小微评审结论

第一篇：小微评审结论

**公司安全生产标准化现场评审结论

2015年*月*日，**有限公司评审组对石家庄**有限公司的安全生产标准化创建工作情况进行了现场评审。评审组采用资料核对、人员询问、现场考核和查证的方法，对照行业《评定标准》条款逐项核查检查。经过评审组内部会议充分讨论，本着公平、公正、实事求是的原则，形成如下评审结论和建议：

一、**有限公司领导重视安全生产工作，建立了安全生产责任制度、管理制度和操作规程，安全生产基础管理比较扎实，设备、设施安全措施基本到位，作业环境比较规范，通过安全生产标准化系统的创建，该企业的本质安全水平有了明显提高。

二、本次考评最终得分()分。企业申请评审之日前一年内未发生人员死亡事故；且无《河北省机械等行业小微企业安全生产标准化考评办法》（冀安监管二〔2014〕33号）文中所涉及的否决项„。本评审组认为**公司符合小/微型企业评审得分和安全绩效要求，推荐该企业为安全生产标准化小/微型达标企业。

三、本次评审中提出的管理缺陷和安全隐患，企业应结合自身实际情况，制定整改计划，落实整改措施，逐步提高安全管理的严密性，进一步改善作业场所的安全生产条件，真正体现“安全第一、预防为主、综合治理”的安全生产方针。

安全生产标准化贵在长效，建议企业以本次创建为契机，进一步深入开展安全标准化工作，保持长期的安全生产标准化管理体系的有效运行，进一步提高企业的本质安全水平。

第二篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大15．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,216.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+117.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性19.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 20．ln(x1x2)x(x0)21． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)22． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)23．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t24．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

25.ba(xab)dx0 226．lnxdx1

010127． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx这下就好求了

第三篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(coskx)(n)kncos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n

1(n)n!()tx(tx)n1(cosx)(n)cos(x[ln(tx)](n)(1)n1(n1)!(tx)n1(n)(1)nn!n()aaxb(axb)n18.泰勒公式(用来求极限)

(ln(axb))(n)(1)n1(n1)!a(axb)nnx3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(tanx)(2n1)(cosx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dcotx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数)2)（2）coskxdxsinkxdx0

(coskx)dx(sinkx)dx

2 设k,lN,且k则,l:(3)

kxcosaTsilnxdxTcoskxcolsxdxT2T2sinkxsilnxdx0

(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).af(x)dxf(x)dx0f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx22(sinx)dx22(cosx)ndx000nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)dxn20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnnn!0nn(2)limnn(3)limxlnx0 x0x(4)limx1x0an(5)lim0nn!14.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00

19.用求导法判断数列的单调性

设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24 26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(abx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds

(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2

例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有轮换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有轮换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz837.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()038.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在h0h0h2hf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')

40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

41.几个极限之间的关系

1.若limanan则lim2.若limana且an0na1a2anann则limna1a2anann3.若limana且an0nan1n则limnanaananan1

但要注意：若limnana且an0，不能推出lim反例：an2(n为偶数)=3(n为奇数)

42.函数与其反函数图像交点问题

函数与其反函数图像交点有如下两个结论：(1)设f(x)是增函数，其反函数为f1(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上(2)设f(x)是减函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,其反函数就是其本身

1 43．阶乘不等式

阶乘不等式在极限证明中的应用nn(1)设n为自然数，则()nn!e()ne2n!应用：证明limn0nnne()nn!een!证明:n2nn,n时，n0，limn0nnnn22an证明lim0(a为任意实数)nn!证明:a0，显然成立ane|a|ena0,0|||an|()n()n!nn|a|e|a|enn时，0,()0nnan根据夹逼准则：lim0nn!(2)一些不常用的，可以记忆玩玩n1。设p2且p为实常数，则n!()pp2。当n4时，n!(n)nn

3。当n2时，则n!(lnn)lnn

44．中值定理

罗尔定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)f(a)f(b)在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为：yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf(x)xaxb

在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0拉格朗日定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()柯西定理f(x)及F(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)区间(a,b)内F'(x)0在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)f'()F(b)F(a)F'()

f(b)f(a)ba

45．需注意的地方

可积与连续之间的关系1.闭区间上的连续函数一定是可积的；2.可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点可积与存在原函数之间的关系11.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x),x(0,)x2.f(x)在[a,b]上可积，但f(x)不一定存在原函数，例如：

46．用泰勒公式分解既约分式

用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论)设P(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa1)n1(xa2)n2(xar)nr,则Q(x)其能唯一分解为：b11b12b1n1b21b22b2n2P(x)[][]Q(x)(xa1)n1(xa1)n11(xa1)(xa2)n2(xa2)n21(xa2)bi1bi2binibr1br2brnr[][](xai)ni(xai)ni1(xa1)(xar)nr(xar)nr1(xar)其中bij(i1,2,,r;j1,2,ni)都是待定的常数fi(j1)(ai)P(x)j设fi(x),且bi(xa1)n1(xa2)n2(xai1)ni1(xai1)ni1(xar)nr(j1)!例一3x分成部分分式2(x1)(x1)3x3解：令f1(x),则f(1)1(x1)243x33f2(x),则f2'(1),f2(1)x1423x3121=[]22(x1)(x1)4x1(x1)x12x7将分成部分分式x(x1)(x3)2x77解：f1(x),f1(0)(x1)(x3)32x79f2(x),f2(1)x(x3)42x71f3(x),f3(3)x(x1)122x7791=x(x1)(x3)3x4(x1)12(x3)将9x324x248x将分成部分分式4(x1)(x2)9x324x248x解：f1(x),f1(1)1(x2)4f''(2)9x324x248xf2(x),f2(2)24,f2'(2)12,26(x1)2!f2'''(2)13!9x324x248x1241261(x1)(x2)4x1(x2)4(x2)3(x2)2x2例二由此可见此法对分母都是一次时特别简单例三 47．求不定积分的几种特殊技巧

