关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

第一篇：关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

光信1104 李号

我们知道，对于欧拉方程anxyn(n)an1xn1y(n1)a1xya0yf(x)'(a2,a3,,an不全为0可以通过变量代换xet或tlnx化简。本文主要介绍如何用低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。

先用一个例子来说明我们要探讨的问题。

dydydy'2'''''

已知：xe,。，,求xy,xy,xy（此处均为对x的导数）23dtdtdtt23

显然，由xet可知tlnx,则

y'dtdx1xdydt

dydx2dydtdtdx1xdydtxy'y''dydxddx1x321dy1dy1dydt1dydydydy2''()()2()xy2222dxdxdxxdtdtxdtdxdtdtxxdtdtdydx322ddyd222y'''()ddxxdydt(4)22[12(dydtdydt22dydt)]2x3(dydt22dy1dy1)2(3)2dtxxxdtdtdydt22dy132

(dydt332)xy3'''dydt23332dydt

同理可求出xy4dydt446dydt3311dydt26dydt

我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1-1 n=3 1-3 2 n=4 1-6 11-6 为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i)m用“Bn”表示第n排第m列的数（显然nm）；

ii)(1)n1(n1)!(1n)!即（-1）n!（-n）!

n由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律：

1i)

Bn1；

nn1ii)

Bn(1n)Bn1;mmm1iii)BnBn1(1n)Bn1nm1 该规律可用数学归纳法归纳得出，限于篇幅，此处省去不证。显然，只要找出了Bnm的通式，就可以表达出xny(n)。

n(n)1nxyBdydtnnB2ndn1ydtn1Bnndydt。

1n为求Bnm，我们有两条路出发。一是由“Bn1”着手，另一个是由Bn着手。

1注意到Bnm既与Bnm1有关，也与Bnm有关，我们选择从Bnn着手。后面我们会看到，带入数1字“1”计算会因为讨论n的取值而使得表达式无法统一。

1

由Bnn(1n)Bnn可知： 1Bn(1n)Bn1(1n)(2n)Bn1(1n)(2n)(1)B1(1n)!nn1n11

Bnn(1n)!

显然我们可以把平行于主对角线的数看成一组数列。取m=n-1，则：

Bnn1Bn1(1n)Bn1n2n1n2Bn1(1n)Bn2(1n)(2n)Bn3(1n)(2n)(3)B2(1n)(2n)(3)(2)B(1n)!1nnn1n3212

(1n)!2n(1n)!3n(1n)!2(1n)!1

(1n)!(i211i)

取m=n-2，则

Bnn2Bn1(1n)Bn1

n3n421n2n3Bn1(1n)Bn2(1n)(2n)Bn3(1n)(2n)(4)B3(1n)(2n)(3)B3n2(1n)!1nn11ii21(1n)!n212nj1i21i(1n)!331ii21(1n)!221i

i21n(1n)![(j311j1i)]

i21n故由数学归纳法可求出Bmn(1n)!a1nm1{[1a1a2nm1a21a111a21()]}

a3nm11现在我们再从“Bn1”入手，看看会有什么情况。Bn1

BnBn1(1n)Bn1Bn11n

12(1n)(2n)(2)B2B2 22121(123n1)BnBn1(1n)Bn1 332n(1n)2

(1n)Bn1(2n)Bn2(3)B3B3 2223n(1n)22(n1)(2n)224(14)22B3

3可以看出求Bn2是需要B22的值，求Bn3时需要B33的值而且还要用立方和与平方和公式。当m较大时，需要Bm的值以及m次方和与m-1次方和的公式。更重要的是，具体化m后，表达式无法统一！因此可以看出，成列分布并不是该数组的真正特性，而平行于主对角线的分布才能使该数组统一。

原式可化为D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1)

D^n=d^ny/dx^n m