同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)[模版]

第一篇：同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)[模版]

《线性代数》期终试卷1

（2学时）

本试卷共七大题

一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：

1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是（）；

2.(4分)设阶矩阵矩阵, 则 的特征值为，， 其中 是 的伴随的行列式（）；

3.(4分)设 , , 则

（）；

4.(4分)已知维列向量组的向量空间为,则的维数dim

（）；

所生成

5.(3分)二次型经过正交变换可化为

标准型 ,则（）； 6.(3分)行列式中 的系数是（）；

7.(3分)元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知

解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是（）。

二、计算行列式：

(满分10分)

三、设 , , 求。

(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

是它的个

无解或有解？(满分15分)

五、设向量组, ，线性无关 , 问: 常数

也线性无关。

满足什么条件时, 向量组

(满分10分)

六、已知二次型，(1)写出二次型 的矩阵表达式；

(2)求一个正交变换，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3)是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组

线性无关 , 向量

能由

线性表示 , 向量

不能由线性表示.证明: 向量组 也线性无关。

2.(8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《线性代数》期终试卷2

（2学时）

本试卷共八大题

一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：

1.若 阶方阵 的秩，则其伴随阵。

（）

2.若 矩阵 和 矩阵 满足，则。

（）

3.实对称阵 与对角阵 相似：，这里 必须是正交阵。

（）

4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）

5.若 阶方阵 满足，则对任意 维列向量，均有。

（）6.若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价。

（）

7.若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。

（）

8.是 矩阵，则。

（）

9.非齐次线性方程组 有唯一解，则。

10.正交阵的特征值一定是实数。

（）

二、设阶行列式：）

（试建立递推关系，并求(满分10分)。

三、设(满分10分)，并且，求

四、设 阵，求。，矩阵 满足，其中 是 的伴随(满分10分)

五、讨论线性方程组(满分12分)的解的情况，在有解时求出通解。

六、求一个正交变换 化为标准形。(满分14分)，将二次型

七、已知

3维列向量构成的向量空间，问：，由它们生成的向量空间记为，为所有

1． 取何值时，但，为什么？

2． 取何值时，为什么？(满分 12 分)

八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足，证明

可与对角阵相似。

2.若

是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。

《线性代数》期终试卷

3（3学时）

一、填空题(15’)： ．设向量组（），一个最大线性无关组是（）., 它的秩是2 ．已知矩阵和（）.3 ．设是秩为 的

矩阵 ，是

相似 , 则x =

矩阵 , 且, 则 的秩的取值范围是

（）.二、计算题： 1 ．(7’)计算行列式.2 ．(8’)设, 求.3 ．(10’)已知 维向量空间 的两个基分别为;, 向量 的过渡矩阵

;并求向量

.求由基 在这两个基下的坐标.到基 ．(15’)讨论下述线性方程组有无穷多解，则必须求出通解.的解的情况；若5．(15’)已知为对角阵.有一个特征值为, 求正交阵, 使得6 ．(10’)在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 线性变换?为?= , 求线性变换?在基

中定义

下的矩阵.三、证明题：

1．(10’)已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵与也合同.．(10’)设特征值与

是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 是否正交 , 为什么 ?

《线性代数》期终试卷

4（3学时）

本试卷共九大题

一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：

1．若阶方阵均可逆，则

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

2．设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为(A)

(B)

(C)

答()

3．设是维列向量，则=

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

(D)4．

若向量组则(A)

可由另一向量组线性表示，；

(B)

；

(C)答（）的秩的秩；(D)的秩的秩.二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：

1.若，则。

2.设，，则

3.设4 阶方阵的秩为2，则其伴随阵的秩为。

4.设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值是。

三、计算行列式，（）（满分8分）

四、设，，求，使得。

（满分12分）

五、在中有两组基：

和

写出到的变换公式以及

到的变换公式。

（满分8分）

取何值时，线性方程组

六、当

有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。（满分14分）

七、已知，为3阶单位矩阵，为对角阵，并写出该对角阵.（满分16分），求一个正交矩阵，使得

八、设为已知的矩阵，集合

下的线性空间； 1．验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域2．当时，求该线性空间的一组基。

（满分10分）

九、证明题（本大题共 2个小题，每小题6分，满分12分）：

1．设由为一向量组，其中线性表示。

线性相关，线性无关，证明能2．若

为阶方阵，证明：为可逆矩阵。

第二篇：线性代数试卷(网上1)

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1a12若矩阵A01a2的秩r(A)2,则a的值为_____________10121.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT••(D)-1或者1(B)-AT*设A为正交矩阵，且|A|1,则A_____________ 2.(C)A••••(D)-A

TT3.设,是n维列向量,0,n阶方阵AE,n3，则在A的 n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

r(A)r(B),则______________ 4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既(A)r(A－B)0(B)r(AB)2r(A)(C)r(A,B)2r(A)(D)r(A,B)r(A)r(B)

