五自由度机器人

第一篇：五自由度机器人

仿真机械手运动生成

（需使用运动捕捉数据库）

摘要——在使用运动和姿态和人互动交流中，仿真机器人不光需要和人长相相似，更需要像人一样能够在交流互动中避免误解。在类人行为中，仿真机械手的运动是和人交流的基本动作。这篇文章首先阐述的是用数学语言陈述人手臂运动特征。人手臂运动的特点是手的位置和方向决定了肘仰角。这样的数学表述需要用到近似软件——反应曲面法（RSM）。然后运用上面的表述来将此种方法实现到实时控制的机械手运动上。在需要将机器人的手从一点一到其他地方或是手的旋转时，还得通过上述方法对其进行评估。下面的例子运动是由KIST仿真机器人，MAHRU所演示。

I.介绍

在过去的几十年中，一些机器人被开发出来并且面向公众，以为人类服务。机器人和人的大多数交流方式是通过声音和行为来实现的。尽管这种行为可能引起人的误解，机器人的行为还是要和人相似。当然这种行为对于人来说是可预测的而且感觉上也是舒适的。仿真机器人的行动至少要表现出和人相似才行。

一些研究已经完成了仿真机器人的运动，这种是尽可能的模仿人的运动得到的。人的运动是由运动捕捉系统测量并且运用于机器人或是动画特征来得到。在视觉运动捕捉系统的情况下，人的运动的捕捉是以时间轨迹记录器的来实现，这时间记录器是安装在演示者身体上的。许多研究者已经开发出这种方法。Kim等人曾提出一种方法——运用优化系统将演示者的手臂运动运用到机器人上。人的手的位置和方向由机器人模仿，这机器人被装上一些特定功率的关节马达。然而这种方法并不能得到新的类人的运动。Pollard等人也提出过如何将所获取的人的运动运动到机器人身上，这种机器人只有上身。优化所获得的演示者的上身运动是缩小机器人和人的体型来实现的。这样，关节的位置和移动速度极限是需要考虑的。Nakaoka等人探索除了一套程序，通过运动捕捉系统，让仿真机器人（HRP1S）模仿日本人跳舞。主要运动的象征性表述得以实现。关节位置的时间记录在此首次被提出来。更正这些轨迹以满足机器人的机械限制。特别地，为了满足动态稳定性，修正腰部运动轨迹以保持和所需的ZMP轨迹一致。日本人的舞蹈是由动力模仿器，OPENHRP以及真实的机器人来演示。这些方法都是用来模仿给定的运动的。这些方法就很难能够得到和人的运动数据库里一些列的类人运动，因为他们都是采取所获得的给定的运动所导致的。

Asfour等人提出例外一种方法是用人手臂的数学表述语言得到机械手的运动。这种数学表述被广泛采用。在那些论文中，肩部的空间笛卡尔坐标系定义了人的手腕位置有四个参数。然而，所提的表述近似的表示出了手臂的运动，因此，这种方法得以运用但会出现机器人手臂的位置和方向的错误结果。再者，那片文章中的四个参数并没有生理意义。

由于机器人不光需要模拟人的运动，还得演示随时从运动数据库里调出的类人运动，这就需要一些新的方法。在这片论文中，提取运动数据库中的人手臂运动特征的方法将要给以陈述。

这些特征将以肘抬角给以描述。此角手腕的位置决定，且角度处于手掌和地面之间。借助于对于手臂的自然抬举角度来得到仿真机器人的运动。

II.肘部仰角：描述人的手臂运动

图表1.肘仰角定义

此部分运动捕捉数据库手臂运动过程特征得以描述。如图表2所示运动捕捉数据是由可购买得到的视觉运动捕捉器来实现。人体模型图表三由运动捕捉器S/W模仿。

日常生活中，手的点到点的移动是由手的指向来定位的，譬如，手抓桌子或空中物体，或是和谈话人进行手势等等。人手的姿势或许可以由手腕的位置手的运动方向以及肘关节的姿势来描述。从手臂运动捕捉数据来看肘姿势也许主要是手腕的位置和手掌的方向向量——即手掌方向来决定。换句话来说，在特定的情况下手掌的姿势又以手腕的位置，手掌方向和肘的姿势的形式来描述。更者，肘姿势可以由手腕和手掌的方向来表示。手腕的位置的获得要用到以地面的标准建立的球笛卡尔坐标系的演示者手臂运动，然后改变参照物到演示者的肩关节上。肘姿势的定义是竖直面（图表1中的红线三角组成的）和由肩，手腕，以及肘组成的图表一的蓝色的三线构成的面，这两个面的夹角，这角叫做肘关节仰角。由于以对于人的手臂的运动的比较自然的姿势的关键因素——手腕的位置和手掌的方向定义了此角，人的手臂的运动就能够特征化了。当蓝线所成平面（见如图1）和竖直红线形成平面重合时，此仰角为0度。

要获得人的肘自然姿势，就要用上图标3的线性数学分析。在实验中，演示者的手臂都是放松的或是无需预设的移动。相当多的手腕的姿势和手掌的方向对于演示者来说是预先给定的。在这次实验中，手臂的移动平均分六段。然后再5秒内演示者画上5个不同尺寸的圆。同样的实验由不同的手掌方向重复3次。

图表2.运动捕捉系统和演示者

图表3.对于一系列人手姿势的线性分析

人手的运动的获得用到Hawk 数字系统，这种设备可以从运动分析有限公司购买（见图2）。演示者身上安放29个组件和8个摄像头也派上用场。时间轨迹记录器——记录人的运动也购置好了。通过运用这个时间轨迹记录器，需要累计记录每个坐标形式下的肩膀和坐标系，手腕的位置便能定位。

