河北省青龙满族自治县逸夫中学初中数学教学论文 三角形的中位线教学随笔8 新人教版

第一篇：河北省青龙满族自治县逸夫中学初中数学教学论文 三角形的中位线教学随笔8 新人教版

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三角形的中位线教学随笔

布鲁纳说：“探索是教学的生命线。”在平时的数学活动中要摒弃“重结论，轻过程”的传统教学思想，要从学生的生活经验和已有的知识体验出发，让学生经历“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”的过程，引导学生积极参与知识的形成过程和探求过程，给学生以充分从事数学活动的时间、空间。

1.问题情境设计独特。

“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”课一开始，授课教师让学生对任意三角形纸片只剪一刀，把分成的两块拼成一个平行四边形，改变了教材的知识引出方式，富有创意。通过让学生分组讨论，互相启发、帮助，改变了那种让学生中规中矩的正襟危坐般的学习气氛，为学生提供了自主探究、发现真知的空间，为新课的继续搭建了一个很好的平台。

2.知识生成自然，学生在潜移默化中解决问题。

课堂上，教师要尊重学生的学习主体地位，应充分相信学生的能力，不大包大揽。此节课中，教师通过学生的操作及多媒体的演示，让三角形的中位线形象地呈现于学生面前，问题解决的方法也自然地蕴涵于操作过程之中。通过学生的回答：我是从老师用电脑演示的图形中想到的，即可见证此点。从而让学生在经历“探索——发现——验证——证明”的过程中，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，学到有用的思维方法。

3.能力培养的目的很突出。

此节内容的教学，不只要求教师能让学生经历知识探索形成的过程，同时，还要使学生能用综合法加以证明，进一步发展推理能力。在教学中，教师不仅让学生口述其证明思路，并专门请同学上台书写证明过程，以及随后的学生自阅等过程，都充分体现出这一点。由学生的表现来看，实施贯彻的较好。

4.题目设计颇具匠心

数学教学离不开例习题，如何选用适当的题目来巩固新学知识，以锦上添花，使学生掌握和应用新知，就显得很关键。授课中，教师组织学生在对“做一做”中的问题予以研究解决后的变式提问，就很好地升华了教学内容，并为此章最后一个“议一议”问题的解决作了一定程度的铺垫。最后一道开放题的安排，更是能考察出不同学生的不同思维特点和学习水平。

5.师生互动和谐，真诚关怀凸显

整节课的教学是师生互动自然和谐的活动。如学生按照剪拼要求，积极动手；围绕教 1 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.xiexiebang.com 师提出问题自主探究，或探索证明方法时独立思考，或同桌讨论，相互补充。有时，教师又适时点拨，穿插其间个别辅导。问答之间，教师的激励，真诚的赞美、微笑，无不给学生以道德情感上的熏陶，还有学生们的热烈掌声等，使情感态度与价值观这一教学目标得到很好的体现。

第二篇：初中数学《三角形的中位线》教学实践报告

初中数学

《三角形的中位线》教学实践报告

（指导思想，设计方法等说明）

本节课是苏教版数学八年级上册第三章第6节第1课时的内容。在此之前，学生已学习了旋转图形、中心对称与中心对称图形的性质，利用中心对称图形的性质，研究了平行四边形的性质，并在此基础上展开了对矩形、菱形、正方形的研究。这一节的内容也是本章的重要内容，主要是利用中心对对称变换，研究三角形中位线的性质，并通过中心对称变换向学生展示一个重要的数学思想方法——转化。将三角形中位线性质的研究转化为平行四边形性质的研究。三角形中位线的性质在今后的几何推理、证明中将时有出现，有些问题我们用构造中位线的方法可以轻松解决。学好本课还为下一课时“梯形中位线”打下良好的基础，做好了铺垫。

一、实践过程

本节课我主要采取“创设问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——观察发现得到概念——问题解决”的教学模式，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发展数学和应用数学解决生活中问题的过程，发展学生的空间观念，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情,同时注重学生的动手能力、协作与交流能力、数学语言表达能力的锤炼与培养。由于八年级学生的理解能力与思维特征，也为使课堂生动、有趣、高效，将学生分成若干个学习小组，学生采用“多观察、多动脑、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。给学生提供更多的活动机会和空间，在动脑、动手、动口的过程中获得充分的体验和发展，从而培养学生各方面的能力。