___ 5.设矩阵Amn的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb__________(A)一定无解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

**|A|2|2A|=_____________ nA1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则

2.D中第二行元素的代数余子式的和

1111j1A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)x4x2x2ax1x12x2x3正定,则实常数 1,231233.已知实二次型

a的取值范围为________________

111111111111AB________________BA4.2n阶行列式 ,其中n阶矩阵 a0000b0a00b0AB000ab00



101020，101nn1而n2为正整数，则A2A______ 5.设A=

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mx2x3xnx1x2mx3xnDn••x1x2x3xnm

20060011AXBAABX0，其中,A010,B012001021 X2.求矩阵使

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd22343有三个解向量 3.设非齐次线性方程组11231112142

1＝1，2＝1，3＝2

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt为已知常数)

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x13x23x32x2x3(0)经过正交

222y2y5yXQY123变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵Q

x1x2x33x402xx3x5x112343x12x2ax37x41x1x23x3x4b，问a,b各取何值时，线性

2225.设线性方程组为

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

446.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使1,2,3,4为R的基,并求由基1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵P,其中

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 1,2,3 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 13也是V的标准正交基

11110111123400110001    111111101234a2a001100   

1(21223)2(21223)3(12223)1313

T2.设fXAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX10，TTX2AX20, 证明:存在n维列实向量X00,使X0AX0=0

T

第三篇：线性代数试卷及答案1

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

第四篇：西南财经大学线性代数试卷试题1（定稿）

线性代数期中考试试卷（06）

一、判断下列各题是否正确

1． 1． 若A、B是同阶方阵，则（A＋B）2 ＝A＋2AB＋B 2。

（）

2． 2． 矩阵A、B的积AB＝0，则A＝0或B＝0。

（）

3． 3． 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则BCA＝E。

（）

TT4． 4． 设A为一任意矩阵，则A＋A，AA均为对称矩阵。

（）

5． 5． 设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,则r = s。（）

二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）

7x18x29x30x22x302x2tx30 1．若方程组存在非零解，则常数t = [

]。

（A）

2（B）

4（C）－2

（D）－4 2．设有n阶方阵A与B等价，则 [

]。

(A)| A | = | B |

(B)| A | ≠ | B |

(C)若| A |≠0,则必有| B |≠0(D)| A | = －| B |

3．若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [

]。

A*1A1（A）（2A）= 2 A

(B)|2A| = 2 | A |

(C)1A41230321412-1-

1A

(D)(A-1)T =(AT)-1

5116，则4A+3A+2A+A = [

] 4．设41424344

(A)0

(B)

(C)

(D)

A1 5．已知可逆方阵2

（A）13172，则A＝ [

]。

733

（C）17732 2

（D）1 6．设矩阵A、B、C满足AB＝AC，则B＝C成立的一个充分条件是 [

]。

(A)A为方阵

（B）A为非零矩阵(C)A为可逆方阵(D)A为对角阵 723（B）112f(x)3x2341x341124x213x0314，则x4的系数是 [

]。7．0(A)2

(B)

(C)

(D)

三、计算下列各题 0A11101110 1． 1． 求

234A110123，求矩阵B。2． 2． 已知AB＝A＋2B，其中矩阵3． 3． 已知A、B为4阶方阵，且｜A｜＝－2，｜B｜＝3，求(1)| 5AB |;(2)|-A B T |;

(3)|(AB)-1 |。1B004． 4． 已知AP＝PB，其中00A0n005． 5． 设100200000000n10000025000000010,P221011001，求矩阵A及A5。

000013，求其逆矩阵。

四、证明题：

1． 1． 设方阵A满足A2－A－2E＝0，证明：A和A＋2E都可逆。2． 2． 设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，证明：(A*)*=|A| n-2 A。

3． 3． 设A为n阶方阵，且A 2 = A，证明：r(A)+ r(A－E)= n。

第五篇：河南科技大学工科线性代数综合测试1试卷及答案

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

12113x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为____________． 11k1111k111，且A的秩rA3，则k___________． 1k

1．已知11k

12．已知矩阵A11xy0

3．已知线性方程组2x3y5 有解，则a___________．

2xya

4．设A是n阶矩阵，A0，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值，则2A*_________________． 5．若二次型fx1,x2,1必有一个特征值是x32x1x2x32x1x2ax2x3是正定二次型，则a的取值范围是

222______________．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）a11

1．设Aa21a311P201010a12a22a32a13a21a23，Ba11aaa331131a22a12a32a12a23a13a33a130，P11010000，100，则必有【