III.有关肘关节仰角问题

从上面做出的部分，以及对其线性分析能够发现手姿势的特征需要是肘关节仰角描述，肘关节仰角是手腕的位置和手掌的方向来表述的。

A.响应面分析法

响应面分析法是一项代表同侧输入变量和反应之间关系的技术。分析法中反应函数定义出了类似的实验的结果。简要描述如下：

实验反应函数近似如下：

y表示实验中特定的反应结果量，是y的未知量，e表示反应和反应函数之间的偏差。X表示不同侧的输入向量。反应函数的近似反应函数又用到形函数如下：

反应函数的条件的数量。

是

是

是形函数量（一，需要是些研究者称之为偏函数）形函数未知系数决定于曲线拟合实验的结果。

在多重反应给定的情况下，多重偏差的获得需要函数Eq.(1)和Eq.(2)的形式如下：

此处N是反应次数（或者是实验）；的偏差；为对应于的和 是

反应值，和相应

反应的输入向量。等式（3)可以以向量的形式给出如下：

矩阵的维度X，e开平方得到的，如下： 的元素值为

。未知常向量b是对

注意到的最小值等于的最小值。最优条件下的向量b可由下等式获得：

因此，响应函数便获得。可见，这就是所谓的开平方方法。

B.输入量正常化。

由于数值的级数分量差别，在前面的处理过程中，变量值的正常化是必要的。这种正常化可以帮助减少误差。再者，由于机器人和人的大小有别，这种正常化可以使得将人的数据库和应用到机器人上更加的容易。

正如第二部分所提，人的手臂运动特征可以通过手腕的位置和手掌的角度来描述。手腕位置的获得需要笛卡尔空间坐标系的手腕轨迹记的记录。手掌的指向代表了第二部分中所提的手掌方向向量。将这指向和地面的夹角作为输入量之一。这些表示参数与无量纲2表示如下：

表示肩与手腕的距离；

和

表示图表7中的空间笛卡尔坐标系中的肩膀的角度；是手掌和地面间的夹角。

C.肘关节仰角的特征方程

对于形函数来说，响应曲面法广泛采用了第二个多项式。通过由前部分定义出的参数来表述肘关节仰角的响应函数如下：

为正常化后的肘仰角响应函数。输入向量X由等式(9)给出。形函数的未知向量系数b的获得用到等式(6)和第一部分中的人手的线性分析的结果。一旦机器人手臂肘仰角的响应函数完成，最自然的机器人的肘仰角将会由机器人的手腕的位置和手掌的方向来决定。再者，响应函数所得的运动应该看似类人的行动。图表（4）显示了肘仰角输入参数的结果。

IV.逆运动学

在上一节中，肘仰角的获得源于RSM和运动捕捉数据库。这节中，逆运动学的是用肘仰角产生一个类似人的手臂运动和机器人的典型的逆运动程序的问题已经解决了关节的位置问题。

作为一个试点,韩国科学技术学院开发的仿真机器人图5的MAHRU——每个臂拥有6个自由度已经用上了。为了解决逆运动学问题，六自由度完整性的约束是必须的。输入所需姿势即是笛卡尔空间坐标系中以肩为中心的手腕位置和手掌所成的方向角。手腕放松时候的角度同样也可以输入，但是此文中的设置是0度。为了得到类人姿势，就要用到人手运动特征等式。因此6自由度的限制条件就要用上。解决逆运动学的方法源于几何问题的分析。

图表5.KIST机器人，MAHRU 图表6展示的是左手的放松姿势。手臂的所在位置的姿势垂直于地面，其手掌贴向臀部。

当肘仰角从前面的段落中获得，则余下的关节的角度从就由这段落来确定了。

首先，关节仰角

仅仅是由图表7中的距离r来决定。

到的关节仰角和

由向量 决定。当和在给定了手腕和手掌

和手腕坐标方向时设置角度为0度，是由肘位置向量。通过向量

向量——手腕的置于以肩为中心的笛卡尔坐标系的X-Z坐标系中——建立一个平面。

可以由上方程中肘仰角和手腕的位置来计算。

手腕螺旋角，当r=1.7，在和，手腕距离（r），当r=1.7，时的手腕螺旋角

当r=1.7和

时的肘仰角

图表4.与四元素

和对应的人手臂肘仰角

图表6.左臂的笛卡尔坐标系

图表7.手臂姿势的参数 此处的是在上面加的*

手腕位置表述如下：

是由参考系到参考系同化后的变形矩阵，是第四个参考系中的手腕位置的向量。此向量为=上面方程给出的。因此

。手腕的位置是给定的，和是

可以有下面方程得出：

图表8.左手的笛卡尔坐标系

此处为，为 这篇文章中，手腕的自然竖直角度为0度。为了得到角度得以运用。，两个向量的 此处

为从肘到手腕的向量和地面的法向量组成的平面的法向量。为原始肩，手腕的位置和给定数据下的肘位置的的平面法向量。

V.例子

在上节，完成了肘仰角的等式。用此等式，可获得自然的仿真机器人姿势。再者，KIST机器人MAHRU的逆运动学运算可以从手腕的位置和手掌的方向来获取。评估等式和逆运动学运算，机器人需要遵循按照手腕的位置和手掌的方向。距离笛卡尔坐标系的以肩为中心有0.44mm的y-z平面中的正弦曲线给定了手腕的轨迹.所需的手掌方向的轨迹的得出要用到各个时刻的坐标系中的手腕的正弦函数向量的余弦。只要有了机器人的手臂的运动，运用这些轨迹便可计算出所需关节运动的角度。这些轨迹的由KIST 机器人MAHRU来完成。实验的演示所用的PC由每个关节上的马达的RTAI和DSP控制板来控制。利纳科斯PC 可以将关节角和所需关节向量传递到5米处的有CAN的草图的DSP上去。每个DSP板控制相应的马达，从而改变带有PD控制器的关节的所需值。

图表9.先进的方法将人手臂和机器人手臂运动做以对比

图表9显示了实验拍摄结果。左右臂是对称的，同时在一，三和最后一个场景中的每个肩膀手掌的方向在笛卡尔坐标系中也是一样的。应该可以看到这个场景中合成的机器人的手臂的姿势是不对称的，也就是机器人的其中一肘要比人的相应的那肘要左偏些。

VI.总结

此文已经给出了如何用数学语言描述人手的运动特征方法。这用到了运动捕捉数据库。KIST机器人MAHRU成功的完成了这种表述和评估。对于任意的配置的手臂姿势，人手的特性的先进方法很容易实现机器人的姿势模仿。这种方法很容易实时得到机器人手臂运动。例外，所产生的手臂运动能够准确的完成所需手腕的位置，因为肘仰角对手腕不再有影响。还有就是，这种方法对于下面的情况也适用：机器人的手腕和手掌的从一点到例外一点的移动能到手的能够抓住伺服视觉中物体过度。

