英国画家保拉·雷格绘画几个阶段的分析与解读

第一篇：英国画家保拉·雷格绘画几个阶段的分析与解读

英国画家保拉·雷格绘画几个阶段的分析与解读

一、保拉?雷戈及其作品介绍

保拉?雷戈（Paula Rego）1936年生于葡萄牙里斯本一个中产阶级家庭，1956年毕业于伦敦斯莱德艺术学院，1990年被任命为英国国家美术馆的首席艺术家。她的作品以描写动物、女孩与女人为主，故事性及服装道具在画面中占有重要的地位，而男人在画面中通常是缺席的，但画中出现的道具却与男人有着直接的关系。她的作品具有一定的阶段性：20世纪60至70年代主要采取抽象和半抽象的语言或拼贴的形式来进行创作，她在60年代末从油画转到了丙烯画并从童话故事里汲取新的灵感，80年代主要以丙烯进行创作，作品主要有《红猴》《Vivian女孩》《家庭》系列，以及90年代以来所创作《狗与迪斯尼》《阿马罗》《订婚》等系列的蜡笔、色粉画。

二、保拉雷戈作品分析

（一）早期作品

1953年的《庆典》是应学校老师要求以“夏日交响曲”为主题创作的富于想象力的油画，她把厨房里场景有意地布局得不协调，一群人围绕在一张大桌子饕餮大餐。这些学生时期的绘画，虽然与保拉?雷戈现代的艺术实践大相径庭，但它们却隐含着她未来所关注的方向。

1965年根据《泰晤士报》报道，一位巴塞罗那的作家为了解决大街上越来越多的流浪狗而给它们喂食有毒的肉，造成很多的狗就在路人面前死去。而保拉?雷戈的作品《走失的狗》就是根据这则新闻而创作的。布面上用丙烯和拼贴大量的描绘半抽象的形态，不断地切割、解构、重组。她曾经用狂欢、本能、暴力来描述自己那时期的技术。

就像这个时期的所有作品，保拉?雷戈试图通过图像来讲述故事里的角色。然而，这些形象诞生后又不断地演变，最后反过来改变了画面的内涵，这才是作品诠释的真正核心，是艺术家始料未及的。

（二）动物系列

1981年，保拉?雷戈根据她的丈夫讲述在玩偶剧场玩耍的童年记忆，画了一系列带有叙述故事性的动物绘画，画里的主要演员是一个猴子、一头熊和一只狗，这些画都是快速地用丙烯画于纸上，形体用色块平涂，有着很强的轮廓线，在视觉上更接近拼贴画。每一幅画都是叙述性的，之间有剧情的发展，并运用了一些道具来充实画面的内容。保拉?雷戈用这些动物来隐喻家庭的各个成员，通过一系列的剧情发展来展现在家庭成员之间普遍发生的的关于爱与背叛、安全与不安全的故事，从更深层面上表达了保拉?雷戈对女性在家庭以及两性之间的位置的看法。

（三）家庭绘画

《女孩和狗》系列作品延续了一些她早期作品的构图形式和叙述性角色。作品都是以一个女孩携着一只狗为特征，作品有了更多的真实感，每幅作品分别表现的是女孩在与狗之间亲近或疏远的身份变化。女孩充当着从小孩到情人这样的变化着的角色。那只狗主要功能是作为一个伙伴或演员，与女孩之间产生同情或者发生冲突，女孩在这过程中产生了自我意识：认识到她曾经是谁现在是谁以及将来可能是谁。最著名的一个场景就是她哄着一只黄色幼狗吃勺子里食物。在她的手和狗的下颔的关系存在着威胁或者潜在的侵犯。在《两个女孩和狗》中女孩们像玩弄一个玩偶一样，给狗穿上和脱下衣服。前景作者运用了象征的手法去刻画了花朵、锤子、陶罐等道具。花是脆弱的象征，锤子则暗示着要打破陶罐，成为折磨拷问的工具的象征。这幅画表达的是对爱、信任和依赖的深层内涵的探索。在这一系列的最后一幅《回头看》里，画中加入其他两个小女孩，现在的女孩已占了绝对的优势，而狗却被安排在床下面的次要位置。

在这些作品中我们看到的仅是一个故事的中间的一个片段，作品是以女孩为主角，狗只是女孩在成长的各个阶段中的一个对象，通过女孩与狗之间的关系来暗喻女孩成长的特点和女性在不同阶段的自我认识。