】． 1

A.AP1P2B ；

B.AP2P1B ；

C.P1P2AB ；

D.P2P1AB．

2．设A是4阶矩阵，且A的行列式A0，则A中【

】．

A.必有一列元素全为0；

B.必有两列元素成比例；

C.必有一列向量是其余列向量的线性组合；

D.任意列向量是其余列向量的线性组合．

3．设A是56矩阵，而且A的行向量线性无关，则【

】．

A.A的列向量线性无关；

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（一）试卷

B.线性方程组AXB的增广矩阵A的行向量线性无关；

C.线性方程组AXB的增广矩阵A的任意四个列向量线性无关；

D.线性方程组AXB有唯一解．

4．设矩阵A是三阶方阵，0是A的二重特征值，则下面各向量组中：

⑴ 1,3,2，4,TT1,T3，0,T0,T0；

T

⑵ 1,1,1，1,1,⑶ 1,⑷ 1,1,0,2，2,T0，0,0,1； 3,T2,1,T4，3,T6；

T0，0,T0，0,0,1；

肯定不属于0的特征向量共有【

】．

A.1组；

B.2组；

C.3组；

D.4组．

5．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【

】．

A.BAB；

B.ABA；

C.AB三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB． ⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． ⑵ 已知矩1阵B2031000，求矩阵A． 22；

D.2AB．

四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41ba

当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有

xa3x2xb2343x12x2x3ax41无穷多组解时的通解．

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（一）试卷

五．（本题满分10分）1

2设4阶矩阵A341234123412，求A100． 34

六．（本题满分10分）

已知α11,1, 七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

k1,1，α21,2,0,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

八．（本题满分10分）

2222若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

答案

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷及答案

一．填空题

1．应填：1．

2．应填：3．

3．应填：4．

应填：

二、选择题

1． 应选：C．

2． 应选：C．

3． 应选：B．

4． 应选：B．

5． 应选：A ． 三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB．

⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． 1B

⑵ 已知矩阵2031000，求矩阵A． 22A．

5．应填：2a2．

解：

⑴ 由等式ABAB，得ABABEE，即AEBEE因此矩阵AE可逆，而且AE1BE．

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（一）试卷

⑵ 由⑴知，AEBE，即ABE11E

02030000111000100010310120001001001000 11 30121000 2四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41

当a、b为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出

xa3x2xb2343x12x2x3ax41有无穷多组解时的通解．

解：

将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵： 10

A03111212a31122a01100b10110012a10120a101 b10所以，⑴ 当a1时，rArA4，此时线性方程组有唯一解．

⑵ 当a1，b1时，rA2，rA3，此时线性方程组无解．

⑶ 当a1，b1时，rArA2，此时线性方程组有无穷多组解． x1x1x2x3x40x2

此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为x22x32x40x3x4x1111x2221k 或者写为 k12x3100x0130x3x41x3x42x32x41

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（一）试卷

五．（本题满分10分）12

设4阶矩阵A3412解：

由于A3***3412，求A100． 3411221111，3344所以，A100111222111111111111 333444100个A1111122222

1111111111111111

由于111110，333334444499组所以

A100109912111110993412341234123412 34六．（本题满分10分）

已知α11,1,1,1，α21,1,2,0,2,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 0,3的对应分量不成比例，所以α1与α2线性无关．满足

0,1,0，α40,解： 由于α11,1,1与α21,α1，α2，α3，α4线性无关的向量α3与α4有很多，例如我们可以取α30,112001010130110，所以α1，α2，α3，α4线性无关．

0,0,1

由于100七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

解：⑴.设是矩阵A的特征值，α0是矩阵A的属于的特征向量，则有Aαα．所以，AαAkk1kAαAk1αkα，但是AkkO，所以α0，但α0，所以0．

⑵ 反证法：若矩阵A与对角矩阵D相似，则存在可逆矩阵P，使得APDP．

1河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

所以，APDPk1kPDPPDPPDPPDPPDP k组11111k但是，AkO，所以P1DkPO，所以DkO，即DO．因此AP1DPO．这与AO相矛盾，因此矩阵A不与对角矩阵相似． 八．（本题满分10分）

2222

若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

1

解： f的矩阵及标准形的矩阵分别为A1110，Λ00101000．则有 EAEΛ，21即 1100001010

1221,32． 由此得0．而且矩阵A的三个特征值分别为10,1

特征值10对应的特征向量为α1,212T,0 T

特征值21对应的特征向量为α20,0,1

1

特征值32对应的特征向量为α3,2α31212000112,0 x1x2x31212000112y11y 220y3T因此令：

Pα1,α2,121

因此所作的正交变换为

20九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

解：对由α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵，进行行变换 31

α1，α2，α3，α4，α5251112201311014120037012130213142622 13 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

10

001100010012002110000001001100120011 00α3，或者α1,由此可以看出，向量组α1,α2，或者α1,α4，或者α1,α5都可以作为向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组．

不妨取向量组α1,α2作为极大线性无关组，则有

α3α1α2，α4α12α2，α5α1α2．