具体教学流程如下：

一、创设情境，导入新课

二、自主探索，探求新知

三、尝试练习，巩固性质

四、例题运用，形成能力

五、小结反思，巩固提高

六．探索拓展，人人提高

七、布置作业，强化巩固

二、收获与体会

《三角形的中位线》是以平行四边形的有关知识为基础，引出三角形中位线的概念，进而探索研究三角形中位线的性质，最后利用性质定理进行有关的论证和计算，步步衔接，层层深入，形成知识的链条。学好本课不仅为以后梯形中位线打下良好的基础，做好了铺垫，可见，三角形中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用，起到承上启下的作用。

在本节课中本着“思路让学生想，疑难让学生议，规律让学生找，结论让学生得，小结让学生讲”的原则，在教学过程中做到了以下几个方面：

1、充分展现了概念的生成过程。在教学三角形中位线的定义时，我没有直接把“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”这个定义直接地呈现给学生，而是通过生活中的实例（测量校园池塘两点之间的距离）自然呈现；再利用三角形的中位线性质来解释生活中的实例，使学生更深的体会“数学来源于生个人珍藏

活，应用于生活”的道理，很真实，很自然。大家都说兴趣是最好的老师．在授课中注重了对学生几何学习兴趣的培养。他通过一些问题的有效设问，不断激起学生的认知冲突，激发学生新的学习动机，达到“随风潜入夜，润物细无声”的作用，使新课知识的探索自然而然的发生，使学生从“感兴趣”自然进入数学知识的探究，达到培养思维能力的效果。

2、注重学生学习的过程，注重对学生探究能力的培养．在认识了三角形中位线的概念之后，我不是直接提出三角形中位线定理后再证明，而是先让学生动手操作、实践，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力．“受之以鱼，不如授之以渔”这才是中学教育的真正目标．教学过程中，注重学生探究能力的培养，还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的发生过程，拓展学生的创造性思维．同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想．

3、充分运用比较的方法，突出重点。比较指的是人脑把一些事物和现象放在一起进行对比的思维过程。在教学中我充分运用比较的方法，有助于突出教学重点，突破教学难点，从而扎实地掌握数学知识，发展逻辑思维能力。在学习了三角形的中位线之后，让学生和七年级（下）学过的三角形的中线作比较，尤其恰到好处地使用了电子白板演示，更是直观，符合学生认知的特点。

4、注重学生的自主探索。学生所要学习的知识不应当都以定论的形式呈现，而是应当给学生提供进行探索性的学习的机会，作为教师需要的是加以适当的点拨。三角形的中位线定理既是本课的教学重点也是难点，我在教学时提供三角形纸片给学生，让他们通过观察、操作、思考和讨论交流，较好地体现了学生的主体性和教师的主导性。不仅使学生经历了知识的形成过程，而且使学生在获取知识的过程中，学会了与他人的合作与交流，有助于自身素质的提高。

5、重视几何语言的描述。在讲到三角形中位线定理时，我在板书上都做了几何语言描述，这将使学生在以后上几何知识的学生中收益匪浅。

6、要机智、智慧地利用好课堂生成。华东师大教育系叶澜教授曾作过这样精辟的论述：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。” 我重视关注学生在课堂中的生成，当然也还有待进一步提高。

三、问题与建议

本节课体现了新课标的基本理念，基本实现了课前制定的教学目标。学生在探索三角形中位线性质时，经历了实践操作、语言表达、合作交流、发现结论的过程，体会到将三角形性质转化为平行四边形性质进行研究的数学思想。通过操作发现性质及用严密的数学思想证明结论的正确性，让学生感受到数学来源于生活，并用于生活。

主要问题：在处理教材上对教材的把握不到位，忽略了学生的个性差异，不能创造性地使用教材。在教学方法上，仍没有把学生放开，真正地让学生多思、多探索，真正让学生成为教学的主体。

一些建议：

1、对学生今后的小组探究活动，还要进一步加强训练、指导，在小组活动前要提出明确的要求，在活动中要加强巡视和指导，以激发学生探究的热情，发挥课堂探究的最大效益。

2、要注意提问的有效性。

3、老师少讲，少包办，多让学生展示，学生在回答时老师不要迫不及待地打断、重复或提示。

4、教师激励性评价、授课的激情还有待于进一步提高。

5、在如何调动课堂气氛上要动一番脑筋。

第三篇：[初中数学]三角形中位线定理教学设计 苏科版

《三角形中位线定理》教学设计

本节课是自主探究式学习课，以教师为主导的形式，促进学生积极主动探索、发现和再创造，体验和感受数学发现的过程；学生利用操作方法、几何直观性和合情推理方法形成新知识点。下面就是对本节课设计和教学所作的回顾与反思。

