高等数学-11章无穷级数大法师（5篇）

第一篇：高等数学-11章无穷级数大法师

高等数学教案 §11 无穷级数

第十一章

无穷级数

教学目的：花飘万家雪花飘万家雪花飘万家雪李斐莉雪模压花飘万家雪花飘万家雪

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握ex,sinx,cosx，ln(1x)和(1a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、e,sinx,cosx，ln(1x)和(1a)的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。教学难点：

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数；

高等数学课程建设组 x高等数学教案 §11 无穷级数

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数 给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为un 即

n1

unu1u2u3    un    

n1其中第n项u n 叫做级数的一般项



级数的部分和 作级数un的前n项和

n1n

snuiu1u2u3    un

i1称为级数un的部分和

n1

级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s 即limsns

n1n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数



sunu1u2u3    un    

n1如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1n1n

1余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

rnssnun1un2   

叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

例1 讨论等比级数aqn(a0)的敛散性

n0

解如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

123  n   是发散的

证此级数的部分和为

sn123    nn(n1)2

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

1111       

122334n(n1)的收敛性

解由于

un因此

sn1111     122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()    (1212131n11)1n1n1高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

从而

limsnlim(11)1

nnn1所以这级数收敛 它的和是1

例3 判别无穷级数

解因为

sn1111     122334n(n1)1的收敛性

n1n(n1)

(11)(11)    (11)11

223nn1n1从而

limsnlim(1nn1)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

提示 un

二、收敛级数的基本性质

n1n1111

n(n1)nn

1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收敛 且其和为ks

n1n1

性质1 如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks

n1n1

性质1 如果uns 则kunks

n1n1

这是因为 设un与kun的部分和分别为sn与n 则

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

这表明级数kun收敛 且和为ks

n1

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为s

n1n1n1n1n1n

1性质2 如果uns、vn 则(unvn)s

这是因为 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n

性质

3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数级数10000级数1111        是收敛的

122334n(n1)1111        也是收敛的

122334n(n1)111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变

n

1应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

11)+11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件

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

性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

性质5 如果un收敛 则limun0

n1n0

证

设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例4 证明调和级数

11111        是发散的

23nn1n1是发散的

nn1

例4 证明调和级数

证假若级数1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

s2nsn1111111        

n1n22n2n2n2n21必定发散

nn1故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n

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§11 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数



定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1n1n1n

1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收敛

n1n1n1则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

定理2(比较审敛法)n1n1

设un和vn都是正项级数 且unvn(k0 nN)

n1n1n1n1

若vn收敛 则un收敛 若un发散 则vn发散

设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN) 若级数vn收敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n1

反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数

n1n1vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

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证

仅就unvn(n1 2   )情形证明 设级数vn收敛 其和为 则级数un的部分和

snu1 u2     unv1v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 因此级数un收敛

反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数 vn收敛 由上已证明的结论 级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时有n1n1unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立 则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

pppppn234n的收敛性 其中常数p0

例1 讨论p级数n11(p0)的收敛性

np1111

解设p1 这时p 而调和级数发散 由比较审敛法知 当p1时级数p发nnn1nn1n散

设p1 此时有

nn111111dxdx[](n2, 3,   )

n1npn1xpp1(n1)p1np1np对于级数[n211p1] 其部分和 p1(n1)n12][p112p1]    [p111np111]1

(n1)p1(n1)p1

sn[13高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

因为limsnlim[1nn1]1

p1(n1)111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当p1时]pp1p1nn2(n1)n1n收敛

综上所述 p级数1p当p1时收敛 当p1时发散

n1n

解当p1时 1p1 而调和级数1发散 由比较审敛法知

nnn1n当p1时级数n11发散

当p1时

nn111111dxdx[](n2, 3,   )

pppp1p1n1n1p1nnx(n1)n而级数[n211]是收敛的 根据比较审敛法的推论可知

p1p1(n1)n级数n11当p1时收敛 np提示

级数[n211]的部分和为 p1p1(n1)n12][p112p1]    [p111np111]1

(n1)p1(n1)p1

sn[13因为limsnlim[1nn1]1

p1(n1)所以级数[n211]收敛

p1p1(n1)n高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

p级数的收敛性

p级数1p当p1时收敛 当p1时发散

n1n

例2 证明级数n11n(n1)是发散的

证因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1

设un和vn都是正项级数 如果limunvnl(0l)

nn1n1则级数un和级数vn同时收敛或同时发散

定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

(2)如果limnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

定理3(比较审敛法的极限形式)

设un和vn都是正项级数

(1)如果lim(un/vn)l(0l) 且vn收敛 则un收敛

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(2)如果lim(un/vn)l(0l) 且vn发散 则un发散

证明由极限的定义可知 对1l 存在自然数N 当nN时 有不等式 lu1113lnll

即lvnunlvn

222vn2再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论

例3 判别级数sin1的收敛性

n1nsin

解因为 limn1n1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数sinn11发散

n

例4 判别级数ln(1n11)的收敛性

n2ln(1

解因为 limn1)21n1 而级数收敛

21n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数ln(1n11)收敛

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

若正项级数un的后项与前项之比值的极限等于

n1

limnun1un

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则当1时级数收敛 当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

若正项级数un满足limn1un1un 则当1时级数收敛

n当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散



定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设un为正项级数 如果

n1limnun1un

则当1时级数收敛 当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

解因为 limn1111        112123123   (n1)un1un limn123   (n1)123    n limn101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

例6 判别级数112123n!2        的收敛性

3n10101010

解因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散

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例7 判别级数1的收敛性

(2n1)2nn

解 limnun1un limn(2n1)2n(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

1112 而级数

因为收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2(2n1)2nnn1n1112 而级数

解因为收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2(2n1)2nnnn1

提示 limnun1un limn(2n1)2n(2n1)(2n2)1 比值审敛法失效

因为 112 而级数(2n1)2nnn11收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2定理5(根值审敛法 柯西判别法)

设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

定理5(根值审敛法 柯西判别法)

若正项级数un满足limn1nnun 则当1时级数收敛

当1(或limnnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

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定理5(根值审敛法 柯西判别法)