这种方法或许不能充分完成所需的手的定位工作，因为肘仰角只能用到一个角度，这个角度是在其他三个所需方向之外的与手掌方向一致的角度。倘若这只手的所需角度要能够满足上诉情况，则对于机器人来说就要能多的自由度数。还有就是,在考虑到动态性能和自身的冲突问题时，机械手的运动仍然是我们的未来工作任务。

参考文献

[1] C.Kim, D.Kim, and Y.Oh, “Solving an inverse kinematics problem for a humanoid robots imitation of human motions using optimization,” in Proc.of Int.Conf.on Infomatics in Control, Automation and Robotics, 2005, pp.85–92.[2] N.S.Pollard, J.K.Hodgins, Marcia J.Riley, and Christopher G.Atkeson, “Adapting human motion for the control of a humanoid robot,” in Proc.of IEEE Int.Conf.on Robotics and Automation, 2002, vol.2, pp.1390– 1397.[3] S.Nakaoka, A.Nakazawa, K.Yokoi, H.Hirukawa, and K.Ikeuchi, “Generating whole body motions for a biped humanoid robot from captured human dances,” in Proc.of Int.Conf.on Robotics and Automation, 2003, pp.3905–3910.[4] T.Asfour and R.Dillmann, “Human-like motion of a humanoid robot arm based on a closed-form solution of the inverse kinematics problem,” in Proc.of IEEE/RSJ Int.Conf.on Intelligent Robots and Systems, 2003, vol.2, pp.1407–1412.[5] J.F.Soechting and M.Flanders, “Errors in pointing are due to approximations in targets in sensorimotor transformations,” in Journal of Neurophysiology, 1989, vol.62, pp.595–608.[6] J.F.Soechting and M.Flanders, “Sensorimotor representations for pointing to targets in three-dimensional space,” in Journal of Neurophysiology, 1989, vol.62, pp.582–594.[7] R.T.Haftka, Experimental Optimum Engineering Design Course NOTEs, Department of Aerospace Engineering, Mechanics and Engineering Science, University of Florida, Gainesville, Florida, U.S.A., 2000.

第二篇：外文翻译--六自由度机器人

六自由度并联机器人基于Grassmann-Cayley代数的奇异性条件

Patricia Ben-Horin和Moshe Shoham，会员，IEEE

摘要

本文研究了奇异性条件大多数的六自由度并联机器人在每一个腿上都有一个球形接头。首先,确定致动器螺丝在腿链中心。然后用凯莱代数和相关的分解方法用于确定哪些条件的导数(或刚度矩阵)包含这些螺丝是等级不足。这些工具是有利的,因为他们方便操纵坐标-简单的表达式表示的几何实体,从而使几何解释的奇异性条件是更容易获得。使用这些工具,奇异性条件(至少)144种这类的组合被划定在四个平面所相交的一个点上。这四个平面定义为这个零距螺丝球形关节的位置和方向。指数Terms-Grassmann-Cayley代数，奇点，三条腿的机器。

一、介绍

在过去的二十年里,许多研究人员广泛研究并联机器人的奇异性。不像串联机器人,失去在奇异配置中的自由度,尽管并联机器人的执行器都是锁着但是他们的的自由度还是可以获得的。因此,这些不稳定姿势的全面知识为提高机器人的设计和确定机器人的路径规划是至关重要的。

主要的方法之一,用于寻找奇异性并行机器人是基于计算雅可比行列式进行的。Gosselin和安杰利斯[1]分类奇异性的闭环机制通过考虑两个雅克比定义输入速度和输出速度之间的关系。当圣鲁克和Gosselin[2]减少了算术操作要求定义的雅可比行列式高夫·斯图尔特平台(GSP),从而使数值计算得到多项式。

另一个重要的工具,为分析螺旋理论中的奇异性,首先阐述了1900的论文[6]和开发机器人应用程序。几项研究已经应用这个理论找到并联机器人的奇异性,例如,[11]-[14]。特别注意到情况,执行机构是线性和代表螺丝是零投的。在这些情况下,奇异的配置是解决通过使用几何,寻找可能的致动器线依赖[15]-[17]。其他分类方法闭环机制可以被发现在[18]-[22]。

在本文中,我们分析了奇异点的一大类三条腿的机器人,在每个腿链有一个球形接头上的任何点。我们只关注了正运动学奇异性。首先,我们发现螺丝相关执行机构的每个链。因为每一个链包含一个球形接头,自致动器螺丝是相互联合的,他们是通过球形关节的零螺距螺杆螺丝。然后我们使用Grassmann-Cayley代数和相关的发展获得一个代数方程,它源于管理行机器人包含的刚度矩阵。直接和高效检索的几何意义的奇异配置是最主要的一个优点,在这里将介绍其方法。

虽然之前的研究[53]分析7架构普惠制,各有至少三条并发关节,本文扩展了奇点分析程度更广泛的一类机器人有三条腿和一个球形关节。使用降低行列式和Grassmann-Cayley运营商我们获得一个通用的条件,这些机器人的奇异性提供在一个简单的几何意义方式计算中。

本文的结构如下。第二节详细描述了运动学结构的并联机器人。第三节包含一个简短的在螺丝和大纲性质的背景下驱动器螺丝,零距螺丝作用于中心的球形关节。第四部分包含一个介绍Grassmann-Cayley代数的基本工具用于寻找奇异性条件。这部分还包括刚度矩阵(或导数)分解成坐标自由表达。第五节中一个常见的例子给出了这种方法。最后,第六章比较了使用本方法结果与结果的其他技术。

二、运动构架

本文阐述了6自由度并联机器人有六间连通性基础和移动平台。肖海姆和罗斯[54]提供了调查可能的结构,产生基于流动公式6自由度的Grubler和Kutzbach。他们寻找了所有的可能性,满足这个公式对关节的数目和任何链接。GSP和三条腿的机器人结构的一个子集所列出的6自由度Shoham和罗斯。一个类似的例子也证实了了Podhorodeski和Pittens[55],他发现了一个类的三条腿的对称并联机器人,球形关节、转动关节的平台在每个腿比其他结构潜在有利。正如上面所讨论的,大多数的报告文献限制他们的分析结构和球形关节位于移动平台和棱柱关节作为驱动的关节。在这个分类,我们包括五种类型的关节和更多的可选职位的球形关节。