一、本节课的教学设计

操作设计—探索规律—推出猜想—自主归纳—操作训练—自主小结—课后思考这样几个环节。

二、教学过程

1.展示一件劳动技术作品

餐巾折花——三叶花。

(1)把餐巾平铺在桌面上，对角折起来。（图1）

(2)将底边的两角按虚线方向向斜上方折。（见图2）(3)再将底角按虚线（大约在三分之一左右处）向上折。（见图3）(4)在折好的底边处从中间向两边均匀捏折。（见图4）(5)放入杯内整理成形，美丽的三叶花就在杯中开放了。2.操作设计

操作题1 任意的一个三角形你进行几次折叠就能分成四个形状大小一样的三角形？为什么？请说明理由？

教师巡视，学生自主操作（折叠、画图、拼图等方法）。3.探索规律

学生1：经过操作我认为直角三角形或等腰三角形，经过三次折叠后就能分成四个形状大小一样的三角形。

操作方法：直角三角形，图5以直角三角形斜边上的中线所在的直线为折痕，再经过直角边的中点和斜边上的中点所在的直线为折痕，就可将直角三角形分成四个形状大小一样的三角形。

等腰三角形：图6以等腰三角形底边上的中点与腰上的中点，以及两腰上中点所在的直线为折痕就将等腰三角形能分成四个形状大小一样的三角形。（证明略）

提问1 除直角三角形或等腰三角形外，任意三角形行吗？

同学们有了以上操作成功的经验，又一次进行操作（折叠、画图、拼图等方法）。

让学生从以上特殊的三角形各边的中点到非特殊三角形各边的中点去发现规律，体现了从特殊到一般的思想策略，也是寻找规律的一般途径。

学生2：行，按图7的方法通过三次折叠就可将任意形状三角形能分成四个形状大小一

样的三角形。

教师：能否说明以上折叠的合理性？

图7 学生2：延长DE使EG=DE，连接AG，所以△EAG≌△ECD，所以∠EAG=∠ECD，所以AG∥DC，所以四边形AGDB，AGEF，FEDB是平行四边形，所以△ECD≌△AEF≌△FDB≌△DFE。

