带有负顾客的MM1N多重工作休假排队在计算机信号传输系统的应用

第一篇：带有负顾客的MM1N多重工作休假排队在计算机信号传输系统的应用

带有负顾客的MM1N多重工作休假排队在计算机信号传输

系统的应用

【摘 要】本文研究了一个带有负顾客的M/M/1/N多重工作休假排队系统。服务员在假期中以较低的速率服务顾客而非停止工作。利用马尔科夫过程理论和矩阵解法求出了稳态概率的矩阵解，并得到了系统的平均队长、平均等待队长以及顾客的消失概率等性能指标。

【关键词】排队系统；稳态概率；矩阵解法；负顾客；多重工作休假

【Abstract】An M/M/1/N queuing system was considered with negative and multiple working vacations.The server works at a lower rate rather than completely stops service during the vacation period.First，the matrix form solution of the steady-state probability was derived by the Markfov process method and the matrix solution method.Some performance measures of the system such as the expected number of customers in the system or in the queue and the loss probability of the customer were also presented.【Key words】Queuing system； Steady-state probability； Matrix solution method； Negative customers； Multiple working vacation

0 引言

休假排队的研究成果已应用到很多的领域，像计算机系统、通信网络、生产制造系统等。详细内容可以参见Doshi的综述，Takagi，Tian和Zhang的专著。Servi和Finn[2]在2002年引入了一种半休假策略：服务员在假期中并未完全停止工作，而是以较低的速率为顾客服务，这种休假策略称为工作休假（working vacation WV）。近年来工作休假排队系统[3-6]受到了国内外学者的关注。同时，人们对带有负顾客的排队模型[5，6，7]研究的兴趣也正日益高涨，负顾客可以看成服务系统中出现的1次外来对服务台的援助，1次援助带走1名正在服务的顾客，当系统中没有顾客时，外来援助会立即离开系统。笔者考虑将上述所提及的排队模型的特点结合在一起，考虑一个带有负顾客且系统容量有限的M/M/1/N多重工作休假排队系统。模型描述

在M/M/1/N多重工作休假排队系统中引入带RCH（RCH：Removal of Customers at the Head）抵消策略的负顾客。该系统是有正、负两类顾客的单服务台系统，每次只能接待一位顾客，系统容量为N，一旦系统中正顾客数达到N个，再到达的正顾客就将消失。

1）正顾客和负顾客均泊松到达，到达率分别为λ和ε。

2）每个正顾客所需的服务时间服从负指数分布。在忙期中服务员的服务率为μb。相继两次假期之间的时间称为服务期或正规忙期。现加入下列多重工作休假规则：一旦系统中没有正顾客即正规忙期结束，服务员立即进入一个随机长度为V的工作休假中，休假时间V服从参数为θ的负指数分布。与通常的休假策略不同，服务员在假期内并未完全停止工作，而是以较低的速率μv（μv<μb）为顾客服务。当一次工作休假结束时，如果系统中已有正顾客在等待，服务员立即停止工作休假，服务率由μv提高到μb，一个正规忙期开始；否则服务员进行另一次独立同分布的工作休假。

3）负顾客抵消队首正在接受服务的正顾客，抵消原则为一对一抵消队首的正顾客（若有），若系统中无正顾客，到达的负顾客自动消失，负顾客只起抵消正顾客的作用，负顾客不接受服务。

假定到达间隔T，工作休假时间V，正规忙期中的服务时间Sb和工作休假的服务时间Sv均相互独立，服务规则为先到先服务（FCFS）。稳态概率方程组

令L（t）表示时刻t系统中的顾客数即时刻t系统的队长，t≥0。令J（t）表示时刻t服务员的工作状态，定义如下： 实例分析

通过以上的分析获得了系统的平均等待队长，平均队长以及顾客的消失概率等一些稳态指标。接下来将其应用到计算机通信系统中，假设有一台信号交换机，能接受的信息容量为3，当信号的到达率λ=

1、信号排队过程中被分流走，也即负顾客的到达率ε=0.5、忙期的服务率μb=2时，交换机休假时的服务率μv、休假率θ对该信号平均等待队长和信号消失概率的影响。

下面本文分别给出μv=0.5 E（Lq）时平均等待队长与信号消失概率PL随θ变化情况图以及θ=0.5时平均等待队长E（Lq）与信号消失概率PL随μv变化情况图。

观察图1和图2，不难发现随着或者的增大，系统的平均等待队长E（Lq）以及顾客的消失概率PL均在逐渐减小。进一步比较两图可以看出，当μv和θ增大到一定程度时，对两者的影响变得不明显。

通过上面的数值分析，比较清楚的了解了系统的两个参数μv和θ对信号交换系统性能指标的影响。运用这个结果，设计人员就可以设计合理的休假率θ和休假期的服务率μv，使信号交换系统尽可能达到最优。

【参考文献】

[1]田乃硕.休假随机服务系统[M].北京：北京大学出版社，2001.[2]Servi L D，Finn S G.M/M/1 queue with working vacations（M/M/1/WV）[J].Perform.Evaluation，2002，50：41-52.[3]Liu W Y，Xu X L，Tian N S.Stochastic decompositions in the M/M/1 queue with working vacations，Operation Research Letters，2007，35（5）：595-600.[4]Li J，Tian N.Analysis of the discrete time Geo/Geo/1 queue with single working vacation[J].Quality Technology and Quantitative Management，2008，5（1）： 77-89.[5]赵晓华，樊剑武，田乃硕，田瑞玲.带有止步和中途退出的M/M/1/N多重工作休假排队系统[J].山东大学学报，2008，43（10）：46-51.[6]赵晓华，樊剑武，田乃硕.带有止步的成批到达MX/M/1/N多重工作休假排队系统[J].燕山大学学报，2009，33（2）：178-183.[7]樊剑武，赵晓华，李旭红，李秀菊.M/M/1/N单重工作休假排队系统的性能分析[J].四川理工学院学报，2009，22（3）：113-116.[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].2版.北京：高等教育出版社，12，158.[9]林记.关于n阶循环矩阵可逆问题的几点讨论[J].四川理工学院学报，2007，20（2）：21-24.[责任编辑：程龙]