我们处理机器人有三个链连接到移动平台,每个驱动有两个1自由度关节或一个二自由度关节。这些链不一定是平等的,但都有移动和连接六个基地和之间的平台。除了球形接头(S),关节考虑是棱镜(P),转动(R)、螺旋(H)、圆柱(C)和通用(U),前三个是1自由度关节和最后两个二自由度的关节。所有的可能性都显示在表I和II。该列表只包含机器人,有平等的连锁,总计144种不同的结构,但是机器人与任何可能的组合链也可以被认为是membersof这类方法。组合的总数,大于500 000,计算方式如下:

三、管理方法

本节涉及螺丝和平台运动的确定。因为考虑机器人有三个串行链,每个驱动器螺丝的方向可以由其互惠到其他关节螺钉固定在链条。被动球形接头在每个链部队驱动器螺丝为零距(行)并且通过它的中心。因此,三个平面是创建中心位于自己的球形关节。

以下简要介绍了螺旋理论,广泛的解决[7],[73],[75];我们解决在第二节中列出相互的所有关节螺钉系统。

上述类的机器人的几何结果奇点现在相比其他方法获得的结果要准确。首先,我们比较奇异条件在上述3 GSP平台与结果报告线几何方法。

根据相对几何条件的他行方法区分不同的几种类型沿着棱镜致动器[81]的奇异性。我们表明,所有这些奇异点是特定情况下的条件通过(17 c)提供,这是有效的三条腿以及6:3 GSP平台的机器人的考虑。这种结构的奇异的配置根据线几何分析包括五种类型:3 c、4 b、4 d,5 a和5 b[17],[36]。

四、奇异性分析

本节确定奇异性条件定义在第二节的机器人。第一部分包括寻找方向的执行机构的行动路线,基于解释第三节中介绍。他行通过球形接头中心,而他们的方向取决于关节的分布和位置。第二部分包括应用程序的方法使用了Grassmann-Cayley代数在第四节定义奇点。因为每对线满足在一个点(球形接头),所有例子的解决方案是象征性地平等,无论点位置的腿或腿的对称性。我们从文献中举例说明使用三个机器人的解决方案。

1.方向的致动器螺丝

第一个例子是3-PRPS机器人提出Behi[61][见图3(a)]。对于每个腿驱动螺丝躺在这家由球形接头中心和转动关节轴。特别是,致动器螺杆是垂直于轴的,和致动器螺杆是垂直于轴的,这些方向被描绘在图3(b)。第二个例子是the3-USR机器人提出Simaan et al。[66][见图4(a)]。每条腿有驱动器螺丝躺在通过球形接头中心和包含转动关节轴中。驱动器螺丝穿过球形接头中心并与转动关节轴相连。这些方向被描绘在图4(b)。

第三个例子是3-PPSP Byun建造的机器人和[65][见图5(一个)]。每条腿,驱动螺丝躺在飞机通过球形接头中心和正常的棱镜接头轴。驱动器螺丝垂直于轴的,和致动器螺杆是垂直于轴的,这些方向被描绘在图5(b)。

图3(a)3-PRPS机器人提出Behi[61]

(b)飞机和致动器螺丝

图4(a)3自由度机器人提出Simaan和Shoham[66]

(b)飞机和致动器螺丝的3自由度机器人

图5(a)3-PPSP机器人提出Byun[65]

(b)飞机和致动器螺丝

2、.奇异性条件

雅克(或superbracket)的机器人是分解成普通支架monomials使用麦克米兰的分解,即(16)。解释部分3—b机器人，本文认为每个链有两个零距驱动器螺丝通过球形接头。拓扑,这个描述等于行6:3 GSP(或在[53]),这三条线,每经过一个双球面上的接头平台(见图6)。这意味着每对线共享一个公共点(这些点在图6中)。因此类的机器人被认为是在本文中,我们可以使用相同的标记点的至于6:3 GSP。六线与相关各机器人通过双点,并且,用同样的方式在图6。

图6 6-3 GSP

五、结果

本文提出一个广义奇异性分析并联机器人组成元素。这些是有一个球形接头在每个腿链的三条腿的6自由度机器人。因为球形关节需要驱动器，螺丝是纯粹的力量作用于他们的中心,他们的位置沿链是不重要的。组成元素包括144机制不同类型的关节,每个都有不同的联合装置沿链。提出并建立描述几个机器人出现在列表中。大量的机器人相关的分析组合不同被认为是。奇点的分析是由第一个找到的执行机构使用互惠的螺丝。然后,借助组合方法和Grassmann-Cayley方法,得到刚度矩阵行列式在一个可以操作的协调自由形式,可以翻译成一个简单的几何条件之后。其定义是几何条件由执行机构位置的线条和球形接头,至少有一个相交点。这个有效的奇异点条件考虑所有组成元素中的机器人。一个比较的结果与结果的奇点证明了其他技术所有先前描述奇异条件实际上是特殊情况下的几何条件的四架飞机交叉在一个点,一个条件获取的方法直接在这里提出。

Singularity Condition of Six-Degree-of-Freedom Three-Legged Parallel Robots Based on Grassmann–Cayley Algebra Patricia Ben-Horin and Moshe Shoham, Associate Member, IEEE