所以，任意三角形进行三次折叠就能分成四个形状大小一样的三角形。

当一个问题获得解决时，并不是问题的结束，而是另一个新问题的开始。

连接三角形各边中点所得的线段叫做三角形的中位线，三角形有三条中位线。

提问2 三角形中位线与三角形第三边的有怎样数量与位置关系呢？

学生动手操作并进行测量等，找出蕴含在部分对象之问的共同性质，提出合理的猜想并验证自己的结论。

教师巡视，学生表现得非常活跃，有了以上的操作经验为铺垫，纷纷提出自己的猜想，课堂上合作探究的气氛又一次推向高潮，归纳后得到以下的几种推理的方法。

学生4：运用构造平行四边形的方法，延长DE，使EG=DE，又因为AE=CE，„

所以四边形AGDB为平行四边形，所以AG∥BD，又因为AF=EG，所以四边形AGEF为平行四边形，所以EF∥BC，所以EF=BD=

BC。

学生5：运用构造平行四边形的方法，过点C作CM∥AB交FE延长线交于N，通过证明可得四边形FNCB为平行四边形。

所以EF=BD=BC。

学生6：将△ADE绕点E顺时针旋转180°到△CGE，连接AG，GC，„四边形ADCG为平行四边形。所以EF=DC=

BC。

4.自主归纳：三角形中位线定理（略）5.操作训练

操作题1 如图8，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，CD=12，AD=BD=10。

图8 试问：在△ABC中，能否分割成8个全等的直角三角形，其两条直角边为5，6，若可以，请说明方法与理由；若不可以，请举一个反例。

同学们纷纷动手操作，并交流操作的方法与理由。

操作题2 请设计一种方案，将任意三角形分成若干块后再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

（课堂气氛活跃，学生举手发言，体验到自主学习的乐趣）

点评：本题有多种设计方案，设计的关键抓住中点和直角两个要素。

三、自主小结：三角形的中线与三角形的中位线的区别和联系（略）

四、课外思考题（略）

五、教学反思

1.积极学习新课程标准，首先需要教师积极学习新的理念下的几何课程的教学设计，要不断从学生自己熟悉的生活世界里发现数学。德国教育家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓励”，唤醒学生的求知欲，把思考权、质疑权和主动权交给学生，让每个同学在参与中学会学习、学会合作、学会交流。同时，合作学习与自主学习的关系必须建立在独立思考的基础上，再进行讨论交流才能迸发出智慧的火花。2.新课程标准中强调指出：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”从最近各地中考数学题中发现，几何操作题目越来越多，题型设计新颖，构思巧妙。实践操作可充分培养学生的逻辑思维、演绎推理等多种能力；在实践操作过程中体验几何的内在魅力，辨识几何图形的组成要素及其

几何图形中线与线、角与角之间的关系，操作题中蕴含着许多数学思想和数学方法，能有效地培养学生发现问题和解决问题的能力。因此，需要教师在教学中营造一个更好的学习环境，引导学生积极主动参与，以问题的探究为教学出发点，加强学生应用意识和探究意识的培养。

第四篇：初中数学教学论文：中学数学不等式证明方法新人教A版必修5

不等式证明方法与技巧

摘要

不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。

关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法

证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．

通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

1、比较法

比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据有：

abab0,abab0,abab0.2）作商比较法的理论依据有：

ab0,ab1.b3）作差（商）比较法的步骤：

作差（商）变形判断符号（与1的大小）例1：求证：12x42x3x2 证明：法一：(12x4)(2x3x2)

2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)

(x1)2(2x22x1)11(x1)2[2(x)2]02212x42x3x2

法二：12x4(2x3x2)

x42x3x2x42x2

1(x2x)2(x21)2012x42x3x2

说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2x3x1的因式，判断2x22x1的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述）。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的第二步变形。

例2：已知a1,0，求证：loga(a)log(a)(a2)证明：log(a)(a2)loga(a)log(a)(a2)log(a)a

[log(a)(a2)log(a)a2log(a)(a22a)2]2[][2log(a)a(a2)2]21] [log(a)(a)22又loga(a)0,log(a)(a2)loga(a).说明：观察不等式的特点，a充当了真数和底，联想到logaN1，进而用了logNa作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等，我们再看：

例3：若abc0，求证：（1）aabbbaab

（2）a2ab2bc2cabcbaccab

aabba证明：（1）abc0，ab()ab

bba

又ab0,a1,ab0 baabaabb()1,即ba1,又abba0

babaabbabba（2）由（1）的结果，有

aabbabba0,bbccbccb0,ccaacaac0

两边分别相乘得

aabbbbccccaaabbabccbcaacabc2a2b2cabcbaccab

2、综合法

利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果”。例4：（1）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：

bcacababcabc3

（2）已知a,b,c为不相等正数，且abc1，求证：abc1a1b1c 证明：（1）证法一：左式(bacbacab)(bc)(ca)3

a,b,c为不全相等的正数

baab2baab2 同理：cbbc2,caac

2且上面三个等号不能同时成立，（baab)(cbbc)(acca)3633证法二：左式(abcabcaba2)(b2)(cc2)

(abc)(111abc)6

a,b,c为不全等正数

（abc)(1111abc)633abc33abc696

3得证。

（2）证法一：a,b,c为不等正数，且abc1

abcbc11caab111111

cb2ca2ab1112abc证法二：a,b,c为不正数，且abc1

得证；

111abacabbcacbcbcacababc222

a2bcab2cab2cabc

得证。

说明：（1）题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用基本不等式，灵活地运用均值不等式，这也是综合法证明不等式的主要技巧之一；

（2）题是条件不等式的证明，要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式左边与右边的差异与联系，去异求存同，找到证题的切入口，本题合理运用条件abc1的不同变形。

3、分析法

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，分析法的思路是“执果索因”。

111例5：已知函数f(x)lg(1),x(0,)，若x1,x2(0,)且x1x2.x22xx1求证：[f(x1)f(x2)]f(12)

22证明：要证原不等式成立，只需证明（事实上，0x1x2(1121)(1)(1)2 x1x2x1x21,x1x2 21121)(1)(1)2x1x2x1x211144x1x2x1x2(x1x2)2x1x(x1x2)2(1x1x2)02x1x2(x1x2)即是(lg[(1121)(1)(1)2x1x2x1x21121)(1)]lg(1)2x1x2x1x2

xx21故[f(x1)f(x2)]f(1)22

得证。

4、换元法

换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元法的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元法的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几何图形换元等几种方法。1）增量换元