设un为正项级数 如果

n1

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11213    1n    是收敛的

23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111   

(n1)n1(n2)n2(n3)n3111    

(n1)n1(n1)n2(n1)n31

n(n1)n

例6判定级数n12(1)n2n的收敛性

解因为

limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(112)的收敛性

n1n

解因为ln(112)~12(n) 故

limn2unlimn2ln(112)limn2121

nnnnn根据极限审敛法 知所给级数收敛

例8 判定级数n1(1cos)的收敛性

n1n

解因为

limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的

交错级数的一般形式为(1)n1un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

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定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足(1)unun1(2)limun0

nn1则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

简要证明 设前n项部分和为sn

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n1 收敛 并估计和及余项

n11n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un111un1(n1, 2,  )

(2)limunlim0

nn1nnn1

n1由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

三、绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛

n1n1n

1若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛 若级数un

n1n1收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛



例10 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)2nnn1高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

n1n1

定理7 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

值得注意的问题

n1n1

如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1

例11 判别级数sinna的收敛性

2n1n1sinna1

解因为| 而级数是收敛的

|2nn2n2n1sinnasinna所以级数|也收敛 从而级数绝对收敛

|22nnn1n1

例12 判别级数(1)nn111n2(1)的收敛性

2解 由|un|11n2111(1) 有limn|un|lim(1)ne1

nn2nn2n2可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

n2n

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

§ 11 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

收敛点与发散点

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1点x0是级数un(x)的发散点

n

1收敛域与发散域

函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所

n1有发散点的全体称为它的发散域

和函数

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域

部分和

函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)

n1

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

余项

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

n1

rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x2    anxn    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

幂级数的例子

1xx2x3    xn     

1x121x    xn    

2!n!

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xxx    x   

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的 因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x23n

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当

n0xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

定理1(阿贝尔定理)如果级数∑anx当xx0(x00)时收敛 则适合不等式 |x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛

反之 如果级数∑anxn当 xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

提示 ∑anx是n

nn0anxn的简记形式

n

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件 有n0n0nlimanx00 于是存在一个常数M 使

n| anx0n |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxxnn||anx0|||nM||n

x0x0x0|anxnn||anx0xnn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anx|收敛 也就是级数anxn绝对x0n0n0n0收敛

简要证明

设∑anxn在点x0收敛 则有anx0n0(n) 于是数列{anx0n}有界 即存在一个常数M 使| anx0n |M(n0, 1, 2,   )

因为 |anxnn|  |anx0xnxxnn|  |anx0|||n M||n

x0x0x0而当|x||x0|时 等比级数M|n0xnnn

|收敛 所以级数∑|anx|收敛 也就是级数∑anx绝对收敛

定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

推论

如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一n0个完全确定的正数R存在 使得

当|x|R时 幂级数绝对收敛

当|x|R时 幂级数发散

当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散

收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数数nn0anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级

n0anx的收敛区间 再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数anxnn0的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一

规定 若幂级数anx只在x0收敛 则规定收敛半径R0  若幂级数anxn对一切x都n0n0n收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )

定理2

如果lim|nan1an| 其中an、an1是幂级数anxn的相邻两项的系数 则这幂级数的收敛

n0半径

  01 0

R0 

定理2

如果幂级数anxn系数满足lim|n0nan1an| 则这幂级数的收敛半径

  01R 0

0 

定理2

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

如果lim|nan1an| 则幂级数anxn的收敛半径R为

n0当0时R1 当0时R 当时R0

an1xn1anxnan1an

简要证明 lim|n|lim|n||x| |x|

(1)如果0 则只当|x|1时幂级数收敛 故R

(2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R

(3)如果 则只当x0时幂级数收敛 故R0

例1 求幂级数

1

n1(1)n1nxnx2x3n1xx    (1)   

n23n的收敛半径与收敛域

例1 求幂级数(1)n1n1xn的收敛半径与收敛域

n1a

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n0n!12131xx    xn    2!3!n!的收敛域

例2 求幂级数1nx的收敛域 n!n0高等数学课程建设组 高等数学教案 §11 无穷级数

1a(n1)!n!

解

因为 lim|n1|  lim  lim0

nann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|21即|x|111时级数收敛 当4|x|21即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]![(n1)!](2n)!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

n1tn

解令tx1 上述级数变为n

n12n

因为  lim|nan1an2nn1| n1

2(n1)2高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛 因此级nnn1n1tn数n的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为[1, 3)

n12n

三、幂级数的运算

设幂级数anx及n0nn0bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有加法 减法 n0anxbnx(anbn)xn

n0n0nnnnn0anxbnx(anbn)xn

n0n0nn

设幂级数∑anx及∑bnx分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有

加法 ∑anx∑bnx ∑(anbn)x 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anxn)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

n0n0nnn

(a0bna1bn1    anb0)xn   

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anxn)dx0n0xn00xanxndxn0n1anxn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anxn)n0n0(anxn)n1nanxn1(|x|R)

高等数学课程建设组

高等数学教案 §11 无穷级数

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质1 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

性质2 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00xanxdxnn0n1anxn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

s(x)(anxn)n0n0(anx)nn0nanxn1(|x|R)

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n0

[xs(x)]n0(11xn1)xn

n11xn0对上式从0到x积分 得

xs(x)1dxln1(x)

01xx1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n1x[xn1]dx

因为xs(x)0n0n1n0n1

0xn0xndx1dxln1(x)

01xx所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解求得幂级数的收敛域为[1 1)

设幂级数的和函数为s(x) 即s(x)

显然S(0)1 因为

xs(x)x11n1x[xn1]dx 0n0n1n0n1x1xn x[1 1)

n0n1

0n0xndx1dxln1(x)(1x1)

01xx所以 当0|x|1时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0

由和函数在收敛域上的连续性 S(1)limS(x)ln2

x11ln(1x)x[1, 0)(0, 1)

综合起来得s(x)x

 1 x0提示 应用公式F(x)dxF(x)F(0) 即F(x)F(0)F(x)dx 0011xx2x3    xn     1xxx

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1高等数学课程建设组 高等数学教案 §11 无穷级数

函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)1

1在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即ln

22n0n1n

§11 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

要解决的问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

f(n1)f(x0)2!(xx0)2   

f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

需回答的问题 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)?

定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x2    anxn     

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x2   nanxn1    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anxn2     

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

   f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!    anf(n)(0)n!   