1987年，她根据一部戏剧改编创作了《女仆》，作品真实地再现了室内人物的场景，画面的主要表达焦点是那只在保护或者是威胁中游走的手。画面中心女佣放在主人脖子后面的那只手是直接源于早期女孩和狗作品里的手势，现在所有的情节都是发生在人类之间。

保拉?雷戈把焦点集中在她们姐妹之间、母亲和女儿之间的不自然的亲密。右下角野猪增加了画面的不安和失衡；而挂在门后面的大衣暗示着缺席的父亲与母亲和女儿所形成的三角关系。作品表现了家庭成员之间模棱两可的关系和迫害性的精神分裂，而房间里道具的应用更加烘托了这一主题。

在1988年《家庭》，缺席的父亲和丈夫回归到了画面里，却是被他女儿和妻子粗暴地对待。叙述的线索显而易见，故事可以有不同的结局。画面中的女人们游走在对那个男人的帮助与伤害之间，躲在阴影里的女孩增加了诡异的气氛。

保拉?雷戈在作品中拒绝表达希望在女性身上出现的东西，都用一种颠覆了女性正常行为的方式来完成，追求模棱两可，这样她们的处境就保留了可变性，同时也不能根据传统的观念去解释它。

（四）狗系列与迪士尼

保拉?雷戈读了一本小说，是关于一个女人独自住在一间四面被沙丘环绕的房子里，只有一屋子的动物相伴。在冬天狂风大作的一个晚上，难以释怀的孤独感让她崩溃，她吞下了自己四只宠物。这个关于孤独、失落、沮丧的故事正是保拉?雷戈创作《狗女人》系列的源泉。

《理毛行?椤酚凶乓恍┕放?人放纵的性欲的特性，她正全神贯注地探寻着自己的身体。《睡觉者》在一个看不见的男人身旁打盹，他可能是狗女人注意力的焦点，因为她正睡在他的夹克上。这一系列作品复杂的叙述性情节被摒弃了，取而代之的是女性角色单独或者成对出现，这些形象只有极少的背景以及很少道具，大面积虚空的背景给读者留下了更多想象的空间。作品重点在于女人的肉体以及成熟的力量，她与保拉?雷戈之前的狗和女孩都有关联。她把之前女孩的形象转变成了一位变老的女人经历过的、自我觉察的性欲。

1995年保拉?雷戈受迪士尼《幻想曲里跳舞的鸵鸟》的启发创作了一系列的彩色蜡笔画《跳舞的鸵鸟》，画中的女人们并不是真正的芭蕾舞女，而是一群老女人把自己打扮成年轻舞女，是对女人在她们生命中特定阶段的梦想和现实，青春和衰老的思考。

继鸵鸟系列之后保拉?雷戈又创作了《白雪公主和七个小矮人》和《木偶奇遇记》两系列作品。依然沿袭了鸵鸟系列的手法，在《白雪公主》系列作品里开始关注童话故事里的女人之间的关系――白雪公主和她的后妈之间的性的对抗。在她的《父亲的战利品》里我们看到的是一个女人正把一头成年牡鹿的头放在自己的两腿之间，摆出了一种充满了性挑衅的姿势。白雪公主对她在这场性竞争中的位置是非常的自信，小女孩在城堡里的家中，而她的后妈却在背景的角落里跪着显着格外的小。在《白雪公主和她的后妈》里，这两个女人相对至高无上的权利显得有些不明确，可能是后妈侍候着白雪公主穿衣打扮外出，或者是用一种屈辱的仪式检查着内衣。在《骑马的白雪公主》中王子的马上，她显露出了胜利的喜悦。她击败了她的后妈，而她对父亲的渴望已经恰当地转变成了她与未来丈夫的爱。

和早期的动物系列作品一样《白雪公主》，这一系列的作品也是用一幅幅画来展开剧情，并运用特定的姿势、道具来暗示和营造气氛。在这些作品里作者通过对童话故事里的女人之间关系的演绎来表现现实生活中女人之间的微妙关系，展现了一个家庭的女人们为得到男人的关注引发的斗争。女人们的这种竭力为得到父亲、丈夫的认可和关注都隐喻着一种俄狄浦斯情结，并映射到了现实生活。

