关于谢国芳先生有奖征求平面几何证明题的证明

第一篇：关于谢国芳先生有奖征求平面几何证明题的证明

关于谢国芳先生有奖征求平面几何证明题的证明

证明：

为了区别于三角形ABC外接圆的半径R，我们特意将原题中的点R改为S,如上图所示。

我们的目标是证明小圆I就是点P在圆O上任意位置时所作三角形PQS的内切圆，即证明：QI平分角PQS。

我们作直线PI,则它必定交圆O于异于点P的另一点D；我们再作直线OI,则它必定交圆O于两点，我们记为E和F，如上图所示，则IE＝R+OI，IF＝R-OI。

连结QD和SD, 记∠QPD=α,根据所作，PI平分角QPS,所以有∠SPD=∠QPD=α，记 ∠PQI=β, ∠SQI=γ，则由PQDS四点共圆知：∠DQS=∠SPD =α,所以，∠DQI=∠DQS +∠SQI=α+γ，又因为∠DIQ是ΔPQI的一个外角，所以有∠DIQ＝∠QPD+∠PQI＝α+β

下面的目标是证明QI平分角PQS，即β＝γ，也就是证明ID=QD显然，由正弦定理，QD＝2Rsinα

下面的目标是证明ID=2Rsinα

因为EF和AD都是圆O的弦，并且两弦相交于点I

所以有：IP*ID＝IE*IF，而IP=

即： IDGIr，r为圆I的半径。sinsinr22(ROI)*(ROI)ROI，sin

而由欧拉公式，有：OI^2=R(R-2r)所以IDr22(ROI)*(ROI)ROI2Rr sin

即：ID2Rsin

所以有：ID=QD

所以有：α+β＝α+γ

所以有：QI平分角PQS

所以有：小圆I就是三角形PQS的内切圆

所以有：QS与小圆I相切

湖南省沅江市第一中学王习波证明于2012年12月15日