一类具有病例失踪的结核病模型的全局稳定性[范文大全]

第一篇：一类具有病例失踪的结核病模型的全局稳定性

具有病例失踪的结核病模型的全局稳定性

肖雪霞, 郭玉玲, 刘璐菊

（河南科技大学数学与统计学院, 河南洛阳 471003）

摘要：建立了一类具有病例失踪的结核病数学模型, 定义了模型的基本再生数R0,通过构造适当的Lyapunov函数证明了模型解的渐近性态.证明了当基本再生数小于1时, 无病平衡点是全局渐近稳定的;当基本再生数大于1时, 唯一的地方病平衡点是全局渐近稳定的.关键词：病例失踪的结核病模型；平衡点；基本再生数； Lyapunov函数；全局渐近稳定 中图分类号：O175

文献标识码：A

基金项目：国家自然科学基金项目(11101127), 河南科技大学博士启动基金项目(09001535), 河南科技大学SRTP基金项目.作者简介：肖雪霞(1990-)，女，河南省濮阳市南乐县人，本科生.结核病是由结核分枝杆菌感染所引起的一 种古老的慢性传染病,它可以影响全身多个器官,尤其是肺部.目前世界上大约有三分之一的人口已经受结核杆菌感染,并在每一秒钟产生一个新的结核杆菌感染者,每年全球约有一亿个新的结核杆菌感染者,全球现有两千万肺结核病人,每年新发结核病人约一千万,与此同时,每年约有三百万人死于结核病[8].我国是全球22个结核病高负担国家之一, 据2000年全国流行病学调查统计[9]：约有5.5亿人感染结核杆菌；传染性结核病人150万，患病人数仅次于印度，居世界第二位；每年约有12万人死于结核病；约有43.6%的结核病人在治疗过程中失踪(中断治疗),结核病例失踪最直接的后果是产生耐药性,从而使得耐药结核病例数目剧增,而耐药结核病已经被认为是上世纪80年代末90年代初我国结核病死灰复燃的三大原因之一，并且我国的耐药肺结核病例数目以11.2万而高居世界第二位.现有的统计数据表明，结核病已成为全世界由单一致病菌引起的死亡最多的疾病[8]，结核病严重地威胁着人类的健康和社会的发展.耐药结核病的研究是医学、公共卫生和应用数学的一个热点问题.目前医学上尚未研制出有效的疫苗或药物 来预防和控制结核病的感染，只能通过对结核病人进行合理治疗,降低结核病人的传染期性,缩短传染期，延长结核病人的寿命来控制结核病.由于结核病例失踪等原因直接导致耐药或更严重的广泛耐药结核病的出现,而且由于缺乏新药、敏感药,再加上耐药结核病的治疗周期长,从而使得耐药结核病的治疗极其困难、治愈率也非常低、对健康人群造成的威胁也大[10].非常有意义的问题就是如何降低结核病例的失踪率、提高结核病例的规则治愈率、减少耐药结核病例的数目.国外已经有一些关于病例失踪的结核病

模型的研究,已经有少量关于病例失踪随着时间变化的流行病学模型[3,7],而在我国,有关结核病例失踪的研究几乎是一片空白,也没有大规模和长期完整的数据,在本文中通过我国结核病的实际情况来建立一个简单的具有病例失踪的结核病模型,通过构造Lyapunov函数,分析模型的动力学性态.建立模型

在本文中, 把所有的人分为五类: t时刻的易感者类(S(t)), t时刻的携带结核杆菌的潜伏者类(E(t)), t时刻的具有传染性的结核病人类(I(t)), t时刻的失踪者类(D(t)), 和t时刻的恢复者类(R(t)).具有传染性的结核病人在经过一段抗结核药物治疗以后病情会好转, 部分病人会由于经济困难, 症状好转自行停药或药物反应等原因而中断治疗, 把这部分病人称为失踪者类, 之后这部分病人会在人群中自由流动, 对易感者可能造成感染或者会发展成为耐药结核病人.易感者会被结核病人或失踪者感染, 有一部分人会在短时间内发病而成为结核病人;另一部分会携带结核杆菌而进入潜伏者类.潜伏者可能由于免疫系统的减弱等原因其体内的结核杆菌会再次活跃, 而发展成为结核病人;也可以对结核杆菌携带者进行治疗而使其成为恢复者.部分结核病人由于有效规则治疗而成为恢复者;而另一部分会由于各种原因未能够痊愈而进入失踪者类, 失踪者类不会再次受到抗结核药物治疗, 在人群中自由活动, 他们可能会由于身体免疫系统的增强使体内的结核杆菌达到稳定状态而不再排出结核杆菌, 从而进入潜伏者类.假设恢复者不会再次被感染而永久免疫.这五类人之间相互转移的转移框图如图1.N(t)表示t时刻总人口数目, 从而有