（五）神父阿马罗

葡萄牙作家埃萨?德?克罗兹1875年创作了小说《神父阿马罗的罪恶》。阿马罗作为一名神职人员被派去一个小镇，在那里他暂时与一位妇女和她女儿阿梅莉亚住在一起。他很快赢得了阿梅莉亚的爱情，他们秘密私通，但他与阿梅莉??的关系破裂而无法将小孩当作是自己的，阿梅莉亚只能偷偷地到外地分娩，最后和孩子都在生产中死去。故事最后阿马罗像他开头那样――孤独，微不足道，但完全没受过伤害。这则故事给保拉?雷戈提供了一个探索男人和女人之间公开和私密关系的崭新方向。

在作品《女人们的陪伴》里，主人翁阿马罗虽然是一个成人，却把他描绘成一个小孩子的状态，穿着女性的衣服，偎依在一位正在缝衣服的妇女的裙子下。这两个缝纫的女人既是他童年的一个见证，同时也象征了阿梅莉亚和她的母亲。这幅作品是对一个男人拒绝接受他自己生命的责任的探讨，他追寻的仅仅是重新构建童年的简单轻松。《牢笼》把阿梅莉亚的监禁、分娩和死亡在一幅画中通过近中远的三个层次同时表现了出来，并且在画中运用道具来烘托画面的气氛，隐喻故事的结局。画面中心坐着一个怀孕的女人，放在两腿上的小玩偶象征着即将诞生的生命，在她旁边，是一个没有怀孕的女人，作者把她描绘成她前段时间的化身，坐着，满怀憧憬。在背景里，第三个女人比之前第一个要老，在帮助一个年轻的姑娘上床或是下床。悬挂的公鸡和鸽子隐喻某种怪诞的仪式，画面中间小的玩偶隐喻着一场悲剧。《天使》是这系列最后一幅作品，同是守护和复仇天使，她一手握着剑一手握着海绵勇敢地面对着观众。她以毫不妥协的坚定挥动耶稣受难时使用的工具，挑战阻扰她实现秘密目的的所有来者。

整一系列作品中，从阿马罗的出现到消失，从阿梅莉亚肚子的守望到手持利剑与海绵的绝望与抗争，保拉?雷戈通过一系列剧情的发展描写男人的软弱的侧面来表现女人的性别给她们带来种种不幸的同时又具有独特的应对因她们性别所带来的不期望结果的能力，这才是阿马罗系列作品的真正主题。

1998年堕胎在葡萄牙仍然是不合法的，只有在例外的情况下才能实施。全民投票试图改变这项法律，但是大多数人并没有去投票，因此这项法律继续保留了。保拉?雷戈被这则消息激怒了，她画了一系列以流产为主题的素描、粉彩和油画。这个系列叫做《未命名》，描绘了各类型的女人，从女学生到社会妇女，不是在为堕胎准备，就是在处理着堕胎的后事。在这些作品中她们衣衫褴褛，或在松弛的沙发上，或在塑料水桶上一个人在等待，她的双脚支撑在一张折叠的椅子上像是要生产，有些蜷缩着，有些是蹲坐着，满脸叛逆不屑瞪着画外的观众。正如她的狗女人系列作品，她们独自勇敢地面对自己的性别。

（六）继荷加斯和《塞莱斯蒂纳的家》后

在2000年英国泰特美术馆在它的庆典图册的序言中写道：邀请当今24位著名艺术家与历史上最伟大的艺术家对话。美术馆希望展现它的藏品与当代艺术和艺术

家一直都保持着某种关联。每位艺术家被请去挑选一幅藏画去重新创作。保拉?雷戈选择了荷加斯的1743年的《文明婚姻》，她想这可能将是把她长期感兴趣的讽刺油画和她最近研究的荒诞的可能性结合起来的一个时刻。

保拉?雷戈更新了三联画的传统功能，她把故事的情节集中在外部的两个画面，中间的画面就像个支点或是枢纽。左边的画面，《订婚》是最忠于荷加斯的原画，它描绘了两场引发随后一系列悲剧的交易。这次婚姻是由女人们主持的，一位上流中产阶级女人不舒服地坐在椅子的扶手上，鄙视地看着她暴发的前任女仆，在女仆后面蜷缩着她惊慌失措的儿子。两个女人正在进行着某种可能是无声的谈判。每个人散乱的目光让整幅画失去平衡。