ABSTRACT This paper addresses the singularity condition of a broad class of six-degree-of-freedom three-legged parallel robots that have one spherical joint somewhere along each leg.First, the actuator screws for each leg-chain are determined.Then Grassmann–Cayley algebra and the associated superbracket decomposition are used to find the condition for which the Jacobian(or rigidity matrix)containing these screws is rank-deficient.These tools are advantageous since they facilitate manipulation of coordinate-free expressions representing geometric entities, thus enabling the geometrical interpretation of the singularity condition to be obtained more easily.Using these tools, the singularity condition of(at least)144 combinations of this class is delineated to be the intersection of four planes at one point.These four planes are defined by the locations of the spherical joints and the directions of the zero-pitch screws.Index Terms—Grassmann–Cayley algebra, singularity, three-legged robots.I.INTRODUCTION During the last two decades, many researchers have extensively investigated singularities of parallel robots.Unlike serial robots that lose degrees of freedom(DOFs)in singular configurations, parallel robots might also gain DOFs even though their actuators are locked.Therefore, thorough knowledge of these unstable poses is essential for improving robot design and determining robot path planning.One of the principal methods used for finding the singularities of parallel robots is based on calculation of the Jacobian determinant degeneracy.Gosselin and Angeles [1] classified the singularities of closed-loop mechanisms by considering two Jacobians that define the relationship between input and output velocities.St-Onge and Gosselin [2] reduced the arithmetical operations required to define the Jacobian determinant for the Gough–Stewart platform(GSP), and thus enabled numerical calculation of the obtained polynomial in real-time.Zlatanov et al.[3]–[5] expanded the classification proposed by Gosselin and Angeles to define six types of singularity that are derived using equations containing not only the input and output velocities but also explicit passive joint velocities.Another important tool that has served in the analysis of singularities is the screw theory, first expounded in Ball’s 1900 treatise [6] and developed for robotic applications by Hunt [7]–[9] and Sugimoto et al.[10].Several studies have applied this theory to find singularities of parallel robots, for example, [11]–[14].Special attention was paid to cases in which the actuators are linear and the representing screws are zero-pitched.In these cases, the singular configurations were solved by using line geometry, looking for possible actuator-line dependencies [15]–[17].Other approaches taken to classify singularities of closed-loop mechanisms can be found in [18]–[22].In this paper, we analyze the singularities of a broad class of three-legged robots, having a spherical joint at any point in each individual leg-chain.We focus only on forward kinematics singularities.First, we find the screws associated with the actuators of each chain.Since every chain contains a spherical joint, and since the actuator screws are reciprocal to the joint screws, they are zero-pitch screws passing through the spherical joints.Then we use Grassmann–Cayley algebra and related developments to get an algebraic equation which originates from the rigidity matrix containing the governing lines of the robot.The direct and efficient retrieval of the geometric meaning of the singular configurations is one of the main advantages of the method presented here.While the previous study [53] analyzed only seven architectures of GSP, each having at least three pairs of concurrent joints, this paper expands the singularity analysis to a considerably broader class of robots that have three legs with a spherical joints somewhere along the legs.Using the reduced determinant and Grassmann–Cayley operators we obtain one single generic condition for which these robots are singular and provide in a simple manner the geometric meaning of this condition.The structure of this paper is as follows.Section II describes in detail the kinematic architecture of the class of parallel robots under consideration.Section III contains a brief background on screws and outlines the nature of the actuator screws, which are zero-pitch screws acting on the centers of the spherical joints.Section IV contains an introduction to Grassmann–Cayley algebra which is the basic tool used for finding the singularity condition.This section also includes the rigidity matrix(or Jacobian)decomposition into coordinate-free expressions.In Section V a general example of this approach is given.Finally, Section VI compares the results obtained using the present method with results obtained by other techniques.II.KINEMATIC ARCHITECTURE This paper deals with 6-DOF parallel robots that have connectivity six between the base and the moving platform.Shoham and Roth [54] provided a survey of the possible structures that yield 6-DOF based on the mobility formula of Grübler and Kutzbach.They searched for all the possibilities that satisfy this formula with respect to the number of joints connected to any of the links.The GSP and three-legged robots are a subset of the structures with 6-DOF listed by Shoham and Roth.A similar enumeration was provided also by Podhorodeski and Pittens [55], who found a class of three-legged symmetric parallel robots that have spherical joints at the platform and revolute joints in each leg to be potentially advantageous over other structures.As discussed above, most of the reports in the literature limit their analysis to structures with spherical joints located on the moving platform and revolute or prismatic joints as actuated or passive additional joints.Exceptions are the family of 14 robots proposed by Simaan and Shoham [28] which contain spherical-revolute dyads connected to the platform, and some structures mentioned below which have revolute or prismatic joints on the platform.In this classification, we include five types of joints and more optional positions for the spherical joints.We deal with robots that have three chains connected to the moving platform, each actuated by two 1-DOF joints or one 2-DOF joint.These chains are not necessarily equal, but all have mobility and connectivity six between the base and the platform.Besides the spherical joint(S), the joints taken into consideration are prismatic(P), revolute(R), helical(H), cylindrical(C), and universal(U), the first three being 1-DOF joints and the last two being 2-DOF joints.All the possibilities are shown in Tables I and II.The list contains only the robots that have equal chains, totaling 144 different structures, but robots with any possible combination of chains can also be considered as membersof this class.The total number of combinations, , is larger than 500 000, calculated as follows:

III.GOVERNING LINES This section deals with the screws that determine the platform motion.Since the robots under consideration have three serial chains, the direction of each actuator screw can be determined by its reciprocity to the other joint screws in the chain.The passive spherical joint in each chain forces the actuator screws to have zero-pitch(lines)and to pass through its center.Therefore, three flat pencils are created having their centers located at the spherical joints.Following a brief introduction to the screw theory that is extensively treated in [7], [73]–[75];we address the reciprocal screw systems of all the joints listed in Section II.The geometric result for the singularity of the aforementioned class of robots is now compared with the results obtained by other approaches in the literature.First, we compare the singularity condition described above for the 6-3 GSP platform with the results reported for the line geometry method.The line geometry method distinguishes among several types of singularities, according to the relative geometric condition of he lines along the prismatic actuators [81].We show that all these singularities are particular cases of the condition provided by(17c), which is valid for the three-legged robots under consideration as well as for the 6-3 GSP platform.The singular configurations of this structure according to line geometry analysis include five types: 3C, 4B, 4D, 5A, and 5B [17], [36].IV.SINGULARITY ANALYSIS This section determines the singularity condition for the class of robots defined in Section II.The first part consists of finding the direction of the actuator lines of action, based on the explanation introduced in Section III.The lines pass through the spherical joint center while their directions depend on the distribution and position of the joints.The second part includes application of the approach using Grassmann–Cayley algebra presented in Section IV for defining singularity when considering six lines attaching two platforms.Since every pair of lines meet at one point(the spherical joint), the solution for all the cases is symbolically equal, regardless of the points’ location in the leg or the symmetry of the legs.We exemplify the solution using three robots from the literature.A.Direction of the Actuator Screws The first example is the 3-PRPS robot as proposed by Behi [61] [see Fig.3(a)].For each leg the actuated screws lie on theplane defined by the spherical joint center and the revolute joint axis.In particular,the actuator screw is perpendicular to the axis of , and the actuator screw is perpendicular to the axis of , these directions being depicted in Fig.3(b).The second example is the3-USR robot as proposed by Simaan et al.[66][see Fig.4(a)].Every leg has the actuator screws lying on the plane passing through the spherical joint center and containing the revolute joint axis.The actuator screw passes through the spherical joint center and intersects the revolute joint axis and.Similarly, the actuator screw passes through the spherical joint center and intersects the revolute joint axis and , these directions being depicted in Fig.4(b).The third example is the 3-PPSP robot built by Byun and Cho [65] [see Fig.5(a)].For every leg the actuated screws lie on the plane passing through the spherical joint center and being normal to the prismatic joint axis.The actuator screw is perpendicular to the axis of , and the actuator screw is perpendicular to the axis of , these directions being depicted in Fig.5(b).Fig.3.(a)The 3-PRPS robot as proposed by Behi [61].(b)Planes and actuator screws.Fig.4.(a)The 3-USR robot as proposed by Simaan and Shoham [66].(b)Planes and actuator

screws of the 3-USR robot.Fig.5.(a)3-PPSP robot as proposed by Byun and Cho [65].(b)Planes and actuator screws.B.Singularity Condition

