第一篇：郑州中原一中实验分校 张甲老师的四道数学题
1.某容器中装有盐水，老师让小明倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。但小明错误地倒入了800克水。老师说不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可以得到20%的盐水，那么第三种盐水的浓度是多少？
你可以这么处理，它其实只要浓度为20%即可，所以我们可以先准备800g的溶液，里面只要先含40g的盐，剩下的浓度是20%即可。
所以就相当于，800g中有40g盐，400g中有20%的盐。
即含有40+80=120g盐，所以第三种盐水的浓度为120÷400=30%
这是很好的转化。
分析与提示：既然我们只要5%的盐水800g，就是要溶液800g，其中的盐40g即可。但是后来加入了800g的水，400g的盐水两种那就说，其中必须先含有40g的盐，剩下的400g溶液的浓度相当于20%的溶液即可，即再含有80g盐也就说刚才的1200g的溶液中必须含有40+80=120g盐就能满足要求 所以第三种盐水的浓度为120÷400=30%
这是很好的转化和处理。奥数就是体现一种思维，这种思维过程其实是很美的。
1、设原有盐水x克，则按计划配制溶液后可求出原有盐水中的盐量为（800+x）*20%－800*5%＝120+0.2x 设第三种盐水浓度为t，则错配后的总盐量为
120+0.2 x＋400t＝（1200＋x）*20%
这里的x不需要解出，因为两边可消去。化简、移项、合并后得400 t＝120，可求出t＝30% 第二种解法：设第三种盐水含盐为C A+40 A+C---------=20% =---------------B+800 B+1200 得出 C=120 所以加入的盐水浓度为30%
2.甲乙两班同学从学校去33.9千米外的公园，只有一辆车可乘一个班的学生的汽车，每小时48千米，甲步行每小时6千米，乙步行每小时4千米，为使两个班的学生同时到达，甲班乙班各步行多少千米？
第一种解法：汽车是甲班同学速度的：48÷6=8（倍）汽车是乙班同学速度的：48÷4=12（倍）
汽车先载乙班同学，走到某地，放下乙班同学，回头解甲班同学，到了汽车和甲班同学的相遇点的时候，汽车走了甲班同学所走距离的8倍，减去甲班同学所走，汽车多走了8-1=7（倍），这是往返的，单程为：7÷2=3.5（倍）。即相遇点到汽车回头点为甲班同学所走的3.5倍。乙班同学从汽车的回头点走到终点，所走路程是汽车从回头点到相遇点，再到回头点所走的1/12，汽车多走了：12-1=11（倍）的乙班同学所走。单程为：11÷2=5.5倍）而：3.5甲班所走=5.5乙班所走 即：乙班所走/甲班所走=3.5/5.5=7/11 即：乙班所走=7/11
甲班所走
全部路程为：甲班所走+3.5甲班所走+7/11 甲班所走=38.5/11
甲班所走。甲班所走=33.9÷56.5/11=6.6（千米）乙班所走=6.6 ×
7/11=4.2（千米）
第二种解法：设汽车先载甲班，走了X千米，然后放下甲班，回头来接乙班，走了Y千米碰到乙班，然后接乙班到达目的地，则得方程组：
（X+Y）/48 =（X-Y）/4 ⑴
（2Y+33.9-X）/48 =（33.9-X）/6 ⑵
由⑴得x=13/11y 带入⑵中的y=23.1则x=27.3 33.9-27.3=6.6（千米）
33.9-23.1-6.6=4.2（千米）
即甲班走了6.6千米乙班走了4.2千米
3、一些城市之间有航线相连，每个城市至多跟3个城市相连，任何一个城市至多转机一次就可以到达另一个城市，问：至多有多少个城市。请写出答案并画出方案。
每个城市直达的城市有3个，3*2*1=6
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4、有5片玻璃片，每片上涂有红，黄，蓝三色之一，进行如下操作：将不同颜色的两块玻璃片都擦净，然后涂上第三种颜色（例如将一块蓝色玻璃片和一片红玻璃片上的蓝色和红色擦掉，然后在两片上涂上黄色）。证明：无论开始时候红，黄，蓝玻璃片各有多少片，总可以经过有限次操作使所有的玻璃片涂有同一种颜色。
设红片、黄片和蓝片的数目分别为x、y、z． 则x、y、z中至少有一个为1，那么剩下两个加起来总数为4，假设X=1，则y+z=4 分类谈论：
（1）剩下两个颜色分别为2，即y=z=2则每次各取一个组成2个同时擦去，涂成数量为1的玻璃片的颜色，两次后所有的玻璃片都与最初数量为1的玻璃片同色；
（2）剩下的两个颜色分别为1和3，即y=1,z=3,取两个数量为1的颜色擦去，换成数量为3的玻璃片的颜色，最后所有的玻璃片都与最初数量为3的玻璃片同色；
设红片、黄片和蓝片的数目分别为x、y、z．
x＝3a＋m，y＝3b＋n，z＝3c＋n，其中m、n∈｛0，1，2)，c≥b． 若c＝b，则可将黄片、蓝片一对一地全变成红片．
若c＞b．先将3b＋n片黄片与3b＋n片蓝片一对一对地换成红片，这时黄片数为0，蓝片数为3(c－b)．接着，将1片红片，1片蓝片变成2片黄片，再将2片黄片、2片蓝片变成2片红片．经过这一过程，黄片数仍为0，蓝片数减为3(c－b－1)．如果c－b－1＝0，结论已经成立．否则，类似地再操作若干次，直至蓝片数减少至0．
最后所有玻璃片都涂上了红色．
由于经过一次操作，黄片、蓝片数均减少1，或一种减少1，另一种增加2．所以两种片数除以3所得余数仍然相同．如果最后只剩下一种颜色，总数为5，黄片、蓝片数量必须为0，除以3玉树才能相等，即所有玻璃片均为红色。
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