《订婚》表现了各式情感，他们都处于一种病态的状态。白裙子女孩对这个世界仍然很无知，充满暗示地用脚爱抚着她的狗，眼神落在父亲身上，而她的父亲正从镜子里的一个安全角落注视着这场卖女儿的交易。男孩畏缩着躲在他母亲的身后。它不但与主要情节有着象征性联系，也一种预叙，预示着后来的结局。

三联画中右手边的画《海难》，把情节带到了我们刚看到的谈判婚姻三十年后的结果，作者把主人公设置在一场海上暴风雨中并罹难。那男人躺在女人的怀里，衣箱里空空如也。他的妻子坐在和我们在《订婚》里第一次看到她还是小女孩时的同一张椅子上，并摆出类似的姿势把丈夫抱在腿上。其他的东西歪歪扭扭，唯一固定的是她坚定的眼神。

三联画中间的《课程》一位母亲，是成熟而自信的典范，带着像头盔一样的干发器，它双重指向了在性战争中的护甲以及选择的武器，教育着她的年轻女儿这个世界的规则。女儿抬头看着她，对母亲的经历充满敬佩之情，渴望从母亲宽大的背包里有所收获。整个三联画作者应用时空并置的叙事策略，通过把三十年时间和空间进行压缩来讲述一个为了权钱交易的被包办的婚姻，但是这场闹剧的主持者，或者说对这对年轻人命运的操纵者却是女人，而男人只放在了一个没有权利的旁观者的位置。保拉?雷戈在这幅画里彻底颠覆了男人的形象向我们展现了女人的控制欲以及对权利的向往。

在2000年的《抽搐》中，坐在巨大椅子上的女人畏畏缩缩，正试图断绝与躺在地上母亲的关系。因为她看着自己的母亲就像看到她未来衰老的自己，而那位老妇女，她抓住椅子的腿，努力挣扎着要重新获得女儿的注视。她向女儿伸出手，想要把女儿带到她将要去的地方。画家运用戏剧性的场景把这时间定格在女性充满对衰老、死亡的恐惧，对青春的向往与嫉妒的一瞬间。

以上通过对宝拉?雷戈几个艺术阶段的分析，得出她的作品都是通过戏剧性的场景、叙事性的口吻来表达一个画家眼中生活、人性的隐秘部分，她以女性特有细腻与敏锐的眼光向我们展示潜藏在表象之后被人忽视的部分。从早期的抽象作品到成熟时期具象人物场景，通过对她各个阶段作品的风格分析向我们展示了一位艺术家艺术实践中思想表达和语言载体相互结合的案例，而艺术家本人的独特视角也为广大的艺术创作者提供了一个全新的启示。

作者单位：

广东职业技术学院艺术设计系

第二篇：拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文

i.拉格朗日插值多項

ii.式與泰勒多項式的誤差分析 iii.朱亮儒 曾政清 陳昭地 iv.國立臺灣師範大學數學系教授 v.臺北市立建國高級中學數學教師 vi.vii.摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。

viii.關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix.一 引言

x.有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi.求

xii.f(x)2x5x6x3

xiii.ab(x1)c(x1)(x2)d(x1)(x2)(x3)xiv.中的a, b, c, d.32☆★

★

☆

★xv.f(x)除以(xa)(xb)的餘式為通過a,f(a),b,f(b)的插值多項式。

xvi.若f有a,b兩實根，則f可寫成f(x)q(x)(xa)(xb)的型式。xvii.透過因式定理證明插值多項式的唯一性。xviii.設通過(1,1),(2,3),(3,7)的多項式為

1f(x)ab(x1)c(x1)(x2)，求a,b,c及f.2xix.插值多項式：通過(11,3),(12,5),(13,8)的多項式可表示為 xx.f(x)3，(x12)(x13)(x11)(x13)(x11)(x12)58(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)xxi.求f(11.5)的值。

xxii.此處暫不處理下面的題型：「設通過(1, 1),(2, 3),(3, 7)的多項式為f(x)abxcx2,求a,b,c。」此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。

xxiii.此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J.L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：

xxiv.他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。

xxv.他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi.他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。xxvii.之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙（1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」

xxviii.泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。xxix.拉格朗日恆等式：

2nn2n21nxxx.aibiaibiajbkakbj，i1i1i12j,k12xxxi.ab2a222bab，xxxii.abcdacbdadbc.xxxiii.具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。xxxiv.最得意的巨著《分析力學》。