The Jacobian(or superbracket)of a robot is decomposed into ordinary bracket monomials using McMillan’s decomposition, namely(16).As explained in Section III-B, all the robots of the class considered in this paper have two zero-pitch actuator screws passing through the spherical joint of each chain.Topologically, this description is equivalent to the lines of the 6-3 GSP(or in [53]), which has three pairs of lines, each passing through a double spherical joint on the platform(see Fig.6).This means that each pair of lines share one common point(in Fig.6 these points are , , and).Therefore for the class of robots considered in this paper, we can use the same notation of points as for the 6-3 GSP.The six lines associated with each robot pass through the pairs of points,and , in the same way as in Fig.6.Due to the common points of the pairs of lines ,and ,denoted , and respectively, many of the monomials of(16)vanish due to(4).Fig.6.6-3 GSP.V.CONCLUSION

This paper presents singularity analysis for a broad family of parallel robots.These are 6-DOF three-legged robots which have one spherical joint in each leg-chain.Since the spherical joints entail the actuator screws to be pure forces acting on their centers, their location along the chain is not important.The family includes 144 mechanisms incorporating diverse types of joints that each has a different joint arrangement along the chains.Several proposed and built robots described in the literature appear in this list.A larger number of robots are relevant to this analysis if combinations of different legs are considered.The singularity analysis was performed by first finding the lines of action of the actuators using the reciprocity of screws.Then, with the aid of combinatorial methods and Grassmann–Cayley operators, the rigidity matrix determinant was obtained in a manipulable coordinate-free form that could be translated later into a simple geometric condition.The geometric condition consists of four planes, defined by the actuator lines and the position of the spherical joints, which intersect at least one point.This singularity condition is valid for all the robots in the family under consideration.A comparison of this singularity result with results obtained by other techniques demonstrated that all the previously described singularity conditions are actually special cases of the geometrical condition of four planes intersecting at a point, a condition that was obtained straightforwardly by the method suggested here

第三篇：3自由度工业机器人(外文翻译)

动态优化的一种新型高速，高精度的三自由度机械手

①

彭兰（兰朋）②，鲁南立，孙立宁，丁倾永

(机械电子工程学院，哈尔滨理工学院，哈尔滨 150001，中国)(Robotics Institute。Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，P。R。China)

摘要

介绍了一种动态优化三自由度高速、高精度相结合，直接驱动臂平面并联机构和线性驱动器，它可以提高其刚度进行了动力学分析软件ADAMS仿真模拟环境中，进行仿真模拟实验.设计调查是由参数分析工具完成处理的，分析了设计变量的近似的敏感性，包括影响参数的每道光束截面和相对位置的线性驱动器上的性能.在适当的方式下，模型可以获得一个轻量级动态优化和小变形的参数。一个平面并联机构不同截面是用来改进机械手的.结果发生明显的改进后的系统动力学仿真分析和另一个未精制一个几乎是几乎相等.但刚度的改进的质量大大降低，说明这种方法更为有效的。

关键词: 机械手、ADAMS、优化、动力学仿真

0 简介

并联结构机械手（PKM）是一个很有前途的机器操作和装配的电子装置，因为他们有一些明显的优势，例如：串行机械手的高负荷承载能力，良好的动态性能和精确定位的优点等.一种新型复合3一DOF臂的优点和串行机械手，也是并联机构为研究对象，三自由度并联机器人是少自由度并联机器人的重要类型。三自由度并联机器人由于结构简单，控制相对容易，价格便宜等优点，具有很好的应用前景。但由于它们比六自由度并联机器人更复杂的运动特性，增加了这类机构型综合的难度，因此对三自由度并联机器人进行型综合具有理论意义和实际价值。本文利用螺旋理论对三自由度并联机器人进行型综合，以总结某些规律，进一步丰富型综合理论，并为新机型的选型提供理论依据，以下对其进行阐述。

如图-1所示 机械手组成的平面并联机构(PPM)包括平行四边形结构和线性驱动器安装在PPM.两直接驱动电机c整合交流电高分辨率编码器的一部分作为驱动平面并联机械装置.线型致动器驱动的声音线圈发动机.这被认为是理想的驱动短行程的一部分.作为一个非换直接驱动类，音圈电机可以提供高位置敏感和完美的力量与中风的角色，高精密线性编码作为回馈部分保证在垂直方向可重复性。

另一方面，该产品具有较高的刚度比串行机械手，因为它的特点和低封闭环惯性转矩。同时，该系统可以克服了柔性耦合力学弹性、齿轮、轴承、被撕咬支持，连接轴和其他零件，包括古典驱动设备，因此该机械手是更容易得到动力学性能好、精度高。

图-1 3自由度的混合结构的机械手

当长度的各个环节的平面并联机时，构决定于运动学分析和综合[4-7]，机械优化设计的首要任务，应加大僵硬、降低质量.关于几个参数模型.这是它重要和必要的影响，研究了各参数对模型表现以进一步优化。本文就开展设计研究工具，通过参数分析亚当斯，又要适当的方式来获得一个轻量级的优化和小变形系统。仿真模型

ADAMS(Automatic Dynamic Analysis 0f Mechanical System)自动机械系统动力学分析是一个完美的软件，对机械系统动力学模拟可处理机制包括有刚性和灵活的部分，仿真模型可以创造出机械手的亚当斯环境 如图-2。OXYz是全球性的参考帧，并OXYz局部坐标系，两个直流驱动电机、交流和02M O1A表示，与线性驱动器CH被视为刚性转子转动惯量电机传动的120kg/cm2。大众的线性驱动器是1.5kg，连接AB、德、03F和LJ被视为柔性体立柱、横梁GK，通用公司和公里，形成一个三角形，也被当作柔性传动长度的链接是决定提前运动学设计为AB =O3F = 7cm，DE=IJ=7cm，GK= 7cm，GM =11.66cm，= 8.338cm。其它维度，这个数字是01A = 02M =7cm，CB=CD=HJ 2.5cm。EF=EG=JK= 3cm。