对对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量换元，换元的目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。

114例6：已知abc,求证：.abbcac分析：考虑到ac(ab)(bc)，由此可以令xab0,ybc0,这时问题转114化为“若x,y0,证明”。

xyxy证明：令xab0,ybc0,acxy，下面只要证明：

114即可。

xyxy11yxyxx,y0,()(xy)2224(当且仅当,即xy,2bac取等号）xyxyxy114114,即成立。xyxyabbcac例7：若ab0,求证：2abb2a2b2a.分析：如何利用已知不等式ab0是证明本题的关键，因为ab0ababh(h0)abh(h0)，这样可把已知的不等式关系换成相等关系。

证明：ab0,设abh(h0)，则2abb2a2b22b(bh)b2(bh)2b b22nhh22bhbha2abb2a2b2a.得证。

2）三角换元

三角换元就是根据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题，如，问题中2若2已知x2y2a2(a0,)),可设xaco,ysasin；若已知

x2y2x2y2xy1,可x设rco,ysrsi(rn1)；若已知221或221，则条件可

ababxacos,xasec,或设其中的范围取决于x,y的取值范围，等等。

yasin;ytan,acbd1.例8：已知a,b,c,d都是实数，且a2b21,c2d21,求证：分析：由a2b21,c2d21，可以联想到sin2cos21的关系作三角代换。证明：a2b21,c2d21,所以可设asin,bcos,csin,dcos，sincoscoscos(), acbdsin又cos()1,acbd1，即原不等式成立。

3）和差换元

aba2b2a3b3a6b6.例9：对任意实数a,b,求证：2222分析：对于任意实数a与b，都有asabab,t,则有ast,bst。22abababab，令,b2222证明：设ast,bst，下面只需证

s(s2t2)(s33st2)s615s4t215s2t4t6.右边左边11s4t212s2t4t60, s(s2t2)(s33st2)s615s4t215s2t4t6，aba2b2a3b3a6b6即.222

2得证。

4）向量换元

例10：已知a,bR,ab1,求证：2a12b122.分析：将不等式变形为12a112b122a12b1，观察其结构我们可联想到学习两个向量的内积是有这样一个性质：abab及aba1b1a2b2。

证明：设m(1,1),n(2a1,2b1)，则有mn2a12b1,m2,n2a12bab1,n2,由性质mnmn，得2a12a122.5）利用对称性换元

例11：设a,b,cR,求证：abc(bca)(cab)(abc).分析：经过观察，我们发现，把a,b,c中的两个互换，不等式不变，则可令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为：(xy)(yz)(zx)8xyz.证明：令xbca,ycab,zabc

111(yz),b(xz),c(xy)222 a,b,cR,当xyz0时，有 则a(xy)(yz)(zx)8xyz.当xyz0时，有x,y,zR（否则x,y,z中必有两个不为正值，不妨设x0,y0则c0，这与c0矛盾）

因此：xy2xy0,yz2yz0,zx2zx0 则有：(xy)(yz)(zx)8xyz 综上，恒有(xy)(yz)(zx)8xyz，把x,y,z的值代人上式得：abc(bca)(cab)(abc).得证。6）借助几何图形换元

例12：已知a,b,c是ABC三边的长，求证：a3bb3cc3aa2b2b2c2c2a2.分析：如图，作ABC的内切圆，设D,E,F为切点，令xBD,yCD,zAE.（其中x,y,zR），则原不等式可转化为：

y2z2x2(z)(x)(y)2x2y2z

（1）zxy再利用均值不等式：ab2ab。

证明：设D,E,F为切点，令xBD,yCD,zAE.则原不等式可化为（1）的形式，又

y2z2x2因为x,y,zR，则有，z2y,x2z,y2x.所以（1）式成立，故原不

zxy等式成立。得证。

7）代数换元

例13：已知a,b,cR，且abc1,求证：3a13b13c132.分析：引入参数，配凑成二次方程转化为二次不等式 证明：设3a13b13c1k.则可令3a1kkkt1,3b1t2,3c1t3,其中t1t2t30.333kkk所以3a13b13c1(t1)2(t2)2(t3)2