xxxv.拉格朗日差值誤差公式（[5]）：若x1,x2,,xn,xn1為[a,b]區間中相異實數，且fCn1[a,b],則對每一個x[a,b]，存在c(x)(a,b),使得

xxxvi.f(x)P(x)Rn(x), xxxvii.其中P(x)為函數f(x)在x1, x2, , xn, xn1的n階拉格朗日插值多項

f(n1)c(x)xxxviii.式，而Rn(x)(xx1)(xx2)(xxn1)為其插值誤差式。

(n1)!3 xxxix.美國早期數學家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報告中，曾對多項式近似超越函數有精準的描述。當時他提出的泰勒級數展開式雖然符合時代的需求，但並未涉及收斂性的問題，有關餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A.L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型([6],[7],[8],[9])。本文即欲介紹這些餘式型誤差項的初等證明及一些相關應用。

xl.二 拉格朗日插值多項式誤差項估計 xli.首先，重述一遍定理：

xlii.定理1.〔拉格朗日插值多項式誤差估計〕([5])

n1xliii.設x1, x2, , xn1為區間[a,b]上的(n1)相異實數，fC[a,b](即f(n1)在[a,b]上連續)，則對每一x[a,b]，存在c(x)(a,b)使得

xliv.f(x)P(x)Rn(x)

xlv.其中P(x)為函數f在點x1,x2,,xn1的n階拉格朗日多項式，而

f(n1)c(x)xlvi.Rn(x)(xx1)(xx2)(xxn1)為插值多項式的誤差

(n1)!式。

xlvii.證明：當xxk時，f(xk)P(xk)，此時可任取c(x)(a,b)都成立。

xlviii.當xxk,k1, 2, , n, n1時，設g:[a, b]定義成

xlix.g(t)f(t)P(t)f(x)P(x)4

(tx1)(tx2)(txn1)

(xx1)(xx2)(xxn1)則gCl.n1[a, b]，且g(x)g(xk)0,k1, 2, , n, n1，逐次利用Rolle定理知存在c(x)(a, b)使得g(n1)c(x)0。又對任意t(a, b)，g(n1)(t)f(n1)(t)P(n1)(t)f(x)P(x)

li.且P(n1)c(x)0，於是可得

(n1)!(xx1)(xx2)(xxn1)f(n1)c(x)lii.f(x)P(x)(xx1)(xx2)(xxn1)

(n1)!f(n1)c(x)liii.即Rn(x)(xx1)(xx2)(xxn1)。

(n1)!liv.由定理1可以得到下面的推論： lv.推論1-1：

lvi.(1)當fCn1[a, b]時，f(n1)(t)在[a, b]上連續，故有一Mn1使

(n1)lvii.Mn1maxfatb(t)，故Rn(x)Mn1(xx1)(xx2)(xxn1)。

(n1)!lviii.(2)當f(x)一開始就是k次的多項式函數時，則對[a,b]內任一大於或等於 lix.k階以上的拉格朗日多項式就是函數f(x)本身。

lx.在數值分析中，拉格朗日插值多項式誤差公式具有關鍵性的角色。lxi.三 泰勒定理 lxii.利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：

lxiii.定理2.〔泰勒定理(拉格朗日餘式型)〕：

lxiv.設x0(a, b)，fC得

n1[a, b]，則對每一x[a, b]存在c(x)(a,b)使lxv.f(x)Pn(x)Rn(x)，nlxvi.其中，Pn(x)k0f(k)(x0)(xx0)k為f(x)在x0點的n階泰勒多項式，k!f(n1)c(x)lxvii.Rn(x)(xx0)n1為f(x)用Pn(x)表示的誤差項。

(n1)!lxviii.證法(一)(完全平行於定理1)如下： 當xx時，可任取c(x)為(a,b)內的任一數都成立。lxix.○02 當xx時，設g(t):[a,b]定義成 lxx.○0(tx0)n1lxxi.g(t)f(t)P, n(t)f(x)Pn(x)n1(xx0)lxxii.則gCn1[a,b]且g(x)g(x0)g(x0)g(n)(x0)，lxxiii.逐次用Rolle定理知存在c(x)(a,b)使得g(n1)c(x)0。

lxxiv.又對任意t(a,b)，lxxv.g(n1)(t)f(n1)(t)Pn(n1)(t)f(x)Pn(x)6

(n1)!