虽然总平面并联机构的运动都是在水平、垂直和水平刚度必须在竖向刚度特征通常低于水平僵硬，因为它的角色在垂直悬臂梁的截面尺寸计算每一束平面并联机构和相对位置的线性驱动器是两个非常僵硬的影响因素的系统。

运动支链可分为三类：“主动链（由驱动器赋予确定独立运动的支链。一般是单驱动器控制一个自由度的运动），从动链（不带驱动器、被迫作确定运动的支链。又分为以下两种：约束链：独立限制机构自由度的从动链。冗余链：重复限制机构自由度的从动链）复合链（有单驱动器、但限制一个以上的机构自由度的支链，实际是主动链与约束链的组合）-并联机构是由这几种支链用不同形式组合起来的。动链中的约束链除了可以提高机构刚度和作为测量链外，其更主要的作用是用来约束动平台的某一个或几个自由度，以使其实现预期的运动。

图-2 仿真模型 仿真模拟结果

在本节中，平均位移的末端是用来描述动态刚度，这是在不同的配置在不同的线性驱动器向前，从最初的位置的目的地，一般的竖向位移的机械手是作为目标来研究竖向刚度，平均差别的横坐标、纵坐标点之间有一个刚性数学模型，模型，作为目标来研究水平刚度。

并联机器人的构型设计即型综合是并联机器人设计的首要环节，其目的是在给定所需自由度和运动要求条件下，寻求并联机构杆副配置、驱动方式和总体布局等的各种可能组合。国内的许多学者正致力于这方面的研究，其中比较有代表性的有如下几种方法：”黄真为代表的约束综合法；杨廷力等人的结构综合法；代表的李代数综合法。以上各种方法自成体系，各有特点，都缺乏理论的完备性。本文提出添加约束法，是从限制自由度的角度出发，增加约束，去除不需要的自由度，因每条主动链只有一个驱动装置，让其控制一个自由度，其余自由度通过纯约束链去除，这样可以使主、从动运动链的作用分离，运动解耦，有利于控制。具有三自由度的并联机床，当采用条主动支链作为驱动时，机构就需要约束另三个自由度，通过选择无驱动装置的从动链来完成，则整个机构成为有确定运动的三自由度的并联机构。黄真等提出的约束综合法对完全对称的少自由度并联机器人机构进行了型综合，完全对称的支链结构相同，都属于复合链，每条支链除都有一个单驱动器，控制一个自由度外，还应约束一个以上自由度才能使机构的六个自由度全部受控，使机构有确定的运动。

2.1 截面效应

扭转变形位移的连结将会引起的，所以，扭转常数的横截面，重力是研究装系统来研究，采取扭转刚度的垂直切片lxx不变的各个环节和梁作为设计变量的变化，从 0.1 x 105mm4 与 3.5 x 105 mm4。

图-3 不断的效果在垂直变形扭转

图-3显示了平均位移与截面扭转常数末端的各个环节和梁，根据它的变化速率的环节，是最大的，AB是链接，LJ依次分别GK梁和KM有在竖向刚度性能。其他的仿真结果表明，水平位移之间的差异进行比较，结果表明该模型体育智力H和刚性模型变化小就改变了恒定不变的时候扭加载惯性力的线性驱动器，但是水平位移的变化，这意味着在这种模拟竖向变形的生产水平位移系统机械手。注意端面线性驱动器的主要原因是水平变形、线性驱动器机器人是由两个节点C和H.所以，我们计算了不同的Z-coordinate摄氏度之间，如图所示，在图4-扭转常数的影响差别的链接德。其次是最有效的通用和连接梁，连接O3F，梁GK有效果。

因此，应采取AB和连接区段大扭常数的免疫力，竖向刚度较大并行扭转不变的链接德也使较少的均匀性，降低线性驱动器不可以降低水平变形。

图-4 在不影响扭不变

如图-

5、6所展示的影响是区域惯性转矩的设计变量是区域刚度和惯性转矩的各个环节和梁lz，图显示增加lw卡尔减少的速度高于垂直位移的不断增加Ixx扭转。这个Yxx AB、梁的链接，链接O3F是Iyy三个主要因素决定了竖向刚度。

图-6 所示 链接的AB、梁公里，连接03F也是其中的三个主要因素决定的均匀性线性传动装置、不同的分析结果表明，Izz效果好，具有至少两个垂直和水平刚度，这意味着这种结构，具有足够的水平，降低Izz刚度的链接和增加Iyy AB、梁的链接，链接O3F公里的好方法，优化系统。

图-5 瞬间的惯性效应对垂直位移

图-6 转动惯量不平衡的影响

2.2影响的线性驱动器的相对位置

线性执行器的惯性是主要载荷之一，在机械手的运动，不同的相对应的垂直位置产生不同的变形，图7显示了绝对平均的最终效应垂直位移时驱动马达以恒定的加速度旋转，我们可以看到，过低或过高的相对位置会造成比格变形，最好的位置是一对Z = 24毫米的地方大概是从中间环节连接O3F到 AB.图-7

影响线性驱动器的相对位置

分析改进的机械手

根据上述模拟结果，所有改进的机械手的设计，时间如下：链接截面AB，DE，lJ 与30mm的基础和高度，10毫米的厚度;链接O3F和矩形空心梁与30mm的基础和高度工型钢，l0mm法兰和6mm网;梁竞，通用汽车与8mm的坚实基础和30mm高的矩形。

图-8 梯形运动姿态

图-9中回应的是机械手，相比之下，图-10中提高初始的反应，在其中所有的链接和机械手的矩形截面梁的坚实基础，用30毫米，高度的差异是曲线，C和H的曲线积分，二是垂直位移的末端，改进系统中最大位移0.7Um最初的0.12Um相比，争论的振动激励后仍停留在O.06Um±0.15% s±O.05Um相比的初始变形改善系统的初始小于前者具有较少的惯性，因为在相同的步伐不断加快，保持振动瓣膜差不多一样，它对这整个系统中来说，仍然改善系统的刚度，几乎相当于初始制度，针对大规模的平面并联机构在该系统相比下降了30%，这样的初始优化是有效的。