应注意的问题 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察

二、函数展开成幂级数

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

展开步骤

第一步

求出f(x)的各阶导数 f (x) f (x)     f(n)(x)    

第二步

求函数及其各阶导数在x0 处的值

f(0) f (0) f (0)     f(n)(0)    

第三步

写出幂级数

f(0)f(0)x并求出收敛半径R

第四步

考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n)

limRn(x)limnf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn    

f(n1)()n(n1)!xn

1是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x121x    xn   

2!n!(n)

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解因为f(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(n)(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

xx3x5x2n1    (1)n1   

3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| |因此得展开式

|x|n10(n )

| (n1)!2n1x3x5n1x

sinxx    (1)   (x)

3!5!(2n1)!

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例3 将函数f(x)(1 x)m展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)m2

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

对上式两边求导得

2nx2x4nx

cosx1    (1)   (x)

2!4!(2n)!

例5 将函数f(x)1展开成x的幂级数

1x

2解因为11xx2    xn   (1x1)

1x把x换成x2 得

124n2n1xx    (1)x   (1x1) 1x2注 收敛半径的确定 由1x21得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

解

因为f(x)1

1x1而是收敛的等比级数(1)nxn(1x1)的和函数

1xn0

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

ln1(x)xx2x3x4xn1    (1)n   (1x1)

234n1xx00

解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dxxnn1dx 1xxn0[(1)x]dx(1)(1x1)

n1n0n0n

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有 4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

244高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

11

cosx()1(x)2(x)4   (x)

42!44!411

sinx()(x)(x)3(x)5   (x)

443!45!4所以

sinx211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!

4例8 将函数f(x)

解因为

f(x)1展开成(x1)的幂级数

x24x3111111

2x1x1(x1)(x3)2(1x)2(3x)x4x34(1)8(1)24 nn11n(x1)n(x1)(1)

(1)4n08n02n4n

n0(1)n(12n2122n3)(x1)n(1x3)

提示

1x2(x1)2(1x1x1)3x4(x1)4(1) 24n1x1n(x1)(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)(1)(11)

nx1n04414收敛域的确定 由1

展开式小结 x1x11和11得1x3

2411xx2    xn   (1x1) 1x高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

ex1x121x    xn   (x)

2!n!sinxxx3x5x2n1    (1)n1   (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1    (1)   (x) 2!4!(2n)!ln(1x)xx2x3x4xn1    (1)n   (1x1) 234n1m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)(1x)m1mx

§11 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

5例1 计算240的近似值 要求误差不超过00001

5

4例1 计算240的近似值(误差不超过10)

解

因为5240524333(1所以在二项展开式中取m

511/5)

3411 x4 即得 531114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141   )522!38533!312544!316141112[1()    ]

8181522!38611118

12532527402000018111)

534高等数学课程建设组于是取近似式为52403(1高等数学教案 §11 无穷级数

为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得

542402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

例2 计算ln 2的近似值(误差不超过10)

解

在上节例5中 令 x1可得

ln2111    (1)n11   .23n4

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)234n1中的x换成x  得

ln(1x)xx2x3x4   (1x1) 234两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

ln令1x11ln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1) 1x35111x2 解出x 以x代入最后一个展开式 得

331x1311111157   ) 333537 ln22(如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

111111   )9391***12[1()    ] 11993高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

2111.311114***3于是取 ln22(1113115117) 同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

10.33333 1130.01235 1150.00082 1170.00007

3335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx1x3 求sin9的近似值 并估计误差

3!解

首先把角度化成弧度

9从而

1809(弧度)320(弧度)

1sin20203!20 

20其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x111

sin     20203!205!207!20 得

357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin似值 起误差为

111(0.2)5

|r2| 5!201203000000.003876因此取

0.157080 2020520的近3于是得

sin9015643 这时误差不超过10

例4 计算定积分

高等数学课程建设组 5高等数学教案 §11 无穷级数

2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取1200.56419）

例4 求积分x2exdx的近似值(误差不超过10)

224

解将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!n(x2)22!(x2)33!   

x2n

(1)(x).n!n0于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n0 (1111   ).2232452!2673!前四项的和作为近似值 其误差为

|r4|所以

2111

294!900008122exdx01(1111)0.5295

2232452!2673!

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

例5 计算1sinx0xdx的近似值(误差不超过10)

4

解由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1 则x0x高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

它在积分区间[0 1]上连续.展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为第四项

11

77!30000所以取前三项的和作为积分的近似值

01sinxxdx1110.9461

33!55!

二、欧拉公式

复数项级数 设有复数项级数

(u1iv1)(u2iv2)   (univn)   

其中un  vn(n1 2 3   )为实常数或实函数 如果实部所成的级数

u1u2     un    收敛于和u 并且虚部所成的级数

v1v2    vn   

收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1

复变量指数函数 考察复数项级数

1z121z    zn    

2!n!高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z1z2    1zn    

2!n!x

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy1(iy)2    1(iy)n   

2!n!

1iy1y2i1y31y4i1y5   

2!3!4!5!

(11y21y4   )i(y1y31y5   )

2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

ecos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)rei 

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为eixcos xi sin x eixcos xi sin x 所以

e+e2cos x

ee2isin x

cosx11ix(eeix) sinx(eixeix)

22iixixxixix这两个式子也叫做欧拉公式

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

§11.7 傅里叶级数一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数

1a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)

coskxcosnxdx0(k n1 2    kn)

12三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

1(n 1 2   )

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx(n 1 2   )

系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且

当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x)

当x是f(x)的间断点时 级数收敛于[f(x0)f(x0)]

例1 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为

f(x)1 x0

0 x高等数学课程建设组

12高等数学教案 §11 无穷级数

将f(x)展开成傅里叶级数

解所给函数满足收敛定理的条件 它在点xk(k0 1 2   )处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于

1[f(x0)f(x0)]1(11)0

22当xk时级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

an11f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx11(1)cosnxdx01cosnxdx0(n 0 1 2   )

001

bn

(1)sinnxdx101sinnxdx

1cosnx01cosnx1[][]0[1cosncosn1] nnn4 n1, 3, 5,   2n

[1(1)]n

n0 n2, 4, 6,   于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)4[sinx11sin3x    sin2(k1)x    ]

32k

1(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

f(x)x x0

0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于

11[f(x0)f(x0)](0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a01f(x)dx10xdx 