(xx0)n1(n1)lxxvi.且Pc(x)0，於是可得 nf(n1)c(x)lxxvii.f(x)P(xx0)n1Rn(x)。n(x)(n1)!lxxviii.證法(二)([6][8])： lxxix.設實數Q滿足

lxxx.(xx0)n1f(x0)f(n)(x0)Qf(x)f(x0)(xx0)(xx0)n(n1)!1!n!

lxxxi.並設函數:[a,b]定義成

f(t)f(n)(t)Qlxxxii.(t)f(x)f(t)(xt)(xt)n(xt)n11!n!(n1)!

lxxxiii.依f,f,,f(n)之假設知:[a,b]為連續且在(a,b)內可微分，顯然(x)0且由實數Q之定義知(x0)0；於是由Rolle定理知x,x0之間有一c(x)使得c(x)0。但

f(t)f(n)(t)f(n)(t)n1lxxxiv.(t)f(t)f(t)(xt)(xt)(xt)n11!(n1)!(n1)!

f(n1)(t)QQf(n1)(t)nn(xt)(xt)(xt)n，lxxxv.n!n!n!7 lxxxvi.於是，由c(x)0得Qf(n1)c(x)，故知

f(n1)c(x)Rn(x)(xx0)n1，得證。

(n1)!lxxxvii.同樣地，由定理2我們可以得到如下的推論。lxxxviii.推論1-2：

lxxxix.(1)當fCn1[a,b]時，f(n1)(t)在[a,b]上連續，故有一Mn1使

Mn1n1xx0。

(n1)!xc.Mn1maxfatb(n1)(t)，故Rn(x)(n1)xci.(2)當f(x)是k次的多項式時，由f(x)0,x(a,b)，故知f(x)的

xcii.任一大於或等於k階的泰勒多項式就是函數f(x)本身。xciii.定理2.可用來證明下列的冪級數表示超越函數的漂亮結果：

xnxciv.(1)e,x

n0n!x(1)n2n1xcv.(2)sinxx,x

(2n1)!n0(1)n2nxcvi.(3)cosx1x,x

(2n)!n1xcvii.定理3〔泰勒定理（柯西餘式型）〕：

xcviii.設x0(a,b),fCn1[a,b]，則對每一x[a,b]存在01使得

xcix.f(x)Pn(x)Rn(x)，c.其中，Pn(x)k0nf(k)(x0)(xx0)k為f(x)在x0點的n階泰勒多項式，k!f(n1)(1)x0x(xx0)n1為誤差項 ci.Rn(x)(1)n!ncii.證明：（底下的證明完全平行於定理2的證法(二)）ciii.設實數q滿足

(xx0)f(x0)f(n)(x0)civ.qf(x)f(x0)(xx0)(xx0)nn!1!n!，cv.並設函數:[a,b]定義成

f(t)f(n)(t)qcvi.(t)f(x)f(t)(xt)(xt)n(xt)，1!n!n!cvii.則:[a,b]為連續且在(a,b)內可微分。

cviii.顯然(x)0，且由實數q之定義知(x0)0，於是由Rolle定理知

cix.x,x0之間有一c(x)(1)x0x(01)使得c(x)0。

f(t)f(n)(t)cx.但(t)f(t)f(t)(xt)(xt)n1

1!(n1)!cxi.f(n)(t)f(n1)(t)qqf(n1)(t)(xt)nn1n(xt)(xt).(n1)!n!n!n!cxii.於是，由c(x)0得

cxiii.qf(n1)c(x)xc(x)nnf(n1)1x0x1xx0，nnf(n1)(1)x0x(xx0)n1，得證。cxiv.故知Rn(x)(1)n!cxv.定理4〔泰勒定理(柯西積分餘式型)〕

cxvi.設x0(a,b),fCn1[a,b]，則對每一x[a,b]

cxvii.f(x)Pn(x)Rn(x)

………(＊)

cxviii.其中，Rn(x)1x(n1)nf(t)(xt)dt x0n!cxix.證明：利用微積分基本定理，xcxx.f(x)f(x0)f(t)dtx0

cxxi.再由分部積分法，得

xxcxxii.x0f(t)dtf(t)x0d(xt)dtdt

xcxxiii.f(t)(xt)x0xx0f(t)(xt)dt

cxxiv.f(x0)(xx0)xx0f(t)(xt)dt.cxxv.故知n1時，公式(＊)成立。

cxxvi.利用數學歸納法，設1kn1,(＊)在nk成立，而

1x(k1)kf(t)(xt)dtx0cxxvii.k!