图-9、图-10 动态响应

结论

本文设计了一种新型三自由度机械手变量的敏感性进行了研究在ADAMS环境中，可以得出以下结论：

1）机器人具有较大的水平刚度，最终水平位移，效应主要是由机械手垂直变形造成的，因此，更重要的是增加的幅度比刚度竖向刚度。

2）参数Ixx，Iyy并链接'截面刚度Izz有不同的效应，Iyy已经对垂直刚度的影响最大，Ixx在第二位的是，Ixx具有在垂直刚度的影响最小，他们都较少对水平比垂直刚度刚度。3）横截面的不同环节都有不同的影响，连线竖向刚度AB和德应该使用区扭转常数和惯性力矩大，如变形、长方形、横梁KM，线 03F应该使用区段形梁等重大时刻转动惯量、横梁GK，和GM 可以使用尽可能的一小部分，从而降低了质量。4）最佳的线性驱动器的相对位置可以减少变形，最好的位置是垂直的平行结构。5）改进的机械手的动态分析表明该优化设计方法研究的基础上的效率。

参考文献

[

l

]

Dasgupta B，Mmthyunjayab T S。The Stewart platform manipulator：a review。Mechat~m and Machine Theory，200o。35(1)：15—40

[ ] Xi F，Zhang D，Xu Z，et al。A comparative study on tripod u ts for machine Lo0ls。Intemational Journal of Machine TooLs&Manufacture，2003，43(7)：721—730

[ ]

Zhang D，Gosselin C M。Kinetostatic analysis and optimization of the Tricept machine tool family。In：Proceedings of Year 2000 Parallel Kinematic Machines International Conference，Ann Arbor，Michigan，2001，174—188 [ ]

Gosselin C M，Angeles J。A globe preference index for the kinematic optimum of robotic manipulator。ASME Journal of Mechanical，l991，113(3)：220—226 [ ]

Gao F，I，iuX J，GruverW A。Performance evaluation of two-degree-of-freedom planar parallel robots。Mechanism and Machine Theory，l998，33(6)：661-668

[ ] Huang T，Li M，Li Z X，et al。Optimal kinematic design of 2-DOF oaralel manipulator with well shahed workspace bounded by a specified conditioning index IEEE Transactions of Robot and Automation，2004，20，(3)：538—543 [ ] Gosselin C M，Wang J。singularity loci ofplanarparallel manipulator with revoluted actuators。Robotics and Autonomousm，1997，2l(4)：377 398 [ ] Yiu Y K，Cheng H，Xiong Z H，et al。on the dvnamies of Parallel Mmfipulators Proc。Of

IEEE Inemational conference on Robotics& Automation。20o1。3766 3771 [ ] Chakarov D。Study ofthe antagoni~ie stifness of parallel manipulators with actuation redundancy。Mechanism and Machine

Theory，2004，39(6)：583—60l [ 10 ] Shab~a A A。Dynamics of Multibody systems。Cambridge：Cambridge university press，l998。270-3 l0

第四篇：行事自由度

行事自由度具体事例

（英语课代表Jack与英语老师）

1、坐以待毙：

开学第一天英语课代表Jack听从英语老师吩咐，布置作业：课课练第一课时，背今天所学单词。

2、询问做什么：

开学第二天Jack问：今天是做课课练第二课时和继续背单词吗？英语老师说是的。

3、提出建议，然后执行经过讨论的行动计划：

Jack建议英语老师不如第二天抽学生背单词，这样可以提高效率，英语老师同意了。以后Jack每次布置作业时会提醒大家抓紧时间背单词。

4、采取行动，但同时立即告知：

Jack以后每次布置作业的时候，主要以课课练和背书为主，并立即去办公室告诉老师今天布置了什么作业。

5、独立行动，做例行汇报：

英语老师对Jack说以后作业你根据同学的情况酌情布置，但每天课课练必须做，单次必须背，等课课练写完了你再跟我说。

2个月后，课课练写完了，Jack向英语老师汇报，英语老师分配新的作业任务。

第五篇：教案平面机构的自由度

平面机构的自由度

【教学目的】

1、掌握运动链成为机构的条件。

2、熟练掌握机构自由度的计算方法。能自如地运用自由度计算公式计算机构自由度，尤其是平面机构的自由度。

【教学内容】

1、引出自由度的概念，明确自由度和约束的关系；

2、推导自由度计算公式，并加以举例说明；

3、学会利用公式计算平面机构的自由度。

【教学重点和难点】

1、机构自由度的计算

【教学方法】

1、课堂以讲授为主，结合实物文件进行分析讲解。

2、注重师生交流，提倡师生互动，上课时细心观察学生的反应，课间与学生交谈，了解学生的掌握情况，根据反馈的信息，适当地调整授课内容和方法等。

【教学内容】

1、概念：平面机构的自由度——机构具有确定运动的独立运动参数称为机构的自由度。

2、自由度的引入

构件的独立运动称为自由度。一个作平面运动的自由构件具有3个独立的运动，见图1。

图1平面自由度

即沿x轴、y轴移动及绕垂直于xoy面的轴线的转动。

构件组成运动副后，其运动就受到了约束，其自由度数随之减少，不同类型的运动副带来的约束不同。

如图2移动副中，限制了2相对1沿垂直于导路的移动及相对限制转动，引入两个约束。

如图3中转动副限制了2相限制1沿x轴y轴移动，引入两个约束。

如图4高副中，限制了2相对1沿法线轴的移动，引入一个约束。

图4 高副及表示符号 自由度公式的推导

如设平面机构共有n个活动构件（不包括机架），当此机构的各构件尚未通过运动副联接时，显然它们共有3n个自由度。

当两构件构成运动副之后，它们的运动就将受到约束，其自由度将减少，假设各构件间共构成了pL个低副和pH个高副，自由度减少的数目等于运动副引入的约束（2pLpH）。于是，该机构的自由度应为

F3n2pLpH3n2pLpH（1）自由度的计算

图5平面四连杆机构

图6平面五连杆机构

（1）三个活动构件，四个低副，零个高副。

F332401

（2）四个活动构件，五个低副，零个高副

F=3?42?50=2

总结：

平面机构自由度的计算是教学中的重点和难点，计算自由度时需要找准活动构件的个数，注意低副和高副的约束，然后进行计算。