2高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

an1f(x)cosnxdx10xcosnxdx1xsinnxcosnx01[](1cosn)22nnn2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx1xsinnxdx01[xcosnxsinnx0cosn ]nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).例3 将函数

f(x)展开成傅里叶级数

解所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

a0

an1x  x0

x 0  x1f(x)dx10(x)dx110xdx

12f(x)cosnxdx0(x)cosnxdx0xcosnxdx

4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x) 4(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

235

三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn20f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数

解首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

11[f(0)f(0)][()]0

其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是 an0(n0 1 2   ) 而

bn20f(x)sinnxdx20xsinnxdx

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

2

2[xcosnxsinnx]02cosnx(1)n1(n1 2 3   )

2nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinxsin2xsin3x    (1)n1sinnx   

23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

解所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20t Esincosntdt2

E011[sinn()tsinn()t]dt

2211cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

2(4n1)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

4E11

u(t)(cosnt)(t)

2n14n21

奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 2nnn高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

22 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinxsin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

234在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 nnn20 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a0 202x2(x1)dx[x]02

2函数的余弦级数展开式为

x1

§11 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

我们所讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xl 4111(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235t及f(x)f(lt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

这是因为F(t2)f[l(t2)]f(lt2l)f(lt)F(t)

于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1llnxdx(n0 1 2   )

lnxdx(n1 2   )

l其中系数an  bn 为

anf(x)cosll

bnf(x)sinll

当f(x)为奇函数时

nx

f(x)bnsin

ln11l1l其中bn2lnxf(x)sindx(n  1 2   )

0ll

当f(x)为偶函数时

f(x)其中an2lla0nxancos

2n1lnx0f(x)cosldx(n  0 1 2   )

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)

k 0x2将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

an1kcosnxdx[ksinnx]00(n0)

022n2

a010dx1kdxk

2220021

bn22k n1, 3, 5,    nxknx2kksindx[cos](1cosn) n002n2n0 n2, 4, 6,   2于是

x13x15x

f(x)k2k(sinsinsin   )

223252(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于k)

2pxl 0x2展开成正弦级数

例2

将函数M(x)2p(lx)l xl22

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bnlllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l0ll02l2l2l对上式右边的第二项 令tlx 则

l0ptn(lt)22pxnx

bn[sindxlsin(dt)]

l02l2l2ll22pxnxntn12ptsindx(1)sindt]

[002l2ll当n2 4 6   时 bn0 当n1 3 5   时

bn于是得

M(x)

高等数学课程建设组 4p2ll202plnxnxsindx22sin

l2n2pl2(sinxl13x15xsinsin   )(0xl)

22ll35高等数学教案 §11 无穷级数

高等数学课程建设组高等数学教案 §11 无穷级数

高等数学课程建设组

第二篇：高等数学讲义- 无穷级数（数学一和数学三）

高等数学讲义--

无穷级数(数学一和数学三)

第八章

无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n

历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”

第一种

0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ

第二种

1)11()11()11(1=-------ΛΛ

第三种

设S

=+-++-+-+ΛΛ1)1(1111

则[]S

=+-+--Λ11111,1S

=-,12=S

这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。

什么是无穷多项相加？如何考虑？

无穷多项相加，是否一定有“和”？

无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概

念和性质需要作详细的讨论。

8.1

常数项级数

（甲）

内容要点

一、基本概念与性质

1.基本概念

无穷多个数ΛΛ，，,321n

依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞

3211

称

为数项级数（简称级数）。

∑===n

123n

++++L

（Λ,3,2,1=n）称为级数的前n

项的部分和，{}),3,2,1(Λ=n

称为部分和数列。

S，u

S，S

==∑∑∞=∞

=∞

→1

1)(lim

记以且其和为是收敛的则称级数存在若

∞

→lim

若不存在，则称级数∑∞

是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）

2．基本性质

（1）

如果

∑∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞

=∞=++1

1)(,n

a，bv

au，b，a

且等于收敛则为常数皆收敛和

（2）

在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3）

收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4）

级数

∑∞

收敛的必要条件是

0lim

=∞

→n

（注：引言中提到的级数

∑∞

=+-1

1,)

1(n

具有∞→n

lim

()不存在1

1+-n，因此收敛级数的必要条件不满

足，∑∞

()

