪和皮尺，你能测出埃菲尔铁塔的高度吗？

【生】：可以先在离铁塔一段距离的地方测出观看铁塔的仰角，再测出与铁塔的水平距离，就可以利用三角函数测出高度。

【创设情境总结】：解决上述问题的过程中我们将距离的问题转化为角，进而转化为三角函数的问题进行计算。这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，边和角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。

二、新课讲解

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinAab,sinB,sinC1 cc

abc,c,c，也就是说在Rt△ABCsinAsinBsinC【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？ 【生】：边c可以把他们联系起来，即c

中abc sinAsinBsinC

【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与

它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？让我们在几何画板中验证一下，对任意的三角形ABC是不是都有“各边与它所对角的正弦比相等”成立？

【师】：通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。

在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不

能对这个定理给出一个证明呢？

【生】：可以用三角形的面积公式对正弦定理进行证明：S1111absinCacsinBbcsinA，然后三个式子同时处以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【师】：这是一种很好的证明方法，能不能用之前学过的向量来证明呢？答案是肯定的。怎

么样利用向量只是来证明正弦定理呢？大家观察，这个式子涉及到的是边和角，即向量的模和夹角之间的关系。哪一种运算同时涉及到向量的夹角和模呢？

（板书：证法二，向量法）

【生】：向量的数量积ababcos

【师】：先在锐角三角形中讨论一下，如果把三角形的三边看做向量的话，则容易得到三角

形的三个边向量满足的关系：ABBCAC,那么，和哪个向量做数量积呢？还

有数量积公式中提到的是夹角的余弦，而我们要得是夹角的正弦，这个又怎么转化？（启发学生得出通过做点A的垂线根据诱导公式来得到）

【生】：做A点的垂线

【师】：那是那条线的垂线呢？

【生】：AC的垂线

【师】：如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式子的两边同时做数

cos(90A)cos(90C)cos90，化简000

即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

锐角三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：如果△ABC是钝角三角形呢？又怎么样得到正弦定理的证明呢？不妨假设∠A是钝

角，那么同样道理如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式

子ABBCAC的两边同时做数量积运算就可以得到

00jABcos(C90)jBCcos(90C)jACcos900，化简即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在钝角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对

于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，如果

我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一

边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

三、例题解析

【例1】优化P101例

1分析：直接代入正弦定理中运算即可

absinAsinB

csinA10sin45

asinCsin30

bcsinBsinC

B180(AC)180(4530)105

csinB10sin105b205sinCsin30总结：本道例题给出了解三角形的第一类问题（已知两角和一边，求另外两边和一

角，因为两个角都是确定的的，所以只有一种情况）

【课堂练习1】教材P144练习1（可以让学生上台板演）

【随堂检测】见幻灯片

四、课堂小结

【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是abc。并且一起研究了他的证明方法，利用它解决sinAsinBsinC

了一些解三角形问题。对于正弦定理的证明主，要有面积法和向量法，其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。

五、作业布置

世纪金榜P86自测自评、例

1、例

2板书设计：

六、教学反思

第四篇：正弦定理教案（最终版）

解斜三角形——正弦定理

学习目的: 1.探究并证明正弦定理，了解数学理论的发现发展过程；

2.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形。

学习重点: 正弦定理的证明和解三角形 学习难点: 正弦定理的证明 学习过程： 一．定理引入：

提出问题：设点B在长江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给你尺和量角器材）

二、定理讲解：

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc sinAsinBsinC正弦定理可以解决三角形中两类问题：

①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角;②已知两角和一边，求另一角和其他边。

三、定理应用：

例1：在△ABC中，已知c=10, A=45 , C=30 ,求b.例2：在△ABC中，已知a=16, b=163 , A=30 ,求B、C、c.例3：在△ABC中，已知a=4, b=42 , B=45 ,求A、c.情境教学法、讲练结合法、任务驱动法、自主探究法、小组合作学习法 情境教学法、讲练结合法、任务驱动法、自主探究法、小组合作学习法 课堂练习：

1、在△ABC中，已知b=

6,c=23, B=45，解三角形。

2、在△ABC中，已知a=4，b=

46，A=60，求B。

33、在△ABC中，已知b=40,c=20, C=45，解三角形。

课后练习：

1、一个三角形的两个内角分别为30和45，如果45角所对的边长为8，那么30

角所对边的长为________________

2、在△ABC中，b=3,c=33, B=30，求∠C。

o,3、在△ABC中，已知a=4，b=10，A=30，求∠B。

4、在△ABC中，已知b=4，c=8，B=30，求∠A，∠C和边a。

o,o,

第五篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明； 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标

一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系； 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作．

三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课 师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，.推进新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并

注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评:(1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程:(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得 ,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B) ∴.(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等价于(形式2).我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根据正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．分析:此例题属于BsinA＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理， sinB =≈0.899 9.因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）当B≈64°时， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）当B≈116°时， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去. ∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业

（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.

（二）预习内容：课本P5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理 1.正弦定理: 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:(1)平面几何法(1)已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角