第一篇:毕业生乘车区间证明
证明
为广西大学化学化工学院专业 2013届毕业生,学生证、图书证等相关学生证件已被学校回收。该生家庭地址为省(区)市(县),乘车区间为:南宁 站至站。
望凭此证明给予办理购买火车票优惠等相关事宜。
广西大学化学化工学院
学工组:
2013年6月日
第二篇:学生乘车证明
证明
为我校专业2013届毕业生,身份证号码
为,学生证、图书证等相关学生证件已被学校回收。
该生家庭地址为省(区)市(县),乘车区间站至站。
望凭此证明给予办理购买火车票优惠等相关事宜。
xxxx学院
2013年6月18日
第三篇:火车乘车证明
证明
我院2009级高分子材料与工程专业学生李涛(学号:5701109015),二○○九年九月至二○一三年六月在本校材料科学与工程学院学习,已修满学分,通过毕业论文答辩,获准毕业,学生证等在校证件已上缴学校,其家庭所在地为陕西西安。
特此证明。
南昌大学
材料科学与工程学院
2013-6-8
第四篇:闭区间上连续函数性质证明
§2 闭区间上连续函数性质的证明
教学目的:掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法,加深对实数完备性若干定理的理解。重点难点:重点与难点为其证明思路与方法。教学方法:讲练结合。
在本节中,我们利用实数完备性的基本定理,来证明闭区间上连续函数的基本性质.
有界性定理
若函数f在闭区间a,b上连续,则f在a,b上有界.
证
[证法一](应用有限覆盖定理)由连续函数的局部有界性(定理4.2),对每一点xa,b,都存在邻域U(x;x)及正数Mx,使得f(x)Mx,xU(x;x)a,b.考虑开区间集
HU(x;x)xa,b, 显然是a,b的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在的一个有限子集
*Uxi;ixia,b,i1,2,,k
覆盖了a,b,且存在正数M1,M2,,Mk,使得对一切xUxi;ia,b有fxMi,i1,2,,k.令
MmaxMi,1ik则对任何xa,b,x必属于某Uxi;ifxMiM.即证得f在a,b上有界.
[证法二](应用致密性定理)倘若f在a,b上无上界,则对任何正整数n,存在xna,b,使得fxnn.依次取n1,2,,则得到数列xna,b.由致密性定理,它含有收敛子列xnk,记limxnk。由axnkb及数列极限的保不等式性,a,b.利用f在点连续,推得
klimfxnkf
k另一方面,由xn的选取方法又有fxnknkklimfxnk
k与(1)式矛盾.所以f在a,b有上界.类似可证f在a,b有下界,从而f在a,b上有界.最大、最小值定理 若函数f在闭区间a,b上连续,则f在a,b上有最大值与最小值.
证
(应用确界原理)已证f在a,b上有界,故由确界原理,f的值域fa,b有上确界,记为M.以下我们证明:存在a,b,使fM.倘若不然,对一切xa,b都有fxM.令
第七章第二节第1页
gx1,x[a,b]
Mf(x)易见g在a,b连续,故g在a,b有上界.设G是g的一个上界,则
0gx1,x[a,b]
Mf(x)1,x[a,b] G从而推得fxM但这与M为fa,b的上确界矛盾.故必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值,同理可证f在a,b上有最小值.介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续,且fafb.若为介于fa与fb之间的任何实数,则存在x0a,b,使得fx0
证[证法一](应用确界原理)不妨设 fafb.令 gx= fx,则g也是 a,b上的连续函数,且ga0,gb0.于是定理的结论转化为:存在x0a,b,使得gx00.这个简化的情形称为根的存在性定理.
记gx0,xa,b.显然为非空有界数集(a,b且b),故由确界原理,有下确界,记x0inf.因ga0,gb0,由连续函数的局部保号性,存在0,使得在a,a内gx0,在b,b内gx0,由此易见x0a,x0b,即x0a,b.
下证gx00.倘若gx00,不妨设gx00,则又由局部保号性,存在Ux0;a,b,使在其内gx0,特别有gx00x0.但这与x0inf正相矛盾,故必有22gx00.
[证法二](应用区间套定理)同上述证法一,我们把问题转化为证明根的存在性定理,即若函数g在a,b上连续,ga0,gb0,则存在x0a,b,使得gx00.
将a,b等分为两个子区间a,c与b,c.若gc0,则c即为所求;若gc0,则当gc0时记a1,b1a,c,当gc0时记a1,b1c,b。于是有ga10,gb10,且
第七章第二节第2页
a1,b1a,b,b1a11ba. 2再从区间a1,b1出发,重复上述过程,得到:或者在a1,b1的中点c1上有gc10,或者有闭区间a2,b2,满足ga20,gb20,且
a2,b2a1,b1,b2a21ba 22
将上述过程不断地进行下去,可能出现两种情形:
(1)在某一区间的中点ci上有gci0,则ci即为所求;
(2)在任一区间的中点ci上均有gci0,则得到闭区间列
an,bn,满足gan0,gbn0,且
an1,bn1an,bn,bnan1ba,n1,2,.n2由区间套定理,存在点x0an,bn,n1,2,.下证.gx00,倘若gx00,不妨设gx00,则由局部保号性,存在Ux0;,使在其内有gx0.而由定理7.1的推论,当n充分大时有an,bnUx0;,因而有gan0.但这与an,bn选取时应满足的gan0相矛盾,故必有gx00
一致连续性定理
若函数f在闭区间a,b上连续,则f在a,b上一致连续.
证[证法一](应用有限覆盖定理)由f在a,b上的连续性,任给0,对每一点xa,b,都存在x0,使得当xUx;x时有
fxfx考虑开区间集合 Ux,2.(2)xxa,b
2显然H是a,b的一个开覆盖.由有限覆盖定理,存在H的一个有限子集
Uxi,*ii1,2,,k 2覆盖了a,b.记mini0 1ik2*对任何x,xa,b,xx,x必属于中某开区间,设xUxi;i即xxii.22第七章第二节第3页
此时有xxixxxxi故由(2)式同时有fxfxii2i2i2i
2
和
fxfxi2
由此得fxfx.所以f在a,b上一致连续.[证法二](应用致密性定理)用反证法.倘若f在a,b上不一致连续,则存在某00,对任何0,都存在相应的两点x,xa,b,尽管xx,但有
fxfx0.令11,xna,b,尽管xx,但有
(n为正整数),与它相应的两点记为xnnnfxn0.(3)
fxn与xna,b.由致密性定理,存在xn的收敛子列xnk,当n取遍所有正整数时,得数列xnkx0a,bk.同时由 设xnkxnkxn1kx0xnkxnkxnkx00xnnkk
kx0k。又得xnkfxnk0,最后,由(3)式有
fxn在上式中令 k,由 f的连续性及数列极限的保不等式性,得到
kfxnk0,0fx0fx0limfxnk这与00相矛盾.所以f在a,b上一致连续.
第七章第二节第4页
第五篇:毕业生证明
证明
姓名: xx,性别:xx,学号:身份证号:xxxxxxxxxxxxxxxxxx,系我校 xx 系xx级/专)科学生,该生于xxx年xx月毕业,符合各项条件将按时颁发相应毕业证、学位证。
特此证明!
xx学院xx系
xx年x月x日
xx学院教务处
xx年x月x日