1+-n

发散。调和级数

∑

∞

1满足∞→n

lim

但,01=n

∑∞

=1n

1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞

→n

lim

0=n

u，而

∑

∞

收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）

∑∞

=0n

()0≠a

当1∑∞

=0n

1收敛

当1≥r

时，∑∞

发散

（2）p

一级数

∑∞

=11n

当p>1时，∑∞

=11n

收敛，当p

≤1时∑∞

=11

发散

（注：p>1时，∑∞=11

n的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞

=1n

6122

π=n）

二、正项级数敛散性的判别法

()Λ,3,2,10=≥n

若则∑∞

称为正项级数，这时(){}n

所以Λ,3,2,11=≥+是单调

加数列，它是否收敛就只取决于n

是否有上界，因此

∑

∞

?收敛有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1.比较判别法

如果皆成立时当设，u，cv

0,0>≥≥>∑∞=1

收敛，则∑∞=1

收敛；如果∑∞

发散，则

∑∞

发散。

2.比较判别法的极限形式

设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n

若∞

→n

lim

当0∑∞

=1n

与

∑∞

同时收敛或同时发散。

当A=0时，若

∑∞

收敛，则

∑∞

收敛。

当A=+∞时，若

∑∞

收敛，则

∑∞

收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）

设n

>0，而∞

→n

lim

ρ=+n

1）

当ρ∑∞

收敛

2）

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则

∑∞

发散

3）

当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞

→n

lim

+不存在时，此判别法也无法用）

4．根值判别法（柯西）

设n

≥0，而∞

→n

lim

ρ=n

1）

当ρ∑∞

收敛

2）

当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞

发散

3）

当ρ=1时，此判别法无效

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。

三、交错级数及其莱布尼兹判别法

1．交错级数概念

若n

>0,∑

∞

1)1(+-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法

设交错级数

∑

∞

1)1(+-满足：

1）≤+1n

u),3,2,1(Λ=n

∞

→n

lim

=0，则

∑

∞

1(+-收敛，且0=1

1)1(+-四、绝对收敛与条件收敛

1．定理

若

∑

∞

收敛，则∑∞

一定收敛；反之不然。

2．定义

若

∑

∞

=1n

收敛，则称∑∞

为绝对收敛；

若

∑

∞

收敛，而∑∞=1

发散，则称∑∞

为条件收敛。

3．有关性质

1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑

∞

21（n

u）或∑∞

21（n

—n

u）一定是发散的。

4．一类重要的级数

设

∑

∞

1)1(+-

1）

当ρ>1时，∑

∞

1)1(+-是绝对收敛的2）

当0∑

∞

1)1(+-是条件收敛的3）

当ρ≤0时，∑

∞

1)1(+-是发散的（乙）

典型例题

一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性

例1．

判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

1）

∑

∞

1()1(1

+++n

2）

∑

∞

1）解：

∑

∞

1()1(1

+++n

n的=

∑

1()1(1

+++k

∑

()()

?-++-+2

1)1()

1(k

∑

1)111（+-=+-n

Θ∞→n

lim

∴∑

∞

1()1(1

=+++n

n，收敛

2）解：=

225232132-++++Λ

①

21=n

14322

12232252321+-+-++++n

②

①-②得21=n

1322

2)212121(221+--++++n

=1112

223212)211(21++-+-=---+n

Θ∞

→n

lim

∴∑

∞

2-=3，收敛

例2

设数列{}

∑∞

=--1

1)(n

n，a

n，na

证明收敛级数收敛∑∞

收敛

证：由题意可知∞

→n

lim

存在A

∞

→n

lim

∞

→n

lim

∑=-=-n

1)(存在而=n

S)()(3)(2)(1231201--++-+-+-n

=∑-=-

因此，=∑-=1

∞

→n

lim

=∑-=1

∞

→n

lim

-n

∞

→n

lim

于是级数

∑∞

-是收敛的二、主要用判别法讨论级数的敛散性

例1．

设级数

∑

∞

n)0(≥n

收敛，则∑

∞

收敛

解：

n)1(212

+≤=（几何平均值≤算术平均值）

已知

∑

∞

收敛故收敛收敛)1

(2112

12n

a，n，a

+∑∑∞

=∞

再用比较判别法，可知

∑

∞

收敛

例2．

正项数列{}n

单调减少，且

∑

∞

a)1(-发散，问∑∞

a)1

1（+是否收敛？并说明理由。

解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim,0==∴≥∞

→a，a

a，a

∑

∞

(1)0,n

-∴>收敛,与假设矛盾,这样，n

a)1

1()11(,11111+≤+∑

∞

a)11(+收敛和比较判别法可知∑∞

a)11（+收敛。

例3．

设?

tan

xdx

（1）求

∑

∞

2++的值。

（2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞

收敛。

证明：（1）n

2++n

+40

2)tan

1(tan

1=?

tan

1(1

∑

∞

2++=∑∞

=1n)

1(1+n

（2）?=40tan

xdx

=+?

+≤

λn

1)1(1+∴>+,11λΘ∑

∞

1+λn

收敛，由比较判别法可知

∑

∞

收敛。

例4．

设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中，01n

x，n

=-+

当α>1时，级数

∑

∞

αn

收敛。

:()1n

=+-证记

10()0n

α-＇>=+>当时,[)()0,.n

+∞故在上单调增加

(0)10,(1)0,n

=-100n

+-=>由与知

0,n

()n

α∞

=∑而正项级数收敛,所以当α>1时，级数

∑

∞

αn

收敛。

8.2

幂级数

（甲）内容要点

一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）

1．函数项级数的概念

设)(x

n),3,2,1(Λ=n

皆定义在区间I

上，则∑

∞

n)(x

称为区间I

上的函数项级数。

2．收敛域

设I

∈0x，如果常数项级数

∑

∞

=1n)(0x

收敛，则称0x

是函数项级数∑∞

n)(x

n的收敛点，如果

∑

∞

n)(0x

发散，则称0x

是∑∞

n)(x

n的发散点。函数项级数∑∞

n)(x

n的所有收敛点构成的集

合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。

3．和函数

在∑

∞

n)(x

n的收敛域的每一点都有和，它与x

有关，因此=)(x

∑∞

n)(x

n，∈x

收敛域

称)(x

为函数项级数

∑

∞

n)(x

n的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

二、幂级数及其收敛域

1．幂级数概念

∑∞

x)(0-称为)(0x

-的幂级数，),2,1,0(Λ=n

称为幂级数的系数，是常数，当0

0=x

时，∑∞

称为x的幂级数。一般讨论∑∞

有关问题，作平移替换就可以得出有关

∑∞

x)(0-的有关结论。

2．幂级数的收敛域

幂级数

∑∞

x的收敛域分三种情形：

（1）

收敛域为),(+∞-∞，亦即

∑∞

对每一个x

皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R

（2）

收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞

皆发散，我们称它的收敛半径0=R。

（3）

收敛域为

(][)[]R，R

我们称它的收敛半径为中的一种或或或，,),(----)0(+∞所以求幂级数的收敛半径R

非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R

±两点上的敛散性。

lim

()(),(,n

+→∞

=+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若

0,0),R

===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛

.半径,后面有所讨论

三、幂级数的性质

1．四则运算

设

∑∞

=21),(;),(n

f),min()

()()())((),min(),()()(210

000

210R

=-∞

=∞

=ΛΛ则2.分析性质

设幂级数

∑∞

x的收敛半径R

0，S(x)

∑∞

为和函数，则有下列重要性质。

（1）且有逐项求导公式内可导在，R

S),()(-

=＇)(x

∑∑∑∞=∞

=-∞==＇=＇0

10)()(n

求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出

公式为内有任意阶导数在，R

S),()(-),3,2,1(,)1()1()()

(ΛΛ==-k

（2）内有逐项积分公式在),()(R

∑?∑

?∞=∞

=++==00

1)(n

且这个幂级数的收敛半径也不变。

（3）若

∑∞

:)()(则有下列性质成立在，R

-==

(i)

()

lim

()(lim

()())n

-+∞

∞

→→-====-∑∑成立成立

(ii)))(1)((1)(0

01001?∑?∑-∞

=+∞

=+-+-=+=R

成立成立

(iii)

∑∞

=--=11)(n

不一定收敛在11

().(())n

∞

=＇＇=-∑也即不一定成立

()n

∞

==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数

1()n

∞

-==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数

().1n

∞

+==-+∑在有可能收敛

四、幂级数求和函数的基本方法

1．把已知函数的幂级数展开式（§

8.3将讨论）反过来用。

下列基本公式应熟背：

01(1)

11n

∞

0(2)!

