正弦定理(第一课时)

第一篇：正弦定理(第一课时)

课题: §1．1．1正弦定理（第1课时）

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

1.课题导入

在直角三角形中：sinA=a

c，sinB=b

c，sinC=

1即 c=a

sinA，c=bc

sinB，c=sinC．

∴a

sinA=bc

sinB=sinC

2．学生探究

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S

12absinC1

2acsinB1△ABC=2bcsinA

两边同除以1ab

2abc即得：c

sinA=sinB=sinC

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴a

sinAa

sinDCD2R

同理 b

sinB=2R，c

sinC＝2R

证明三：（向量法）

过A作单位向量垂直于

由 +=两边同乘以单位向量 得 •(+)=• 则•+•=•

∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴ac= sinAsinC

cb=sinCsinB同理，若过C作垂直于得：

abc==。sinAsinBsinC∴

（板书）

1、正弦定理：abc===2R（R是ABC外接圆的半径）sinAsinBsinC

变形：a:b:csinA:sinB:sinC。

注：每个等式可视为一个方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

3.例题讲解

例1.（1）在ABC中，b,B600,c1,求a和A,C．

（2）在ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C．

bccsinB1sin6001解：（1）∵,sinC，sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c2

2（C30或C150，而CB210180）0000

accsinA6sin4503,sinC（2）sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinBsin750

当C60时，B75,b1，sinCsin60000

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0sinCsin6000

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

利用正弦定理可以解决下列两类解斜三角形的问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。a

b

思考：由例1条件，已知两边及其中一边的对角解三角形时，为什么三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解？。（学生讨论，老师引导：从代数和几何两方面）

4．三角形解的判断方法：（板书）

已知两边及其中一边的对角解三角形时，由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况。

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

⑴若A为锐角时:（板书）⑵若A为直角或钝角时：（学生自己完成）

无解absinAab无解一解(直角)absinA: ab一解(锐角)bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

5．课堂练习

1.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于.2.在ABC中，B1350,C150,A5,则此三角形的最大边长为3.在ABC中，已知b2csinB，求C的度数.6．课堂小结（学生发言，互相补充，老师评价）

1．用三种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法

2．理论上正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．

教学反思：本课通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理，进而探究在任意三角形中是否还成立？将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的知识经验出发，探索得出新结论，体验了成功的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案．这样做，可以锻炼学生的语言表达能力，这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用．

第二篇：正弦定理第一课时教学设计

《正弦定理》（第一课时）教学设计

点明课题

本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。

下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：

一、教学背景分析1.教学目标分析 2.学生现实分析 3.教材地位分析

二、教学展开分析1.教学过程实施2.教学媒体选择3.教学策略与学法指导 4.教学重点、难点分析

三、教学结果分析

(一)、教学背景分析

1.教材地位分析

《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

2.学生现实分析

(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：

①勾股定理：

②三角函数式，如：(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：

①

②大边对大角，小边对小角

③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）

(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型

3.教学目标分析

知识目标：

(1)正弦定理的发现

(2)证明正弦定理的几何法和向量法

(3)正弦定理的简单应用

能力目标：

(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力

(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力

情感目标：

(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题

(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思

(二)、教学展开分析

1.教学重点与难点分析

教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

教学难点是用向量法证明正弦定理。虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。

2.教学策略与学法指导

教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。

学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与、全过程参与。通过启发、调整、激励来体现主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

3.教学媒体选择与应用

使用多媒体平台（包括电脑和投影仪）辅助教学，让学生自己动手进行实验，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，让学生形成体验性认识，体会成功的愉悦，同时又可以增加课堂的趣味性，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

4.教学过程实施

本节课采用“发现学习”的模式，因而教学过程实施分为五个部分：(1)结合实例提出问题(2)观察特例提出猜想(3)数学实验深入探究(4)证明猜想得出定理(5)运用定理解决问题

第三篇：第一课时 正弦定理(一)教案53

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第一课时 正弦定理(一)

教学要求：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。

教学重点：正弦定理及应用。

教学难点：正弦定理的向量证明。

教学过程：

一、复习准备：

在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？——提出课题：„

二、讲授新课：

aba①、特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即：c=„，∴ ccsinA

②、能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：

1111abcS△ABC=absinCacsinBbcsinA，两边同除以abc即得：== 2222sinAsinBsinC

③用向量证明： 证二：过A作单位向量垂直于

+=两边同乘以单位向量jj•(+)=j• 则：•+•=•

∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•||cos(90A)

ac∴asinCcsinA∴= sinAsinC

cbabc同理：若过C作垂直于得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

当△ABC为钝角三角形时，设 A>90过A作单位向量垂直于向量

④突出几点：1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：abcabc==它适合于任何三角形。2可以证明===2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinCsinAsinBsinC

3 每个等式可视为一个方程：知三求一

⑤正弦定理的应用： 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例

一、在△ABC中，已知c10A=45C=30求b

解略见P128注意强调“对”

例

二、在△ABC中，已知a20b=28A=40求B(精确到1)和c（保留两个有效数字）

ab解略见P129注意由=求出sinB=0.8999B角有两解 sinAsinB

例

三、在△ABC中，已知a60b=50A=38求B(精确到1)和c（保留两个有效数字）

解略见P129注意由b

⑥小结：正弦定理，两种应用；已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）

三、巩固练习：

1、ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C2、ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

3.P131练习1、2P1321、2、3

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第四篇：正弦定理证明

正弦定理证明1.三角形的正弦定理证明： 步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第五篇：正弦定理证明

正弦定理

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，即

abc2R sinAsinBsinC

证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，DAB90 在RtABD中 A sinCsinDc 2RD

b c c2R sinCab同理：2R,2R

sinAsinBabc所以2R

sinAsinBsinC2.变式结论

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC 2）sinAC

a

B abc ,sinB,sinC2R2R2R3）asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC 4）a:b:csinA:sinB:sinC

例题

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosAacosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC得

(3sinBsinC)cosAsinAcosC

3sinBcosAsin(AC)sin(AC)sinB3sinBcosAsinBB(0,)0sinB1cosA33