333k22k2222222k(t1t2t3)t1t2t3(t1t2t3)即6333k2所以6，解得

3k32，即3a13b13c132。得证。

8）分式换元

12例14：设x0,y0,xy1,求证：322

xy分析：因为xy1,x0,y0,所以用分式换元，转化为均值不等式证明。证明：设xab,y(a0,b0)，则 abab12ab2(ab)b2a3322，xyabab即12322 xy9）比值换元法

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式即可。

例15：已知x1y2z4,求证：x2y2z210.证明：设x1y2z4k，于是xk1,yk2,zk4

把x,y,z代入x2y2z2得：3k26k133(k22k1)103(k1)21010。得证。

5、放缩法

为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性达到证题的目的，这种方法称为放缩法，放缩时主要方法有：

1311）舍去或加上一些项，如：(a)2(a)2.2422）将分子或分母放大（缩小），如：

11111,,22k(k1)kk(k1)kk2kk1,1k2kk1.(kN,k1).n(n1)(n1)2an.例16：设an1223n(n1).(nN).求证：22证明：an1223n(n1)1122nn

n(n1).2k(k1)又kk1,k(k1).(kN).12nan1223n(n1)n22n(n1)222n(n1)(n1)2an。得证。221223n(n1)222

说明：在使用放缩法时，需要注意的是放缩要适度，不能放得过大或太小。

6、反证法

反证法就是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原命题成立，反证法必须考虑各种与原命题相异的结论，缺少任何一个可能都是不完全的，如，要证不等式AB,先假设AB，根据题设及其他性质推出矛盾，从而肯定AB成立。

1例17：已知f(x)x2axb,求证：f(1),f(2),f(3)不全小于.21111证明：假设f(1),f(2),f(3)全小于，即f(1),f(2),f(3)，2222由于f(1)1ab,f(2)42ab,f(3)93ab，f(1)2f(2)f(3)2f(1)2f(2)f(3)2.另一方面：由假设得

f(1)2f(2)f(3)f(1)f(3)2f(2)11122 222显然，22是错误的

1故f(1),f(2),f(3)不全小于。得证。

2说明：对于存在、不都是、至少（多）、不全小（大）、某个（反面：任意的）等问题，通常从正面难寻突破口，可变换角度，巧用反证法往往会见奇效。

7、判别式法

a2x2b2xc2如果所要证明的不等式可转化为形如：y的函数值域(xR)，或转化2a1xb1xc1为一元二次方程有实数根等问题，则可用判别式法达到证题目的。

12例18：若x,y,zR,且xyza,用x2y2z2a2(a0)求证x,y,z都是不大于a23的非负数。

1证明：由zaxy,代入x2y2z2a2，可得

22x22(ay)xy2(ay)212a021xR，0,即4(ay)28[y2(ay)2a2]02化简得3y22ay0, a0，0y2a322同理可得：0xa，0za。得证。338、构造法

有些不等式可构造函数利用函数性质，或构造复数利用复数向量有关性质，或构造几何图形利用集合知识，还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式。1）利用函数的单调性

例19：求证：ab1aba1ab1b.分析：由不等号两边形式可归纳为f(x)f(x)x在x0时的单调性。1xx.(x0)的形式，因此可考虑函数1x证明：构造函数f(x)xxx1x2x0，设0x1x2，121x11x2(1x1)(1x2)1xf(x)在x0上是增函数，且abab

令x1ab,x2ab，则有

ab1abab1aba1abb1aba1ab1b.得证。

2）构造复数利用复数向量有关性质

例20：求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)2.(a与c，b与d不同时相等)证明：设z1abi，z2cdi，那么z1z2(ac)(bd)i

z2c2d2 由于z1z2z1z2，而z1a2b2，则z1z2(ac)2(bd)2

有(ac)2(bd)2a2b2c2d2.得证。

9、用微分法证明不等式

微分在中学时又称为求导，用微分法其实就是用求导的方法来解决问题。

例21：设函数f(x)a1sinxa2sin2xansinnx,其中a1,a2,,an都为实数，n为正整数。已知对于一切实数x，有f(x)sinx，试证：a12a2nan1.分析：问题中的条件与结论不属于一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：a12a2nanf/(0).于是问题就转化为求证：f/(0)1.证明：因f/(x)a1cosx2a2cos2xnancosnx.则f/(0)a12a2nan.利用导数的定义得：

f/(0)limx0f(x)f(0)x0limx0f(x)f(x)limxxx0sinx1，x由于f(x)sinx,所以f/(0)limx0即a12a2nan1.得证。