∞

==21

0(3)(1)sin,(21)!n

+∞

=-=20

(4)(1)cos,(2)!n

∞

=-=1

(5)(1)ln(1),(11)1n

+∞

=-=+-1

(1)(1)

(6)1(1),11()!

ααααα∞

=--++=+-L

为实常数

2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式

3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。

五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和

（乙）典型例题

例1

求下列幂级数的和函数。

（1）

∑∞

=+0)12(n

（2）∑∞

=+-0

21)1(n

解：（1）可求出收敛半径R=1,收敛域为（-1，1）

()(21)2n

∞∞∞

====+=+∑∑∑

1101

21x

∞-=＇

??=+??-??

∑?

11122111n

∞=＇＇

=+=+?---?∑

211(1,1)(1)1(1)x

∈----

（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域

[]2

200

(1)2(1)()11n

∞

∞==+--==++∑∑

1(1)441n

∞∞

∞

====+-++∑∑∑

120

()(1),()41,1n

∞

===+==

1()41n

∞

==+∑

()(1)11x

∞∞

+===+==12

()()11(1)x

＇∴==

11301

1(1)()()441n

-∞

∞

+==--==-+∑∑

4ln(1)

(11)x

=---≤11

(1)ln(1)

(11)n

-∞

=-=+--l

f，x

Λπππππ

1cos

1sin

0(1,2,)l

xdx

ππ--?=?==??L

sin

cos

0,(,1,2,)l

xdx

ππ

-==?L

cos

sin

0(,1,2，)l

xdx

ππππ--===≠??L

且

.故称这个三角函数系是正交的二、傅里叶系数与傅里叶级数

[]()2(0)，f

>-设以为周期或只定义在上的可积函数

1()cos,0,1,2,l

xdx

π-==?L

令

1()sin,0,1,2,l

xdx

π-==?L,().n

则称为的傅里叶系数

01(cos

sin)2n

ππ

∞=++∑三角级数

[]()(2，)f

-称为的傅里叶级数关于周期为或只在01()~(cos

sin)2n

ππ

∞=++∑记以

(),f

值得注意在现在假设条件下有傅里叶系数和傅里叶级数的相关概念但并,()f

不知道傅里叶级数是否收敛更不知道傅里叶级数是否收敛于

三、狄利克雷收敛定理

[]()，f

-设在上定义且满足

[](1)(),f

-在上连续或只有有限个第一类间断点

[](2)(),f

-在上只有有限个极值点

[]01(),(cos

sin)(),2n

ππ

∞=-++=∑则在上的傅里叶级数收敛且

[][](),(,)()1

()(0)(0),(,)()21

(0)(0),2

?∈-??=++-∈-???-++-=±??当为的连续点

当为的第一类间断点当

我们把上述两个条件称为狄利克雷条件

四、正弦级数与余弦级数

[]1.()2，.f

-设以为周期或在上定义且满足狄利克雷条件

(1)(),0(0,1,2,)n

==L

如果是奇函数则

02()sin

(1,2,)l

xdx

π==?L

而

()f

这时的傅里叶级数为正弦级数

(2)(),0(1,2,3)n

==L

如果是偶函数则

02()cos

(0,1,2,)l

xdx

π==?L

而

().f

这时的傅里叶级数为余弦级数

[][]2.()0，0，,f

设在上定义且在上连续或只有有限个第一类间断点只有有限个极值点[]()0,f

那么在上可以有下列两个傅里叶展开式

01(1)

()~cos

π∞=+∑

02()cos

(0,1,2,)l

xdx

==?L

其中

(2)

()~sin,(1,2,3)n

∞

==∑L

02()sin

xdx

=?其中

[][)[](1),()0，0;(2),()0,f

-因为在中相当于从按偶函数扩充定义到在中相当于从[)[],0,0，l

-按奇函数扩充定义到得出傅里叶级数只在上因此为余弦级数或正弦级数

..都可以至于这些级数收敛的和函数仍按狄利克雷收敛定理的结论

()乙典型例题

1.()10,51510f

=-≤≤例把展成以为周期的傅里叶级数

51:(10)cos

xdx

=-?解

512cos

cos

555n

xdx

ππ=-??

1055sin

sin

()cos

πππ=--?

00,.n

=∴推演过程中没有意义要重新求

(10)05a

=-=?

5110(10)sin

(1)(1,2,)55n

xdx

ππ

=-=-=?L

(1)()10sin

(515)5

π∞

=-=-=

2.()2(11)2,f

=+-≤≤例将函数展成以为周期的傅里叶级数并由此求级数

∞

=∑的和

:()2，f

=+解为偶函数只能展成余弦级数即

0,2(2)5,n

==+=?

(2)cos()2cos

xdx

ππ=+=??

2(cos

(1,2,)n

ππ-=

[]1,1,-因为所给函数在上满足狄氏收敛定理故

[]22

152(cos

2cos(),1,12n

πππ∞=-+=+-∑

54cos(21)2(21)k

ππ

∞

=+=-+∑

0054

110,2,2(21)(21)8k

ππ

∞

===?=-?=++∑∑当时上式又

222221010

1111111(21)(2)(21)4n

∞

∞∞∞

∞======+=+++∑∑∑∑∑

1014143(21)386n

ππ∞

∞====?=+∑∑故

[]3.()，,(),:n

ππ-例设在上可积为的傅里叶系数试证

222

011()()2N

ππ

=++≤∑?

证明只需证明对任意正整数都有

222

011()()2N

ππ

=++≤∑?

()(cos

sin)2N

==++∑令

()2

0()()N

ππ--≤-=???

???

2()()()N

---+?

222

22220211()2()()22N

ππ-==?=-+++++?∑∑?

2222021()()2N

=∴++≤∑?

