正弦定理教材分析

第一篇：正弦定理教材分析

《正弦定理》教材分析

一、内容结构

（1）正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章第一节第一部分的内容。本节旨在基于高二已学的三角知识，通过对三角形边

角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间数量关

系，引出正弦定理。

（2）一个三角形，有六个元素：三个角三条边。知道其中的几个元

素求其它元素的过程，即为解三角形。由于三角形内角和为180

度，故而只需建立二边二角的关系，就能解决所有解三角形的问题。而其中二边二角的关系即为正弦定理。这个过程是对三

角知识的应用；也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

（3）教材证明正弦定理时，应用了前面所学“正弦函数定义”的知

识，很好的解决了“已知两角一边或两边一角求其他边角”的问题。教材的编排循序渐进，有效的把所学知识融会贯通，使

学生更容易接收。

（4）正弦定理本身的应用十分广泛，同学们在下一节中即将学习领

悟到。因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中

正余弦定理的探索、发现和证明，感受“类比--猜想--证明”的科学研究问题方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数

学思想，对于下一节内容的学习有极大的帮助。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

（2）掌握简单运用正弦定理解三角形、初步解决与测量与几何计算

有关的实际问题的方法。

2.过程与方法目标：

（1）通过对正弦定理的探究，培养学生发现数学规律的思维能力；

（2）通过对正弦定理的证明和应用，培养学生运用数形结合思想方

法的能力；

（3）通过对实际问题的探索，培养学生从数学角度观察问题、提出

问题、分析问题、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观目标：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培

养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

（2）通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值。

三、地位与作用

《新课程标准》要求通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并

能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计

算有关的生活实际问题。

利用正弦定理解三角形，可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，避免了许多繁杂的运算，从而使许多复杂的问题得以解决。

四、教学建议

1.创造性使用教材。

数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课的教学，应该从问题情境做引入，通过对数学实验的操作，使学生领悟证明方法。教师可以对教材作一定程度的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

2.深刻挖掘教材。

深刻挖掘教材中体现的数学思想。作为教师，首先一定要清楚正弦定理在解三角形思维体系中的地位与作用，引导学生发现三角形的6个元素知三求三的所有情况；使学生理解需要已知哪些量，就可以解决所有关于三角形的所有问题。

这样做的好处是：

（1）使学生知道建立正弦定理的必要性、合理性和重要性，帮助学

生建构数学知识；

（2）提炼数学思想，提高学生解决问题的能力；

（3）在解决三角形的实际问题时，让学生知道要测量出什么量，才

能计算出所的要求的量实际问题。

3.从学生的角度出发设计课堂。

从学生的角度出发设计课堂，从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，课堂设计要紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

第二篇：正弦定理教学案例分析

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《正弦定理》教学案例分析

山东省莱芜市第十七中学/田才林

一、教学内容：

本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用。

二、教材分析：

1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书.数学必修5》（A版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比--猜想--证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证明；难点是三角形外接圆法证明。

三、教学目标：

1、知识目标：

掌握正弦定理，理解证明过程。

2、能力目标：

（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：

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本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

五、教学过程：

（一）创设问题情景

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？

[设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：

1、考察角A的范围，回忆“大边对大角”的性质

2、让学生猜测角A的准确角度，由AC=2BC,从而B=2A 从而抽象出一个雏形:

3、测量角A的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾: 定性研究如何转化为定量研究? 《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》

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4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及

等

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。提出问题:

1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，筛选出能成立的等式（）。

2、那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3、让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！]

（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。提出问题:

1、如何把猜想变成定理呢？使学生注意到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。

2、怎样进行理论证明呢？培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3、你能找出它们的比值吗？借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。

4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。[学生成为发现者，成为创造者！让学生享受成功的喜悦！] 《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》

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（五）反思总结，布置作业

1、正弦定理具有对称和谐美

2、“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的研究问题的思路和方法 课下思考：三角形中还有其它的边角定量关系吗？

六、板书设计：

正弦定理

问题：大边对大角→边角准确的量化关系？ 研究思路：特例→类比→实验→猜想→证明 结论：在△ABC中，边与所对角满足关系：

七、课后反思

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“怎样调整发射角度呢？”、“我们的工作该怎样进行呢？”、“我们的‘根据地’是什么？”、“对任意三角形都成立吗？”„„促使学生去思考问题，去发现问题。

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（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

（三）数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。

一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。

一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！

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第三篇：《正弦定理》教学案例分析

《正弦定理》教学案例分析

刘文弟

一、教学内容：

本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：

1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书.数学必修5》（A版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：

1、知识目标：

把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：

（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

五、教学过程：

（一）创设问题情景

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，忽然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：

1、考察角A的范围，回忆“大边对大角”的性质

2、让学生猜测角A的准确角度，由AC=2BC,从而B=2A 从而抽象出一个雏形:

3、测量角A的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾: 定性研究如何转化为定量研究?

4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及

等

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。提出问题:

1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，筛选出能成立的等式（）。

2、那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3、让学生总坚固验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！]

（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证实的方法。提出问题:

1、如何把猜想变成定理呢？使学生注重到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。

2、怎样进行理论证实呢？培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证实。

3、你能找出它们的比值吗？借以检验学生是否把握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。

4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。[学生成为发现者，成为创造者！让学生享受成功的喜悦！]

（五）反思总结，布置作业

1、正弦定理具有对称和谐美

2、“类比→实验→猜想→证实”是一种常用的研究问题的思路和方法 课下思考：三角形中还有其它的边角定量关系吗？

六、板书设计： 正弦定理

问题：大边对大角→边角准确的量化关系？ 研究思路：特例→类比→实验→猜想→证实 结论：在△ABC中，边与所对角满足关系：

七、课后反思 本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证实方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证实了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证实”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“怎样调整发射角度呢？”、“我们的工作该怎样进行呢？”、“我们的‘根据地’是什么？”、“对任意三角形都成立吗？”„„促使学生去思考问题，去发现问题。

（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证实方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

（三）数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。

一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。

一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！

第四篇：正弦定理证明

正弦定理证明1.三角形的正弦定理证明： 步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第五篇：正弦定理证明

正弦定理

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，即

abc2R sinAsinBsinC

证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，DAB90 在RtABD中 A sinCsinDc 2RD

b c c2R sinCab同理：2R,2R

sinAsinBabc所以2R

sinAsinBsinC2.变式结论

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC 2）sinAC

a

B abc ,sinB,sinC2R2R2R3）asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC 4）a:b:csinA:sinB:sinC

例题

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosAacosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC得

(3sinBsinC)cosAsinAcosC

3sinBcosAsin(AC)sin(AC)sinB3sinBcosAsinBB(0,)0sinB1cosA33