求定积分的几种特殊技巧1.定义在对称区间[a,b]上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数222.f(x)定义在对称区间[a,-a]上f(x)为奇函数时，f(x)dx0aaf(x)为偶函数时，f(x)dx2f(x)dxa0aa(1)求定积分xln(1ex)dx22f(x)f(x)xln(1ex)xln(1ex)1(x)xln(1ex)x2表示奇函数22222221121212xxx22xln(1e)dx=2xln(1e)2x2xdx2[xln(1e)2x]dx22xdx280x2dx03ln(x1x2)(2)求定积分dx11x21ln(x1x2)值得注意的是一眼看去不是奇函数，实际求一下发现它是奇函数21x3.巧用几何意义求定积分求ba(xa)(bx)dx(ba)ba2ab2ab)(x)是以(,0)为222ba11ba2圆心，为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r2()(ba)222228解：被积函数f(x)(xa)(bx)(根据定积分的几何意义，(xa)(bx)dxab(ba)284.前面我面有这样一个结论：xf(sinx)dx0baf(sinx)dx02ab对称，则：2现在我们再给出特殊一点的式子：xf(x)dx?以下有结论：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)关于xbaabbxf(x)dxf(x)dx2a

48．矩阵积分法

设ui(ui1)'vivi1dx(i1,2,)函数序列一：u0,u1,u2,un,函数序列二：v0,v1,v2,vn,一.形如xnsinaxdx的积分函数序列一：u0xn,u1nxn1,unn!1(1)n函数序列二：v0sinax,v1cosax,vnnsin[axn]aa2函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x32x3)sin3xdxx32x3sin3x3x226x601111cosxsin3xcos3xsin3x3927811111原式(x32x3)(cosx)(3x22)(sin3x)6x(cos3x)6(sin3x)3927811(3x22)2x23cos3x(x2x3)sin3xcos3xsin3xC39927注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出现nax二.形如xncosaxdx，xedx的积分方法与上述一样三.形如eaxsinbxdx的积分函数序列一：u0sinbx,u1bcosbx,u2b2sinbx函数序列二：v0eax,v1求e2xsin3xdx的积分sin3xe2x原式12xe23cos3x12xe4

1ax1e,v22eaxaa9sin3x12x11esin3xe2x3cos3x(1)22(9sin3x)e2xdx244232x解方程解得：esin3xdx(sin3xcos3x)e2xC1313最后一项是(1)n2u2v2dx,实际上n就取2,最后一项就是u2v2dx49.函数的可积性与原函数存在性

定理1(1)：若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积(2)：若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积(3)：若f是[a,b]上的单调函数则f在[a,b]上可积注：即使单调函数有无穷多个间断点，仍不失其可积性0如函数：f(x)1n在区间[0,1]上可积x011xn1nn1,2,3........定理2若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上的原函数存在定理3

(1)：若f在[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(2)：若f在[a,b]上有无穷型间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(3)：若f在[a,b]上存在原函数，若f存在间断点，则f在[a,b]上的间断点是第二类的

50.函数性质在原函数与其导函数之间的传递性

命题1有界不交互传递F(x)在有限空间(a,b)无界，f(x)必无界，反之不成立1反例：F(x)xsin,x(0，1)F(x)在(0，上有界1)x111则f(x)sin2cos在(0，1)上无界xxx

命题2单调不交互传递F(x)为凸性或凹性单调函数时，f(x)具有单调性 f(x)具有单调不变号性时，F(x)必有单调性命题3奇偶性 F(x)为奇(偶)，则f(x)为偶(奇)f(x)为奇(偶)，则F(x)为一偶函数常数(一奇函数常数)命题4周期性

TF(x)以T为周期，f(x)以T为周期f(x)以T为周期且f(x)dx0F(x)以T为周期0

第四篇：高数小结论a

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待续

LP(x,y)dx0

第五篇：关于小微企业标准化评审相关问题的咨询

关于对文件《广东省安全生产监督管理局关于工贸行业小微企业安全生产标准化三级企业的评定办法》中的部分问题的处理咨询

1、附件3《广东省工贸行业小微企业安全生产标准化评审报告评审申请材料汇总》中要求企业提供“重大危险源资料（如无重大危险源，需提供书面证明）”，企业无重大危险源书面证明应由何方出具？是政府主管部门？评审咨询机构？企业？

2、附件1《广东省工贸行业小微企业安全生产标准化评定标准》中第8.1职业病危害因素检测中规定“未对本单位进行职业病危害因素辨识，定期检测的，否决项。”，该条中的否决是意指仅对该考评项进行否决，还是针对整体安全标准化评级的否定（即企业存在职业危害因素而未检测的则不能评级）。

3、对于8月1日以前（即新标准未下发之前）已开展的工贸安全标准化项目评审工作，但在8月1日后才能完成评审的小微企业，是否需转换成新标准进行评审？

4、中山市是否对小微企业还有地方上的具体要求？

中山市兆诚安环节能发展有限公司2014年7月25日