小桥流水人家，古道西风瘦马。夕阳西下，断肠人在天涯。

第三篇：大学高等数学竞赛训练级数

大学生数学竞赛训练四—级数

一、（20分）设

1）证明：

2）计算

证明：1）设，因为

所以，当时，为常数，即有

（注意这里利用了极限）

2）。

二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。

证明：级数收敛，但级数发散。

证明：因为，由连续性可得，由导数的连续性可得存在的一个邻域内，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由莱布尼茨判别法可得，级数收敛；

由单调增可得，级数是正项级数，对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在有

当充分大时有，因为级数发散，由比较判别法，级数发散。

三、（15分）求级数的和。

解：因为

所以。

四、（15分）设是以为周期的连续函数，是的傅里叶系数，证明贝塞尔不等式

证明：因为，设，则有

以上利用了是正交系，所以

五、（20分）已知，求与轴所围成图形的面积。

解：

简单计算可得仅有两个解，并且当时，所以所求面积为

六、（15分）判断级数的敛散性。

解：因为

由比较判别法可得，级数收敛，再用比较判别法可得级数收敛。

第四篇：高等数学教案ch 11 无穷级数

x

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数 给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为un

n1即

unu1u2u3    un     其中 n1n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值



rnssnun1un2   叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

123  n  

是发散的

证此级数的部分和为

sn123    nn(n1)2

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

解由于

un因此

sn1111        的收敛性

122334n(n1)111

n(n1)nn11111     122334n(n1)

(1)()    (从而

limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

二、收敛级数的基本性质

n1n1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收n1n1敛 且其和为ks(如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks)n1n

1这是因为 设un与kun的部分和分别为sn与n 则

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn 这表明级数kun收敛 且和为ks

n1

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

这是因为 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n

性质

3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)1111        也是收敛的

122334n(n1)级数10000级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不n1变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

(11)+(11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件



性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

（性质5的等价命题：若limun0，则级数un发散）

n0n1

证

设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例4 证明调和级数

11111        是发散的

23nn1n1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1

证假若级数显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

s2nsn1111111        

n1n22n2n2n2n21必定发散

nn1故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n

§11 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数



定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1n1n1n

1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n1

反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数

n1n1vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时n1n1有unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立

则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

pppppn234n 的收敛性 其中常数p0

解设p1 这时1p1 而调和级数1发散 由比较审敛法知 当p1时级数1pnnn1nn1n发散

设p1 此时有

nn111111dxdx[p1](n2, 3,   )

pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211] 其部分和 p1p1(n1)n12][p112p1]    [p111np111

]1p1p1(n1)(n1)

sn[13因为limsnlim[1nn1]1

p1(n1)111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当p1]pp1p1nn2(n1)n1n时收敛



综上所述 p级数n11当p1时收敛 当p1时发散

pn1

例2 证明级数n1n(n1)是发散的

证因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

n1n1

定理3(比较审敛法的极限形式)

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

(2)如果limnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

例3 判别级数sin1的收敛性

n1nsin

解因为 limn1n1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数sinn11发散

n

例4 判别级数ln(1n11)的收敛性

n2ln(1

解因为 limn1)21n1 而级数收敛

21n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数ln(1n11)收敛

n2

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设un为正项级数 如果

n1limnun1un

则当1时级数收敛 当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

123n!

例6 判别级数112        的收敛性

23n10101010

解因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散

例7 判别级数1的收敛性

(2n1)2nn

解 limnun1un lim(2n1)2nn(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

1112 而级数

因为收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2(2n1)2nnn1n

定理5(根值审敛法 柯西判别法)

设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11113    n    是收敛的

223n 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111    n1n2n3(n1)(n2)(n3)111    

(n1)n1(n1)n2(n1)n31

n(n1)n

例6判定级数n12(1)n2n的收敛性

解因为

limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6

(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(1n11)的收敛性

解因为ln(111)~(n) 故 n2n2n

limn2unlimn2ln(1n121)limn21

nn2n根据极限审敛法 知所给级数收敛



例8 判定级数n1(1cosn1n)的收敛性

解因为

limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的

交错级数的一般形式为(1)n1un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

简要证明 设前n项部分和为sn

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n1 收敛 并估计和及余项

n11n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un11un1(n1, 2,  )

(2)limunlim10

nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛

n1n1n1n1

若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛 若级数un

n1n1收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛

例10 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)2nnn1n1n

1定理7 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

值得注意的问题

n1n1

如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1

例11 判别级数sinna的收敛性

2nn1

1na1

解因为|sin2|2 而级数2是收敛的

nnn1nnasinna所以级数|sin2绝对收敛

|也收敛 从而级数2nn1n1n

2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性

n12n2

解 由|un|1n(11)n 有limn2nn|un|111lim(1)ne1

2nn2可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

nn2

§ 11 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

收敛点与发散点

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1点x0是级数un(x)的发散点

n

1收敛域与发散域

函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所

n1 有发散点的全体称为它的发散域

和函数

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域

部分和

函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)

n1

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

余项

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

n1

rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x2    anxn    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

幂级数的例子

1xx2x3    xn     

1x121x    xn    

2!n!

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xx2x3    xn    

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的 因此它的收敛

域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当

n0xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件

n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nnn| anx0 |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxnxnn||ax|||M||

n0nx0x0x0n|anxn||anx0xnn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anx|收敛 也就是级数anxn绝

x0n0n0n0对收敛

定理的

例1 求幂级数

n1(1)n1nxnx2x3n1xx    (1)   

n23n的收敛半径与收敛域

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n!n012131xx    xn    2!3!n!的收敛域

1a(n1)!n! lim0

解

因为 lim|n1|  limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]!x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2[(n1)!]2提示

(2n)!2nun(x)x(n!)2un1(x)x2

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

tn

nn12nn1

解令tx1 上述级数变为an1an

因为  lim|n2nn1| n1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛 因此

nn1nn1tn级数n的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为[1, 3)

n12n

三、幂级数的运算

设幂级数anx及n0nn0bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有加法 减法 n0anxbnx(anbn)xn

n0n0nnnnn0anxbnx(anbn)xn

n0n0

设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较

小的区间内有

加法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

nn0n0

(a0bna1bn1    anb0)xn   

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00anxdxxnann0n1xn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)

n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n011n1x)xn

[xs(x)](

n11xn0n0对上式从0到x积分 得

xs(x)1dxln1(x)

01xx

1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n

1因为xs(x)x[xn1]dx

0n0n1n0n1

x0n0xndx0x1dxln1(x)

1x所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)11ln

在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n

§11 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2   

f(n1)f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

需回答的问题 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)?