N(t)S(t)E(t)I(t)D(t)R(t).图1 具有病例失踪的结核病模型各仓室的转移框图

参数表示人口的输入率, 表示人口的自然死亡率, 表示传染率系数，表示失踪者与结核病人对健康人的传染性之比(假设结核病人对健康人的传染性为1), p表示易感者被结核病人或失踪者感染之后快速进展为结核病人的比例, 而1p表示转化为携带结核杆菌的潜伏者的比例, 表示潜伏者转化为结核病人的内源复燃率, m表示对潜伏者的治疗率, r表示对结核病人的治愈率, 表示结核病人的失踪率(治疗中断率), d1,d2分别表示结核病人和失踪者的因病死亡率, k表示失踪者类的自愈率, 这里假设每个参数都是正数.本文采用双线性发生率, 根据图1中各仓室的转移情况，此模型可以由下面的常微分方程组来描述

(1)由于恢复者类R在模型(1)的前四个方程中没有出现, 所以仅需要来研究模型(1)的下述等价模型

(2)

由于模型(2)的右端项关于变量S,E,I,D是连续可微的, 从而模型(2)经过R4中的初始值

(S0,E0,I0,D0)T的解是存在唯一的，文献[6]

中的定理5.2.1表明模型(2)经过R4中的初始点

(S0,E0,I0,D0)T的解(S(t),E(t),I(t)D,Tt(是非负的.由总人口数N的表达式和模型(1)可知

N'Nd1Id2DN,(3)从而有limsupN(t)/, 所以当t时，tN(t)是有界函数, 从而S(t),E(t),I(t),D(t)都是有界变量, 从而模型(2)的解在区间[0,)上

是存在的, 上面的结论可以总结为下面的定理:

定理1.1

模型(2)的解在区间[0,)上是存在且唯一的, 从空间R4中出发的解是非负的,有界的, 且区域是模型(2)的正不变集 (S,E,I,D)TR4:S,SEID.由模型(2)容易知道, 模型(2)总存在无病平

衡点P/,0,0,0)T0(.下面利用文献[1]中再

生矩阵的方法来确定模型(2)的基本再生数.根据文献[1]和模型(2), 易得

和

由文献[1]可以得到模型(2)的基本再生数为:

R10(FV)((M)表示方阵M的谱半径)，即))(4)

令模型(2)的右端项都等于零, 通过简单的计算可以知道, 当基本再生数R01时，模型(2)有唯一的地方病平衡点, 其中

(5)平衡点的全局稳定性

首先通过构造所谓的Lyapunov函数[5]来证明模型(2)的无病平衡点P0的全局渐近稳定性.定理2.1 当基本再生数R01时，模型(2)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的.证明 令函数

(6)

其中

(7)U1是一个Lyapunov函数, 其沿着模型(2)的解关于时间t求全导数可得

(8)

把模型(2)中E,I,D的方程带入到(8)式中，可得

上式可以重新改写为

通过应用不等式0S/和(7)式, 可得

等号成立当且仅当在P0点, 又因为基本再生数R'01，从而可知U1|(2)0, 等号成立当且仅当I0, 由LaSalle不变集原理[4]可知, 模型(2)的每个解的极限集都包含在集合(S,E,I,DT):I的最大不变集中，0而

这个最大不变集就是单点集P0, 从而P0是全局

渐近稳定的.下面通过构造另一种类型的Lyapunov函数

(参见文献[2])来证明: 当基本再生数R01时, 模型(2)的地方病平衡点P*是全局渐近稳定的.定理2.2 当基本再生数R01时, 模型(2)的地方病平衡点P是全局渐近稳定的.证明 当基本再生数R01时, 在地方病平衡点P处, 各参数满足如下的等式

(9)

考虑如下的Lyapunov函数

(10)

其中，(11)

U2沿着模型(2)的解关于时间t求全导数,可得

(12)

把模型(2)中关于S,E,I,D的表达式带入到方程(12)中, 有

利用式子(9), 上式可以变形为

(13)

上式可以重新写为

(14)

令xSEIDS,yE*,zI*,uD*, 带入(14)式, 可得

(15)

利用(11)式,(15)式可以变形为

(16)

利用(11)式,(16)式可以整理为

(17)

利用算数-几何平均值不等式, 可得

当且仅当x1xxzxuyzuyyzuy, 即SS*和yzu时，等号成立.因此，(17)式表明U|0，当且仅当'2(2)[3] Jakubowiak W., Bogorodskaya E., Borisov S.，et.al.Treatment interruptions and duration ass-ociated with default among new patients with tuberculosis in six regions of Russia[J].Inter.J.Infect.Dis., 2009, 13: 362-368.[4] La Salle J P.The Stability of Dynamical

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本文建立了一个具有病例失踪的结核病数学模型，说明了模型解的适定性和有界性，通过构造适当的Lyapunov函数证明了当基本再生数R01时，模型(2)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的, 也即结核病最终在人群中绝灭；当基本

再生数R01时，模型(2)的地方病平衡点P是全局渐近稳定的, 结核病在人群中形成地方病, 不能被消灭.参考文献：

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XIAO Xue-Xia, GUO Yu-Ling, LIU Lu-Ju，（School of Mathematics and Statistics, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China）Abstract: A class of TB mathematical model with defaulters was formulated in this paper.The basic reproduction number R0was defined and the asymptotic behavior of the solutions of the TB model was studied by constructing the proper Lyapunov functions.The result shows that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable if the basic reproduction number is less than one: and the unique endemic equilibrium is globally asymptotically stable if the basic reproduction number is greater than one.Key words：TB model with defaulters;equilibrium;the basic reproduction number;Laypunov functions;globally asymptotically stable.