1x(k1)dt

f(t)(xt)k1cxxviii.(k1)!x010 cxxix.x11(k2)k1f(k1)(x0)(xx0)k1f(t)(xt)dt x0(k1)!(k1)!cxxx.於是(＊)在nk1時亦成立，得證。cxxxi.事實上，由定理4之

1x(n1)Rn(x)f(t)(xt)ndtn!x0cxxxii.cxxxiii.利用連續函數f(n1)(t)(xt)n之積分均值定理知有一(0,1)使得

cxxxiv. xx0f(n1)(t)(xt)dtfn(n1)(1)x0xx(1)x0xn(xx)0f(n1)(1)x0xxx0cxxxv.n11n。

(1)nf(n1)(1)x0xcxxxvi.即Rn(x)(xx0)n1，故知定理3的「柯

n!西餘式型的泰勒定理」為「柯西積分餘式型」的直接結果。甚至，再利用下面的引理(一般化的積分均值定理)：

cxxxvii.引理：

cxxxviii.設g,h:[a,b]都是連續，且h(x)0對每一x[a, b]，則存在一點c(a,b)使得

bbcxxxix.ah(x)g(x)dxg(c)h(x)dx.acxl.可推得拉格朗日餘式型的泰勒氏定理(不妨設xx0)：

1x(n1)(t)(xt)ndt cxli.Rn(x)fn!x011

x1(n1)fcxlii.c(x)x0(xt)ndt(x0c(x)x)n!cxliii.1(n1)fc(x)n!(xt)n1n1xx0

f(n1)c(x)cxliv.(xx0)n1.(n1)!cxlv.四 結論

cxlvi.本文最後主要的結論如下：

cxlvii.一、拉格朗日不但提供了他本身的插值多項式誤差項的初等令人深刻印象的證法，也同時解決了拉格朗日餘式型的泰勒多項式誤差項的公式，手法值得讚賞，並可輕易以多項式函數逼近超越函數。

cxlviii.二、拉格朗日餘式型的泰勒定理，可以推廣到多變數實函數的泰勒定理([7])。

cxlix.三、拉格朗日餘式型的泰勒定理有三種證法，而柯西餘式型的泰勒定理也有兩種

cl.證法，都是在寫這篇文章的意外收穫。

cli.四、柯西餘式型和柯西積分餘式型的泰勒定理，形式證明也都很初等，它對於牛頓的二項級數(1x)kx,1x1(為任意實數)的正確k0k性提供了拉格朗日餘式型無法單獨承擔的完整證明([6],[7],[8])。clii.在拉格朗日插值多項式被引入高中數學課綱([3])，加之以拉格朗日的均值定理([4])，甚至一般化的超廣義均值定理~拉格朗日餘式型泰勒定理也將是選修 cliii.微積分([2])必然會接觸到的問題。它提供了e,sinx,cosx等初等超越函數的泰勒級數表示，大大拓展了多項式微積分的應用範疇，值得學習。cliv.五 參考資料

clv.1.教育部(民98)。普通高級中學必修科目「數學」課程綱要。clvi.2.教育部(民98)。普通高級中學選修科目「數學」課程綱要。

clvii.3.李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。普通高級中學數學第一冊，康熹文化事業股份有限公司出版。

clviii.4.李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。高中選修數學(II)，康熹文化事業股份有限公司出版。

clix.5.朱亮儒、陳材河(民99年7月9日)，「99課程中的Lagrange插值多項式」電子報專刊，高中數學電子報第47期。

clx.6.陳昭地、顏啟麟(民67)。數學分析，汝旭圖書公司印行。

clxi.7.張幼賢、陳火炎、陳昭地(民100年4月)。二項級數之教學研究，教育部高中數學學科中心電子報54期，http://mathcenter.ck.tp.edu.tw clxii.8.Bartle, R.G.(1978).The elements of real analysis(2nd.Ed.)，中央圖書出版社代印行。

clxiii.9.Fitzpatrick, P.M.(1995), Advanced Calculus, PWS Publishing Company.clxiv.x13