定理

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x    anx    

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x2   nanxn1    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anx

n2

    

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

   f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!    anf(n)(0)n!   

二、函数展开成幂级数

展开步骤

是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x1x2    1xn   

2!n!(n)

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解因为f(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(n)(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

2n1x3x5n1x    (1)   

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| |因此得展开式

|x|n1| 0(n )

(n1)!2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m2m

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

对上式两边求导得

cosx1x2x4x2n    (1)n   (x)

2!4!(2n)!1展开成x的幂级数

1x

2例5 将函数f(x)

解因为211xx2    xn   (1x1)

1x把x换成x 得

11x2x4    (1)nx2n   (1x1) 21x注 收敛半径的确定 由1x21得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

解

因为f(x)1

1x而1是收敛的等比级数1xn0(1)nxn(1x1)的和函数 

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)

234n

1解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1

[(1)x]dx(1)(1x1)

0n1n0n0xnnn

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有

cosx(

sinx(所以

sinx4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

24444)111(x)2(x)4   (x)

2!44!4)(x4)11(x)3(x)5   (x)

3!45!4211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!

4例8 将函数f(x)

解因为

f(x)1展开成(x1)的幂级数

x24x3111111

2x1x1(x1)(x3)2(1x)2(3x)x4x34(1)8(1)24 nn11n(x1)n(x1)

(1)(1)n4n08n024n

n0(1)n(12n2122n3)(x1)n(1x3)

提示

1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)

24n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n04414收敛域的确定 由1

展开式小结 x1x11和11得1x3

2411xx2    xn   (1x1) 1xex1x121x    xn   (x)

§11 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001

解

因为5240524333(114)1/5

3所以在二项展开式中取m1 x14 即得

51114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141831216   )2452!353!354!3141112[1()    ] 28818152!3611118

12532527402000018111)

534于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得

52402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

解

在上节例5中 令 x1可得

ln21111    (1)n1   .23n

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)234n1中的x换成x  得

x2x3x ln(1x)x   (1x1)

234两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

ln1x11ln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1) 1x3533令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得

1x

ln22(13111111   ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

11111113   )***[1()    ]

99312111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx解

首先把角度化成弧度

9从而

x求sin9的近似值 并估计误差

3!1809(弧度)320(弧度)

1sin20203!20 

其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得

20111

sin     20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的近似值 起误差为

111

|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 20205203于是得

sin9015643 这时误差不超过105

例4 计算定积分

x2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取

210.56419）

解将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!(x2)22!(x2)33!   

(1)nn0x2n(x).n!于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01

(1111   ).24623252!273!前四项的和作为近似值 其误差为

|r4|所以

21111

294!90000820ex2dx1(112324252!16)0.52 0 5273!1

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

解由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1

x0x则它在积分区间[0 1]上连续.展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1

复变量指数函数 考察复数项级数

1z121z    zn    

2!n!x 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z121z    zn    

2!n!

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy

1iy

(111(iy)2    (iy)n    2!n!12111yiy3y4iy5    2!3!4!5!121411yy   )i(yy3y5   )2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

ecos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)rei 

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为ecos xi sin x ecos xi sin x 所以 ixixix

e+e2cos x

ee2isin x

cosx1(eixeix) sinx1(eixeix)

22iixixxix这两个式子也叫做欧拉公式

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

§11.7 傅里叶级数一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)



coskxcosnxdx0(k n1 2    kn)

12三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

f(x)cosnxdx(n 1 2   )

f(x)sinnxdx(n 1 2   ) 1系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个 1 f(x)4[sinxsin3x    sin2(k1)x    ]

32k1

(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

f(x)x x0

11[f(x0)f(x0)](0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a01f(x)dx10xdx  2an1f(x)cosnxdx10xcosnxdx1xsinnxcosnx01[](1cosn)22nnn2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx10xsinnxdx1[xcosnxsinnx0cosn] nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).

例3 将函数

f(x)展开成傅里叶级数

傅里叶系数为

a0

an1x  x0

x 0  x1f(x)dx1(x)dx0101xdx

12f(x)cosnxdx0(x)cosnxdx0

xcosnxdx4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn2 411(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

2350f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数

11[f(0)f(0)][()]0

其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是 an0(n0 1 2   ) 而

bn

220f(x)sinnxdx20xsinnxdx

[xcosnxsinnx22]cosnx(1)n1(n1 2 3   )

02nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinx111sin2xsin3x    (1)n1sinnx    23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

解所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt

E011[sinn()tsinn()t]dt 11cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

u(t)4E(11cosnt)(t)

22n14n1

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 nnn222 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 2nnn0 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a020(x1)dx2x2[x]02 2

函数的余弦级数展开式为

x1 14(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235

§11 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xlt及f(x)f(llt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

lt2l)f(lt)F(t) 这是因为F(t2)f[(t2)]f(于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1ll其中系数an  bn 为

anf(x)cosll1lnxdx(n0 1 2   )

blnxn1llf(x)sinldx(n1 2   )

当f(x)为奇函数时

f(x)binnxns n1l

其中b2lln0f(x)sinnxldx(n  1 2   )

当f(x)为偶函数时

f(x)a02anxncos

n1l其中a2nlnxl0f(x)cosldx(n  0 1 2   )

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)k 0x2

将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2

a1220kcosnx2dx[knsinnxn2]200(n0)

a102020dx1220kdxk

22k

b1n20ksinnx2dx[kncosnx2]2k 0n(1cosn)n0 于是

f(x)k22k(sinx213sin3x215sin5x2   )(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于

k2)

 px 0l

例2 将函数M(x)x22展开成正弦级数

p(lx)2 l2xl

n1, 3, 5,    n2, 4, 6,   

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bn2lllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l00ll2l2l2l对上式右边的

高等数学-11章无穷级数大法师（5篇）

第一篇：高等数学-11章无穷级数大法师

第二篇：高等数学讲义- 无穷级数（数学一和数学三）

第三篇：大学 高等数学 竞赛训练 级数

第四篇：高等数学教案ch 11 无穷级数

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